GAZDASÁGI STATISZTIKA

GAZDASÁGI STATISZTIKA Dr. Kun István GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 1

TÉMAKÖRÖK A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI STATISZTIKAI SOROK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 2

A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE A STATISZTIKAI ADATOK KELETKEZÉSE ADATGYŰJTÉS SOKASÁGOK LEÍRÁSÁNAK ESZKÖZEI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 3

A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE MI A STATISZTIKA? A STATISZTIKA TEVÉKENYSÉGEI A STATISZTIKA MÓDSZERTANA A STATISZTIKA SZEREPE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 4

TUDOMÁNYOS ESZKÖZKÉNT MI A STATISZTIKA? a környezetet hűen leíró számok és adatok összessége MATEMATIKAI ELMÉLETKÉNT a véletlen tömegjelenségek számszerű jellemzése FORMAI SZEMPONTBÓL általában táblázat vagy számított adat MÓDSZERTANI SZEMPONTBÓL adatok gyűjtésének, ábrázolásának és elemzésének módszertana GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 5

A STATISZTIKA TEVÉKENYSÉGEI ADATOK GYŰJTÉSE kikérdezés megfigyelés kísérlet ADATOK FELDOLGOZÁSA ábrázolás csoportosítás egyszerű számtani műveletek EREDMÉNY ELEMZÉSE mennyiségi minőségi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 6

A STATISZTIKA MÓDSZERTANA LEÍRÓ STATISZTIKA adatgyűjtés a teljes sokaságra adatfeldolgozás a teljes sokaságra eredményelemzés a teljes sokaságra STATISZTIKAI KÖVETKEZTETÉS adatgyűjtés egy részsokaságra adatfeldolgozás egy részsokaságra eredményelemzés a teljes sokaságra GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 7

PÉLDA: RÉSZLEGES ÉS TELJES NÉPSZÁMLÁLÁS ADATOK GYŰJTÉSE egyéni kikérdezés ADATOK FELDOLGOZÁSA lakosság száma megoszlás kor, nem stb. szerint EREDMÉNY ELEMZÉSE megoszlások közötti kapcsolatok adatok időbeli alakulása demográfiai, szociológiai változások GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 8

A STATISZTIKA SZEREPE MEGISMERÉSI FOLYAMAT a valóság számszerű leírása jelenségek időbeli előrebecslése PÉLDA: ÖKOLÓGIA DEMOGRÁFIA DÖNTÉSI FOLYAMAT helyzetfelmérés döntési változatok hatásbecslése PÉLDA: BERUHÁZÁS ÁTSZERVEZÉS GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 9

A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI A STATISZTIKAI ADATOK KELETKEZÉSE STATISZTIKAI EGYSÉG ÉS SOKASÁG STATISZTIKAI SOKASÁGOK TÍPUSAI ISMÉRVEK ÉS ISMÉRVVÁLTOZATOK ISMÉRVEK OSZTÁLYOZÁSA MÉRÉS, MÉRÉSI SKÁLA MÉRÉSI SKÁLÁK TÍPUSAI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 10

STATISZTIKAI EGYSÉG ÉS SOKASÁG STATISZTIKAI EGYSÉG PÉLDA: NÉPSZÁMLÁLÁS EGYES EMBER megfigyelés tárgyát képező egyed statisztikai információ hordozója lehet élőlény, tárgy, képzett egység STATISZTIKAI SOKASÁG megfigyelt egyedek összessége PÉLDA: NÉPSZÁMLÁLÁS LAKOSSÁG GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 11

STATISZTIKAI SOKASÁGOK TÍPUSAI EGYSÉGEK JELLEGE SZERINT diszkrét: az egységek világosan elkülönülnek folytonos: az egységek megválasztása önkényes pl. égitestek, molekulák pl. pénz, nyersanyag EGYSÉGEK SZÁMA SZERINT IDŐBELISÉG SZERINT véges: a megfigyelt egységek száma véges végtelen: a megfigyelhető egységek száma korlátlan álló:időpontra vonatkozik állapotot fejez ki mozgó: időszakra vonatkozik, változást fejez ki pl. népesség, esős napok száma pl. fizikai vagy kémiai kísérlet pl. lakosság egy adott időpontban pl. születések száma egy évben GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 12

ISMÉRVEK ÉS ISMÉRVVÁLTOZATOK STATISZTIKAI ISMÉRV az egyedek megfigyelt tulajdonsága pl. autó típusa, színe, súlya ISMÉRV- VÁLTOZATOK az ismérv lehetséges kimenetelei (értékei) pl. autó új, megkímélt, lestrapált ALTERNATÍV ISMÉRV a lehetséges értékek száma kettő pl. férfi-nő, 60 év alatt vagy felett GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 13

ISMÉRVEK OSZTÁLYOZÁSA EGYSÉGEK VISZONYA SZERINT közös: a sokaság egységei egyformák megkülönböztető: a sokaság csoportosítható pl. férfiak neme pl. autók típusai MÉRHETŐSÉG SZERINT mennyiségi: mértékegységgel mérhető minőségi: nincs mértékegység pl. életkor, testmagasság pl. szépség, színészi tehetség INFORMÁCIÓ TÍPUSA SZERINT térbeli, időbeli, színbeli stb. információ pl. születési hely és idő, bőrszín GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 14

MÉRÉS, MÉRÉSI SKÁLA MÉRÉS számok hozzárendelése dolgokhoz, jelenségekhez, tulajdonságokhoz stb MÉRÉSI SKÁLA a lehetséges mérési értékek halmaza az összehasonlítási szabállyal együtt MÉRÉSI SKÁLÁK BESOROLÁSA a mérési értékek összehasonlítási szabálya szerint GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 15

MÉRÉSI SKÁLÁK TÍPUSAI NÉVLEGES (NOMINÁLIS) hozzárendelés:tisztán kód főleg minőségi, földrajzi pl. autórendszám, irányítószám SORRENDI (ORDINÁLIS) hozzárendelés: sorrend arány érdektelen pl. osztályzat, versenyhelyezés KÜLÖNBSÉGI (INTERVALLUM) hozzárendelés: különbség fontos, nullpont önkényes pl. hőmérséklet, hegy magassága ARÁNY hozzárendelés: nullpont és arány is fontos pl. hosszúság, súly, költség GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 16

A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI ADATGYŰJTÉS STATISZTIKAI ADAT ÉS TÍPUSAI AZ ADATSZOLGÁLTATÁS KÖVETELMÉNYEI ÉS KITERJEDÉSE RÉSZLEGES ADATFELVÉTEL AZ ADATGYŰJTÉS TECHNIKAI ELEMEI HIBA ÉS HIBAKORLÁT GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 17

STATISZTIKAI ADAT ÉS TÍPUSAI STATISZTIKAI ADAT sokaság jellemzése számmal és azonosítóval pl. évi jövedelem, ország területe ALAPADAT mérés vagy számlálás eredménye pl. termelés, létszám SZÁRMAZTATOTT ADAT több alapadatból számításssal keletkezik pl. lakosságszám évi változása STATISZTIKAI MUTATÓSZÁM ismétlődő jelenség statisztikai jellemzése pl. GDP/fő, termelékenység GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 18

AZ ADATSZOLGÁLTATÁS KÖVETELMÉNYEI ÉS KITERJEDÉSE KÖVETELMÉNYEK adatok pontossága gyorsaság gazdaságosság KITERJEDÉS teljes körű részleges GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 19

RÉSZLEGES ADATFELVÉTEL REPREZENTATÍV ADATFELVÉTEL a minta hűen tükrözi az alapsokaságot pl. részleges népszámlálás MONOGRÁFIA egy vagy néhány kiemelt egyed részletes vizsgálata pl. két szélsőséges eset elemzése EGYÉB RÉSZLEGES ADATGYŰJTÉS nem reprezentatív módon kiválasztott minta pl. kikérdezés találomra GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 20

AZ ADATGYŰJTÉS TECHNIKAI ELEMEI ADATOK FORRÁSA ADATGYŰJTÉS ESZKÖZEI KÉRDŐÍV KITÖLTÉSE megfigyelési egység: rá vonatkozik az adat számbavételi egység: ő szolgáltatja az adatot egyéni kérdőív: egyetlen megfigyelési egységről lajstrom: több megfigyelési egységről önszámlálás: az adatszolgáltató tölti ki kikérdezés: a kérdezőbiztos tölti ki pl. autó pl. autó üzemeltetője pl. népszámlálási kérdőív pl. aláírásgyűjtő lista pl. lakcímbejelentő lap pl. forgalomfelmérés GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 21

HIBA ÉS HIBAKORLÁT - I. VALÓSÁGOS ADAT A: a vizsgált mennyiség tényleges értéke MÉRT ADAT Â: a vizsgált mennyiség mért értéke ABSZOLÚT HIBA a = A  a valóságos és a mért adat eltérése ABSZOLÚT HIBAKORLÁT â: a maximumának becsült értéke; feltehetően  â A Â+â GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 22

HIBA ÉS HIBAKORLÁT - II. SZIGNIFIKÁNS SZÁMJEGYEK a mért érték megbízható kerekítésének számjegyei UTOLSÓ KIÍRT SZÁMJEGY mért érték kerekítésének utolsó számjegye; ha helyiértéke 10 s, akkor â = 10 s /2 RELATÍV HIBA α = a / A abszolút hiba és valóságos adat hányadosa RELATÍV HIBAKORLÁT!α = â / Â ; abszolút hibakorlát és mért kerekített adat hányadosa GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 23

PÉLDA: RÉSZLEGES NÉPSZÁMLÁLÁS VALÓSÁGOS ADAT: A = 10 276 538 MÉRT ADAT: Â = 10 276 893 ABSZOLÚT HIBA: a = 10276538 10276893 = 355 SZIGNIFIKÁNS SZÁMJEGYEK: 1 0 2 7 7 UTOLSÓ KIÍRT SZÁMJEGY HELYIÉRTÉKE: 1 000 ABSZOLÚT HIBAKORLÁT: â = 1000 / 2 = 500 RELATÍV HIBA: α = 355 / 10276538 = 0.00345 % RELATÍV HIBAKORLÁT:!α = 500 / 10277000 = 0.00487 % GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 24

A STATISZTIKA ALAPFOGALMAI SOKASÁGOK LEÍRÁSÁNAK ESZKÖZEI CSOPORTOSÍTÁS ÖSSZEHASONLÍTÁS VISZONYSZÁMOK ÁTLAGOK SÚLYOZOTT ÁTLAGOK ÁTLAGOK TULAJDONSÁGAI A SZÁMTANI ÁTLAG TULAJDONSÁGAI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 25

CSOPORTOSÍTÁS CSOPORTOSÍTÁS a sokaság átfedésmentes és teljes felosztása megkülönböztető ismérv szerint NÓMENKLATÚRA CSOPORTOSÍTÓ SOR STATISZTIKAI TÁBLA NEM FŐ Fiú 12 Lány 18 Összesen 30 szabványos, ismételten felhasznált osztályozási rendszer egyetlen ismérv szerinti osztályozás; lehet minőségi, mennyiségi, területi, időbeli több ismérv szerinti, kombinált osztályozás PÉLDA: egy osztály nemek szerinti megoszlása nómenklatúra: fiú lány csoportosító sor: minőségi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 26

ÖSSZEHASONLÍTÁS ÖSSZEHASONLÍTÁS SZÁZALÉKPONT EZRELÉKPONT ÖSSZEHASONLÍTÓ SOR LEÍRÓ SOR két vagy több statisztikai adat egymáshoz való viszonyítása adatok százalékban (ezrelékben) kifejezett különbségének mértékegysége több egyed egyetlen ismérv szerinti értékei egyetlen egyed több ismérv szerinti értékei ORSZÁG GDP/FŐ Ausztria 23120 Portugália 7890 Románia 1120 PÉLDA: 1 főre jutó GDP 1993-ban USD-ban néhány európai országban összehasonlító sor: területi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 27

VISZONYSZÁM MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁM KOORDINÁCIÓS VISZONYSZÁM DINAMIKUS VISZONYSZÁM INTENZITÁSI VISZONYSZÁM VISZONYSZÁMOK összefüggő adatok hányadosa; viszonyítás tárgya / alapja azonos típusú adatok; részsokaság adata / teljes sokaság adata azonos típusú adatok; egyik részsokaság adata / másik részsokaság adata azonos típusú adatok; tárgyidő adata / bázisidő adata különböző típusú adatok hányadosa pl. GDP / fő; viszonyítás tárgya: GDP alapja: ország lakossága pl. férfiak aránya a népességen belül pl. ezer nőre jutó férfiak száma pl. változás aránya; létszám:időpontok között GDP:időszakok között pl. népsűrűség: ország lakossága / területe GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 28

ÁTLAG (KÖZÉPÉRTÉK) SZÁMTANI ÁTLAG HARMONIKUS ÁTLAG MÉRTANI ÁTLAG ÁTLAGOK azonos fajtájú X 1, X 2,... X N adatok jellemző értékének közelítésére szolgál X 1 + X 2 +... + X N N N 1/X 1 +1/X 2 +... + 1/X N N X 1 X 2... X N pl. :2, 6, 4 (2+6+4) / 3 = 4 3 / (1/2+1/6+1/4) = =3 / (6/12+2/12+3/12) = =36/11 = 3.27 3 2 6 4 = = 3 48 = 3.63 NÉGYZETES ÁTLAG (X 1 2 + X 2 2 +... X N 2 )/N (2 2 + 6 2 + 4 2 ) / 3 = = (4 + 36 + 16) / 3 = = 56/3 = 4.32 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 29

SÚLYOK SÚLYOZOTT ÁTLAGOK Y 1, Y 2,... Y k a megfigyelt ismérv különböző értékei f 1, f 2,... f k a megfigyelt gyakoriságok, Σf i =N g 1 = f 1 /N,... g k = f k /N megoszlási viszonyszámok, Σg i =1 SZÁMTANI ÁTLAG, Y HARMONIKUS ÁTLAG, X h f 1 Y 1 + f 2 Y 2 +... + f k Y k N = g 1 Y 1 + g 2 Y 2 +... + g k Y k N 1 = f 1 /Y 1 + f 2 /Y 2 +... + f k /Y k g 1 /Y 1 + g 2 /Y 2 +... + g k /Y k MÉRTANI ÁTLAG, X g NÉGYZETES ÁTLAG N Y 1 f 1 Y 2 f 2... Y k f k 2 2 2 f 1 Y 1 + f 2 Y 2 +...+ f k Y k N = Y 1 g 1 Y 2 g 2... Y k g k 2 2 2 = g 1 Y 1 + g 2 Y 2 +...+ g k Y k GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 30

ÁTLAGOK TULAJDONSÁGAI X X X X X X min h g q Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha minden ismérvérték egyenlő. max Súlyozott átlag akkor kerül közelebb X min illetve X max értékéhez, ha a kisebb illetve nagyobb ismérvértékek súlya megnő. X q = X 2 2 1 N +... + X N 1/ 2 X = X 1 1 1 N +... + X N 11 / X h = X 1 1 1 N +... + X N 1/( 1) A mértani átlagot nem lehet hasonló alakra hozni. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 31

A SZÁMTANI ÁTLAG TULAJDONSÁGAI N ( X X) = 0 i= 1 i Az átlagtól való eltérések összege 0. N i= 1 X i Ha minden ismérvértéket az átlaggal helyettesítünk, az összeg nem változik. N i= 1 ( X A) i 2 = NX akkor minimális, amikor A= X. A négyzetes eltérésösszegek között a számtani átlagé a legkisebb. Ha Y i = BX i +A, i=1,2,...n, akkor Y BX A = +. Az ismérvértékek mindegyikét B számmal megszorozva és/vagy A számmal növelve (csökkentve) az átlag is így változik. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 32

STATISZTIKAI SOROK MENNYISÉGI ISMÉRVBŐL KÉPZETT SOROK AZ ELOSZLÁSOK SZÁMSZERŰ JELLEMZÉSE IDŐSORELEMZÉS GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 33

STATISZTIKAI SOROK MENNYISÉGI ISMÉRVBŐL KÉPZETT SOROK MENNYISÉGI ISMÉRV GYAKORISÁG GYAKORISÁGI SOR ÉRTÉKÖSSZEGSOR GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 34

MENNYISÉGI ISMÉRV TÍPUSOK diszkrét: véges vagy megszámlálhatő számú érték folytonos: intervallumon belül bármilyen érték pl. lakás szobaszáma pl. lakás alapterülete RANGSOR mennyiségi ismérv értékeinek növő sorozata pl. 2,3,4,5,6,7,8,9 személyes autó GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 35

PÉLDA EREDETI ADATOK 36 10 20 23 16 31 24 22 20 18 14 34 40 26 16 17 28 29 21 12 21 22 18 25 31 30 22 19 17 19 23 26 16 17 19 21 33 24 32 11 23 20 22 21 15 23 18 27 17 36 RANGSOR 10 11 12 14 15 16 16 16 17 17 17 17 17 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 24 24 25 26 26 27 28 29 30 31 31 32 33 34 36 36 40 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 36

ISMÉRV OSZTÁLYA (C i ) OSZTÁLYKÖZ GYAKORISÁG (f i ) RELATÍV GYAKORISÁG (g i ) KUMULÁLT GYAKORISÁG (f i ) GYAKORISÁG ismérv értéke vagy értékintervalluma értékintervallumból álló osztály; nyitott, ha nincs alsó vagy felső határa mennyiségi ismérv szerinti osztályba (osztályközbe) hány egyed tartozik gyakoriság / sokaság összlétszáma (megoszlási viszonyszám) az osztályköz felső határánál nem nagyobb ismérvértékek előfordulási száma LEFELÉ KUMULÁLT GYAK. (f i ) az osztályköz alsó határánál nem kisebb ismérvértékek előfordulási száma GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 37

GYAKORISÁGI SOR GYAKORISÁGI SOR mennyiségi ismérv alapján készült csoportosító sor GYAKORISÁGI ELOSZLÁS GYAKORISÁGI MEGOSZLÁS ismérvosztályok egyetlen értékből állnak az ismérvosztályok között van osztályköz is OSZTÁLYKÖZÖK KIALAKÍTÁSA Feltétel: ismérvértékek nem sűrűsödnek egyes részintervallumokon Módszer: osztályközök száma: k = [log N / log 2] (legkisebb egész szám, amelyre 2 k >N) osztályközök hossza: h = (x max - x min ) / k Szélsőségesen egyenlőtlenül eloszló ismérvértékek esete: osztályközhatárok megadásával egyenletesen szétosztjuk az ismérvértékeket GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 38

OSZTÁLYKÖZÖK KIALAKÍTÁSA PÉLDA (folyt.) sokaság létszáma osztályközök száma osztályközök hossza N = 50 2 6 = 64 > 50 > 32 = 2 5 k = 6 x max = 40 x min = 10 h = xmax xmin 40 10 = h 6 = 5 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 39

PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság Rel. gyak Rel. gyak. % f i g i 100 g i 15 5 0.10 10 16 20 16 0.32 32 21 25 15 0.30 30 26 30 6 0.12 12 31 35 5 0.10 10 36 3 0.06 6 Összesen: 50 1.00 100 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 40

PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság f i Kumulált gyakoriság f i Kumulált rel. gyak. % 100 g i 15 5 5 10 16 20 16 21 42 21 25 15 36 72 26 30 6 42 84 31 35 5 47 94 36 3 50 100 Összesen: 50 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 41

PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság f i Lefelé kumulált gyakoriság f i Lefelé kumulált rel. gyak. % 100 g i 15 5 50 100 16 20 16 45 90 21 25 15 29 58 26 30 6 14 28 31 35 5 8 16 36 3 3 6 Összesen: 50 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 42

ÉRTÉKÖSSZEG ÉRTÉKÖSSZEGSOR mennyiségi ismérv alapján egy osztályba tartozó egyedek ismérvértékeinek összege ÉRTÉKÖSSZEGSOR a mennyiségi ismérv szerinti osztályokhoz az osztály értékösszegét rendeljük OSZTÁLYKÖZÉP az osztályköz alsó és felső határának számtani átlaga RELATÍV ÉRTÉKÖSSZEG RELATÍV ÉRTÉKÖSSZEGSOR osztály értékösszege / sokaság teljes értékösszege a relatív értékösszegek hozzárendelése az egyes osztályokhoz GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 43

PÉLDA (folyt.) Osztály Osztályközép X i Értékösszeg S i Rel. értékösszeg % 100 Z i 15 12.5 62.5 5.6 16 20 17.5 280.0 25.0 21 25 22.5 337.5 30.1 26 30 27.5 165.0 14.7 31 35 32.5 162.5 14.5 36 37.5 112.5 10.1 Összesen: 1120.0 100.0 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 44

GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA -I. BOT-ÁBRA diszkrét ismérv értékeire felmérjük a gyakoriságokat 6 4 2 0 1 2 3 4 GYAKORISÁGI HISZTOGRAM osztályközös gyakorisági sor intervallumaira hézagmentesen téglalapok; magasság: az egységnyi intervallumhosszra jutó gyakoriság, f i /h i 6 4 2 0 1 2 3 4 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 45

GYAKORISÁGI SOR GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA-II. SŰRŰSÉG- HISZTOGRAM osztályközös gyak. sor intervallumaira hézagmentesen téglalapok; magasság: az egységnyi intervallumhosszra jutó relatív gyakoriság, g i /h i 0,6 0,4 0,2 0,0 1 2 3 4 GYAKORISÁGI POLIGON osztályközös gyak. sor intervallumain az osztályközepeknél az egységnyi intervallumhosszra jutó gyakoriságot felmérjük, majd összekötjük a pontokat 6 4 2 0 0,0 0,5 1,5 3,0 4,5 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 46

GYAKORISÁGI HISZTOGRAM PÉLDA (folyt.) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36 - GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 47

PÉLDA (folyt.) GYAKORISÁGI POLIGON 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 48

STATISZTIKAI SOROK AZ ELOSZLÁSOK SZÁMSZERŰ JELLEMZÉSE AZ ELOSZLÁSOK MUTATÓSZÁMAI MÓDUSZ MEDIÁN KVANTILISEK SZÓRÓDÁS SZÓRÓDÁSI MUTATÓK A SZÓRÁS TULAJDONSÁGAI EGYMÓDUSZÚ ELOSZLÁSOK ASZIMMETRIÁJA AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI A KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 49

AZ ELOSZLÁSOK MUTATÓSZÁMAI HELYZET- MUTATÓK középértékek (átlag, módusz, medián) kvantilisek (kvartilis, decilis, stb) SZÓRÓDÁSI MUTATÓK szóródás terjedelme átlagos eltérés, átlagos különbség szórás, relatív szórás ASZIMMETRIA- MUTATÓK Pearson-féle mutató F mutató GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 50

MÓDUSZ (Mo) FOGALMA MÓDUSZ a sokaság tipikus értéke; rendszerint különbözik az átlagtól ELOSZLÁS MÓDUSZA a leggyakoribb ismérvérték NYERS MÓDUSZ a gyakorisági poligon maximumhelye TÖBBMÓDUSZÚ ELOSZLÁS MODÁLIS OSZTÁLYKÖZ a gyakorisági poligonnak több maximumhelye is van az osztályköz alsó határánál nem kisebb ismérvértékek előfordulási száma GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 51

PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság 15.0 5 15.1 20.0 16 20.1 25.0 15 25.1 30.0 6 30.1 35.0 5 35.1 3 Összesen: 50 MODÁLIS OSZTÁLYKÖZ: 15.1 20 NYERS MÓDUSZ.: 17.5 MÓDUSZ BECSLÉSE 16 5 5 5 Mo = 15 + 16 5 15 + 5 5 5 16 5 5 = 1958. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 52

MEDIÁN (Me) FOGALMA MEDIÁN a mennyiségi ismérv azon értéke, amelynél ugyanannyi kisebb mint nagyobb érték van GEOMETRIAI JELENTÉS KISZÁMÍTÁS RANGSORBÓL KISZÁMÍTÁS GYAK. SORBÓL MINIMUM- TULAJDONSÁG az x-tengelyre a mediánban állított merőleges felezi a hisztogram területét ha N páratlan, akkor Me a sor középső tagja, ha páros, a két középső tag átlaga Me a legkisebb X i érték, amelynek kumulált gyakorisága f i N/2 Σ X i -A akkor a a legkisebb, ha A = Me GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 53

PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság Kumulált gyakoriság 15.0 5 5 15.1 20.0 16 21 20.1 25.0 15 36 25.1 30.0 6 42 30.1 35.0 5 47 35.1 3 50 Összesen: 50 MEDIÁNT TARTALMAZÓ OSZTÁLYKÖZ: 20.1 25 MEDIÁN BECSLÉSE: 50 21 Me = 20. 0 + 2 5= 21. 33 15 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 54

KVANTILIS (Q q ) FOGALMA TERCILISEK KVANTILISEK 0 < q < 1 esetén a q-adrendű kvantilis az az X i ismérvérték a rangsorban, melyre g i = q Q 1/3 = T 1, Q 2/3 = T 2 KVARTILISEK Q 1/4 = Q 1, Q 1/2 = Q 2 = Me, Q 3/4 = Q 3 DECILISEK Q 1/10 = D 1, Q 2/10 = D 2,... Q 9/10 = D 9 PERCENTILISEK Q 1/100 = P 1, Q 2/100 = P 2,... Q 99/100 = P 99 Q j/k KVANTILIS KISZÁMÍTÁSA j ( f i 1 k N f j / k) N fi i ; Qj/ k = ai + f i 1 h ; a i az i-1. osztályköz vége i GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 55

PÉLDA (folyt.) Osztály Gyakoriság Kumulált gyakoriság 15.0 5 5 15.1 20.0 16 21 20.1 25.0 15 36 25.1 30.0 6 42 30.1 35.0 5 47 35.1 3 50 Összesen: 50 KVARTILISEK 1 5 < 50 = 125. < 21; tehát i = 2, a i = 15; Q 1 15 125. = + 5 5 = 1734. 4 16 3 37. 5 36 36 < 50 = 37. 5 < 42; tehát i = 4, a i = 25; Q 3 = 25 + 5 = 2625. 4 6 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 56

SZÓRÓDÁS SZÓRÓDÁS FOGALMA SZÓRÓDÁS MÉRÉSE MINIMUM- TULAJDONSÁG azonos fajta számszerű adatok (pl. mennyiségi ismérv értékei) különbözősége ismérvértékeknek valamelyik középértéktől (többnyire számtani középtől) való eltérése szóródás hiánya esetén a mérőszám értéke 0, egyébként pozitív Gyakorisági poligon, 3 változó azonos ismérvértékekkel, különböző szóródással 10 5 0 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 57

SZÓRÓDÁSI MUTATÓK SZÓRÓDÁS TERJEDELME: legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége R = Xmax Xmin ÁTLAGOS ELTÉRÉS: számtani átlagtól való eltérések átlaga X δ = i X N SZÓRÁS: számtani átlagtól való eltérések négyzetes átlaga ( X) Xi σ = N ÁTLAGOS KÜLÖNBSÉG: ismérvértékek páronkénti eltéréseinek átlaga Xi X j G = 2 N RELATÍV SZÓRÁS: relatív eltérések négyzetes átlaga V σ 1 = = X N X i 2 X X 2 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 58

PÉLDA (folyt.) ÁTLAG X = 22.4 SZÓRÓDÁS TERJEDELME: legnagyobb és legkisebb ismérvérték különbsége R = 40 10 = 30 ÁTLAGOS ELTÉRÉS: számtani átlagtól való eltérések átlaga δ = 5.26 SZÓRÁS: számtani átlagtól való eltérések négyzetes átlaga σ = 6.67 ÁTLAGOS KÜLÖNBSÉG: ismérvértékek páronkénti eltéréseinek átlaga G = 7.26 RELATÍV SZÓRÁS: relatív eltérések négyzetes átlaga V = 6.67 / 22.4 = 0.298 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 59

A SZÓRÁS TULAJDONSÁGAI Kiszámítás súlyozással: σ = ( ) f X X i i f i 2 ( ) = g X X i i 2 Az ismérvértékekhez ugyanazt a számot hozzáadva a szórás értéke változatlan: σ σ X+ A = X Az ismérvértékeket egy közös számmal szorozva a szórás a szám abszolút értékével szorzódik: σ = Bσ A szórás kiszámítható a négyzetes és a számtani átlagból: σ = BX X X 2 q X 2 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 60

EGYMÓDUSZÚ ELOSZLÁSOK ASZIMMETRIÁJA Szimmetrikus eloszlás: Mo = Me = X Bal oldali aszimmetria: Mo < Me < X Jobb oldali aszimmetria: X < Me < Mo Módusz: a csúcsnál Medián: görbe alatti területet felezi Számtani átlag: nagyon kicsi vagy nagyon nagy értékek elhúzzák a mediántól GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 61

PÉLDA (folyt.) 20 15 10 5 0 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 egymóduszú eloszlás módusz: 19.58 medián: 21.33 számtani átlag: 22.40 az eloszlás bal oldali aszimmetriát mutat GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 62

AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI - I. PEARSON-FÉLE MUTATÓSZÁM (A): A X = Mo σ Csak egymóduszú eloszlás esetén használható. bal oldali aszimmetria: A > 0 szimmetria: A = 0. jobb oldali aszimmetria: A < 0 erős aszimmetria: A > 1 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 63

AZ ASZIMMETRIA MÉRŐSZÁMAI - II. F MUTATÓSZÁM (F): F = 0 < p < 1/2, leggyakrabban p = 1/4 ( Q1 p Me) ( Me Qp) ( Q1 p Me) + ( Me Qp) Egymóduszú és többmóduszú eloszlás esetén is használható. F 1 egymóduszú eloszlás esetén: bal oldali aszimmetria: F > 0 szimmetria: F = 0. jobb oldali aszimmetria: F < 0 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 64

PEARSON-FÉLE MUTATÓSZÁM PÉLDA (folyt.) A = 22. 4 1958. 667. A > 0 bal oldali aszimmetria 0 < A <1 az aszimmetria gyenge = 0423. F MUTATÓSZÁM a kvartiliseket használjuk F = ( 26.25 21.33) ( 21.33 17.34) ( 26.25 21.33) + ( 21.33 17.34) = 0.104 F > 0 bal oldali aszimmetria F kicsi az aszimmetria gyenge GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 65

KONCENTRÁCIÓ MÉRÉS A KONCENTRÁCIÓ ELEMZÉSE a sokaság értékösszegének összpontosulása kis számú egységre relatív gyakoriság (g i ) és relatív értékösszeg (Z i ) összehasonlítása LORENZ-GÖRBE KONCENTRÁCIÓS TERÜLET kumulatív relatív gyakoriságok függvényében a kumulatív értékösszegek a Lorenz-görbe és a 45 fokos egyenes által bezárt terület KONCENTRÁCIÓS EGYÜTTHATÓ koncentrációs terület aránya a téglalapban; képlettel: K = G / 2X GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 66

PÉLDA (folyt.) Osztály KONCENTRÁCIÓS EGYÜTTHATÓ Kumulált rel. gyak. % 100 g i Kum. rel. értékösszeg %, 100 Z i 15.0 10.0 5.6 15.1 20.0 42.0 30.6 20.1 25.0 72.0 60.7 25.1 30.0 84.0 75.4 30.1 35.0 94.0 89.9 35.1 100.0 100.0 K = 726. 2 224. = 0. 16 kicsi a koncentráció az értéksor nem koncentrálódik kiemelt osztályokra GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 67

STATISZTIKAI SOROK IDŐSORELEMZÉS IDŐSORELEMZÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMMAL IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 68

IDŐSORELEMZÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMMAL Y 1, Y 2,...Y n állapot- vagy tartamidősor BÁZISVISZONYSZÁMOK (b t ) b t = Y t / Y b, t = 1,2,...n a viszonyítás alapja egy rögzített bázisidőszak adata LÁNCVISZONYSZÁMOK (l t ) l t = Y t / Y t-1, t = 1,2,...n a viszonyítás alapja az előző időpont vagy időszak adata ÖSSZEFÜGGÉS A BÁZIS- ÉS LÁNCVISZONYSZÁMOK KÖZÖTT l t = b t / b t-1, t = 1,2,...n b t = l 2 l 3... l k, k = 2,3,...n BÁZISVISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA ÚJ BÁZISIDŐRE ÁTTÉRÉSKOR ' " b = Y / Y b = Y / Y t t b' " t b = b ' t t t b" ' / bb" GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 69

PÉLDA ÉV ÉRTÉK BÁZISVSZ. LÁNCVSZ. 1980=100% 1980 145.3 100.0 1981 160.1 110.2 110.2 1982 175.7 120.9 109.7 1983 197.1 135.6 112.2 1984 219.7 160.0 111.3 1985 244.1 168.0 111.3 1986 274.9 189.2 112.6 1986. évi bázisviszonyszám: 274.9/145.3 = 1.892 bázis- és láncviszonyszámok összefüggése: 1.892 = 1.102 1.097 1.122 1.113 1.113 1.126 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 70

IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL - I. Y 1, Y 2,...Y n állapot- vagy tartamidősor TARTAMIDŐSOR ELEMZÉSE SZÁMTANI ÁTLAGGAL Y = Y1 + Y2 +... + Y n n ÁLLAPOTIDŐSOR ELEMZÉSE KRONOLÓGIKUS ÁTLAGGAL Y k 1 Y1 + Y2 Y2 + Y3 Yn 1 + Y = + +... + n 1 2 2 2 1 Y1 Yn = + Y2 + Y3+... + Yn 1 + n 1 2 2 n = GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 71

PÉLDA HÓNAP FORGALOM HÓVÉGI ÉRTÉK Június 18.8 Július 35.8 19.6 Augusztus 35.2 20.2 Szeptember 34.3 19.8 Október 33.5 21.1 November 32.4 20.3 December 35.8 19.2 HAVI ÁTLAGOS FORGALOM A MÁSODIK FÉLÉVBEN Y = 35. 8 + 35. 2 + 34. 3 + 33. 5 + 32. 4 + 35. 8 6 = 34. 5 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 72

PÉLDA (folyt.) HÓNAP FORGALOM HÓVÉGI ÉRTÉK Június 18.8 Július 35.8 19.6 Augusztus 35.2 20.2 Szeptember 34.3 19.8 Október 33.5 21.1 November 32.4 20.3 December 35.8 19.2 ÁTLAGOS HÓVÉGI ÉRTÉK A MÁSODIK FÉLÉVBEN Y k = 188. 2 + 196+ 202+ 198+ 211+ 20 3 + 192...... 2 6 = 20. 0 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 73

IDŐSORELEMZÉS ÁTLAGOKKAL - II. FEJLŐDÉS ÁTLAGOS MÉRTÉKE d = Y Y + Y Y +... + Yn Yn Yn Y = n 1 n 1 2 1 3 2 1 1 akkor használható, ha a változás mértéke keveset ingadozik (az idősor nagyjából számtani sorozat) FEJLŐDÉS ÁTLAGOS ÜTEME l = n 1l l... l = n 1b = 2 3 n n n 1 Y Y n 1 akkor használható, ha a változás üteme keveset ingadozik (az idősor nagyjából mértani sorozat) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 74

PÉLDA ÉV ADAT 1985 10560 1993 10278 FEJLŐDÉS ÁTLAGOS MÉRTÉKE d = 10278 10560 8 = 35. 25 FEJLŐDÉS ÁTLAGOS ÜTEME 10278 l = = 10560 8. 09966 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 75

STATISZTIKAI TÁBLÁK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE EGYSZERŰ TÁBLÁK ELEMZÉSE CSOPORTOSÍTÓ TÁBLÁK ELEMZÉSE KOMBINÁCIÓS TÁBLÁK ELEMZÉSE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 76

STATISZTIKAI TÁBLÁK STATISZTIKAI TÁBLÁK ÁLTALÁNOS JELLEMZÉSE STATISZTIKAI TÁBLA FOGALMA ÉS FELÉPÍTÉSE STATISZTIKAI TÁBLÁK TÍPUSAI GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 77

STATISZTIKAI TÁBLÁK FOGALMA ÉS FELÉPÍTÉSE STATISZTIKAI TÁBLA statisztikai sorok rendszere rovatokból álló táblázatban elhelyezve FEJROVATOK oszlopok megnevezései OLDALROVATOK sorok megnevezései ÖSSZESEN ROVATOK DIMENZIÓSZÁM sorösszegek, oszlopösszegek, táblázat teljes összege a tábla egy-egy adata hány statisztikai sorhoz tartozik ( lá i i á ) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 78

STATISZTIKAI TÁBLÁK TÍPUSAI EGYSZERŰ TÁBLA leíró és/vagy (térbeli, időbeli) összehasonlító statisztikai sorokat tartalmaz, csoportosítás nélkül CSOPORTOSÍTÓ TÁBLA az egyik ismérv szerint csoportosítás összesen rovattal, a másik szerint leírás vagy összehasonlítás KOMBINÁCIÓS TÁBLA 2 2 2 mindegyik f 1 Y 1 + f 2 Y 2 ismérv +...+ f k szerint Y k csoportosítás 2 összesen 2 2 rovatokkal és a táblának = g is 1 Y van 1 + főösszege g 2 Y 2 +...+ g k Y k N GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 79

STATISZTIKAI TÁBLÁK EGYSZERŰ TÁBLÁK ELEMZÉSE EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE VISZONYSZÁMMAL IDŐSOROS EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 80

EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE VISZONYSZÁMMAL SŰRŰSÉGMUTATÓ ELLÁTOTTSÁGI MUTATÓ ARÁNYSZÁM ÁTLAGJELLEGŰ MUTATÓ NYERS INTENZ. VISZONYSZÁM TISZTÍTOTT INT. VISZONYSZÁM sokaság létszáma egységnyi területen sokaság létszáma adott számú lakosra népességstatisztikai arány sokaság egységére jutó erőforrás viszonyítandó adat / teljes viszonyítási alap viszonyítandó adat / hozzá kapcsolódó viszonyítási alap pl. népsűrűség pl. orvosok 1000 lakosra pl. születési arány pl. GDP / fő pl. születésszám / teljes népesség pl. születésszám / szülőképes nők GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 81

IDŐSOROS EGYSZERŰ TÁBLA ELEMZÉSE 1. idő 2. idő... m. idő 1. adat 2. adat... n. adat MENNYISÉGI JELLEMZÉS: közös bázisra vonatkozó bázisviszonyszámokkal SZEMLÉLTETÉS: közös koordinátarendszerben felrajzolt vonaldiagramokkal 110 100 90 1. idő 2. idő 3. idő 4. idő 5. idő 6. idő GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 82

STATISZTIKAI TÁBLÁK CSOPORTOSÍTÓ TÁBLÁK ELEMZÉSE RÉSZ- ÉS ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK SZERKEZET ÉS IDŐBELI VÁLTOZÁS VIZSGÁLATA GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 83

RÉSZ- ÉS ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ISMÉRVÉRTÉKEK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK M RÉSZSOKASÁGRA A i, B i, V i = A i / B i, i = 1, 2,...M ÖSSZETETT VISZONYSZÁM: teljes sokaságra vonatkozik Aj V B = ÖSSZETETT VISZONYSZÁM SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁJA BV j j V B = ÖSSZETETT VISZONYSZÁM HARMONIKUS ÁTLAG FORMÁJA Aj V = Aj V j j j GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 84

PÉLDA ALAPADATOK CSOPORT A ADAT B ADAT I. 1995.7 810 II. 4561.9 1692 III. 719.4 1453 ÖSSZESEN 10277.0 3955 MEGOSZLÁSI ÉS INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK CSOPORT (A j / ΣA j ) 100 (B j / ΣB j ) 100 (A j / B j ) 100 I. 19.42 20.48 246 II. 44.39 42.78 270 III. 36.19 36.74 256 ÖSSZESEN 100.00 100.00 260 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 85

PÉLDA (folyt.) ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA KÖZVETLENÜL 10277 V = = 395 260 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA SZÁMTANI ÁTLAG FORMA B ADATTAL SÚLYOZVA V = 810 246+ 1692 270 + 1453 256 = 3955 260 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA SZÁMTANI ÁTLAG FORMA B ADAT MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁMAIVAL SÚLYOZVA V = 20. 48 246 + 42. 78 270 + 36. 74 256 100 = 260 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 86

PÉLDA (folyt.) ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA HARMONIKUS ÁTLAG FORMA A ADATTAL SÚLYOZVA V = 10277. 0 1995. 7 4561. 9 3719. 4 + + 246 270 256 = 260 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁM KISZÁMÍTÁSA HARMONIKUS ÁTLAG FORMA A ADAT MEGOSZLÁSI VISZONYSZÁMAIVAL SÚLYOZVA V = 100 19. 42 44. 39 36. 19 + + 246 270 256 = 260 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 87

SZERKEZET ÉS IDŐBELI VÁLTOZÁS VIZSGÁLATA A i, i = 1, 2,...M részsokaságok adatai a tárgyidőszakban B i, i = 1, 2,...M részsokaságok adatai a bázisidőszakban V i = A i / B i, i = 1, 2,...M részsokaságok dinamikus viszonyszámai V = A B j j az összetett dinamikus viszonyszám Ha V i < V, akkor A B i i Aj < B, rendezve i AA j j < B i B j vagyis a részsokaság dinamikus viszonyszáma akkor és csak akkor kisebb a teljes sokaság dinamikus viszonyszámánál, ha csökken a részsokaság aránya a teljes sokaságon belül. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 88

PÉLDA ALAPADATOK, MEGOSZLÁSI ÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMOK CSOPORT 0. ÉV A0 100 A 1. ÉV A1 100 0 A A1 100 1 A0 I. 2059.3 19.23 1995.7 19.42 96.9 II. 4551.3 42.50 4561.9 44.39 100.2 III. 4098.9 38.27 719.4 36.19 90.7 ÖSSZESEN 10709.5 100.00 10277.0 100.00 96.0 SZERKEZETI VÁLTOZÁS az összetett dinamikus viszonyszámhoz képest: az I. és II. csoport dinamikus viszonyszáma nagyobb a III. csoporté kisebb ezzel együtt az I. és II. részviszonyszám nő, a III. csökken GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 89

STATISZTIKAI TÁBLÁK KOMBINÁCIÓS TÁBLÁK ELEMZÉSE ISMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK TÍPUSAI KOMBINÁCIÓS (KONTINGENCIA) TÁBLA AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE VEGYES KAPCSOLAT ELEMZÉSE ÁTLAGOKKAL AZ ELTÉRÉS FELBONTÁSA A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA VEGYES KAPCSOLAT SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE KORRELÁCIÓS TÁBLA ELEMZÉSE A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 90

ISMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK TÍPUSAI FÜGGETLENSÉG FÜGGVÉNYSZERŰ KAPCSOLAT SZTOCHASZTIKUS KAPCSOLAT ASSZOCIÁCIÓS KAPCSOLAT VEGYES KAPCSOLAT KORRELÁCIÓS KAPCSOLAT az egyik ismérv értéke semmilyen információt nem hordoz a másikéról az egyik ismérv értéke egyértelműen meghatározza a másikét az egyik ismérv értékéből a másik ismérv értékeinek csak az eloszlása adódik az egyik ismérv névleges, a másik névleges vagy sorrendi az egyik ismérv névleges vagy sorrendi, a másik mennyiségi Mmindkét ismérv mennyiségi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 91

KOMBINÁCIÓS (KONTINGENCIA) TÁBLA A. ismérv 1. A. ismérv 2.... A. ismérv t. ÖSSZESEN B. ismérv 1. f 11 f 12... f 1M f 1 B. ismérv 2. f 21 f 22... f 2M f 2.................. B. ismérv s. f s1 f s2... f st f s ÖSSZESEN f 1 f 2... f t f JELÖLÉSEK f ij, i = 1, 2,... n; j = 1, 2,...m : együttes gyakoriságok f i, i = 1, 2,...n : peremgyakoriságok (sorösszegek) f j, j = 1, 2,...m : peremgyakoriságok (oszlopösszegek) f i f j f = N : a táblázat teljes összege (a sokaság létszáma) * f ij = f i f j N FÜGGETLENSÉG FELTÉTELE f ij = f ij * GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 92

GYAKORISÁGOK PÉLDA CSOPORT D 1 D 2 D 3 D 4 ÖSSZESEN E 1 28 12 66 22 128 E 2 85 20 128 42 275 E 3 84 13 77 16 190 ÖSSZESEN 197 45 271 80 593 RELATÍV GYAKORISÁGOK (%) CSOPORT D 1 D 2 D 3 D 4 ÖSSZESEN E 1 4.72 2.03 11.13 3.71 21.59 E 2 14.33 3.37 21.59 7.08 46.37 E 3 14.17 2.19 12.98 2.70 32.04 ÖSSZESEN 33.22 7.59 45.70 13.49 100.00 FÜGGETLENSÉG nem teljesül: 0.3322 0.2159 0.0472 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 93

AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - I. YULE-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ mindkét ismérv alternatív Y = f f f f 11 22 12 21 f f + f f 11 22 12 21 TULAJDONSÁGOK 1 Y 1 függetlenség esetén Y = 0 (fordítva nem igaz!) függvényszerű kapcsolat esetén Y = 1 (fordítva nem igaz!) sztochasztikus kapcsolat esetén 0 < Y < 1 Y > 0 ha f 11 f 22 > f 21 f 21 vagyis az azonos indexek jobban vonzzák egymást GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 94

PÉLDA GYAKORISÁGOK CSOPORT D 1 D 2 ÖSSZESEN E 1 25835 23599 49434 E 2 24315 29353 53668 ÖSSZESEN 50150 52952 103102 YULE-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ Y = 25835 29353 23599 24315 25835 29353 + 23599 24315 = 0. 139 laza kapcsolat az ismérvek között; az egyenlő indexek kissé vonzzák egymást GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 95

AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - II. KHI-NÉGYZET χ 2 = s t i= 1 j= 1 ( f f ) ij ij f ij 2 TULAJDONSÁGOK 2 0 χ N min s 1, t 1 ( ) χ 2 = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független χ 2 = N (s 1) akkor és csak akkor, ha a két ismérv függvénykapcsolatban áll, ekkor s = t GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 96

PÉLDA GYAKORISÁGOK (f ij ) CSOPORT D 1 D 2 D 3 D 4 ÖSSZESEN E 1 28 12 66 22 128 E 2 85 20 128 42 275 E 3 84 13 77 16 190 ÖSSZESEN 197 45 271 80 593 FÜGGETLENSÉG FELTÉTELEZÉSÉVEL KAPOTT GYAKORISÁGOK (f ij * ) CSOPORT D 1 D 2 D 3 D 4 ÖSSZESEN E 1 42.52 9.71 58.50 17.27 128.00 E 2 91.36 20.87 125.67 37.10 275.00 E 3 63.12 14.42 86.83 25.63 190.00 ÖSSZESEN 197.00 45.00 271.00 80.00 593.00 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 97

PÉLDA (folyt.) KHI-NÉGYZET χ 2 = s t i= 1 j= 1 ( f f ) ij ij f ij 2 = 20. 71 ELEMZÉS s =3, t = 4 χ ( 1,4 1) = 593 ( 3 1) 1186 2 max = 593 min3 = χ 2 értéke gyenge függőségre utal GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 98

AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - III. CSUPROV-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ T = N χ 2 ( s 1)( t 1) TULAJDONSÁGOK 0 T s 1 min, t 1 4 4 t 1 s 1 T = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független T = 1 akkor és csak akkor, ha s = t és a két ismérv között függvénykapcsolat áll fenn GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 99

PÉLDA (folyt.) CSUPROV-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ T = N χ 2 = 20.71 ( s 1)( t 1) 593 ( 3 1)( 4 1) = 0.119 ELEMZÉS 2 T max = 4 = 0902. 3 a Csuprov-együttható gyenge sztochasztikus kapcsolatot mutat GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 100

AZ ASSZOCIÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - IV. CRAMER-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ Khi-négyzetből: Csuprov-együtthatóból: C = χ 2 N min s 1, t 1 C T = T ( ) max TULAJDONSÁGOK 0 C 1 ha s = t, akkor C = T C = 0 akkor és csak akkor, ha a két ismérv független C = 1 akkor és csak akkor, ha a két ismérv között függvénykapcsolat áll fenn GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 101

PÉLDA (folyt.) CRAMER-FÉLE ASSZOCIÁCIÓS EGYÜTTHATÓ C = χ 2 N min s 1 t 1 = 20. 71 (, ) 593 min( 3 1, 4 1) = 0. 132 ELEMZÉS C max = 1 a Cramer-együttható gyenge sztochasztikus kapcsolatot mutat GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 102

VEGYES KAPCSOLAT ELEMZÉSE ÁTLAGOKKAL VEGYES KAPCSOLAT olyan sztochasztikus kapcsolat, ahol a független változó (az ok) minőségi vagy területi ismérv, a függő változó (az okozat) mennyiségi ismérv RÉSZÁTLAG: X j : a j. minőségi ismérvértékhez tartozó átlag FŐÁTLAG: X : a teljes sokaságra vonatkozó átlag X j = N j i=1 N X j ij = S N j j X = M N j j= 1 i= 1 N X ij = M j= 1 N N j X j = M j= 1 N S j Ha az ismérvek függetlenek, a részátlag megegyezik a főátlaggal (fordítva nem igaz), illetve f ij /N j rögzített i mellett független j-től. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 103

AZ ELTÉRÉS FELBONTÁSA TELJES ELTÉRÉS d = X X i = 1,2,...N j, j = 1,2,...M ij ij BELSŐ ELTÉRÉS Bij = Xij X j i = 1,2,...N j, j = 1,2,...M KÜLSŐ ELTÉRÉS K = X X j = 1,2,...M j j ÖSSZEFÜGGÉS AZ ELTÉRÉSEK KÖZÖTT d ij = B ij + K j ÉRTELMEZÉS az ismérvértékeknek a teljes sokaság átlagától való eltérése két részből áll: B ij a minőségi ismérv alapján képzett osztályon belüli eltérés K j az osztályátlag eltérése a teljes sokaság átlagától, ennek oka a csoportosító minőségi ismérv hatása a vizsgált mennyiségi ismérvre GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 104

PÉLDA EREDETI ADATOK, RÉSZÁTLAGOK, FŐÁTLAG CSOPORT N j X j X j I. 4 1620 405.0 II. 40 1687 42.2 III. 6 3565 594.2 IV. 10 1627 162.7 ÖSSZESEN 60 8499 141.7 ELEMZÉS a részátlagok egymástól és a főátlagtól is erősen eltérnek tehát a két ismérv között sztochasztikus kapcsolat áll fenn GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 105

A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - I. TELJES SZÓRÁS σ= M j= 1 N j i= 1 ( ) X X N ij 2 RÉSZSOKASÁGON BELÜLI SZÓRÁS N j ( X X ) ij j i= 1 σ j = N j 2 j = 1,2,...M BELSŐ SZÓRÁS M N j ( X X ) ij j j= 1 i= 1 σ B = N 2 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 106

KÜLSŐ SZÓRÁS A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - II. j j j = 1 σ K = ( ) M N X X N 2 ÖSSZEFÜGGÉS σ 2 = σ B 2 + σ K 2 ÉRTELMEZÉS az ismérvértékeknek a teljes sokaságon vett szórásnégyzete két részből áll: σ B 2 a minőségi ismérv alapján képzett osztályon belüli szórásnégyzet σ K 2 az osztályátlag szórásnégyzete a teljes sokaság átlaga körül, ennek eredete a csoportosító minőségi ismérv hatása a vizsgált mennyiségi ismérvre GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 107

A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA - III. Ha X 1 = X 2 =... = X M, vagyis σ 2 k = 0, σ 2 2 =σ B : még ebből sem következik az ismérvek függetlensége. Ha X ij = X, i = 1, 2,... N j, j = 1, 2,...M, vagyis σ 2 B = 0, σ 2 =σ 2 K : j függvénykapcsolat áll fenn az ismérvek között, független változó a minőségi ismérv, vagyis a minőségi ismérv egyértelműen meghatározza a mennyiségit; ennek az állításnak a megfordítása is igaz. Ha 0 < σ K 2 < σ 2 : sztochasztikus kapcsolat van a két változó között GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 108

PÉLDA (folyt.) EREDETI ADATOK, RÉSZÁTLAGOK, FŐÁTLAG, ELTÉRÉS-NÉGYZETEK, CSOPORTONKÉNTI SZÓRÁSOK, TELJES SZÓRÁS CSOPORT N j X j X j ( Xij X j ) I. 4 1620 405.0 76500 138.3 II. 40 1687 42.2 124204 55.7 III. 6 3565 594.2 1276521 461.3 IV. 10 1627 162.7 69700 83.5 ÖSSZESEN 60 8499 141.7 X N j i= 1 2 σ j 1546925 239.9 Nσ 2 σ B GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 109

A SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA PÉLDA (folyt.) 2 76500 + 124204 + 1276521+ 69700 σ B = 60 1546925 = = 60 25782 (.. ) (.. ) (.. ) (.. ) 2 4 405 0 141 7 40 422 141 7 6 594 2 141 7 10 162 7 141 7 σ K = + + + 60 1906265 = = 60 31771 σ 2 = 25782 + 31771 = 57553 tehát sztochasztikus kapcsolat van a változók között GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 110

VEGYES KAPCSOLAT SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE SZÓRÁSNÉGYZET-HÁNYADOS 2 2 σ K σ H = = 1 2 σ σ TULAJDONSÁGOK 2 0 H 1 H 2 = 0 akkor és csak akkor, ha σ 2 K = 0: nincs kapcsolat az ismérvek között H 2 = 1: függvényszerû kapcsolat van az ismérvek között 0 < H 2 < 1: sztochasztikus kapcsolat van az ismérvek között SZÓRÁSHÁNYADOS H = σ K σ Ez a kapcsolat szorosságának mérőszáma. 2 B 2 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 111

SZÓRÁSNÉGYZET-HÁNYADOS PÉLDA (folyt.) H 2 31771 = = 57553 1 25782 = 0. 552 57553 a csoportosító ismérv 55.2 százalékban magyarázza meg a másik ismérv értékeinek szóródását a fennmaradó 44.8 százalék egyéb (véletlen) tényezőknek tulajdonítható SZÓRÁSHÁNYADOS H = 0. 552 = 0. 743 a szóráshányados viszonylag közel van 1-hez, ami eléggé szoros kapcsolatot jelez a két ismérv értékei között GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 112

KORRELÁCIÓS TÁBLA ELEMZÉSE KORRELÁCIÓS TÁBLA két mennyiségi ismérv szerinti kombinatív osztályozás TAPASZTALATI REGRESSZIÓFÜGGVÉNY X ismérv i oszlopához Y ismérv Y i részátlagát rendeljük KÜLÖNBSÉG AZ ELMÉLETI REGRESSZIÓFÜGGVÉNYTŐL a tapasztalati regressziófüggvény nem képletszerűen adott, és csak hozzávetőlegesen közelíti az elméletit ÁBRÁZOLÁS egyedi adatok pontdiagramon, tapasztalati regresszió vonaldiagramon POZITÍV KORRELÁCIÓ X ismérv nagyobb értékéhez Y ismérv nagyobb értéke tartozik GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 113

A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - I. SZÓRÁSNÉGYZET FELBONTÁSA X ismérv szerinti csoportosítás alapján Y ismérv szerinti szórás 2 2 2 σ( Y) = σb( Y) + σ K( Y) DETERMINÁCIÓS HÁNYADOS 2 H YX ( ) = σ 2 KY 2 ( ) σ ( Y ) azt írja le, hogy az Y ismérv szórásnégyzetének mekkora hányadát magyarázza meg az X ismérv; megegyezik a vegyes kapcsolatot jellemző szórásnégyzet-hányadossal GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 114

A KORRELÁCIÓ SZOROSSÁGÁNAK MÉRÉSE - II. KORRELÁCIÓS HÁNYADOS 2 σ KY ( ) 2 H H ( ) = = YX 2 ( YX ) σ ( Y ) ez a kapcsolat szorosságának mérőszáma; megegyezik a vegyes kapcsolatot jellemző szóráshányadossal TULAJDONSÁGOK 0 H (Y X) 1 H (Y X) = H (X Y) ha legalább egyikük 1: függvényszerű kapcsolat van X és Y ismérvek között H (Y X) = H (X Y) ha legalább egyikük 0: ez következik X és Y függetlenségéből, de fordítva nem igaz 0 < H (Y X) < 1 sztochasztikus kapcsolat van a két ismérv között GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 115

PÉLDA GYAKORISÁGOK ÉS CSOPORTÁTLAGOK ISMÉRV ÉRTÉKEK D E 1 2 3 4 5 6 7 ÖSSZESEN CSOPORT ÁTLAG 1 1 2 1 1 0 0 0 5 2.40 2 1 2 1 7 1 1 0 22 3.36 3 0 1 2 7 2 4 1 17 4.53 4 0 0 0 0 3 2 1 6 5.67 ÖSSZESEN 2 5 13 15 6 7 2 50 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 116

PÉLDA (folyt.) TAPASZTALATI REGRESSZIÓFÜGGVÉNY ISMÉRV ÉRTÉKEK CSOPORT ÁTLAG 1 2.40 2 3.36 3 4.53 4 5.67 ELEMZÉS főátlag: Y = 394. külső szőrásnégyzet: 2 σ KY ( ) = 08627. teljes szórásnégyzet: 2 σ ( Y ) = 20564. determináciős hányados: H ( YX ) = 0. 8627 / 2. 0564 = 0. 4195 X ismérv kb. 42 százalékot magyaráz meg Y ismérv szóródásából; a fennmaradó 58 százalék egyéb véletlen hatásoknak tulajdonítható GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 117

ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉRTÉK-, ÁR- ÉS VOLUMENINDEXEK GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 118

ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK INDEXÉNEK FELBONTÁSA GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 119

ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA - I. TELJES SOKASÁG CSOPORTOSÍTÁSA heterogén sokaságot homogén részsokaságokra kell bontani 1, 2,...M indexű részsokaságok ALAPADATOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA két mennyiségi ismérv (A és B) két különböző (0 és 1 indexű) terület vagy időszak ismérvértékek: A 10, A 20,... A M0 illetve A 11, A 21,... A M1 B 10, B 20,... B M0 illetve B 11, B 21,... B M1 RÉSZVISZONYSZÁM, V i homogén részsokaságra számított viszonyszám V j0 = A j0 / B j0, V j1 = A j1 / B j1, j = 1, 2,...M GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 120

GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 121 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK ÉS RÉSZVISZONYSZÁMOK KAPCSOLATA - II. ÖSSZETETT VISZONYSZÁM, V teljes sokaságra számított viszonyszám, súlyozott átlagként is megadható = = = = = = M j j M j j j M j j M j j B V B B A V 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 = = = = = = M j j M j j j M j j M j j B V B B A V 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ÖSSZETETT VISZONYSZÁM FÜGGÉSE az összetett viszonyszám függ a részviszonyszámoktól és a sokaság összetételétől STANDARDIZÁLÁS az összetétel és a részviszonyszámok hatásának szétválasztása; térbeli adatoknál különbségfelbontás, időbeli adatoknál hányadosfelbontás

ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA RÉSZHATÁS-KÜLÖNBSÉG K = M j= 1 ( ) B V V j0 j1 j0 M B i0 i= 1 i= 1 M B j0 = M j= 1 B ÖSSZETÉTELHATÁS-KÜLÖNBSÉG M M Bj1Vj1 Bj0Vj1 j= 1 j= 1 M B j1 K = = M M = M j 1 Bi1 Bi0 Bi1 i= 1 i0 ( Vj1 Vj0 ) M B i= 1 i= 1 i= 1 FELBONTÁS V1 V0 = K + K vagyis az összetett viszonyszám-különbséget felbontottuk a csoportok változásainak és a csoportmegoszlás változásának összegére. j0 B i0 V j1 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 122

PÉLDA ALAPADATOK ÉS INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK CSOPORT A 0 B 0 A 1 B 1 I. 25.20 1.8 9.46 1.1 II. 1.90 3.8 0.88 2.2 III. 11.20 8.0 7.28 5.6 IV. 26.40 4.0 24.70 3.8 V. 124.80 2.4 117.99 2.3 ÖSSZESEN 189.50 20.0 160.31 15.0 CSOPORT V 0 V 1 V 1 V 0 I. 14.0 8.6 5.4 II. 0.5 0.4 0.1 III. 1.4 1.3 0.1 IV. 6.6 6.5 0.1 V. 52.0 51.3 0.7 ÖSSZESEN 9.5 10.7 1.2 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 123

PÉLDA (folyt.) RÉSZHATÁSKÜLÖNBSÉG standard súly: B 1 K = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11. 54. + 22. 01. + 56. 01. + 38. 01. + 23. 07. 15. 0 = 058. ÖSSZETÉTELHATÁS-KÜLÖNBSÉG standard súly: V 0 K = 11. 140. + 22. 05. + 56. 14. + 38. 66. + 23. 520. 15. 0 95. = 18. ÖSSZETETT VISZONYSZÁM KÜLÖNBSÉGÉNEK FELBONTÁSA K = V1 V0 = K + K = 06. + 18. = 12. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 124

GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 125 ÖSSZETETT INTENZITÁSI VISZONYSZÁMOK INDEXÉNEK FELBONTÁSA RÉSZHATÁS-INDEX ( ) ( ) [ ] = = = = = = M j j j j M j j M j j j M j j j j j V V A A V B V V V B I 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 ÖSSZETÉTELHATÁS-INDEX 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 j M j M j M i i j j M i i j M j j M j j j M j j M j j j V B B V B B B V B B V B I = = = = = = = = = = FELBONTÁS: V V I I 1 0 / = vagyis az összetett viszonyszám-indexet felbontottuk acsoportok változásainak és a csoportmegoszlás változásának szorzatára

PÉLDA ALAPADATOK, INTENZITÁSI ÉS DINAMIKUS VISZONYSZÁMOK CSOPORT A 0 B 0 A 1 B 1 I. 640 160 774 180 II. 1440 480 1408 440 ÖSSZESEN 2080 640 2182 620 CSOPORT V 0 V 1 V 1 /V 0 I. 4.00 4.30 1.075 II. 3.00 5.20 1.067 ÖSSZESEN 3.25 3.52 1.083 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 126

PÉLDA (folyt.) RÉSZHATÁSINDEX standard súly: A 1 I = 2182 774 1408 + 1075. 1067. = 107. ÖSSZETÉTELHATÁS-INDEX standard súly: V 0 I = 180 4 + 440 3 160 4 + 480 3 620 640 = 1012. ÖSSZETETT VISZONYSZÁM INDEXÉNEK FELBONTÁSA I = V1 / V0 = I I = 1. 07 1. 012 = 1. 083 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám: 127

ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK ÉRTÉK-, ÁR- ÉS VOLUMENINDEXEK ÉRTÉKEN ALAPULÓ INDEXEK EGYEDI INDEXEK AZ INDEXEK AGGREGÁT FORMÁI AZ INDEXEK SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁI AZ INDEXEK HARMONIKUS ÁTLAG FORMÁI ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ AGGREGÁTUMOK KÖZÖTT CSOPORTOSÍTOTT SOKASÁGRA VONATKOZÓ INDEXEK ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT TERÜLETI INDEXEK GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:128

ÉRTÉKEN ALAPULÓ INDEXEK INDEXSZÁM közvetlenül nem összesíthető, de összetartozó adatok átlagos változását leíró intenzitási viszonyszám AGGREGÁLÁS értékben való összesítés AGGREGÁTUM összesített értékadat ÉRTÉKEN ALAPULÓ INDEXEK aggregátum-formát használó viszonyszámok értékindex árindex volumenindex GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:129

JELÖLÉSEK 0. időszak: bázisidőszak 1. időszak: tárgyidőszak q: mennyiség p: egységár EGYEDI INDEXEK ÉRTÉKINDEX ÁRINDEX VOLUMENINDEX i q p v = 1 1 q p 0 0 p i p = 1 p0 q iq = 1 q0 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:130

PÉLDA ALAPADATOK CSOPORT q 0 q 1 p 0 p 1 q 0 p 0 q 1 p 1 q 0 p 1 q 1 p 0 I. 43 39 43.9 49.9 1.8877 1.9461 2.1457 1.7121 II. 32 29 47.9 52.9 1.5328 1.5341 1.6928 1.3891 III. 40 37 55.9 62.9 2.2360 2.3273 2.5160 2.0683 IV. 21 16 59.9 74.9 1.2579 1.1984 1.5729 0.9584 ÖSSZESEN 6.9144 7.0059 7.9274 6.1279 EGYEDI INDEXEK CSOPORT i q i p i v I. 0.907 1.137 1.031 II. 0.906 1.104 1.001 III. 0.925 1.125 1.041 IV. 0.762 1.250 0.953 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:131

AZ INDEXEK AGGREGÁT FORMÁI ÉRTÉKINDEX I v = q p q p 1 1 0 0 ÁRINDEX bázisidőszaki súlyozású: ( ) I q p = q p 0 0 1 p 0 0 tárgyidőszaki súlyozású: I ( ) q p = q p 1 1 1 p 1 0 VOLUMENINDEX bázisidőszaki súlyozású: ( ) I q p = q p 0 1 0 q 0 0 tárgyidőszaki súlyozású: ( ) I q p = q p 1 1 1 q 0 1 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:132

AZ INDEXEK SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁI ÉRTÉKINDEX VALÓS SÚLYOK I v q p i = 0 0 q p 0 0 v ÁRINDEX VALÓS SÚLYOK FIKTÍV SÚLYOK ( ) Laspeyres: I q p i = q p 0 0 0 p p 0 0 ( ) Paasche: I q p i = q p 1 1 0 p p 1 0 VOLUMENINDEX VALÓS SÚLYOK FIKTÍV SÚLYOK Laspeyres: ( ) I q p i = q p 0 0 0 q q 0 0 Paasche: I ( ) q p i = q p 1 0 1 q q 0 1 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:133

AZ INDEXEK HARMONIKUS ÁTLAG FORMÁI ÉRTÉKINDEX VALÓS SÚLYOK I v q p = q p 1 1 1 1 i v ÁRINDEX FIKTÍV SÚLYOK VALÓS SÚLOK ( ) Laspeyres: I q p = q p 0 0 1 p 0 1 i p ( ) Paasche: I q p = q p 1 1 1 p 1 1 i p VOLUMENINDEX FIKTÍV SÚLYOK VALÓS SÚLYOK Laspeyres: ( ) I q p = q p 0 1 0 q 1 0 i q Paasche: ( ) I q p = q p 1 1 1 q 1 1 i q GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:134

PÉLDA (folyt.) LASPEYRES-FÉLE ÁRINDEX SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁBAN () 0 1. 8877 1137. + 1. 5328 1104. + 2. 2360 1125. + 1. 2579 1. 250 I p = 69144. = 1146. PAASCHE-FÉLE ÁRINDEX SZÁMTANI ÁTLAG FORMÁBAN () 1 1. 7121 1137. + 1. 3891 1104. + 2. 0683 1125. + 0. 9584 1. 250 I p = 6. 1279 = 1143. ÉRTÉKELÉS a kétféle súlyozású árindex nem egyezik meg, bár az eltérés viszonylag kicsi GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:135

ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - I. BORTKIEWICZ-TÉTEL ( 1) I ahol: V ip p ( 0) I p ( 1) I q = = 1+ V V r i, i 0 I ( ) ip iq ( p q), V az egyedi indexek relatív szórása iq ( p iq) ri q, az egyedi indexek közötti lineáris korreláció ÉRTELMEZÉS a kétféle súlyozású index akkor és csak akkor egyezik meg, ha ha legalább az egyik egyedi index minden tételre azonos, vagy pedig i p és i q korrelálatlanok a tárgyidőszaki súlyozású index akkor és csak akkor nagyobb a bázisidőszaki súlyozásúnál, ha i p és i q között pozitív korreláció van (az egyik növekedése a másik növekedését vonja maga után) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:136

ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - II. INDEXPRÓBA indexnek adott követelmény szerinti kiértékelése ÖSSZEMÉRHETŐ- SÉGI PRÓBA IDŐPRÓBA TÉNYEZŐPRÓBA ÁTLAGPRÓBA LÁNCPRÓBA az index értéke legyen független a volumenadatok mértékegységétől a bázis- és a tárgyidőszakot felcserélve az index értéke a reciprokára változzon azonos típusú formulákkal számolva volumenindex árindex = értékindex az indexszám legyen az egyedi indexek átlaga bázisviszonyszám = ugyanazon formulával számolt láncviszonyszámok szorzata GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:137

ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - III. FISHER-FÉLE INDEXEK ( F) q0 p1 q1p1 ( 0) ( 1) I p = = I p I p q p q p 0 0 1 0 ( F ) q1 p0 q1p1 ( 0) ( 1) I q = = Iq Iq q p q p 0 0 indexek mértani átlaga; összes próbát kielégíti, láncpróbát csak közelítően 0 1 MARSHALL-EDGEWORTH-BOWLEY-FÉLE INDEXEK ( E M) ( q0 + q1) p1 q p + q p I p = = q + q p q p + q p súlyok számtani átlaga I ( 0 1 ) 0 ( E M) q1( p0 + p1 ) q = q ( p + p ) 0 0 1 = 0 1 1 1 0 0 1 0 q p q p + + q p q p 1 0 1 1 0 0 0 1 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:138

ÖSSZEFÜGGÉSEK A KÜLÖNBÖZŐ SÚLYOZÁSÚ INDEXSZÁMOK KÖZÖTT - IV. AZ INDEXEK SZORZATÖSSZEFÜGGÉSE () 1 () 0 q p Iv = I p Iq, q p ( ) ( ) I = I I 0 1 v p q, ( F) ( F ) I = I I, v p q 1 1 0 0 q p q p 1 1 0 0 q p q p 1 1 0 0 q1p1 = q p 1 0 q0 p1 = q p 0 0 q p q p 1 0 0 0 q p q p 1 1 0 1 q0 p1 q1p1 q1 p0 = q p q p q p 0 0 1 0 A tényezőpróbának csak a Fisher-féle indexek tesznek eleget. 0 0 q p q p DEFLÁCIÓ a volumenindex kiszámítása az értékindex és az árindex hányadosaként; ugyanis az értékindex tényadatokból, az árindex pedig reprezentatív egyedi indexek súlyozott átlagaként könnyen származtatható 1 1 0 1 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:139

ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ AGGREGÁTUMOK KÖZÖTT AGGREGÁTUM-KÜLÖNBSÉGEK K q p q p v = 0 q 1 q 0 p 1 p 1 1 0 0 ( ) = 1 0 0 0 = ( 1 0) 0 ( ) = 1 1 0 1 = ( 1 0 ) 1 ( ) = 0 1 0 0 = 0( 1 0 ) ( ) = = ( ) K q p q p q q p K q p q p q q p K q p q p q p p K q p q p q p p 1 1 1 0 1 1 0 AZ ÉRTÉKKÜLÖNBSÉG FELBONTÁSA ( 0 K K ) K () 1 v = q + p () 1 ( 0) K = K + K v q p vagyis az aggregált értékváltozást felbonthatjuk az aggregált mennyiségváltozás és az aggregált árváltozás különbségére GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:140

CSOPORTOSÍTOTT SOKASÁGRA VONATKOZÓ INDEXEK CSOPORTOSÍTÁS 1., 2.,...M. részsokaság FŐÁTLAG (I ) teljes sokaságra vonatkozó index RÉSZINDEX (I j ) részsokaságra vonatkozó index, I j = A j / B j FŐINDEX FORMÁI I M j= 1 A j BI = = = M M B B j= 1 j M j= 1 j= 1 aggregát, számtani átlag, harmonikus átlag j j j M j= 1 M j= 1 A A I j j j GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:141

ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT - I. INDEXSOR kettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozata SÚLYOZÁS árindex és volumenindex bármelyik időszak szerint súlyozható láncviszonyszámoknál a sőlyozás lehet állandó és változó állandó súlyozás alkalmazása egyszerűbb, de hamarabb elavul LÁNCPRÓBA ÉRTÉKINDEXRE mindig teljesül: q p q1p1 q2p2 =... q p q p q p q p q p k k k k 0 0 0 0 1 1 k 1 k 1 LÁNCPRÓBA ÁRINDEXRE ÉS VOLUMENINDEXRE csak állandó súlyozás mellett teljesül, pl. n. sőlyozású árindexek: qnpn qn p1 qn p2 qnpk =... q p q p q p q p n 0 n 0 n 1 n n 1 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:142

ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT - II. TÉNYEZŐPRÓBA BÁZISVISZONYSZÁMOKRA árindex és volumenindex közül: vagy az egyik Laspeyres-súlyozású állandó tárgyidőszaki súlyokkal, a másik Paasche-súlyozású változó tárgyidőszaki súlyokkal vagy mindkettő Fisher-formulával q p q p q p = q p k k k k 0 0 k 0 qk p q p 0 0 0 q p q p q0 p = q p q p q p k k k k k 0 0 q p q p 0 0 0 q0 p q p q p0 = q p q p q p k k k k k 0 0 k 0 0 k 0 q p q p k k k 0 0 0 k GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:143

ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ INDEXSOROK KÖZÖTT - III. TÉNYEZŐPRÓBA LÁNCVISZONYSZÁMOKRA árindex és volumenindex közül: vagy az egyik Laspeyres-súlyozású állandó tárgyidőszaki súlyokkal, a másik Paasche-súlyozású változó tárgyidőszaki súlyokkal vagy mindkettő Fisher-formulával q q p k p k qk pk = q p k 1 k 1 k k 1 q q p k k 1 p k 1 k 1 q q q p k p k k 1 k 1 q p k p k k 1 k 1 qk 1 pk = q p q q p k 1 k 1 k 1 k qk 1 pk qk pk qk pk 1 = q p q p q p k p k 1 k 1 k k 1 k q q p k 1 k 1 k 1 k k p k GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:144

TERÜLETI INDEXEK TERÜLETI VOLUMENINDEX viszonyítás tárgyának területén a termelés vagy értékesítés hányszoros a viszonyítás alapjához képest két ország esetében az össztermelés vagy összfogyasztás hányadosa a lakosság számarányával korrigálva a gazdasági fejlettséget mutatja TERÜLETI ÁRINDEX viszonyítás tárgyának árszínvonala hányszoros a viszonyítás alapjához képest két ország esetében a két valuta vásárlóerejének aránya KÜLÖNBSÉGEK AZ IDŐBELI INDEXEKTŐL az értékindex kevésbé fontos a vizsgált területek szerepe egyenrangú (ellentétben a korábbi és későbbi időszakkal) a súlyozás szerepe nagyobb, ezért fontosabbak a Fisher-indexek GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:145

A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE MINŐSÉGELLENŐRZÉS A MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI VIZSGÁLATA SZOFTVEREK MINŐSÉGE ÉS MEGBÍZHATÓSÁGA GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:147

A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE MINŐSÉGELLENŐRZÉS A MINŐSÉG-ELLENŐRZÉS ALAPFELADATA KONTROLLKÁRTYÁK AZ ÁTLAG-KONTROLLKÁRTYA GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:148

A MINŐSÉGELLENŐRZÉS ALAPFELADATA A tömeggyártás minőségellenőrzése során igen nagy számú termékvizsgálatot kell elvégezni. A vizsgálatok komoly költséggel járnak, így számukat a lehető legkevesebbre kell csökkenteni. A csökkentés módja az, hogy a vizsgálatot egy részsokaságra (meghatározott darabszám után vett mintára) végzik el, és a vizsgálati eredményeket statisztikai következtetéssel általánosítják a teljes sokaságra. Általában azt kell eldönteni, hogy egy rendszeres időközökben ellenőrzött statisztikai sokaság valamilyen mennyiségi ismérvének értékei a kívánatos érték körül, vagy egy attól eltérő érték körül ingadoznak a véletlen hatásoknak megfelelően. Az adatok vonatkozhatnak gyártásra, de ugyanígy természeti jelenségre is. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:149

KONTROLLKÁRTYÁK W. S. Shewhart amerikai statisztikus az ábrán látható sémát rajzolta fel, ahol középen folytonos vonallal az előírt érték látható, és körülötte kétoldalt szaggatott vonallal vannak bejelölve a tűréshatárok. Az elemzés abból állt, hogy ha a mért értékek kívül esnek a tűréshatáron, akkor a minőséggel probléma van, és a jelenség ismétlődése beavatkozást igényel a gyártási folyamatba. A beavatkozás lehet például a nyersanyag ismételt ellenőrzése vagy egy gép utánállítása. A fenti ábrázolási és kiértékelési technika elnevezése kontrollkártya vagy ellenőrző kártya. Az ábrázolt mennyiségtől függően többféle kontrollkártya ismeretes. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:150

AZ ÁTLAG-KONTROLLKÁRTYA A legegyszerűbb az átlag- (vagy x -) kontrollkártya. Ebben a kívánatos értéket várható értéknek tekintik, és meghatározzák azt a sávszélességet, amelybe a mért értékeknek adott (pl. 95 %-os) valószínűséggel bele kell esniük, ha a kívánatos értéktől való eltérésnek csupán a véletlen ingadozás az oka. Mért értéknek egy adott elemszámú minta átlagát tekintik. Vegyünk a folyamatosan érkező termékekből rendszeres időközönként egy meghatározott elemszámú mintát. Ha a vizsgált folyamat átlaga ( x ) megegyezik az előírt értékkel (µ) és szórása (σ) ismert, továbbá a minta elemszáma n, akkor P x < µ 3σ n vagy x > µ + 3σ n = 0,0027 ahol P a zárójelben felírt esemény normális eloszlás szerinti valószínűségét jelöli. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:151

PÉLDA ADATOK Előírt érték: 100 Ismert szórás: 5 Mintaelemszám: 100 BEHELYETTESÍTÉS P x 3σ 3σ P x < µ vagy x > µ + n n 3 5 3 5 < 100 vagy x > 100 + = 100 100 0,0027 ELEMZÉS Ha a folyamat tartja az előírt értéket: a minta átlaga csak 0,0027 valószínűséggel lehet kisebb mint 100 3 5 / 10 = 98,5 vagy nagyobb mint 100 + 3 5 / 10 = 101,5. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:152

A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE A MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI VIZSGÁLATA A MEGBÍZHATÓSÁG ALAPFOGALMAI HIBAMENTES MŰKÖDÉS VALÓSZÍNŰSÉGE MEGHIBÁSODÁS VALÓSZÍNŰSÉGE MEGHIBÁSODÁSI RÁTA ÁTLAGOS MŰKÖDÉSI IDŐ GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:153

A MEGBÍZHATÓSÁG ALAPFOGALMAI MEGBÍZHATÓSÁG A terméknek az a tulajdonsága, hogy az előírt funkcióit teljesíti, miközben adott határok között megtartja azoknak a meghatározott mutatóinak értékeit, amelyek a felhasználás, a műszaki karbantartás, a javítások, a tárolás és szállítás előre megadott üzemmódjait és feltételeit jellemzik. HIBAMENTESSÉG A terméknek az a tulajdonsága, hogy folyamatosan megtartja működőképes állapotát, valamely időtartam, vagy tényleges működés során. MŰKÖDŐKÉPES ÁLLAPOT A terméknek az az állapota, amelyben alkalmas az előírt funkcióinak végrehajtására (vagy végrehajtja azokat), miközben előre megadott paramétereit a műszaki előírásoknak meghatározott határok között megtartja. MEGHIBÁSODÁS Az az esemény, amely a termék működőképes állapotának elvesztését jelenti. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:154

HIBAMENTES MŰKÖDÉS VALÓSZÍNŰSÉGE, I. Hibamentes működés valószínűsége, R(t): annak valószínűsége, hogy előre megadott t hosszúságú időintervallumban a termék nem hibásodik meg. Jellemezzük a vizsgált N darab termék első meghibásodásig tartó hibamentes működésének valószínűségét. Jelölje n(ti) az i-ik időpontban még hibamentes működő termékek számát. Ha a működés valószínűségét az idő függvényében kívánjuk vizsgálni, akkor ennek becslésére az R( t i ) = n( t n( i t 0 ) ) arányt használjuk., ahol R(t i ) a t i időponthoz tartozó hibamentes működés valószínűsége. A képletbeli hányados relatív gyakoriság, amely adott esetben a még működő termékek arányát mutatja az összes termékhez viszonyítva. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:155

HIBAMENTES MŰKÖDÉS VALÓSZÍNŰSÉGE, II. A következtetések levonása előtt megemlítjük, hogy a vizsgálatot az eddigiektől eltérő módon is elvégezhettük volna. Tételezzük fel, hogy egyetlen termék folyamatát vizsgáljuk és minden meghibásodás után a terméket megjavítják. Ekkor a t i értékek N db két meghibásodás közötti hibamentes működési idő adatait jelentik. A két eset viszonya a kockajáték példájával érzékeltethető. Ideális (szabályos) kockák esetén teljesen mindegy, hogy pl. egy kockával tízszer dobunk, vagy tíz kockával egyszerre dobunk abból a célból, hogy a tíz eredményt statisztikailag kiértékeljük. Ennek az az oka, hogy a dobások eredményei független, azonos eloszlású valószínűségi változók. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:156

MEGHIBÁSODÁS VALÓSZÍNŰSÉGE Meghibásodás valószínűsége, F(t): annak valószínűsége, hogy előre megadott időintervallumban vagy előre megadott tényleges működési határok között meghibásodás következik be. F(t i ) a t i -nél rövidebb időtartam alatti meghibásodás valószínűségeként értelmezhető. Ha pl. a termelési program folyamatos üzemmódban 10 műszaknyi, azaz 80 h hibamentes termelést követel meg, akkor egyetlen meghibásodás valószínűsége F(t = 80) = 0,05. Röviden azt is mondhatjuk, hogy a termelési program teljesítésének kockázata: 5 %. R(t i ) érték ismeretében egyszerűen meghatározható az F(t i ) meghibásodási valószínűség is, hiszen vagy F(t i ) = 1 - R(t i ) F( t i ) = n( t 0 ) n( t n( t 0 ) i ) = 1 n( t n( t i 0 ) ) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:157

MEGHIBÁSODÁSI RÁTA Meghibásodási ráta, λ(t): egy adott időpontban még működőképes termékek arányának a következő időegység alatt történő változása. Becslése: λ ( t ) i = n n ( ti ) n( t i + 1 ) ( t )( t t ) i i i + 1 = R R ( t i ) R( t i + 1 ) ( t )( t t ) i i i + 1 Tehát egy megoszlási viszonyszám időegységre jutó változását számítjuk ki. A matematikából tudjuk, hogy ez folytonos időadatok mellett deriválást jelent. És valóban, a pontos formula a következő: λ () t = F R () t () t = d ln dt R () t Ez a függvény a megbízhatóságelmélet egyik legfontosabb alapmennyisége, hiszen növekvő értéke a termék öregedését fejezi ki. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:158

ÁTLAGOS MŰKÖDÉSI IDŐ Átlagos tényleges működés a meghibásodásig, T 0 : a termék első meghibásodásig tartó tényleges működésének várható értéke. Ezt a fogalmat gyakran átlagos működési időnek nevezik és MTTF rövidítéssel jelölik (Mean Time To Failure). Meghibásodások közötti átlagos működési idő, T b : a helyreállítható termék tényleges működési idejének és a tényleges működés alatt bekövetkező meghibásodások várható számának hányadosa. Gyakran MTBF rövidítéssel jelölik (Mean Time Between) Failures). Kellő számú megfigyelés után nemcsak az R(t) függvényt becsülhetjük pontosabban, hanem lehetőségünk lesz az átlagos tényleges (hibamentes) működési idő (T b ) becslésére is. Ezt a hibamentességi mutatót N db megfigyelésből származó ti adat ismeretében a számtani átlaggal becsülhetjük a legjobban, azaz: T b t = 1 + t 2... N + t N. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:159

PÉLDA 40 db egyforma berendezésnél feljegyezték az első meghibásodásig eltelt hibamentes működési időt. A vizsgált időszakban 10 db hibásodott meg. Tehát n(t 0 ) = 40 és n(t 10 ) = 30. Számítsuk ki a valószínűségeket. t i (óra) n(t i ) R(t i ) F(t i ) 0 35 80 125 130 142 165 171 175 178 180 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 1,000 0,975 0,950 0,925 0,900 0,875 0,850 0,825 0,800 0,775 0,750 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:160

A MINŐSÉG ÉS MEGBÍZHATÓSÁG STATISZTIKAI ELEMZÉSE SZOFTVEREK MINŐSÉGE ÉS MEGBÍZHATÓSÁGA A SZOFTVERMEGBÍZHATÓSÁG ÉRTELMEZÉSE A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI MÉRŐSZÁMOK STATISZTIKAI MODELLEK GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:161

A SZOFTVERMEGBÍZHATÓSÁG ÉRTELMEZÉSE A hardvereszközök működőképessége egyedileg változik, és akár pillanatonként módosuló véletlen tényezőktől (elhasználódás mértéke, környezeti hatások) függ. Ezzel ellentétben a szoftverek példányai azonosak, és az adathordozók hibáitól eltekintve időben állandóak. A hibátlan programrész mindig hibátlanul működik, a hibás programrész viszont mindig hibásan. A szoftverek megbízhatóságának statisztikai jellegét tehát nem a szoftver belső tulajdonságai adják, hanem a használat módja: milyen gyakorisággal lépünk be a hibás programrészbe. A felhasználót a teljes rendszer hibátlan működése érdekli, gyakran nem is tud különbséget tenni a hardver és a szoftver hibája között. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:162

A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - I. HARDVER A hiba oka egyaránt lehet a tervezés, a gyártás, a használat és a karbantartás. A hiba lehet az elhasználódás vagy más, energiával kapcsolatos jelenség következménye. Ennek gyakran vannak korai figyelmeztető jelei. Javítással növelhető a megbízhatóság. SZOFTVER A hiba oka majdnem mindig a tervezés. Nincs elhasználódás. Nincsenek korai figyelmeztető jelek. Az egyetlen javítási lehetőség az áttervezés (újraprogramozás). GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:163

A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - II. HARDVER A megbízhatóság függhet bejáratási vagy elhasználódási jelenségektől. A meghibásodás valószínűsége függ az eltelt működési (vagy tárolási) időtől. A megbízhatóság környezeti tényezőktől is függ. SZOFTVER A megbízhatóság nem változik a a működési idővel, csakis a hibakeresésbe fektetett munkával. A meghibásodás nem függ így az időtől. Akkor történik, amikor hibás programrészbe lépünk. A környezeti tényezők nem érintik a megbízhatóságot, legfeljebb az adathordozón keresztül. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:164

A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - III. HARDVER A megbízhatóság elméletileg megjósolható a tervezés és a használat alapján. A megbízhatóság gyakran növelhető tartalékegységek alkalmazásával. SZOFTVER A megbízhatóság semmilyen fizikai folyamat alapján nem jósolható, mert a tervezés emberi tényezőitől függ. A megbízhatóság nem növelhető tartalékegységek alkalmazásával, ha a párhuzamos programrészek azonosak: amennyiben az egyik hibás, akkor a másik is. A tartalékolás csak akkor segít, ha a párhuzamos ágakban eltérő szerzők által készített eltérő programok vannak. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:165

A HARDVER ÉS SZOFTVER MEGBÍZHATÓSÁGÁNAK KÜLÖNBSÉGEI - IV. HARDVER A rendszer komponenseinek megbízhatósága olyan törvényeket követ, amelyek a komponenseket ért terhelés és más tényezők alapján bizonyos mértékig megjósolhatók. Hasznos elemzési módszerek: kritikus részegységek kiválasztása, Paretoelemzés. SZOFTVER A hibák általában nem jelezhetők előre az egyes programlépésekre vonatkozó megállapításokból. A programhibák véletlenszerűen szóródva helyezkednek el, és bármelyik utasítás lehet hibás. MÉRŐSZÁMOK - MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:166

ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére: mérsékelten mérsékelten igen igen mérsékelten nem GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:167

MÉRŐSZÁMOK - EZER PROGRAMSORRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a fogyasztói megelégedettség mérésére: mérsékelten igen igen nem mérsékelten PROBLÉMÁK különböző programnyelvek erősen különböző programméretekhez vezetnek a forráskódban található megjegyzés-sorok száma eltorzíthatja az eredményt sok forráskód üres sorokat tartalmaz a könnyebb áttekinthetőség érdekében GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:168

MÉRŐSZÁMOK - EZER NEM-MEGJ. PROGRAM- SORRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a fogyasztói megelégedettség mérésére: igen igen igen nem mérsékelten PROBLÉMÁK külön programok vagy speciális fordítási opciók kellenek a mérőszám meghatározásához csökkenti a megjegyzések beírására való készséget, ezen keresztül pedig a program átláthatóságát és karbantarthatóságát GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:169

MÉRŐSZÁMOK - EGY FELHASZNÁLÓRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: a programkészítés közbeni döntések megalapozására: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére: nem mérsékelten mérsékelten nem nem igen PROBLÉMÁK nehéz meghatározni az adott szoftverterméket használók számát nehéz meghatározni egy adott felhasználónal a használat mértékét GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:170

MÉRŐSZÁMOK - EZER TESZTELÉSI ÓRÁRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: a jövőbeni célok kitűzésére: a fogyasztói megelégedettség mérésére: nem igen igen PROBLÉMÁK az eredmények erősen függenek a teszt szigorától, kiterjedtségétől és intenzitásától (egyetlen teszt sokszori megismétlése nem adja ugyanazt az eredményt, mint több teszt párhuzamos alkalmazása) a tesztelés során végrehajtott programkód mennyisége függ a tesztelés módszerétől; ezért egyidejűleg olyan más mérőszámot is célszerű alkalmazni, amely megadja, hányszorosan fedi le az adott teszt a programot ha a tesztfutásokat ember indítja, az eredményt befolyásolja a szakképzettség GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:171

MÉRŐSZÁMOK - EZER TESZTELÉSI ÓRÁRA JUTÓ MŰKÖDÉSI ZAVAROK SZÁMA FEDETTSÉGI MÉRŐSZÁMMAL ALKALMASSÁGA KÜLÖNFÉLE CÉLOKRA a minőség megítélésére: igen a minőség összehasonlítására más programokkal vagy korábbi állapottal: igen előre meghatározott kritériumoknak való megfelelésre: igen a programkészítés közbeni döntések megalapozására: igen a jövőbeni célok kitűzésére: igen a fogyasztói megelégedettség mérésére: igen GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:172

STATISZTIKAI MODELLEK - DUANE I. A MODELL JELLEMZŐI: futási idő determinisztikus nem számlálja a hibákat csak a meghibásodásokkal foglalkozik, a javítással nem a programot fekete doboznak tekinti folyamatosan érkező és összesített adatokkal is tud számolni ALAPÖTLET: a komplex műszaki rendszerek bizonyos mértékig a szoftverhez hasonlóan kezelhetők az előforduló hibákat teljesen ki lehet javítani az egyszer már előfordult hibákat a felhasználó azonos formában nem ismétli meg STATISZTIKAI MODELLEK - DUANE II. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:173

KONCEPCIÓ: tanulógörbe, amely a használat során bővülő ismereteket figyelembe veszi az előrejelzésben A MODELL ÉRTÉKELÉSE: a programfutási idővel és az újonnan előkerülő hibákkal számolva a modell előrejelzési képessége igen jó rosszul használható abban az esetben, ha a kezdeti adatok erősen eltérnek a feltevésektől, mert ezekre nagyon érzékeny a modell JELÖLÉSEK: u összes figyelembe vett programfutási idő c(u) u idő elteltéig jelentkezett hibák száma Q(u) a meghibásodási ráta időbeli integrálja u idő elteltekor a, b skálaparaméterek GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:174

STATISZTIKAI MODELLEK - DUANE III. MATEMATIKAI MODELL: a tapasztalatok szerint az (u,q(u)) koordinátájú pontok logaritmikus beosztású papíron egy negatív irányszögű egyenes közelében helyezkednek el, vagyis logaritmusaik kapcsolata lineáris regresszióval jól leírható: ahol b < 1; innen log[q(u)] (b 1) * log(u) + log(a) Q(u) a * u b-1 ugyancsak a tapasztalatok szerint c(u) Q(u) u tehát az előfordult hibák számának növekedésével így alakul a (0,u) időintervallumban bekövetkező meghibásodások számának várható értéke: c(u) a * u b GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:175

STATISZTIKAI MODELLEK - JELINSKI ÉS MORANDA I. A MODELL JELLEMZŐI: naptári idő sztochasztikus a folyamatosan érkező adatokat is fel tudja dolgozni gyakoriságokkal számol fekete doboz a hibák száma véges a hibák csak akkor számítanak, ha megjelennek a javítás tökéletes a meghibásodási ráta csak a hibák megjelenésével változik A MODELL ÉRTÉKELÉSE: eredeti formájában kevéssé vált be a gyakorlatban kiindulópontja több későbbi, sikeres modellnek GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:176

STATISZTIKAI MODELLEK - JELINSKI ÉS MORANDA II. JELÖLÉSEK: T az első programfutástól számított naptári idő t a legutóbbi hibától számított naptári idő t i az i-1 és i sorszámú meghibásodások közti naptári idő n a programban található összes hibák száma c az adott időpontig megtalált és kijavított hibák száma q(c) c számú hiba után érvényes meghibásodási ráta z skálaparaméter Σ összegzés 1-től c-ig GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:177

STATISZTIKAI MODELLEK - JELINSKI ÉS MORANDA III. MATEMATIKAI MODELL: Feltételezzük, hogy q(c) = z*(n c) vagyis a következő időegység alatt felbukkanó hibák számának várható értéke a programban maradt hibák számával arányos. Bizonyítható, hogy n optimális becslését kapjuk a következő egyenletből: Σ 1 / (n i) = c * T / (n * T Σ i * t i ) és ennek felhasználásával becsülhető z is: z = c / (n * T Σ i * t i ) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:178

STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA I. A MODELL JELLEMZŐI: a programfutási időt veszi figyelembe sztochasztikus a folyamatosan érkező adatokat is fel tudja dolgozni gyakoriságokkal számol fekete doboz a hibák száma véges a hibák csak akkor számítanak, ha megjelennek a javítás tökéletes a meghibásodási ráta csak a hibák megjelenésével változik GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:179

STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA II. A MODELL ÉRTÉKELÉSE: figyelembe veszi, hogy különbség van a tesztelési és felhasználási célú programfuttatás között lehetőséget ad a továbbfejlesztésre, új paraméterek bevezetésével jobb illeszkedés elérésére hátránya, hogy nem tesz különbséget az egyes hibák veszélyessége között JELÖLÉSEK: t a legutóbbi hibától számított programfutási idő n a programban található összes hibák száma c(t) az adott időpontig megtalált és kijavított hibák száma y(t) t futási idő elteltekor a következő meghibásodásig hátralevő idő várható értéke (a megbízhatóságelméletben szokásos jelölése: MTTF) m(t) c(t) várható értéke C tesztkompressziós faktor; azt fejezi ki, hogy a tesztelés során hányszor gyorsabban akadunk hibára, mint normál programfutás során GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:180

STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA III. MATEMATIKAI MODELL: A t futási összidőig megtalált hibák számának várható értéke: m(t) = n * {1 exp { [(C) / (y(0)*n)] * t}} Látható, hogy a jobboldalon a kapcsos zárójelen belüli rész t növekedésével 1- hez tart, így m(t) is tart n-hez. A legközelebbi meghibásodásig eltelő idő várható értéke (MTTF): y(t) = y(0) * exp {[(C) / (y(0)*n)] * t} A jobboldalon az exponenciális részben t együtthatója pozitív, ezért a jobboldal végtelenhez tart. Tehát sok programfutás után a legközelebbi meghibásodásig eltelő idő minden határon túl nő. STATISZTIKAI MODELLEK - MUSA IV. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:181

A megbízhatósági függvény: R(t) = exp { t / y(t)} Ennek alapján meghatározható, hogy ha a legközelebbi meghibásodásig várhatóan eltelő időt y 1 -ről y 2 -re akarjuk növelni, ehhez hány hibát kell megtalálnunk és kijavítanunk: c = { y(0) * n} * (1/ y 1 1/y 2 ) Ugyancsak meghatározható, hogy ehhez mekkora programfutási időre van szükség: t = {[y(0) * n] / C} * ln (y 2 / y 1 ) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:182

PÉLDA - I. Egy nagy program feltételezhetően kb. 300 hibát tartalmaz. A program indításától az első hiba megjelenéséig átlagosan eltelő idő (MTTF) 1.5 óra. A tesztkompressziós faktor becsült értéke 4. Mennyi ideig kell tesztelni a programot ahhoz, hogy a megmaradó hibák számát 300-ról 10-re csökkenthessük? Megoldás: Behelyettesítve: c = { y(0) * n} * (1/ y 1 1/y 2 ) 300 10 = { 300 * 1.5 } * (1/1.5 1/y 2 ) GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:183

PÉLDA - II. Innen y 2 = 45 óra Továbbá t = {[y(0) * n] / C} * ln (y 2 / y 1 ) Behelyettesítve: t = { [ 300 * 1.5 ] / 4 } * ln ( 45 / 1.5 ) = 382.6 Innen t = 382.6 óra Tehát ennyi tesztelési időre van szükség, hogy a programhibák száma 10-re csökkenjen. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:184

PÉLDA - III. Végül R(t) = exp { t / y(t) } Behelyettesítve: R(50) = exp { 50 / 45 } = 0.33 Vagyis a 382.6 órányi tesztelés elvégzése után legalább 50 óra hibamentes működés valószínűsége 0.33 lesz. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:185

STATISZTIKAI MODELLEK - GOEL/OKUMOTO I. A MODELL JELLEMZŐI: programfutási időt alkalmaz sztochasztikus gyakoriságokkal számol fekete doboz a hibák száma véges, de véletlen a hibák csak akkor számítanak, ha megjelennek a javítás nem feltétlenül tökéletes a meghibásodási ráta csak a hibák megjelenésével változik A MODELL ÉRTÉKELÉSE: Goel és Okumoto modellje egyaránt közel áll Musa, valamint Jelinski és Moranda modelljéhez. Egyetlen új paraméter bevezetésével modellezhető a nem tökéletes javítás. Legyen p annak a valószínűsége, hogy sikeres a javítás. z helyett pz paramétert használhatunk. GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:186

STATISZTIKAI MODELLEK - GOEL/OKUMOTO II. JELÖLÉSEK: t a legutóbbi hibától számított programfutási idő n a programban található összes hibák számának várható értéke c(t) az adott időpontig megtalált hibák száma m(t) c(t) várható értéke z arányossági tényező a meglevő és megmutatkozó hibák között MATEMATIKAI MODELL: Az időegység alatt megmutatkozó hibák átlagos száma egyenesen arányos a programban még benn található hibák átlagos számával A t futási összidőig megtalált hibák számának várható értéke: m(t) = n * {1 exp { z * t}} Látható, hogy a jobboldalon a kapcsos zárójelen belüli rész t növekedésével 1- hez tart, így m(t) is tart n-hez. Feltételezzük, hogy c(t) Poisson-eloszlást követ, paramétere és várható értéke m(t). GÁBOR DÉNES FŐISKOLA Tantárgy: Gazdasági statisztika Kódszám: 224 Lapszám:187