A Miskolci Egetem Habilitációs Füzetei Műszaki-természettudománi Habilitációs Bizottság MOZGÓ HENGER KÖRÜI AMINÁRIS ÁRAMÁS VIZSGÁATA Írta Barani ászló aki a Műszaki Tudománág Gépészmérnöki Tudománok Tanszakán a habilitáció elnerésére pálázik Miskolc 7
TARTAOMJEGYZÉK SUMMARY ii BEVEZETÉS iii KÖSZÖNETNYIVÁNÍTÁS iv FONTOSABB JEÖÉSEK v. SZÁMÍTÁSI EJÁRÁS ÉS ÖSSZEHASONÍTÓ SZÁMÍTÁSOK.. Előzmének és célkitűzések.. Alapegenletek 4.3. Peremfeltételek 6.4. A hengermozgás jellemzői 6.5. eképzés a fizikai síkról a számítási síkra, a numerikus eljárás 7.6. Álló hengerre vonatkozó számítások, összehasonlítások.6.. Összehasonlítás mérési eredménekkel 3.6.. Összehasonlítás számítási eredménekkel 6.7. A henger egiránú rezgése, összehasonlítások 7.7.. A henger keresztiránú rezgése, összehasonlítás 7.7.. A henger hossziránú rezgése, összehasonlítás 9.8. Kör-és ellipszis pálán mozgó henger, összehasonlítások.9. Tudomános eredmének 3. EIPSZIS PÁYÁN MOZGÓ KÖRHENGER KÖRÜI ÁRAMÁS 4.. Előzmének és célkitűzések 4.. Meredek változások az időátlag és az rms görbékben 4.3. Paraméterek hatása az időátlag és az rms görbékre 8.3.. A Renolds szám hatása 8.3.. Az ellipszis méretének hatása 3.3.3. A hengerrezgés frekvenciájának hatása 3.4. A bolgómozgás iránának hatása az erőténezőkre 33.5. Tudomános eredmének 34 3. ENERGIASERE. AZ UGRÁS KÖRNYEZETÉNEK EEMZÉSE 35 3.. Előzmének és célkitűzések 35 3.. Mechanikai energiacsere a henger és foladék között 35 3.3. Energiaátadásra vonatkozó eredmének 36 3.4. Az ugrás körnezetének vizsgálata 38 3.4.. Határciklusok 38 3.4.. Fázisszög-különbség 4 3.4.3. Áramképek 4 3.5. Kezdeti feltétel hatása 44 36. Tudomános eredmének 46 4. KAPSOAT A FEHAJTÓERŐ- ÉS AZ EENÁÁS-TÉNYEZŐ KÖZÖTT INERIA- ÉS GYORSUÓ RENSZERBEN 48 4.. Előzmének és célkitűzések 48 4.. Az erőténezők származtatása inerciarendszerben 49 4.3. Az erőténezők származtatása gorsuló vonatkoztatási rendszerben 5 4.4. Inercia- és gorsuló rendszerben értelmezett erőténezők kapcsolata 54 4.5. Erőténezők kör és téglalap keresztmetszetű prizmatikus rúd esetén 55 4.5.. Erőténezők kör keresztmetszet esetén 55 4.5.. Erőténezők téglalap keresztmetszet esetén 56 4.6. Tudomános eredmének 58 5. A EGFONTOSABB PUBIKÁIÓ A HABIITÁIÓS FÜZET TÁRGYKÖRÉBEN 59 IROAOMJEGYZÉK 6 i
INVESTIGATION OF OW REYNOS NUMBER FOW AROUN A MOVING YINER SUMMARY This habilitation booklet summarises some of the results obtained over the past decade in the numerical and theoretical investigation of low Renolds number flow past a moving clinder in an otherwise uniform stream. I began investigating this topic during m sta as a visiting professor at Nagaoka Universit of Technolog in Japan, 995-997. It should be stated that this topic is rather far removed from that of m dissertation for the degree of andidate of Technical Science, which was awarded in 99. The first three chapters describe the numerical approach applied to the stud of flow around a circular clinder at Renolds numbers from to 3 and gives results for various investigations of a clinder in orbital motion, while the fourth chapter is more theoretical in nature. The area of flow around a clinder is widel studied, but continues to be of interest because there are still topics that are poorl understood as the wake flow is rich in phsical phenomena. Orbital clinder motion is just beginning to be studied in detail. The data presented here reveal a hitherto unreported phenomenon, that of sudden jumps or switches in vorte structure with changes in the ellipticit of the orbital path of the clinder. The first chapter presents a thorough literature surve and introduces the governing equations and numerical methods. The transformed set of equations is solved b the Finite ifference Method. Also shown in this chapter is evidence for the validation of the code through comparison with eperimental and computational results in the literature. Numerous comparisons are made for a stationar clinder, as the most widel studied case, and also shown for a clinder oscillating in transverse or in-line directions. omparisons are also made for a clinder in orbital motion (one is for a full circular orbit onl). All of these comparisons are considered to ield good agreement and thus show that the code is reliable. The second chapter looks at a clinder in forced orbital motion, introducing the phenomenon mentioned above. The frequenc and in-line amplitude of oscillation and Renolds number are fied and the transverse amplitude of oscillation varied, at certain locations within a. difference in ellipticit values the solution abruptl switched from one curve to another (I call these state curves ) when the time-mean or rms value of the force coefficients is plotted against the ellipticit of the clinder path. There are alwas two state curves and there are two tpes. The effect of Renolds number, amplitude of in-line oscillation, and frequenc of oscillation on these jumps was studied. An increase in an of these parameters led to an upward shift in the rms state curves. The possible influence of the direction of orbit was also investigated. In the third chapter, first the energ transfer between the fluid and the moving clinder was investigated b introducing a new energ transfer coefficient. Although the energ transfer in the transverse direction can be either positive or negative, overall the energ transfer is negative, meaning that energ is transferred from the clinder to the fluid. Net a sstematic investigation at pre- and post-jump ellipticit values was carried out for limit ccle curves of transverse clinder motion and lift coefficient, the time-histor of lift and drag, phase angle between lift and transverse clinder motion, and flow patterns, among others. All studies showed that changes in parameters, including the initial condition for clinder, can trigger a switch to the other state curve. In the fourth chapter I derive relationships between lift and drag defined in an inertial or non-inertial sstem under identical kinematical conditions, for an arbitrar cross-section and low Renolds number flow. The general formulas for lift and drag are applied to a circular and to a rectangular clinder. ii
BEVEZETÉS A jelen habilitációs füzet, a kandidátusi értekezésem megvédése, azaz 99 után végzett kutatómunka eg részét összegzi. A kandidátusi értekezésem témája a változtatható állásszögű és osztású síkbeli lapátrácson kialakuló potenciáláramlás számítása volt. Amikor 995-997 között a japán Nagaokai Műszaki Egetemen dolgoztam vendég docensként az áramlástan széles területének oktatása mellett kutatási feladatom volt a körhenger körüli kis Renolds számú áramlás numerikus vizsgálata. A nem áramvonalas testekről leváló örvének több szerkezet meghibásodásához vezettek, íg például a Tacoma Narrows függőhíd összeomlásához, vag a japán Monju atomerőmű 995 évi bezárásához, amikor japán újságban gakran lehetett a Kármán-féle örvénsorok fénképét látni. A szélnek kitett magas karcsú épületek, gárkémének, silók, stb. a róluk leváló örvének miatt nag amplitúdójú rezgésbe jöhetnek, különösen akkor, ha az örvénleválás frekvenciája közel esik a rendszer sajátfrekvenciájához, és a csillapítás kicsi. Ilen probléma megoldására alkalmas kereskedelmi szoftver akkor még az ottani tanszéken sem állt rendelkezésre, íg elkezdtem kidolgozni azt a számítási eljárást, amelnek továbbfejlesztett változatát ma is használom. Ezt a kutatási területet nagon érdekesnek találtam, és bár gakorlati fontossága miatt igen nagszámú kutató foglalkozott/foglalkozik a körhenger körüli áramlás elméleti, kísérleti és numerikus vizsgálatával, a henger mögötti áramlás annira összetett, hog még mindig vannak ismeretlen területek. Ezért Japánból hazatérve ezt a kutatási témát foltattam tovább, amel tehát teljesen különbözik a kandidátusi értekezésem témájától, és ez alkotja a jelen tézisfüzet témáját is. Az. fejezetben bemutatom a kétdimenziós számítási eljáráshoz tartozó alapegenleteket, peremfeltételeket, majd azt a leképzést, amel segítségével a fizikai tartománt egenközű számítási síkra transzformálom. Az alkalmazott numerikus módszer rövid bemutatása után rátérek számítási eljárásom validálására. Először a szakirodalomban leginkább megtalálható, álló hengerre vonatkozó mérési és számítási eredménekkel hasonlítottam össze számítási eredméneimet. Eljárásomat fűtött henger körüli áramlásra is kiterjesztettem, hog tesztelhessem a szakirodalomban rendelkezésre álló fajlagos hőátadási ténező reprodukálásával. Az álló hengerre vonatkozó jó egezés után kezdtem el az áramlás iránában ill. arra merőleges iránban rezgő henger körüli áramlást vizsgálni. Sikerült a szakirodalomban a rezgő hengerekre vonatkozó, megbízhatóan jó számítási eredméneket találnom, és az összehasonlítás ismét pozitív eredméneket hozott uganúg, mint a két rezgés eredőjeként kapott körpálán mozgó henger körüli áramlás széles rezgési frekvencia tartománban történő szimulációja. Miután meggőződtem arról, hog számítógépes eljárásom minden megvizsgált esetre megbízható és jó eredmént adott, rátértem a párhuzamos áramlásba helezett, ellipszis pálán mozgó körhenger körüli áramlás vizsgálatára. Az áramlásba helezett szerkezetek gakran kétiránú rezgőmozgást végeznek. Amenniben a függőleges és vízszintes iránú rezgés frekvenciája azonos, akkor a két rezgés eredőjeként ellipszis pálát nerünk. Bár a hőcserélők rezgéstani méretezése jelenleg még nem teljesen kidolgozott mérnöki szakterület, az már ismert, hog a hőcserélő csövei gakran ellipszis pálán mozognak, ahol a pála alakja általában a közel egenes és a körpála között változhat. Párhuzamos áramlásba helezett, a főáramlással azonos tengelű ellipszis pálán mozgó henger körüli áramlást vizsgáltam abban a speciális esetben, amikor a vizsgált paraméterek tartománában fennállt a lock-in állapot, azaz az örvénleválás frekvenciája szinkronizálódott a henger rezgetési frekvenciájához. A tézisfüzet. fejezete eg meglepő jelenség vizsgálatára koncentrál, amelet akkor tapasztaltam, amikor a pála ellipticitása (kistengel-nagtengel arána) függvénében felrajzoltam az erőténezők időátlagának és effektív középértékének (rms) görbéit. Azt találtam, hog a megoldás két ún. állapotgörbe iii
között ugrásszerűen változik. Itt különböző vizsgálatok eredméneit mutatom be, például a Renolds szám, a rezgés frekvenciája és az ellipszis méretének hatását az áramlásra. Arra is kíváncsi voltam, hog a hengermozgás irána vajon befolásolja-e az áramlás jellemzőit. (A válasz: két ténező tekintetében igen, a többiben nem). A 3. fejezetben az áramlás és henger kölcsönhatására jellemző menniségeket tanulmánoztam közvetlen az ugrás előtti és utáni ellipticitás értékek esetére. Már a nagon kis ellipticitás változás (,!) is jelentős mértékben megváltoztathatja az erőténezőket; a felhajtóerő-ténező különösen érzéken az ellipticitás változására. Határciklus görbék, az eges jellemző menniségek között mérhető fázisszögbeli különbségek, valamint az adott hengerhelzethez tartozó áramképek mind arra utalnak, hog az ellipticitás értékének kis megváltoztatásával az örvénszerkezet ugrásszerűen változik meg. Úg tűnik, hog két periodikus megoldás létezik és az, hog ezek közül melik valósul meg, az a paraméterek értékeitől függ. Ezt támasztja alá a henger induló helzetének, mint kezdeti feltételnek, a megoldásra gakorolt hatására vonatkozó tanulmánom is: adott ellipticitás esetén a kezdeti feltétel megváltoztatásával mindkét megoldás elérhetővé vált. A 4. fejezet az előző fejezetektől eltérően nem tartalmaz numerikus eredméneket. Ez a fejezet annak a kérdésnek a megválaszolásával foglalkozik, hog mi a kapcsolat eg tetszőleges keresztmetszetű, általános mozgást végző henger körüli, két olan kinematikailag egmással azonos, kis Renolds számú áramlásra vonatkozó felhajtóerő-ténező és ellenállásténező között, amikor az egik esetben a henger áll (azaz az áramlás leírása inerciarendszerben történik), a másikban pedig gorsuló mozgást végez (ezért a hengerhez kötött vonatkoztatási rendszer nem inerciarendszer). Ez lehetőséget teremt arra, hog szétválaszthassuk a gorsuló vonatkoztatási rendszer miatt fellépő tehetetlenségi erőket és az áramlási eredetű erőket. Az általános összefüggések származtatása után alkalmazom azokat kör és téglalap keresztmetszetű esetekre. Kutatási eredméneimet főleg angol nelven publikáltam folóiratokban és konferencia kiadvánokban. Elnézést kérek a kedves olvasótól, amiért a tézisfüzetben ezek angol feliratú ábráit használtam. Azt is szeretném megjegezni, hog a témában főleg csak angol nelvű dolgozatokra tudtam támaszkodni, és sok kifejezésnek nincs általánosan használt magar megfelelője. Ezért zárójelben megadom a szakirodalomban általánosan használt angol szakkifejezést is. KÖSZÖNETNYIVÁNÍTÁS Az Áramlás- és Hőtechnikai Gépek Tanszékének volt vezetői, zibere Tibor és Níri András professzorok nag hatással voltak tudomános érdeklődésem kialakulására, akiknek ezúton is köszönetemet és hálámat szeretném kifejezni. Hálával tartozom a Tanszék jelenlegi vezetőjének, Szabó Szilárd professzornak támogatásáért és alkotói szabadságom engedélezéséért. öbröczöni Ádám dékán és Jakab Endre dékánhelettes urak folamatos érdeklődésükkel buzdítottak a habilitációs anag elkészítése során. Köszönettel tartozom kollégáimnak, barátaimnak, Kalmár ászló, akatos Károl és Tolvaj Béla docenseknek, akik alkotói szabadságom ideje alatt mentesítettek oktatási tevékenségem alól, és akik kitartó munkára bátorítottak. A Tanszék teljes kollektívájának szeretném megköszönni azt a támogatást, amit a kutató munkámhoz kaptam. A tézisfüzet és több tudomános dolgozat ábráinak elkészítésében nagon sok segítséget kaptam Ujvárosi Sándor okleveles gépészmérnöktől, amelért itt is szeretnék köszönetet mondani. Nagon hálás vagok barátomnak, Szunogh Gábor professzornak valamint kollégámnak, Schifter Ferenc docensnek a tézisfüzet gondos átnézéséért és értékes tanácsaikért. Nagon sokat köszönhetek feleségemnek, Nagano Robin ee-nek, akinek megértő segítsége nélkül ez a iv
tézisfüzet aligha születhetett volna meg. Hálás vagok Shirakashi professzornak, akitől ezt a kutatási témát kaptam, amikor Japánban dolgoztam, és akivel azóta is kutatási kapcsolatban állok. Az elnert T 34 és T 496 számú OTKA pálázataim tették lehetővé egrészt e feladatok megoldásához nélkülözhetetlen nag teljesítménű számítógépek beszerzését, másrészt eredméneim magas szakmai szintű konferenciákon történő előadását. FONTOSABB JEÖÉSEK JEGYZÉKE a a henger gorsulásvektora, U d -vel dimenziótlanítva A, a rezgés amplitúdója vag iránokban, d-vel dimenziótlanítva ellenállás-ténező, F ~ / ( ~ U ρ d ) f falsúrlódásból származó ellenállás-ténező felhajtóerő-ténező, F ~ / ( ~ U ρ d ) f falsúrlódásból származó felhajtóerő-ténező ~ p~* / ρ U ϕ = p hátsó nomásténező (base pressure coefficient), [ ( )] ( = ) pb = ϕ d hengerátmérő, hosszlépték, [m] e ellipticitás, A / A ; (kistengel-nagtengel arána) E mechanikai energiaátadási ténező, U d / f a henger rezgési frekvenciája, U d -vel dimenziótlanítva f v örvénleválás frekvenciája, [/s] F ~ ~ ~ egségni hosszú hengerre ható erő, F i + F j [N/m] ~ F egségni hosszú hengerre ható ellenállás, [N/m] F ~ egségni hosszú hengerre ható felhajtóerő, [N/m] i, j, iránú egségvektorok n görbére merőleges, normális iránú ívkoordináta, d-vel dimenziótlanítva p foladéknomás, ~ρ U -el dimenziótlanítva r két pont távolsága, d-vel dimenziótlanítva R sugár, d-vel dimenziótlanítva Re Renolds szám, Ud ~ ν rms effektív középérték (root-mean-square) s görbe menti ívkoordináta, d-vel dimenziótlanítva St Strouhal szám, örvénleválási frekvencia, U/d -vel dimenziótlanítva; St = f v d / U = / T t idő, d/u-val dimenziótlanítva T örvénleválási periódus, d/u -val dimenziótlanítva, dimenziótlan hőmérséklet t nomatéki (torque) ténező, ~ρ U d -el dimenziótlanítva q U u,v v, párhuzamos áramlás sebessége, sebességlépték, [m/s], iránú sebességkomponensek, U-val dimenziótlanítva henger középpontjának sebessége, U-val dimenziótlanítva escartes-féle derékszögű koordináták, d-vel dimenziótlanítva v
ϕ polárszög ~ Φ fázisszög ν kinematikai viszkozitási ténező, [ m ~ / s ] 3 ρ a foladék sűrűsége, [ kg / m ] ς örvéneloszlás, U/d-vel dimenziótlanítva Θ a sebesség divergenciája, U/d -vel dimenziótlanítva; a henger kezdeti helzetére jellemző polárszög ξ, η számítási síkon értelmezett koordináták Indeek f falsúrlódás felhajtóerő ellenállás mean az adott menniség időátlaga r a hengerrel egüttmozgó (relativ) rendszerben rms az adott menniség rms értéke, vag iránú komponens w az adott menniség fal menti értékre, energiaátadás és iránokban; a henger felületén ill. a tartomán külső peremén a hengermozgásra vonatkozó menniség ξ, η ξ vag η iránú komponens vi
. SZÁMÍTÁSI EJÁRÁS ÉS ÖSSZEHASONÍTÓ SZÁMÍTÁSOK.. Előzmének és célkitűzések A levegő- vag foladékáramlásba helezett nem áramvonalas, vag más néven tompa testekről leváló örvének gakran a szerkezet meghibásodását okozzák. Jó példa erre a Tacoma Narrows függőhíd (USA), amel örvénleválás által keltett csavarólengés miatt omlott össze 94-ben. Eg másik eset a Japán-beli Monju atomerőműben történt, ahol az áramló foladékba helezett műanag hőmérőtok a róla leváló örvének miatt kifáradt és megrepedt, a repedésen keresztül pedig primer hűtőfoladék jutott ki a rendszerből. Az erőművet 995-ös leállítása óta nem indították újra. A szélnek kitett magas karcsú épületekről, silókról, gárkéménekről leváló örvének az építmén nag amplitúdójú rezgéséhez vezethetnek, ha annak sajátfrekvenciája közel esik az örvénleválási frekvenciához és uganakkor a szerkezet csillapítása kicsi. A hőcserélőkben lévő csőkötegekről leváló örvének a hőcserélő rezgéséhez és zajos üzeméhez vezethetnek. Gakorlati fontossága miatt nagon sok kutató foglalkozik az álló és mozgó körhenger körüli különböző áramlások elméleti, kísérleti és numerikus vizsgálatával. Különösen kiterjedt irodalma van a párhuzamos áramlásba helezett álló körhenger körüli áramlásnak; ezt példázza többek között Sumer és Fredsoe (997) valamint Zdravkovich (997) e kutatási téma eredméneit bemutató könvei is. A teljesség igéne nélkül szeretném a következő nég, álló hengerre vonatkozó kísérleti tanulmánt megemlíteni: Roshko (954), Williamson (996), Bearman (997a) és Norberg (). A körhengerre vonatkozó kísérleti eredmének jól felhasználhatók a számítási eredmének ellenőrzésére. A számítási kapacitás jelentős mértékű növekedésének eredméneként nagon nagszámú, az áramlás számításával foglalkozó tanulmán született. Ezek közül, a teljesség igéne nélkül, most csak néhánat említek meg. Braza és szerzőtársai (986) (a későbbiekben és szerzőtársai helett rövidítési célból az et al. latin kifejezést fogjuk használni) a véges térfogatok módszerén alapuló kétdimenziós () eljárásukkal vizsgálták az áramlást különböző Renolds számok esetén (Re=,, ). Karniadakis et al. (99) a spektrális elem módszerükben az egenletek idő szerinti diszkretizációját több lépésre felbontva magas rendű eljárást fejlesztettek ki. Mittal és Balachandar (997) Re=3 esetén összehasonlító számításokat végeztek a spektrális kollokációs módszeren alapuló két-és háromdimenziós (, 3) eljárásaik alkalmazásával, amel lehetővé tette az adott Renolds számnál fellépő 3 instabilitások vizsgálatát is. Thompson et al. (995) a spektrális elem módszeren alapuló 3 eljárásukkal a kis Re számú kétdimenziós áramlásban megjelenő 3 instabilitásokat vizsgálták. Barkle és Henderson (996) álló körhenger körüli áramlásra a Floquet analízis felhasználásával két 3 instabilitást azonosított: mode A: Re 9 és λ 4 d; mode B: Re 59 és λ.8d, ahol λ a henger hossza mentén értendő hullámhosszakat jelenti, d pedig a henger átmérője. Eredméneik alapján kijelenthető, hog álló henger körüli áramlás esetén Re >9 esetén az áramlás pontos leírásához 3 eljárás szükséges. Kravchenko et al. (999) numerikus eljárásában sikeresen alkalmazta a B-szplájnt a tartománonként változó sűrűségű számítási háló esetén, és jó egezést nert kísérleti eredménekkel kis és közepes (Re=39) Renolds számok esetén. Guschin et al. () a véges differenciák módszerén alapuló és 3 eljárásaik felhasználásával körhenger körüli átmeneti áramlást vizsgáltak (amikor 3 jelenségek is fellépnek), és eredméneik megerősítik a Barkle és Henderson (996) által kimutatott A és B típusú instabilitások létezését. Fontossága miatt sok kutató foglalkozik a párhuzamos áramlásba helezett hossz- vag keresztiránban rezgő körhenger körüli különböző áramlások vizsgálatával. A párhuzamos áramlásba helezett körhengerről leváló örvének eg periodikus gerjesztést jelentenek a hengerre nézve. Ilenkor eg nemlineáris kölcsönhatás lép fel a foladék és a henger között, amelnek eredméneként eg bizonos sebességtartománban az örvénleválás
szinkronizálódik a henger rezgésével. Ezt a jelenséget a szakirodalomban általában lock-innek (szinkronizálódásnak) nevezik. Amenniben a csillapítás kicsi és a rugalmasan felfüggesztett henger sajátfrekvenciája közel esik az örvénleválás frekvenciájához, akkor a henger nag amplitúdójú keresztiránú rezgést végezhet. A numerikus vizsgálatok során gakran a hengert mechanikusan rezgetik, íg a henger pálája időben ismertnek tekinthető. Eg másik különbség a párhuzamos áramlásba helezett álló és rezgő henger körüli áramlások között az, hog a rezgő henger szinkronizálódott állapotában az áramlás nagobb Renolds számig marad. Többek között Bearman és Obasaju (98) kísérleti eredménei azt mutatták, hog a rezgőmozgást végző henger esetén a lock-in növeli az áramlási menniségek henger hossza menti korrelációját és ezzel erősíti az áramlás kétdimenziós voltát. Sumer és Fredsoe (997) kimutatta, hog eg körhengert keresztiránban rezgetve már kis amplitúdónál (,d) is jelentősen megnő a felületi nomás-ingadozásokból definiálható korrelációs ténező henger hossza menti eloszlása. Poncet (, 4) dolgozataiban hibrid örvén módszeren alapuló 3 numerikus eljárásának alkalmazása során párhuzamos áramlásba helezett álló henger esetén Re=4 és 5 mellett a 3 áramkép kialakulása után forgásiránú rezgésnek tette ki a hengert, és rövidesen a 3 áramlás -sá vált. Koide et al. () a lock-in jelenség azonosítására használták a hossziránú korrelációs ténező hirtelen megnövekedését a henger keresztiránú rezgésénél. Koopman (967) és Griffin (97) kísérleti vizsgálataik során azt kapták, hog az áramlásra merőlegesen rezgő henger esetén az áramlás körülbelül Re=35-ig maradhat. u és alton (996) a számítási eljárását keresztiránban rezgő henger esetén Re=5 sőt -es Renolds számra is használta. Kaiktsis et al. (7) ugancsak a főáramlás iránára merőlegesen rezgetett henger esetén Re=4 esetet vizsgált módszerrel. Ezek a vizsgálatok azt mutatják, hog a henger lock-in állapotában a 3 jelenségek nagobb Re értékeknél jelentkeznek, mint álló körhenger esetén, íg az általam kifejlesztett eljárás az álló hengerhez képest nagobb, Re >9 esetén is használható. Mivel nem ismeretes egértelmű felső korlát a Renolds számra ameddig marad a szinkronizálódott áramlás, a biztonság érdekében e tanulmánban nem vizsgáltam Re >3 eseteket. A keresztiránú hengermozgás valóságban gakran előfordul: ilen keresztiránú rezgést okoznak a rugalmasan felfüggesztett testről periodikusan leváló örvének. A nagszámú tanulmán közül itt most csupán néhánat kívánunk megemlíteni. Bishop és Hassan (964) megfigelte, hog ugrás léphet fel a párhuzamos áramlásba helezett, keresztiránban rezgő henger esetében a felhajtóerő és a henger-elmozdulás közötti fázisszögben. Williamson és Roshko (988) sokat idézett dolgozatában kísérleti vizsgálatok alapján meghatározta azt a térképet, amel a henger dimenziótlan rezgési amplitúdója és mozgásának hullámhossza síkján szétválasztja az örvénleválás különböző módjait. Karniadakis és Triantafllou (989) megkísérelte az előbbi térkép eg részletét számítással rekonstruálni a spektrális elem módszer alkalmazásával. Az akkor még erősen korlátozott számítási lehetőségek mellett meghatározták a lock-in kialakulásához szükséges amplitúdóküszöb közelítő értékeit a henger rezgési frekvenciája függvénében. Bearman (997b) tompa testekre köztük rezgő körhengerre vonatkozó kísérleti és számítási eredméneket mutatott be. A dolgozat Re= Renolds szám értékhez tartozóan tartalmazza a keresztiránban rezgetett hengerre vonatkozó amplitúdóköszöb számított görbéjét is. Több numerikus vizsgálaton alapuló tanulmán, íg például u és alton (996), Blackburn és Henderson (999) és Blackburn (3) numerikus vizsgálattal kimutatta, hog a párhuzamos áramlásba helezett keresztiránban rezgetett körhenger lock-in állapotában a felhajtóerő-ténező és a keresztiránú henger-elmozdulás között mérhető fázisszögben hirtelen ugrás léphet föl, amikor a henger rezgési frekvenciája közel esik az adott Renolds számhoz tartozó álló hengerre vonatkozó dimenziótlan St örvénleválási frekvenciához. Blackburn és Henderson (999) bevezette a keresztiránban rezgő henger és a foladék közti fajlagos energiaátadási ténezőt és azt tapasztalta, hog
annak értéke előjelet vált, amikor az előbb említett fázisszög-ugrás fellép. Blackburn (3) azt is megmutatta, hog ilenkor az ugrás előtti ill. utáni rezgési frekvenciánál a henger azonos helzetéhez tartozó áramképek egmás közel tükörképei. Stewart et al. (5) valamint eontini et al. (6) tovább vizsgálták az energia átadást, és Re= esetén számítással meghatározták a dimenziótlan rezgési amplitúdó redukált sebesség A U/(St d) ill. dimenziótlan rezgési amplitúdó-frekvencia A(f) síkokon az állandó energiaátadást jellemző görbéket. Kaiktsis és Triantafllou (4) valamint Kaiktsis et al. (7) különböző, de rögzített henger rezgési frekvenciák esetén számítással meghatározták az erőténezők időátlagának és effektív középértékének (root-mean-square, rms) a dimenziótlan rezgési amplitúdótól való függését. A görbéken bizonos amplitúdó értékeknél a vizsgált függvének ugrásszerű változást szenvednek. Williamson és Govardhan (4) összefoglaló tanulmánukban áttekintették az örvénleválások okozta rezgésekkel kapcsolatos számítási és kísérleti eredméneket. Oszcilláló áramlással (amikor a henger áll és a foladékrészecskék végeznek periodikus keresztiránú mozgást) többek között Sarpkaa (986, ), Meneghini és Bearman (995) és haplin és Subbiah (996) foglalkoztak. A főáramlással párhuzamos iránú (angolul in-line) rezgő henger körül kialakuló áramlás vizsgálatával kevesebben foglalkoznak. Mivel ez a terület kisebb hatással volt kutatási iránvonalam kialakítására, mint a keresztiránban rezgő hengeré, íg a vonatkozó szakirodalmat még vázlatosabban kívánom áttekinteni. Kamemoto et al. (997) sikeresen alkalmazták az örvénelem módszer és a határréteg elmélet kombinációját numerikus tanulmánukban. Mittal és Kumar (999) a végeselem módszeren alapuló számítási eljárásuk alkalmazásával vizsgálták a párhuzamos áramlásba helezett rugalmasan felfüggesztett körhenger körüli áramlást (amel hossz- és keresztiránban is végezhet rezgést) Re=35 esetén. Vizsgálatukban kitértek az áramlás szinkronizálódott állapotára is. etiner és Rockwell () a Particle Image Velocimetr (PIV) módszerrel vizsgálták a lock-in esetén fellépő örvénszerkezeteket. Mureithi et al. (4), Mureithi és Rodriguez (5, 6) az áramlás iránában mechanikusan rezgetett henger körüli áramlást vizsgálták numerikus és kísérleti eszközökkel. olgozataikban az ortogonális felbontás (Proper Orthogonal ecomposition, PO) módszerét használták az örvénstruktúrák azonosítására. A henger kétiránú rezgése ellipszis pálát eredménezhet. Belátható, hog amenniben a két egmásra merőleges rezgőmozgás frekvenciája azonos, akkor a kezdeti feltételek alkalmas megválasztásával a henger minden pontja azonos alakú ellipszis pálát fut be. A párhuzamos áramlásba helezett elliptikus mozgást végző hengerek körüli esettel kevesebben foglalkoznak annak ellenére, hog ez a hullámokban mozgó henger körüli áramlás modelljének tekinthető. A hőcserélőkben lévő csövek is gakran ellipszis pálán mozognak, ahol a pála alakja a közel egenestől akár a körpáláig is változhat (Blevins, 99). Bár az elliptikus pálát többféle aspektusból is vizsgálták, mindössze két dolgozatot találtam, amel megegezik az én tanulmánomban található áramlási feltételekkel és hengermozgással: a párhuzamos áramlásba helezett ellipszis pálán mozgatott körhenger körüli kis Renolds számú áramlások numerikus szimulációjával. Itt szeretnék megemlíteni néhán dolgozatot, amel némiképp kapcsolódik a jelen tanulmánom témájához. Kissé hasonló probléma a bolgó áramlás (orbital flow; amikor a foladékrészecskék pálája eg zárt görbe), amel vizsgálatával többek között hen et al. (995) foglalkoztak. A szerzők az áramfüggvén-örvén módszeren (stream function vorticit method) alapuló számítási eljárásuk alkalmazásával vizsgálták a bolgó áramlásba helezett álló vízszintes henger körüli áramlást. A keverés modellezése céljából az álló foladékban körpálán mozgatott henger körüli áramlást Teschauer et al. () vizsgálták a véges térfogatok módszerén alapuló eljárásuk felhasználásával. Williamson et al. (998) kísérleti tanulmánukban álló foladékban ellipszis pálán mozgatták a hengert, és azt találták, hog a pála ellipticitásának (ellipszis tengelarána) növelésével minteg 5%-kal 3
csökkent az ellenállás-ténező. Eg igen összetett esetet vizsgált Borthwick (986), aki eg párhuzamos áramlásba helezett forgó és egben körpálán mozgó henger körüli áramlás számításával foglalkozott. idier és Borges (7) többek között eg párhuzamos áramlásba helezett mechanikusan körpálán mozgatott körhenger körüli áramlást vizsgált. Széles határok között változtatták a rezgés frekvenciáját, és sikerült a hengermozgás és az örvénleválás közötti szinkronizálódást (lock-in) elérni. Az alapvető különbség az, hog ők csak egetlen ellipticitás esetet a körpáláét tekintettek, szemben a jelen tanulmánnal, amel az ellipticitásnak az áramlás jellemzőire gakorolt hatását vizsgálja. ewis (7) az örvénfelhő módszerével megkísérelte rekonstruálni azokat az időátlag és rms értékeket az ellipszis pálán mozgó henger keresztiránú rezgési amplitúdója függvénében, ameleket Barani (4a) határozott meg. ewis azt találta, hog +/- és -/+ előjelű örvénpárok alakulnak ki, és ezek határozzák meg, hog az állapotgörbék melik ágán van a rendszer. Az előzőekben megfogalmazott problémák ismeretében célul tűztem ki: eg olan számítógépes eljárás kidolgozását, amel alkalmas összenomhatatlan newtoni foladék lamináris áramlásának homogén párhuzamos áramlásba helezett, az áramlás iránára merőleges tengelű, a főáramlás iránában vag arra merőleges iránban harmonikus rezgőmozgást végző, vag tetszőleges alakú ellipszis pálán mozgó körhenger körüli leírására (miközben a henger szimmetria tengele mindig a vizsgált síkra merőleges marad). A tervezett eljárás legen alkalmas az áramlás kinematikai jellemzőin (pl. sebességtér, örvéntér, stb.) túl a test és a foladék közti dinamikus kölcsönhatás (felhajtóerő, ellenállás, nomaték, energiacsere) meghatározására is. a tetszőleges síkbeli hengermozgásra kidolgozott számítási eljárás tesztelése, validálása a szakirodalomban található álló, rezgő és körpálán mozgó hengerre vonatkozó kísérleti és számítási eredmének alapján... Alapegenletek Az áramlás alapegenletei az ~ a gorsulással mozgó hengerhez kötött nem-inercia rendszerben vag relatív rendszerben felírt Navier-Stokes mozgásegenletek és a kontinuitási egenlet, amelek összenomhatatlan newtoni közeg esetén a következő alakban írhatók fel: ~ v ( ~ ~ v ) ~ ~ ~ v f ~ p ~~ ~ ~ + = ~ + ν v ~ a, (.) t ρ ~ ~ ~ u ~ v ~ Θ = v = ~ + ~ =, (.) ahol a ~ jel a menniségek dimenzionális voltára utal: ~ v a sebességvektor, ~ Θ a sebességvektor divergenciája, ~ p a nomás, ~ ~ a dimenzionális nabla operátor, a aplace operátor, ~ f a tömegegségre vonatkoztatott nehézségi erőtér intenzitása, ~ t az idő, ~ ρ és ~ ν a foladék sűrűsége ill. kinematikai viszkozitása, ~, ~ az adott rendszerben mért escartes-féle koordináták, u ~, v ~ pedig az ~, ~ iránokban vett sebességkomponenseket jelöli. Egenleteinkben eltekintettünk az áramló közeg viszkozitásának és sűrűségének a hőmérséklettől való függésétől. Az (.) és (.) egenletekben az eges vektorok közötti szorzásjel skaláris szorzást jelöl. Az (.) egenletben a nomásgradiens és a nehézségi erőtér vektora összevonható: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ * ( gh ~ ) ~ g ~ h ~ ~ ~ ~ ~ p f p = p = + = ~ p, (.3) ρ ρ ρ ρ 4
ahol g ~ a nehézségi gorsulás, h ~ * a nehézségi erővel ellentétes iránítású helkoordináta, ~ p a p~ ténleges nomás és a foladék g ~ h ~ fajlagos helzeti energiájához társítható nomás összege. Mint ismeretes a p~ ~ g ~ h ~ p~* = + ρ (.4) * értéke nugvó, állandó sűrűségű foladékban állandó. ~ p állandósága éppen a hidrosztatika egenletének egik alakját adja. A g ~ h ~ fajlagos helzeti energiából származó nomástag nugvó foladékba helezett test esetén éppen a testre ható archimédeszi felhajtóerőt * kompenzálja. Íg a ~ p használatának előne, hog szétválasztja a testre ható archimédeszi felhajtóerőt és az áramlásból származó más erőket (Barani és Shirakashi, 999). Térjünk most át dimenziótlan menniségekre. Válasszuk a henger előtti zavartalan áramlás U sebességét sebességléptéknek, hosszléptékül pedig használjuk a d hengerátmérőt! Ezek felhasználásával definiálhatjuk a ~ jel nélküli dimenziótlan menniségeket: * U ~ t ~ ~ ~ v ~ a d p~ τ~ t =, =, =, v = ; a = p =, τ =, (.5) d d d U U ρ~ U ρ~ U ahol ~ τ és τ a dimenzionális és dimenziótlan nírófeszültség, p a dimenziótlan nomás. Az (.3) kifejezés utolsó tagját beírva az (.) jobb oldalán lévő első két tag helére, majd az íg nert egenlet mindkét oldalát d /U -el megszorozva és figelembe véve az (.5) definíciókat, a következő, csak dimenziótlan menniségeket tartalmazó, egenletet kapjuk: v + ( v ) v = p + v a, (.6) t Re ahol ~ Re = Ud / ν a Renolds szám, pedig a dimenziótlan aplace operátort jelöli. Az (.6) egenlet két komponens-egenlete a következő alakú: u u u p u u + u + v = + a t Re +, (.7) v v v p v v + u + v = + a t Re +, (.8) ahol u, v ill. a, a a foladék sebességének ill. a henger gorsulásának ill. iránú komponense. Az (.) dimenzionális kontinuitási egenletet d/u ténezővel megszorozva a u v Θ = v = + = (.9) dimenziótlan kontinuitási egenlet adódik, ahol Θ a dimenziótlan v sebességvektor divergenciája. Bár egenleteinket a gorsuló mozgást végző hengerhez kötött rendszerben írjuk fel, az a = helettesítéssel azok érvénesek maradnak álló henger esetére is. Bár az (.7)-(.9) egenletek elvileg alkalmasak az u, v sebességek és a p nomás meghatározására, de azok időbeli változásának pontos megoldási lehetőségét jelentősen megnehezíti az a tén, hog az (.9) kontinuitási egenlet nem tartalmazza eplicite az idő szerinti deriváltat. A probléma áthidalható, ha eg külön egenletet származtatunk a nomásra. Az (.6) Navier-Stokes egenlet divergenciáját véve, a Θ sebességdivergenciát tartalmazó tagok közül csak annak idő szerinti parciális deriváltját meghagva, némi átrendezés után adódik a nomásra vonatkozó Poisson egenlet (Harlow és Welch, 965): p p u v u v Θ + =. (.) t 5
Mivel a henger a gorsulása csak az időtől függ, íg annak divergenciája nem jelenik meg az (.) egenletben. A fenti egenletben a Θ az (.9) egenlet alapján ugan zérus, de a fenti leírásmódot véges differenciák módszerével egütt alkalmazva nem elégíti ki egzakt módon a kontinuitást. Ezért a numerikus hibahalmozódás és az instabilitás elkerülése érdekében célszerű az (.) egenletben a Θ idő szerinti parciális deriváltját meghagni (Harlow és Welch, 965). Barani és Shirakashi (999) a véges differenciák módszerén alapuló numerikus vizsgálata megerősítette, hog az (.) utolsó tagjának elhagása drasztikus hatással van a megoldásra, uganakkor az egenletből elhagott egéb, Θ -t tartalmazó tagok csak elhanagolható mértékben befolásolják a megoldást..3. Peremfeltételek A v sebességre és a p nomásra vonatkozó peremfeltételek az R sugarú körhenger felületén valamint a számítási tartomán külső peremét jellemző, a körhengerrel azonos középpontú R sugarú kör mentén az alábbi módon adhatók meg (l. az. ábrát): ( R ) hengerfelület: u = v =, (.) p = v n an. (.) n Re ( R ) külső perem: u = u pot u, v = v pot v, (.3) p p =. (.4) n n pot Az (.) egenletből látható, hog a henger felületén az u és v sebességkomponensek eltűnnek, míg a p nomásra az (.6) mozgásegenlet felhasználásával az (.) Neumann típusú peremfeltételt származtatjuk, ahol az n inde a görbe külső normálisa iránában vett komponensre utal. A hengertől távoli, zavartalan áramlást jellemző R sugár mentén potenciáláramlást tételezünk fel. Erre utal az (.3) és (.4) egenletekben szereplő pot inde. Megjegezzük, hog a potenciáláramlás feltételezése a tartomán külső peremén jó közelítést jelent a henger mögötti vékon holttértől eltekintve. A külső perem igen messze van a hengertől, íg nem meglepő az a számítási tapasztalat (Barani és Shirakashi, 999), hog e feltevés mindössze a holttér külső tartománhatára körnezetében torzítja el kis mértékben a sebességteret. Az (.3) egenletben u és v a henger középpontjának ill. iránú sebessége. Természetesen a peremfeltételek álló hengerre is érvénesek maradnak az a = és v = helettesítésekkel..4. A hengermozgás jellemzői Nézzük most meg, hog a hengermozgásra jellemző, az alapegenletekben ill. a peremfeltételekben szereplő a és v kinematikai jellemzők milen fajtáit fogjuk tekinteni e tanulmánban. Az.. ábrán az ellipszis pálán mozgó körhengerre vonatkozó elrendezés látható. Az ellipszispálát két azonos frekvenciájú ( f = f = f ) harmonikus rezgőmozgás eredőjeként kapjuk. Az egségni átmérőjű henger, középpontjának mozgása a következő módon írható le (minden hosszúságot a d hengerátmérővel dimenziótlanítunk): ( t) = A cos( π f t), ( t) = A sin( π f t), (.5) ahol f az U/d - vel dimenziótlanított frekvencia, az A és A az ellipszis dimenziótlan nagés kistengelének hossza. Természetesen ebben az esetben a henger minden pontjának azonos a sebessége, mivel forgómozgást nem végez. Ha A és A is nullától különböző, akkor az (.5) egenletből ellipszist kapunk (szaggatott vonal jelzi az.. ábrán), amelnek az 6
e = A A ellipticitása az A növelésével (rögzített A mellett) nő. e= esetén a henger középpontja csak longitudinális rezgést végez, míg e= esetén körpálán mozog. A henger u, v sebesség-, ill. a, a gorsuláskomponensei az óramutató járásával ellentétes iránban keringő körhenger esetén az (.5) egenletből idő szerinti deriválással adódnak: t π f A sin f t t = π f A cos f t, (.6) () = ( ), v ( ) ( π ) () t = 4π f A cos( f t), a ( t) 4π f A sin( f t) u π a π =. (.7) π U O d= A A.. ábra: Henger ellipszis pálán történő keringése Az (.5)-(.7) egenletek óramutató járásával ellentétes iránú hengermozgásra vonatkoznak; az, v és a előjeleinek megváltoztatásával óramutató járásával egező bolgómozgást kapunk. Az (.7), (.8) és (.) alapegenletekben szereplő a, a ill. a n gorsuláskomponensek értékeit a később részletezendő numerikus eljárás minden időlépcsőjében az (.7) egenlet felhasználásával, míg az (.3) peremfeltételben szereplő u, v sebességeket az (.6) egenletből számítjuk. Természetesen az (.5)-(.7) egenletek az A, A amplitúdók alkalmas megválasztásával használhatók mind a henger kereszt- ( A =) mind hossziránú ( A =) rezgése, valamint álló henger esetén is ( A A = ). =.5. eképzés a fizikai síkról a számítási síkra, a numerikus eljárás Azért, hog a peremfeltételeket pontosan ki tudjuk elégíteni, és elkerülhessük a számítási pontosságot rontó interpolációt, peremre illesztett koordinátákat használunk. A fizikai sík számítási síkra való leképzését az.. ábra mutatja. A fizikai sík (, ) és a számítási sík ( ξ, η ) koordinátái közti kapcsolatot az.. ábra: A fizikai és számítási síkok 7
( ξ, η) = R( η) cos[ g( ξ )], ( ξ, η) = R( η) sin[ g( ξ )] (.8) alakban vesszük fel, ahol R ( η) = R ep [ f ( η) ]. (.9) A két síkon azonos t dimenziótlan időkoordinátát használunk. Az R és R sugarú hengerfelületeknek ahol az (.)-(.4) peremfeltételeket ki kell elégíteni a számítási síkon az η = ill. az η= ηma egenesek felelnek meg, ahol a ma inde a maimális értékre utal. Az (.8) és (.9) egenletek alapján können belátható, hog a számítási síkon ortogonális egenközű hálót nerünk, amel azért is előnös, mert a differenciasémák többsége erre az esetre van kidolgozva, és azok általában ilenkor magasabb rendű közelítést jelentenek, mint nem egenközű háló esetén. Bár többféle f ( η) és ( ξ ) g függvént kipróbáltunk, itt ezzel most terjedelmi okok miatt nem kívánunk foglalkozni. Az egszerű g ξ ( ξ ) = π, ( ) η R ξ f η = ln, (.) ma η ma R lineáris leképzőfüggvén alkalmazásával nert eredmének jónak bizonultak (Barani, 3). Az f ( η) és g ( ξ ) függvének ilen megválasztása biztosítja, hog a henger közelében ahol a sebesség erősen változik a háló sűrű, attól távolodva pedig egre ritkább legen. Ezáltal az eljárás igen jól leírja a számunkra fontos test és a foladék közötti kölcsönhatást (ellenállás, felhajtóerő, nomaték), de a számunkra kevésbé fontos, a hengertől távoli számított áramkép már nem eléggé részletes. Az (.8)-(.) leképzés kölcsönösen egértelmű, mert a J Jacobi-féle determináns π ln ( R R ) J = R ( η) = η ξ ξ η (.) ξ η ma a vizsgált tartománban lévő tetszőleges ξ és η értékekre pozitív értéket ad. Az (.) egenletben a ξ és η inde a ξ ill. η változók szerinti differenciálást jelöli. A fizikai síkon (l. az.. ábrát) a görbe vonalú háló eg elemi négszöge két oldalának a hánadosa az ún. rácsviszon (aspect ratio, AR) Fletcher (997) alapján: g f η ξma ln( R R ) AR = = =, (.) g g πη ξ ahol g és g a metrikus tenzor főátlójának elemei, és az egenletben a ξ és η indeek most is differenciálást jelölnek. Az (.) egenletből látható, hog a rácsviszon az (.) lineáris leképzőfüggvének esetén az egész fizikai tartománon állandó. A két egmásra merőleges iránban vett rácspontok számának ( ξ ma,η ma ) megfelelő választásával elérhető, hog az AR értéke közel legen. Íg közelítőleg megvalósítható az előnös számítási tulajdonságokkal rendelkező konformis leképzés. Az (.8)-(.) leképzés felhasználásával az (.7)-(.) alapegenleteket leképezzük a számítási síkra (Barani, 3). A transzformált Navier-Stokes egenletek és komponenseire a következő összefüggések adódnak: u u u + u v + v u = t J η η ξ J ξ ξ η p p u u + g g a J Re J +, (.3) η ξ ξ η ξ η ma ma 8
9 = + + η ξ ξ ξ η η v u v J v v u J t v. a v g v g J p p J Re + + η ξ ξ η η ξ. (.4) A Θ sebességdivergencia transzformációjára a következőt kapjuk: = + = ξ η η ξ η ξ ξ η Θ v v u u J. (.5) A nomásra vonatkozó Poisson egenlet transzformáltja pedig az alábbi alakot ölti: t J v u v u J p g p g = + Θ ξ η η ξ η ξ. (.6) Az egenletekhez hasonlóan az (.)-(.4) peremfeltételeket is leképezzük a számítási síkra. Az (.8)-(.) leképzés alkalmazása után a nomásra vonatkozó (.) és (.4) peremfeltételek a következő alakokba mennek át: ha a a v u J g p R R Re : η η η η η η η + = =, (.7) ha. n p R R n l R p : R R pot ma = η η (.8) Az (.3), (.4), (.6) és (.7) egenletekben szereplő metrikus tenzor főátlójában lévő g ill. g elemei a következő alakúak: + = ξ ξ g,. + = η η g A transzformáció (.8), (.9) alakú megválasztása tetszőleges ( ) η f és ( ) ξ g függvének esetén biztosítja, hog a metrikus tenzor főátlón kívüli elemei zérusak legenek, azaz = = g g. Ezért hiánoznak a veges másodrendű deriváltak a (.3), (.4) és (.6) egenletekben szereplő aplace deriváltakból. Az (.) leképzőfüggvének lineáris megválasztása egben azt is biztosítja, hog az előbb említett aplace deriváltak transzformált alakjaiból az elsőrendű deriváltak is kiesnek, (Barani és Shirakashi, 999, Barani, 3). Mivel az ( ) η f és ( ) ξ g leképzőfüggvének elemi függvénekkel adottak, a számításhoz szükséges metrikus paraméterek és a koordináta-deriváltak zárt alakban származtathatók, íg nincs szükség a számítási hibához vezető numerikus differenciálásra. Mint már említettük, mind a számítási síkon nert egenközű háló, mind a fizikai síkon az AR rácsviszon egségnire választásával nerhető közel konformis leképzés előnös számítástechnikai szempontból. További előn, hog mivel a számítási hálót a mozgó hengerhez rögzítjük, ezért nincs szükség minden eges időlépcsőben új hálót létrehozni, elég a hálógenerálást egszer, a számítások előtt elvégezni. átható tehát, hog ez a számítási eljárás több szempontból is optimalizált. A FORTRAN nelven általam írt számítógépes programban a transzformált egenleteket a véges differenciák módszerével oldottam meg. A térbeli deriváltakat a konvektív tagok kivételével a tartomán belsejében negedrendű centrális differenciákkal, a tartomán peremén pedig harmadrendű féloldalas differenciákkal közelítettem. Az (.3) és (.4) transzformált Navier-Stokes mozgásegenletekben szereplő konvektív tagokat a Kawamura és Kuwahara (984) által javasolt jól bevált harmadrendű módosított upwind sémával számítottam. Az upwind séma jellemzője, hog eg adott pontbeli deriváltat az áramlás iránából vett függvénértékek alapján közelíti. A mozgásegenleteket eplicit módon
integráltam, amel minden időlépcsőben megadta a sebességeloszlást. Íg az időbeli diszkretizáció elsőrendű. A nomásra vonatkozó (.6) egenletben Θ / t tagot úg vettem figelembe, hog kielégítve az (.5) kontinuitási egenletet a Θ sebességdivergencia új értékét minden időlépcsőben -ra választottam. A nomásra nert Poisson egenletet a szuszcesszív felülrelaálás (successive over-relaation, SOR) módszerével oldottam meg. A 5 számításokat akkor tekintettem konvergáltnak, ha a maradéktag értéknél kisebb volt, 6 mivel a maradéktag -ra történő csökkentése esetén a megoldás gakorlatilag nem változott. Az alternáló jelek spektrumát a gors Fourier transzformációval (Fast Fourier Transform, FFT) kapjuk, amelből a spektrumcsúcsok heleként meghatározható az örvénleválás frekvenciája. A módszer részletesebb leírása az Barani és Shirakashi (999) és a Barani (3) dolgozatokban található. Számításaim többsége esetében R / R = 4 ; időlépcső: t =,5; rácspontok száma: 3 77 (a minimális és maimális rácsméret R min / d =, 59 ; R ma / d =, 448 ; két egmást követő rácsméret hánadosa az (.) alakú leképző függvének esetén állandó: r i+ / r i =,8). Végeztem számításokat t =,5 és 48 83 rácspont számmal is ( R / d, 658 ; R / d, 599 ; r / r, 37 =const). Az időlépcsőt azért min = ma = i+ i = választottam ilen kicsire, hog az időbeli elsőrendű diszkretizáció ellenére is pontos eredmént kaphassak. A rácspontoknál az első szám a kerületi-, a második pedig a sugáriránban vett pontok számát jelöli. Barani (8a) szerint ilen háló esetén a megoldások gakorlatilag már hálófüggetlen -nek tekinthetők. Megjegzendő, hog a rácspontok számát úg választottam meg, hog a (.) egenlettel definiált AR rácsviszon jó közelítéssel egségni legen. A nert sebesség- és nomáseloszlás ismeretében számos más jellemző is kiszámítható: például az áramfüggvén- és örvéneloszlás, a fejhajtóerő- és ellenállás-ténező, a nomásténező, a nomatéki ténező, a torlópont és a leválási pontok időbeli vándorlása, valamint egéb jellemzők. Eg tetszőleges oszcilláló f függvén f időátlagát és f rms rms értékét az t+ nt f = f ()dt t nt ; frms = f t f dt nt [ ( ) ] t t összefüggésekből numerikus integrálás felhasználásával számítottam, ahol t az integrálás alsó határa, T eg örvénleválási ciklus (amel során a henger felső és alsó felületén is leválik eg-eg örvén) és n a számításhoz alapul vett ciklusok száma. Mind az rms értékeket, mind az időátlagokat több n érték esetére meghatároztam a pontosság fokozása céljából. A továbbiakban a felhajtóerő- és ellenállás-ténező valamint a hátsó nomásténező mellett a t q nomatéki ténezőt (torque coefficient) is vizsgálni kívánjuk. Ez a menniség az egségni hosszúságú henger falán fellépő ~ τ w nírófeszültség integráljaként adódó nomaték ( ~ρ U d )-el történő dimenziótlanítással nerhető ~ τ π π w( s~ )d ds ~ t q = = τ ( ϕ) dϕ ω ( ϕ) dϕ ~ ρ 4 w = 4 w, (.9) U d Re ahol ~ τ w és w t + nt τ a dimenzionális és dimenziótlan nírófeszültség a falon, ω w a fal menti örvéneloszlás. A numerikus integrálással számított nomatéki ténezőt óramutató járásával egező nomaték esetén tekintjük pozitívnak (hen et al., 995, Barani, 7).6. Álló hengerre vonatkozó számítások, összehasonlítások A henger körüli áramlások vizsgálatára kidolgozott számítógépes eljárás hibakorlátjának meghatározása igen bonolult lenne még álló henger esetén is. E helett a számítási háló és az
időlépcső változtatása hatásának vizsgálatán túl fontos eszköz lehet a szakirodalomban rendelkezésre álló kísérleti és számítási eredménekkel történő összehasonlítás. Mielőtt az összehasonlításokra rátérnék, bemutatom néhán, álló hengerre vonatkozó számítási eredménemet. A számításokhoz leggakrabban használt háló (3 77) az.3. ábrán látható. A sok szempontból optimális leképzés eg hátrána az, hog kissé pazarlóan bánik a henger előtti számítási pontok számával, amel a számítási idő növekedéséhez vezet..3. ábra: Számítási háló (377), Barani (8b) felhajtóerő- Az egségni hosszúságú hengerre vonatkozó ténezőt és a következő módon definiáljuk: F ~ = ~ ; U ρ d ellenállás-ténezőt és F ~ = ~, (.3) ρ U d ahol F ~ és F ~ a d átmérőjű körhenger egségni hosszúságú felületére ható dimenzionális erő U iránú, ill. arra merőleges komponense, amelek a fal menti nomás és nírófeszültég felületi integráljaiból számíthatók (l. még a 4. fejezet (4.4) - (4.6) egenleteit is). Ennek megfelelően az (.3) erőténezők két részre bonthatók: = p + f ; = p + f, (.3) ahol az f inde az angol friction (azaz súrlódás) szó kezdőbetűjére utal, a p pedig a nomásra. Az.4. és.5. ábrák az általam számított erőténezők időbeli változását mutatják (Re=8 esetére), amelek mindegike eg adott idő eltelte után periodikussá válik. Az.4. ábra bal oldalán a felhajtóerő-ténező és a falsúrlódásból származó f felhajtóerőténező változása látható a dimenziótlan t idő függvénében. Mint említettük, az áramló súrlódásos foladékba helezett testre ható erő egrészt a foladék nomásából, másrészt a falon fellépő nírófeszültségből származik. Az ábrára tekintve az is látható, hog szemben az áramvonalas testek körüli leválásmentes áramlással a felhajtóerőnek a döntő része a nomásból származik, csak kis része ered a falsúrlódásból. Az.4. ábra jobb oldalán az (.9) egenlettel definiált t q nomatéki ténező látható. Ismeretes, hog az.4. ábrán lévő jelek periódusa megegezik eg örvénleválási ciklus T periódusidejével, azaz azzal az idővel, amel alatt eg örvén a henger felső, eg másik pedig az alsó oldaláról leválik. Az ábrákon
látható jelek az origóra nézve szimmetrikusak, időátlaguk zérus. Később, a gorsuló mozgást végző henger esetén azt fogjuk tapasztalni, hog e menniségek időátlaga nem fog eltűnni. Az.5. ábra bal oldalán a és f ellenállás-ténezők, a jobb oldalon pedig a pb időbeli változása látható. Mivel sem az ellenállás, sem a pb értékét nem befolásolja az, hog a henger alsó vag felső oldalán vált-e le az örvén, ezért e jelek periódusideje T/, tehát kétszer akkora frekvenciával oszcillálnak, mint az.4. ábrán bemutatott jelek. A bal oldali ábráról látható, hog az ellenállás-ténező döntő része is a nomásból származik. stationar clinder; Re=8; (-), f (.) 3-3 stationar clinder; Re=8;.6.4. f, q t -. - -.4 - -.6 8 4 6 8 dimensionless time -3 8 4 6 8 dimensionless time.4. ábra: A T periódusidejű görbék időbeli változása (balra: és f ; jobbra: t q ) stationar clinder; Re=8; (-), f (.) -.7 stationar clinder; Re=8;. -.75 -.8 f,.8.6 pb -.85 -.9 -.95.4 -. -.5 8 4 6 8 dimensionless time -. 8 4 6 8 dimensionless time.5. ábra: A T/ periódusidejű görbék időbeli változása (balra: és f ; jobbra: pb ) Az.6. ábra a henger felületén lévő alsó (foltonos vonal) és felső (pontvonal) leválási pontok időbeli vándorlására jellemző τ w = pontok (eltűnő nírófeszültség a falon) időbeli vándorlását mutatja (Barani és Shirakashi, 999) Re=8 esetén. A leválási pontot jellemző szöget a körhenger első torlópontjától (áramlás iránából tekintve) mérjük. A τ w = pontokat jellemző szögek az örvénleválás frekvenciájával oszcillálnak minteg 5 -os amplitúdóval, és mint várható, a két jel között eg fél hullámhossz eltolódás van, tehát az alsó és felső örvén ellenfázisban válik le a felületről. A torlópont vándorlására és az oszcillálás amplitúdójára vonatkozó eredmén jól egezik Braza et al. (986) eredméneivel. Egfajta torlópont definiálható súrlódásos áramlásnál annak ellenére is, hog ilenkor a falon a sebesség nulla. A torlópontot az ω w = ( u / v / ) w fal menti örvéneloszlás zérushele definiálja (Braza et al., 986). A torlópontot jellemző polárszög időbeli változását az.7. ábra mutatja Re=8 esetén. Az itt bemutatott eredmének a torlóponthoz tartozó szögek (amplitúdó és frekvencia) vonatkozásában is jól egeznek Braza et al. (986) eredméneivel.