Budapesti M szaki es Gazdaságtudományi Egyetem M szaki Mechanikai Tanszék TDK Dolgozat Ortotróp rétegelt kompozit lemez lengéstani analízise Szerz : Tóth Tamás Bence Hallgató, BSc IV. evf. Konzulensek: Juhász Zoltán Phd hallgató M szaki Mechanikai Tanszék Turcsán Tamás Phd hallgató Polimertechnika Tanszék 2015. október. 10.
Tartalomjegyzék 1. Bevezet 4 2. A Rétegelt kompozitok elmélete 1 2.1. Kirchho-féle klasszikus lemezelmélet.................. 1 2.2. Konstitutív egyenlet............................ 2 3. Az ép lemez 4 3.1. A lemez modell............................... 4 3.2. Lagrange függvény............................. 5 3.3. Variáció számítás.............................. 7 3.4. A Lévy-féle megoldás............................ 8 3.5. A leíró dierenciál egyenlet megoldása.................. 9 3.6. A megoldás ellen rzése alternatív módszerrel............... 12 4. A delaminált lemez 13 4.1. A delaminált lemez modell......................... 13 4.2. Elmozdulásmez k............................. 14 4.3. Egzakt kinematikai feltételek........................ 14 4.4. A delaminált szakasz............................ 15 4.5. Az ép szakaszok............................... 16 4.6. A Lévy-féle megoldás............................ 17 4.7. Állapottér modell.............................. 18 4.8. Perem és illesztési feltételek........................ 19 5. Az elmélethez kapcsolódó mérések bemutatása 22 5.1. A próbatestek el állítása.......................... 22 5.2. Az anyagjellemz k számítása........................ 23 5.3. A befogó készülék.............................. 26 5.4. A sajátfrekvencia-unaxiális terhelés mérésének bemutatása....... 26 5.5. A sajátfrekvencia-delamináció mérés bemutatása............. 27 6. A mért és számított eredmények bemutatása 29 6.1. Az ép lemez eredményei.......................... 29 6.2. A delaminált lemez eredményei...................... 34 6.3. Az eredmények gyakorlati alkalmazása.................. 37 Irodalomjegyzék 37 1
TARTALOMJEGYZÉK 2 Köszönetnyílvánítás Ezúton szeretném megköszönni konzulenseimnek Juhász Zoltánnak és Turcsán Tamásnak, a dolgozat elkészítésében nyújtott segítséget, a hasznos tanácsokat. Külön köszönöm, hogy bármikor fordultam hozzájuk segítségért k mindig nyitottak és segít készek voltak. Köszönöm Pápics Gábornak a segítséget, melyet a dolgozat elkészítésében nyújtott.
Absztrakt Napjainkban a kompozit anyagok az élet szinte minden területén jelen vannak, legyen az a hadászatban életment golyóállómellény, a nyári id szakban örömet okozó óriáscsúszda, vagy a minket egyik kontinensr l a másikra szállító repül gép. Az ilyen anyagból készült szerkezetek pontos tervezésének el segítése érdekében elengedhetetlen, a megfelel mechanikai modellek fejlesztése. Dolgozatomban ép és delaminált lemezek lengéstani viselkedését vizsgálom a delamináció és további mechanikai paraméterek függvényében. A klasszikus Kirchho-féle lemez elmélet alapján elkészítettem mind az ép, mind a szélesség mentén átmen delaminációt tartalmazó téglalap alakú lemez modelljét. Míg el bbi a hossz és a vastagság mentén is egy összefügg lemezként modellezhet, addig utóbbit a delamináció miatt a hossz mentén két ép és egy delaminált szakaszra, kell bontanunk, és az egyes szakaszokra külön kell levezetni a leíró Parciális Dierenciál Egyenleteket (PDE), melyeket illesztési feltételekkel kapcsoltam össze. Az egyensúlyi egyenletet a Lagrange függvénnyel vezettem le. Ilyen lemezek esetén csak speciális peremfeltételek (PF) mellett létezik analitikus megoldás. Egy ilyen PF kombináció, ha a hossz menti két él mentén egyszer megtámasztást írunk el. Ilyenkor alkalmazható a Lévy-féle megoldási módszer melynek segítségével a leíró PDE rendszer közönséges dierenciálegyenlet (ODE) rendszerre vezethet vissza. A leíró ODE rendszer megoldását az állapottér modell segítségével képeztem, melyb l a rendszerre jellemz sajátkörfrekvenciák és a hozzátartozó sajátalakok meghatározhatók. Az analitikus számításokat a Wolfram Mathematica 9 program segítségével végeztem. Munkámban rámutatok arra, hogy az ortrotróp rétegelt kompozit lemezek sajátkörfrekvenciájának változása, a lemezre ható nyomó vagy húzó er hatására, az izotróp húzott nyomott rúdhoz hasonlóan lineáris a frekvenciák négyzetében. A kiszámított formulát általam tervezett egyedi, a peremfeltételeket biztosító befogókészülék segítségével próbálom igazolni, valamint görbeillesztés segítségével próbálok a mérés alapján a próbatest anyagjellemz ire következtetni. A delamináció, a rétegelt kompozit lemezek egyik jellemz tönkremeneteli formája, mely során az egymáshoz csatlakozó rétegek közötti kötések részlegesen vagy teljesen megsz nnek. Dolgozatomban megvizsgálom a sajátkörfrekvencia változását a delaminációs hossz függvényében, mely réteg hibák el jelzésének alapja lehet. Az elméletet szintén méréssel próbálom alátámasztani. 3
Abstract In my work I analyse the vibration response of delaminated and undelaminated rectangular plates as a function of delamination and other mechanical parameters. I created the mathematical model of these two types of plates based on the Kirchho's plate theory. The undelaminated plate can be described with one system of partial dierential equation (PDE) using the in-plane-transverse displacements as variables. The delaminated plate consists of three regions: one delaminated and two non-delaminated. It is necessary to derive the PDE of each region. These regions can be combined with the continuity conditions. The governing equation can be derived from the Lagrange function. An analytical solution exists only, if we use special boundary conditions. Simply supported boundary conditions were used along the longitudinal edges. In this case we can apply the Lévy-type approach, which helps to transform the PDEs to a set of ordinary dierential equations (ODE). The system of ODEs can be solved with the state-space model. From the solution we can calculate the natural frequencies and the corresponding mode-shapes. In my work I also show that, the natural frequencies are varying with respect to the uniaxial compression or depression load linearly in the square of the frequencies. I search the reason of this phenomena both experimentally using a special measurement device and analytically. The delamination is one of the main failure type of the layered composite plates. In my work I also analyse the change of the natural frequencies as a function of the length of the delamination. 4
1. fejezet Bevezet A kompozitok a m szaki célú szerkezeti anyagok legkorszer bb családját képezik. Kialakításuk abból a felismerésb l alakult ki, hogy az alkatrészek terhelése a legritkább esetben azonos a tér minden irányában. A legtöbb m szaki szerkezetben, gépben, gépalkatrészben, építményben vagy bármely használati eszközben a terhelésb l adódó igénybevétel adott irányok mentén érvényesül. Ezen er vonalak irányában gyakran nagyságrendekkel nagyobb szilárdságra, merevségre van szükség, mint a többiben. Ez indokolja a homogén szerkezeti anyagok meger sítését nagyobb szilárdságú er sít anyagokkal, a teherviselés kitüntetett irányaiban. A kompozitok sokrét sége és a szerkezeti család relatív atalsága miatt a téma rengeteg kutatási lehet séget rejt magában. Mivel az élet minden területén találkozunk ezen anyagok különféle felhasználásával, szükséges hogy megfelel mélységben ismerjük ezek mechanikai viselkedését. Éppen ezért választottam témámnak a kompozitok lengéstani viselkedéseinek leírását, vizsgálatát. A dolgozat célja els dlegesen mechanikai modellt készíteni rétegelt delaminált és ép kompozit lemezekre. Az elkészített modellek alapján az ép lemezre levezetésre kerül zárt alakban a sajátkörfrekvencia változása a húzó-nyomó er függvényében. Delaminált lemeznél pedig elkészítésre kerül egy sajákörfrekvencia-lemezhossz diagram az egyes delaminációs hosszokhoz. Dolgozatomban, az elméleti eredményeket igyekszem mérésekkel alátámasztani. A soron következ fejezetekben az ép és delaminált lemez modelljének felépítését részletezem. A kés bbiekben az elméleti eredményeket illetve az ezeket alátámasztó méréseket mutatom be. A dolgozatban bemutatásra kerülnek a mérés során használt saját készítés próbatestek, és az analitikus számítás során alkalmazott peremfeltételeket kielégít befogó készülék. 5
2. fejezet A Rétegelt kompozitok elmélete A rétegelt kompozit lemezek különböz anyagparaméter és száliránnyal rendelkez rétegekb l épülnek fel. Kompozit anyagból általában rúd, héj, vagy lemez szerkezeteket készítenek, dolgozatomban lemezeket vizsgálok, ezért síkfeszültségi állapotot feltételezhetünk. A megoldás során különféle lemezelméleteket használhatunk, én a Kirchhoféle klasszikus lemezelméletet használtam. 2.1. Kirchho-féle klasszikus lemezelmélet A Kircho-féle klasszikus lemezelelmélet azt feltételezi, hogy fennálnak a Kirchhofhipotézis megállapításai[1]: A deformáció el tt a középfelületre mer leges egyenes vonalak a deformáció után is egyenesek maradnak. A lemezre mer leges irányban nem tapasztalható nyúlás. A lemezre mer leges normálisok a deformáció után is mer legesek maradnak a középsíkra. A rétegelt lemezelméletre további feltételezések és korlátozások vonatkoznak: A rétgek között tökéletes adhéziós kapcsolatot feltételezünk. Az egyes rétegek anyagai lineárisan rugalmasak. A nyúlások és elmozdulások kicsik. Az lemez alsó és fels felületein a transzverzális nyíró feszültség zérus. 1
A RÉTEGELT KOMPOZITOK ELMÉLETE 2 A Kirchho-hipotézis szerint az elmozdulásmez k (u, v, w) a következ ek: u(x, y, z, τ) = u 0 (x, y, τ) z w 0(x, y, τ) x v(x, y, z, τ) = v 0 (x, y, τ) z w 0(x, y, τ) y w(x, y, z, τ) = w 0 (x, y, τ) (2.1) ahol (u 0, v 0, w 0 ) a középfelületen lév anyagi pontok elmozdulásai az xy-síkban. A lemezben keletkez x és y irányú nyúlások és xy síkbeli szögváltozás képezhet, kis elmozdulások esetén, az elmozdulásmez megfelel változó szerinti deriválásával: ε x = u 0(x, y, τ) x ε y = v 0(x, y, τ) y γ xy = u 0(x, y, τ) y z 2 w 0 (x, y, τ) x 2 z 2 w 0 (x, y, τ) y 2 + v 0(x, y, τ) x 2z 2 w 0 (x, y, τ) xy (2.2) Az így kapott nyúlásmez ket felbonthatjuk z-t l függ (1) és attól független (0) tagokra: ε x ε (0) x ε (1) x ε y = ε (0) y γ xy γ xy (0) + ε (1) x γ xy (1) z (2.3) ahol (ε (0) x, ε (0) y, γ (0) xy ) a fajlagos nyúlások illetve (ε (1) x, ε (1) y, γ (1) xy ) pedig a görbületek. 2.2. Konstitutív egyenlet Ortotróp anyagi viselkedés esetén egy rétegre a merevségi mátrix felépítése a következ [1]: C 11 C 12 0 C = C 21 C 22 0 (2.4) 0 0 C 33 A mátrixban szerepl mennyiségeket az egyes rétegekre jellemz anyagparaméterek segítségével számíthatjuk ki: C 11 = E 1 1 ν 12 ν 21, C 22 = E 2 1 ν 12 ν 21, C 12 = ν 21 E 1 1 ν 12 ν 21, C 21 = C 12, C 33 = G 12 (2.5) Az így kapott merevségi mátrix a szálirányokhoz kötött koordináta rendszerben érvényes. Ahhoz, hogy ez a mátrix lemezhez kötött koordináta rendszerben legyen értelmezve, egy transzformációt kell rajta elvégezni: C = T T CT (2.6)
A RÉTEGELT KOMPOZITOK ELMÉLETE 3 ahol (T ) a forgatási mátrix, melynek felépítése : T = cos 2 (α) sin 2 (α) 1 2 sin(2α) sin 2 (α) cos 2 (α) 1 2 sin(2α) sin(2α) sin(2α) cos 2 (α) sin 2 (α) (2.7) 2.1. ábra. A globális és lokális koordináta rendszer kapcsolata A vastagság mentén integrálva a feszültségtenzort az éler ket és élnyomatékokat kapjuk. Az ered éler és élnyomaték kiadódik ha ezeket rétegenként szummázzuk a teljes lemezvastagságon[1]: N zk+1 N zk+1 σdz = Cεdz (2.8) k=1 zk k=1 A feszültség tenzor és a nyúlás vektor közötti kapcsolatot a merevségi mátrix teremti meg. Ezt kihasználva az integrálás során a konstitutív egyenletet kapjuk mely az éler ket és élnyomatékokat fejezi ki a fajlagos nyúlás és a görbület függvényeként[1]: { {N} {M} } [ [A] [B] = [B] [D] zk ] { { ε (0) } { ε (1) } } (2.9) A a húzómerevségi mátrix, B a kapcsoló merevségi mátrix és D a hajlító merevségi mátrix: N A = C (k) (z k+1 z k ) B = 1 2 C = 1 3 k=1 N C (k) (z 2 k+1 z 2 k ) k=1 N C (k) (z 3 k+1 z 3 k ) (2.10) k=1
3. fejezet Az ép lemez Az alábbi fejezetben egy ideálisan ortotróp lemez modelljét készítettem el. A modell leírása után, levezetem a lemez sajátkörfrekvencia és az egytengely húzás/nyomás közötti összefüggést. 3.1. A lemez modell A modell egy ideálisan ortotróp lemez, mely három, üvegszállal (GF) er sített telítetlen poliészter gyanta (UP) rétegb l épül fel. A rétegek speciálisan ortotróp rétegek és unidirekcionálisak [0 ; 0 ; 0 ]. Az ép lemez modellje a 3.1. ábrán látható. A lemez két hossz menti éle (y = 0, e) egyszer en alá van támasztva, míg a másik két élre (x = 0, a) befogás kényszert írtam el. A lemez egyik oldalán (x = e) megoszló terhelés hat, mely a befogott lemezvég húzásával-nyomásával váltható ki. 3.1. ábra. Az ép lemez modell. A lemez terhelése az axiális kompresszió hatására alakul ki A számítás során használt adatokat méréssel és a keverék szabály alkalmazásával határoztam meg. Az adatokat a 5.2. fejezetben található 5.4. táblázat tartalmazza. 4
AZ ÉP LEMEZ 5 3.2. Lagrange függvény A lemez mozgás egyenlete levezethet a Hamilton-elv alkalmazásával, mely azt feltételezi, hogy a vizsgált rendszer jellemezhet két energia típussal; a kinetikus energiával T és a teljes potenciális energiával Π. A Hamilton-elv rugalmas testekre a következ [2]: t2 δ [T (V + U)]dt = 0 (3.1) t 1 Ahol T a kinetikus energia, U az alakváltozási energia és V a küls er k munkája. A Lagrange-függvény, melynek els variációját vizsgáljuk a hamilton-elv segítségével: L = T (U + V ) (3.2) Az alakváltozási energia kifejezhet a feszültség és alakváltozási tenzorok tenzoriális szorzatának a térfogaton vett integráljával: U = σ : ε dv (3.3) (V ) Ahol a feszültség tenzor rétegenkénti integrálása után a potenciális energia kifejezhet az éler kkel, élnyomatékokkal, a nyúlásokkal és a szögelfordulásokkal: U = (N x ε 0 x + N y ε 0 y + N xy γ 0 xy + M x ε 1 x + M y ε 1 y + M xy γ 1 xy )da (3.4) (A) 3.2. ábra. Éler k egyensúlya egytengely nyomás esetén Egytengely nyomás esetén a terhelés munkája az alábbi módon számítható. Mivel az éler k nem konzervatív er k, hanem úgynevezett követ er k, emiatt ha a lemez deformálódik, egy z-irányú er komponens ébred. A 3.2. ábrán egy deformált lemez dierenciálisan kis része látható, melyen feltüntettem az N x éler komponenseit.
AZ ÉP LEMEZ 6 A 3.2. ábra alapján felírható az egyensúlyi egyenlet, melyb l levezethet az N x éler z-irányú komponense: w N x x dy (N x + N x x dx)( w x + 2 w x dx)dy = (N 2 w 2 x )dxdy (3.5) x2 Mivel a küls terhelés konstans, ezért Nx x zérus. A z irányú er komponensnek munkája általánosan a lemez teljes felületén: V = (q(x, y)w)da (3.6) (A) Felhasználva a (3.5) és (3.6) egyenleteket a terhelés munkája az alábbi alakot ölti: V = (N x w(x, y, z, τ) 2 w(x, y, z, τ) )da (3.7) (A) x 2 A kinetikus energia általánosan: T = 1 2 (V ) (ρv 2 )dv (3.8) Ahol v a merev test szer mozgásoktól mentes sebességmez t jelöli. A sebesség a (2.1) egyenletben szerepl elmozdulások id szerinti deriváltjaiból képezhet, ezt visszaírva a (3.8) egyenletbe, képezhetjük a rétegelt kompozit lemezek kinetikus energiáját: T = 1 (ρ( u(x, y, z, τ)) 2 + ( v(x, y, z, τ)) 2 + (ẇ(x, y, z, τ)) 2 )dv (3.9) 2 (V ) A vastagság menti integrálást elvégezve és az elmozdulásokat behelyettesítve az integrandusban megjelennek tehetetlenségi nyomatékok.melyek a keresztmetszet transzverzális elmozdulásából I 0, az elfordulásából I 2 és a kétféle mozgás kapcsoltságából I 1 adódnak. Ezek a következ képpen határozhatók meg: I 0 = I 1 = I 2 = N ρ(z k+1 z k ) k=1 N ρ(z 2 k+1 z 2 k ) k=1 N ρ(z 3 k+1 z 3 k ) (3.10) k=1 Felhasználva a (2.2) egyenletben megfogalmazott elmozdulásmez és nyúlások közötti kapcsolatot a Lagrange függvény már csak az elmozdulásoktól, azok id szerinti deriváltjaitól, az éler kt l és élnyomatékoktól függ. A lemez modell elkészítésénél a globális
AZ ÉP LEMEZ 7 referencia síknak a lemez középsíkját választottam, így a választott rétegfelépítés esetén az I 1 tehetetlenségi nyomaték zérus. [ L = + I 0 v 0 (x, y, τ) 2 + I 0 ẇ(x, y, τ) 2 + 1 ( w 0 (x, y, τ) 2 I 2 + w ) 0(x, y, τ) 2 A 3 y x + 1 3 I 0u 0 (x, y, τ) 2 2 w 0 (x, y, τ) 2 w 0 (x, y, τ) 2 w 0 (x, y, τ) + M x + 2M x 2 xy + M y xy y ( 2 u 0 (x, y, τ) u0 (x, y, τ) N x N xy + v ) 0(x, y, τ) v 0 (x, y, τ) N y x y x y + 1 ] 2 N xxw 0 (x, y, τ) 2 w 0 (x, y, τ) da (3.11) x 2 3.3. Variáció számítás A leíró Parciális Dierenciál Egyenlet (PDE) rendszer levezethet az Euler-Lagrange formula segítségével: n+1 n L ( 1) x n q n (x,... ) = 0 (3.12) Elvégezve a variáció számítást a (3.11) egyenleten és a konstitutív (2.9) egyenletet behelyettesítve, a következ PDE rendszert kapjuk: ( ) 2 u 0 (x, y, τ) A 3,3 + 2 v 0 (x, y, τ) 2 u 0 (x, y, τ) 2 v 0 (x, y, τ) + A y 2 1,1 + A xy x 2 1,2 2I 0 ü 0 (x, y, τ) = 0 xy ( 2 v 0 (x, y, τ) A 3,3 + 2 u 0 (x, y, τ) x 2 xy ) 2 v 0 (x, y, τ) 2 u 0 (x, y, τ) + A 2,2 + A y 2 2,1 2I 0 v 0 (x, y, τ) = 0 xy 4 w(x, y, τ) 4 w(x, y, τ) 4 w(x, y, τ) 4 w(x, y, τ) 4 w(x, y, τ) D 2,2 D y 4 1,2 D x 2 y 2 2,1 4D x 2 y 2 3,3 D x 2 y 2 1,1 x 4 2 I 0 w(x, y, τ) + 2 3 I 2 w(x, y, τ) 2 + 2 y 2 3 I 2 w(x, y, τ) 2 w(x, y, τ) 2 + N x 2 xx = 0 (3.13) x 2 A lemez modell elkészítésénél a globális referencia síknak a lemez középsíkját választottam, így a választott rétegrend esetén az I 1 tehetetlenségi nyomaték, és a B kapcsoló merevségi mátrix zérus. Ezért a PDE rendszerben függetlenek egymástól a membrán és hajlító mozgások.
AZ ÉP LEMEZ 8 3.4. A Lévy-féle megoldás A Lévy-féle megoldás olyan esetben használható amikor a lemez két szemközti éle (y = 0, e) egyszer en van megtámasztva, a másik két élre (x = 0, a) pedig tetsz leges a peremfeltétel. A választott peremfeltételek miatt az elmozdulásmez y irányban Fourier-sorba fejthet, így az elmozdulásmez megoldása kereshet a középvonal amplitúdója, a megfelel trigonometrikus együttható segítségével, valamint az id ben másodrend dierenciálegyenletek exponenciális próbafüggvényével[1]: Ahol: u 0 (x, y, τ) = e iωτ U n (x) sin(βy) n=1 v 0 (x, y, τ) = e iωτ V n (x) cos(βy) n=1 w 0 (x, y, τ) = e iωτ W n (x) sin(βy) (3.14) n=1 β = nπ e (3.15) e: a lemez szélessége; n: Fourier együttható; ω: a lemez sajátkörfrekvenciája; i = 1 a képzetes tag. Az (x, y, τ)-tól függ elmozdulások el állnak tehát az id t l, az x és y elmozdulástól függ tagok szorzatából. Ezt visszahelyettesítve a PDE rendszerbe (3.13) és kigyüjtve az exponenciális és trigonometrikus tagokat, az amplitúdókra egy Közönséges Dierenciál Egyenletet kapunk (ODE): A 1,1 U n (x) β 2 A 3,3 U n (x) βa 1,2 V n (x) βa 3,3 V n (x) + 2I 0 ω 2 U n (x) = 0, (3.16) βa 2,1 U n (x) + βa 3,3 U n (x) + A 3,3 V n (x) β 2 A 2,2 V n (x) + 2I 0 ω 2 V n (x) = 0, (3.17) D 1,1 W n (4) (x) + β 2 D 1,2 W n (x) + β 2 D 2,1 W n (x) + 4β 2 D 3,3 W n (x) β 4 D 2,2 W n (x) + 2 I 0 ω 2 W n (x) 2 3 I 2ω 2 W n (x) + 2 3 β2 I 2 ω 2 W n (x) + N xx W n (x) = 0 (3.18)
AZ ÉP LEMEZ 9 3.5. A leíró dierenciál egyenlet megoldása Mivel ideálisan ortotróp esetet modellezünk, ezért a leíró dierenciál egyenletrendszerben szerepl (3.18) egyenlet megoldása a szerkezet csillapítatlan sajátkörfrekvenciáit adja. A (3.18) egyenlet általános formája a következ [1]: Ahol: pw n (4) (x) + qw n (x) rw n (x) = 0 (3.19) r= β 4 D 2,2 + 2I 0 ω 2 + 2 3 β2 I 2 ω 2, q= 2β 2 D 1,2 4β 2 D 3,3 + 2 3 I 2ω 2 N x, p=d 1,1 (3.20) A (3.19) egyenlet megoldása kereshet a következ próbafüggvény segítségével: W n (x) = ke λx (3.21) A (3.21) egyenletben szerepl próba függvényt visszahelyettesítve a (3.19) egyenletbe és az exponenciális tagokkal leosztva, mivel az sosem nulla, a következ karakterisztikus egyenletet kapjuk: A karakterisztikus egyenlet megoldásai a következ ek: kλ 4 p + kλ 2 q kr = 0 (3.22) λ 1,2 = ±iλ λ 3,4 = ±µ (3.23) Ahol: 4pr + q2 + q λ = 2p 4pr + q2 q µ = 2p (3.24) (3.25) A (3.19) egyenlet általános megoldása a következ : W (x) = K 1 e µx + K 2 e µx + K 3 e iλx + K 4 e iλx (3.26) Ez trigonometrikus alakban: W (x) = C 1 cosh(µx) + C 2 sinh(µx) + C 3 cos(λx) + C 4 sin(λx) (3.27) Ennek els deriváltja szükséges a befogás peremfeltétel miatt: W (x) = C 1 µ sinh(µx) + C 2 µ cosh(µx) λc 3 sin(λx) + λc 4 cos(λx) (3.28)
AZ ÉP LEMEZ 10 A peremfeltételek: W (0) = 0, W (a) = 0, W (0) = 0, W (a) = 0. (3.29) A (3.29)-ben szerepl peremfeltételek és a (3.27) és (3.28) egyenletek alapján felírható mátrix egyenlet: 1 0 1 0 C 1 0 cosh(aµ) sinh(aµ) cos(aλ) sin(aλ) C 2 0 µ 0 λ C 3 = 0 0 (3.30) µ sinh(aµ) µ cosh(aµ) λ sin(aλ) λ cos(aλ) C 4 0 A (3.30) egyenletben szerepl mátrix determinánsának zérust kell adnia, ez a Frekvencia egyenlet: (λ µ)(λ + µ) sin(aλ) sinh(aµ) + 2λµ(cos(aλ) cosh(aµ) 1) = 0 (3.31) A frekvencia egyenlet megoldása a trigonometrikus egyenlet komplexitása miatt nehézkes. Azonban ahogy az kés bbiek során látható lesz a keresett paraméterek csak a terheletlen sajátfrekvenciát befolyásolják a görbe egyéb paramétereit nem. Emiatt a szükséges paramétereket egyszer bben meghatározhatjuk a terheletlen esetet vizsgálva. A (3.18) egyenletben a terhelést elhanyagolva valamint a (3.21) egyenletben megadott próbafüggvényt felhasználva és a konstansokat új ismeretlenekre rendezve az alábbi egyenletet kapjuk[3]: Az általános megoldás kereshet a következ alakban: λ 4 µ 4 = 0 (3.32) W (x) = C 1 S( µx) + C 2 T ( µx) + C 3 U( µx) + C 4 V ( µx) (3.33) Ahol a Rayleigh-Krülov függvények: S( µx)= 1 (cos( µx) + cosh( µx)) (3.34) 2 T ( µx)= 1 (sin( µx) + sinh( µx)) (3.35) 2 U( µx)= 1 (cosh( µx) cos( µx)) (3.36) 2 V ( µx)= 1 (sinh( µx) sin( µx)) (3.37) 2 A (3.29)-ben szerepl peremfeltételek és a (3.33) egyenlet alapján felírható mátrix egyenlet: 1 0 0 0 C 1 0 0 µ 0 0 C 2 S( µa) T ( µa) U( µa) V ( µa) C 3 = 0 0 (3.38) S ( µa) T ( µa) U ( µa) V ( µa) C 4 0
AZ ÉP LEMEZ 11 A (3.38) egyenletben szerepl mátrix determinánsának zérust kell adnia, ez a Frekvencia egyenlet: sin 2 ( µa) + cos 2 ( µa) sinh 2 ( µa) + cosh 2 ( µa) 2 cos( µa) cosh( µa) = 0 (3.39) A (3.39) egyenletet numerikusan megoldva: µ = 3π 2a (3.40) Ezt felhasználva, majd a (3.22) egyenletet ω 2 -re rendezve majd gyököt vonva és felhasználva, hogy β = π (azaz a szélesség mentén egy fél hullámot feltételezve): e ω = 1 ( 3π 2 2a )4 D 1,1 + ( π e )2 ( ( 3π ) 2a )2 (D 1,2 + 2D 3,3 ) + 1( π 2 e )2 D 2,2 + 1( 3π 2 2a )2 N x 1 ( 3π 3 2a )2 I 2 + I 0 + 1( (3.41) π 3 e )2 I 2 Ha a terhelés zérus a (3.41) egyenletben,akkor az els sajátkörfrekvencia: ( ) 1 2 ω 0 = ( 3π 2a )4 D 1,1 + ( π e )2 ( 3π 2a )2 (D 1,2 + 2D 3,3 ) + 1( π 2 e )2 D 2,2 1 ( 3π 3 2a )2 I 2 + I 0 + 1( (3.42) π 3 e )2 I 2 Ezek alapján az ω(n x ) kapcsolat a következ : ω = ω 0 ( 3π 2a )2 N x ( 3π 2a )4 D 1,1 + ( π e )2 ( 3π 2a )2 (2D 1,2 + 4D 3,3 ) + ( π e )4 D 2,2 + 1 (3.43) Az izotróp húzott-nyomott rúdra vonatkozó összefüggés: ω r = ω r 0 1 + N x IE l 2 π 2 (3.44) Összevetve a (3.43) és (3.44) egyenleteket, látható, hogy mindekett hasonló felépítés függvény. Továbbá, ha ω 0 értéke és a geometria ismert, akkor (3.43) egyenlet alapján, a sajátkörfrekvencia nagysága csak a terhelést l és a hajlítómerevségekt l függ.
AZ ÉP LEMEZ 12 3.6. A megoldás ellen rzése alternatív módszerrel A 3.3 fejezetben levezetett leíró dierenciál egyenletrendszerek 3.13 megoldására alternatív módszert használtam, ami az úgy nevezett állapottér modell. Sajnos a módszer nem képes zárt alakú képletet adni, viszont a (3.43) egyenlet ellen rzésére tökéletes, továbbá a nyerhet megoldás segítségével olyan esetek vizsgálatára is lehet ség nyílik, ahol kapcsolt a hajlító és a membránmozgás. A módszer lényege, hogy a magasabb rend közönséges dierenciál egyenlet rendszert Cauchy-átírással els rend alakra hozzuk, majd ezt mátrixos alakba rendezzük: Z = TZ + F (3.45) Ahol: Z az állapot vektor, T az állapot mátrix, F az inhomogenitást okozó tagok vektora. A (3.45) összefüggés alapján felírható az ép lemez állapottér modellje[1]: U n (x) U n (x) V n (x) V n (x) W n (x) = W n (x) W n (x) (IV W ) n (x) 0 1 0 0 0 0 0 0 a 1 0 0 a 2 0 a 3 0 a 4 0 0 0 1 0 0 0. 0 0 b 1 b 1 0 b 2 0 b 4 0 0 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 c 1 c 2 0 c 3 0 c 4 0 U n (x) U n (x) V n (x) V n (x) W n (x) + W n (x) W n (x) W n (x) 0 0 0 0 0 0 0 0 (3.46) Az állapottér modell megoldása a következ képpen számítható: x ] Z(x) = e [K T + e Tξ F(ξ)dξ = G(x)K + H(x) (3.47) 0 Ahol: G(x)K a homogén megoldás, K a konstansok vektora és H(x) a partikuláris megoldás, mely itt zérus. A megoldást behelyettesítve a (3.29) egyenletbe, a homogén megoldás mátrix alakra rendezhet homogén lineáris egyenletrendszerre vezet, ahol az együttható mátrix determinánsával kereshet a nem triviális megoldás. Ami az egyes sajátkörfrekvenciákat adja, amik segítségével pedig a K konstansok és így a sajátalakok is meghatározhatók.
4. fejezet A delaminált lemez A következ fejezetben a középsíkon átmen delaminációt tartalmazó ideálisan ortotróp kompozit lemez mechanikai modelljét mutatom be. A modell bemutatása után levezetem a delaminált lemez sajátkörfrekvenciájára vonatkozó összefüggést. 4.1. A delaminált lemez modell A modellezett kompozit lemez 4 réteg szimmetrikus rétegrend, unidirekcionális [0 ; 0 ; 0 ; 0 ]. Minden réteg üvegszállal (GF) er sített telítetlen poliészter mátrixanyagból (UF) épül fel, az anyagtulajdonságok megegyeznek az ép lemezével. Az így adódó lemez speciálisan ortotróp. A lemez két hossz menti éle (y = 0, e) egyszer en alá van támasztva, míg az egyik szélesség menti élre (x = 0) befogás kényszert, a másikra (x = l) szabad vég kényszert írtam el. 4.1. ábra. A delaminált lemez modell Az összetett geometria miatt a lemezt több részre kell bontani. A lemez hossz irányban felbontható két ép szakaszra (1) és (3) és egy delaminált részre (2). A delamináció síkja a lemezt két egymással egyenérték lemezfélre bontja: alsó lemezfélre (t b ) és a fels lemezfélre (t t ). 13
A DELAMINÁLT LEMEZ 14 4.2. Elmozdulásmez k A delaminált lemez általános elmozdulásmez i a Kirchho-féle lemezelmélet alapján: u αδ (x, y, z, τ) = u α 0 (x, y, τ) + u αδ 0 (x, y, τ) z wα 0 (x, y, τ) x v αδ (x, y, z, τ) = v0 α (x, y, τ) + v0 αδ (x, y, τ) z wα 0 (x, y, τ) y w α (x, y, z, τ) = w0 α (x, y, τ) (4.1) Ahol u α 0 (x, y, τ) és u α 0 (x, y, τ) a teljes lemezvastagság mentén érvényes konstansok, ezek az alsó és a fels rész illesztési kényszer kapcsolatából határozhatóak meg. A lemezszakaszokat a 4.1. ábrának megfelel en α jelöli, δ "t" vagy "b" lehet, ezek az alsó (bottom) és fels (top) lemezrészeket jelölik. Az elmozdulásmez k az ép lemezhez hasonlóan, az egyes lemezfelek saját koordináta rendszerében értend ek. A megértést segít 4.2. ábra az elmozdulásmez ket mutatja be egy dierenciálisan kis lemez darabon. 4.2. ábra. Az elmozdulásmez k a lemezben A w α 0 (x, y, τ) z-irányú elmozdulásmez az alsó és fels részekben (1,3) ép szakaszokon az együttdolgozás miatt, míg a delaminált szakaszon a kinematikailag nem lehetséges módusok megakadályozása végett egyezik meg. Az így kapott kényszerezett modellben nem alakulhatnak ki olyan módusok, ahol a két fél egymásba metsz, aminek következtében a helyes módusok frekvenciára is hibás értékek adódnának[4, 5, 6, 7, 8]. 4.3. Egzakt kinematikai feltételek A delaminációt nem tartalmazó részekben a tökéletes adhéziós kapcsolat feltételezése miatt az alsó és fels félnek együtt kell dolgoznia. Ezt az illesztési feltétel biztosítja az érintkez felületeken[9]: u t z= tt/2 = u b z=tb /2 v t z= tt/2 = v b z=tb /2 (4.2)
A DELAMINÁLT LEMEZ 15 A globális referencia síkon, mely most a lemez középsíkja az alsó és fels elmozdulásmez k értékei: { t t + t b tb : u b z=tt/2 = u 0, v b z=tt/2 = v 0 (4.3) 2 t b : u t z= tb /2 = u 0, v t z= tb /2 = v 0 A (4.2) és (4.3) egyenlet rendszerek alapján a nem delaminált szakaszok elmozdulásmezeje: u αb (x, y, z, τ) = u α 0 (x, y, τ) + t t w α 0 (x, y, τ) 2 x w α 0 (x, y, τ) u αt (x, y, z, τ) = u 0 α (x, y, τ) t b 2 v αb (x, y, z, τ) = v 0 α (x, y, τ) + t t 2 v αt (x, y, z, τ) = v 0 α (x, y, τ) t b 2 x w α 0 (x, y, τ) y w α 0 (x, y, τ) y z w 0 α (x, y, τ) x z w 0 α (x, y, τ) x z w 0 α (x, y, τ) y z w 0 α (x, y, τ) y (4.4) A delaminált szakasz elmozdulásmezeje pedig megfelel indexeléssel a (2.1)-ben részletezettel megegyezik. 4.4. A delaminált szakasz A delaminált szakaszon keletkez x és y irányú nyúlások és xy síkbeli szögváltozás el állításának menete, bemutatásra került a 2.1. fejezet alábbi egyenleteiben: (2.1), (2.2), (2.3). Az alakváltozási energia a (3.3) összefüggés alapján a (3.4) egyenlethez hasonlóan felírható külön az alsó és fels részekre, a delaminált szakaszon. A fels részhez tartozó alakváltozási energia: ( U t = Nxt ε 0 xt + N yt ε 0 yt + N xyt γ 0 xyt + M xt ε 1 xt + M yt ε 1 yt + M xyt γ ) 1 xyt da t (4.5) (A t) Az alsó részhez tartozó alakváltozási energia: ( U b = Nxb ε 0 xb + N yb ε 0 yb + N xyb γ 0 xyb + M xb ε 1 xb + M yb ε 1 yb + M xyb γ ) 1 xyb da b (4.6) (A b ) A kinetikus energia a (3.8) összefüggés alapján a (3.9) egyenlethez hasonlóan felírható külön az alsó és fels részekre, a delaminált szakaszon. A fels részhez tartozó kinetikus energia: T t = 1 ( ρ( u t (x, y, z, τ)) 2 + ρ( v t (x, y, z, τ)) 2 + ρ(ẇ(x, y, z, τ)) )dv 2 t (4.7) 2 (V t) Az alsó részhez tartozó kinetikus energia: T b = 1 ( ρ( u b (x, y, z, τ)) 2 + ρ( v b (x, y, z, τ)) 2 + ρ(ẇ(x, y, z, τ)) )dv 2 b (4.8) 2 (V b )
A DELAMINÁLT LEMEZ 16 Mivel a kompozit lemez szabad lengését vizsgáljuk, így a küls terhelés munkája zérus: V = 0 (4.9) A Lagrange-függvény el állítható a (3.2) összefüggés alapján a delaminált szakaszra, a (4.5), (4.6), (4.7), (4.8) egyenletek felhasználásával: L = (T t + T b ) (U t + U b ) (4.10) Az Eluler-Lagrange deriválást elvégezve a (3.12) összefüggés alapján, a következ változókra: (u 0b (x, y, τ), v 0b (x, y, τ), u 0t (x, y, τ), v 0t (x, y, τ), w 0 (x, y, τ)) és a konstitutív (2.9) egyenletet behelyettesítve, öt egyenletb l álló PDE rendszert kapunk mely már csak az elmozdulásmez k derivátjait és konstansokat tartalmaz. 4.5. Az ép szakaszok Az ép szakaszokon keletkez x és y irányú nyúlások és xy síkbeli szögváltozás képezhet a szakaszra jellemz elmozdulásmez k (4.4) megfelel változó szerinti deriválásával: γ xy(αb) = u 0 α (x, y, τ) y γ xy(αt) = u 0 α (x, y, τ) y ε x(αb) = u 0 α (x, y, τ) x ε x(αt) = u 0 α (x, y, τ) x ε y(αb) = v 0 α (x, y, τ) y ε y(αt) = v 0 α (x, y, τ) y + v 0 α (x, y, τ) x + v 0 α (x, y, τ) x + t t 2 w α 0 (x, y, τ) z 2 w 0 2 x 2 t b 2 w α 0 (x, y, τ) z 2 w 0 2 x 2 + t t 2 t b 2 α (x, y, τ) x 2 α (x, y, τ) x 2 2 w α 0 (x, y, τ) z 2 w 0 (x, y, τ) y 2 y 2 2 w α 0 (x, y, τ) z 2 w 0 (x, y, τ) y 2 y 2 2 w α 0 (x, y, τ) + t t xy 2 w α 0 (x, y, τ) + t b xy 2z 2 w 0 α (x, y, τ) xy 2z 2 w 0 α (x, y, τ) xy (4.11) Az így kapott nyúlásmez ket (2.3) szerint felbonthatjuk z-t l függ (1) és attól független (0) tagokra. Az alakváltozási energia a (3.3) összefüggés alapján a (3.4) egyenlethez hasonlóan felírható külön az alsó és fels részekre, az ép szakaszokon. A fels részhez tartozó alakváltozási energia: ( U t = Nxt ε 0 xt + N yt ε 0 yt + N xyt γ 0 xyt + M xt ε 1 xt + M yt ε 1 yt + M xyt γ ) 1 xyt da t (4.12) (A t) Az alsó részhez tartozó alakváltozási energia: ( U b = Nxb ε 0 xb + N yb ε 0 yb + N xyb γ 0 xyb + M xb ε 1 xb + M yb ε 1 yb + M xyb γ ) 1 xyb da b (4.13) (A b )
A DELAMINÁLT LEMEZ 17 A kinetikus energia a (3.8) összefüggés alapján a (3.9) egyenlethez hasonlóan felírható külön az alsó és fels részekre, az ép szakaszokon. A fels részhez tartozó kinetikus energia: T t = 1 ( ρ( u t (x, y, z, τ)) 2 + ρ( v t (x, y, z, τ)) 2 + ρ(ẇ(x, y, z, τ)) )dv 2 t (4.14) 2 (V t) Az alsó részhez tartozó kinetikus energia: T b = 1 ( ρ( u b (x, y, z, τ)) 2 + ρ( v b (x, y, z, τ)) 2 + ρ(ẇ(x, y, z, τ)) )dv 2 b (4.15) 2 (V b ) Mivel a kompozit lemez szabad lengését vizsgáljuk terhelés nincs. A Lagrange-függvény el állítható a (3.2) összefüggés alapján a delaminált szakaszra, a (4.12), (4.13), (4.14), (4.15) egyenletek felhasználásával: L = (T t + T b ) (U t + U b ) (4.16) Az Euler-Lagrange deriválást elvégezve a (3.12) összefüggés alapján, a következ változókra: (u 0 (x, y, τ), v 0 (x, y, τ), w 0 (x, y, τ)) és a konstitutív egyenletet (2.9) behelyettesítve, három egyenletb l álló PDE rendszert kapunk mely már csak az elmozdulásmez k derivátjait és konstansokat tartalmaz. 4.6. A Lévy-féle megoldás Mivel a lemez két szemközti éle (y = 0, e) egyszer en megtámasztott, ezért használható a Lévy-féle megoldás. Az ép szakaszokon alkalmazott sorfejtés: u α 0 (x, y, τ) = e iωτ U nα (x) sin(βy) n=1 v α 0 (x, y, τ) = e iωτ V nα (x) cos(βy) n=1 w α 0 (x, y, τ) = e iωτ W nα (x) sin(βy) (4.17) n=1 Ahol α az adott ép szakasz sorszáma: (1) és (3). A delaminációt tartalmazó szakaszon alkalmazott sorfejtés: u α 0δ (x, y, τ) = e iωτ U nαδ (x) sin(βy) n=1 v α 0δ (x, y, τ) = e iωτ V nαδ (x) cos(βy) n=1 w α 0 (x, y, τ) = e iωτ W nα (x) sin(βy) (4.18) n=1
A DELAMINÁLT LEMEZ 18 Ahol δ a t fels vagy b alsó lemezfélre mutat. Az α az adott delaminált szakasz sorszáma a 4.1. ábra alapján: (2). 4.7. Állapottér modell A 4.6 fejezetben levezetett leíró dierenciál egyenletrendszerek megoldására alternatív módszert használtam, melyet a 3.6 részben már használtam. Mivel szabadlengést vizsgálok, ezért a küls terhelés zérus. Igy az egyes szakaszok megoldása el áll: Z (α) = T (α) Z (α) (4.19) Ahol: Z az állapot vektor, T az állapot mátrix és α az egyes szakaszok jelölése (1, 2, 3) a 4.1. ábra alapján. A (4.19) összefüggés alapján felírható az ép szakaszok állapottér modellje: U nα (x) U nα (x) V nα (x) V nα (x) W nα (x) = W nα (x) W nα (x) (IV W ) nα (x) 0 1 0 0 0 0 0 0 a 1 0 0 a 2 0 a 3 0 a 4 0 0 0 1 0 0 0. 0 0 b 1 b 1 0 b 2 0 b 4 0 0 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 c 1 c 2 0 c 3 0 c 4 0 U n1α (x) U nα (x) V nα (x) V nα (x) W nα (x) W nα (x) W nα (x) W nα (x) (4.20) Ahol: α az ép szakaszok sorszáma: 1 és 3. A (4.19) összefüggés alapján felírható a delaminációt tartalmazó szakasz állapottér modellje: U n2t (x) U n2t (x) V n2t (x) V n2t (x) U n2b (x) U n2b (x) V n2b (x) = V n2b (x) W n2 (x) W n2 (x) W n2 (x) (IV W ) n2 (x) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f 1 0 0 0 0 f 2 0 0 0 f 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 g 1 0 0 0 0 g 2 0 g 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 h 3 0 0 h 1 0 0 0 h 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 i 3 0 0 i 1 0 i 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 j 4 0 j 5 j 1 0 j 2 0 j 3 0 j 6 0 Az állapottér modellek megoldása a (3.47) egyenlet alapján számítható. U n2t (x) U n2t (x) V n2t (x) V n2t (x) U n2b (x) U n2b (x) V n2b (x) (4.21) V n2b (x) W n2 (x) W n2 (x) W n2 (x) W n2 (x)
A DELAMINÁLT LEMEZ 19 4.8. Perem és illesztési feltételek Látható, hogy a három állapottér modellb l összesen 28 ismeretlen adódik. Ezeket a perem és illesztési feltételek segítségével számíthatjuk ki. A lemez egyik vége (x = 0) befogott. Ebben az esetben a befogott lemezvég x és y irányú elmozdulásai mellett a z irányú elmozdulás és szögelordulás is zérus. Igy a peremfeltételek: W n1 (0) = 0 (4.22) W n1 (0) = 0 (4.23) U n1 (0) = 0 (4.24) V n1 (0) = 0 (4.25) A lemez másik vége (x = l) szabad. Ebben az esetben a szabad élen a Poisson-féle peremfeltételek: M x3t (l) + M x3b (l) = 0 (4.26) M xy3t (l) + M xy3b (l) = 0 (4.27) Q x3t (l) + Q x3b (l) = 0 (4.28) N x3t (l) + N x3b (l) = 0 (4.29) N xy3t (l) + N xy3b (l) = 0 (4.30) 4.3. ábra. Élnyomatékok redukálása. A Kirchho-féle eektív nyíróer számítása A szabad vég peremfeltételeit redukálnunk kell, mivel peremenként csak négy feltétel adható meg. Összevont peremfeltételeket alkalmazunk a csavaró élnyomatékokra és a nyíró er kre. A peremen ható élnyomatékot az alsó és a fels félen is egy dy er karú er párral helyettesítjük. A 4.3 ábra segítségével a z irányú egyensúly alapján a Kirchho-féle eektív nyíróer az alsó és a fels félre: V x3δ = Q x3δ + M xy3δ y (4.31)
A DELAMINÁLT LEMEZ 20 Ahol a nyíróer a következ összefüggés alapján számítható: Q x3δ = M x3δ x + M xy3δ y Tehát a szabad él redukált perem feltételei a (4.31) és 4.32 összefüggések alapján: M x3t (l) x (4.32) M x3t (l) + M x3b (l) = 0 (4.33) N x3t (l) + N x3b (l) = 0 (4.34) N xy3t (l) + N xy3b (l) = 0 (4.35) 2βM xy3t (l) + M x3b(l) 2βM xy3b (l) = 0 x (4.36) A delaminált és ép szakaszok csatlakozásainál a kontinuitást kielégít illesztési feltételek megadása szükséges. Az illesztéshez felhasználjuk az éler ket, élnyomatékokat, elmozdulásokat és azok deriváltjait. Az x és y irányú elmozdulások illesztései a delaminált (2) és a nem delaminált (1, 3) lemezegységek között, ahol η az adott szakaszok érintkezéseinek helye (b, b + a): U n2b (η) = 1 2 t tw nα (η) + U nα (η) (4.37) V n2b (η) = 1 2 βt tw nα (η) + V nα (η) (4.38) U n2t (η) = 1 2 t bw nα (η) + U nα (η) (4.39) V n2t (η) = 1 2 βt bw nα (η) + V nα (η) (4.40) Az z irányú elmozdulások illesztései a delaminált (2) és a nem delaminált (1, 3) lemezegységek között, ahol η az adott szakaszok érintkezéseinek helye (b, b + a): W n2 (η) = W nα (η) (4.41) W n2 (η) = W nα (η) (4.42) Az adott síkban értelmezett éler k illesztései a delaminált (2) és a nem delaminált (1, 3) lemezegységek között, ahol η az adott szakaszok érintkezéseinek helye (b, b + a): N x2b (η) + N x2t (η) = N xαb (η) + N xαt (η) (4.43) N xy2b (η) + N xy2t (η) = N xyαb (η) + N xyαt (η) (4.44) Mivel a szélesség mentén zárt a delamináció így az éler k és a nyíróer k nyomatékait is gyelembe kell vennünk. Az éler k nyomatékai a delaminált (2) és a nem delaminált (1, 3) lemezegységeknél, ahol η az adott szakaszok érintkezéseinek helye (b, b + a): ( M x2b (η) + M x2t (η) t t 2 N x2b(η) + t ) b 2 N x2t(η) ( M xαb (η) + M xαt (η) t t 2 N xαb(η) + t ) b 2 N xαt(η) = 0 (4.45)
A DELAMINÁLT LEMEZ 21 A nyíróer k nyomatékai a delaminált (2) és a nem delaminált (1, 3) lemezegységeknél, ahol η az adott szakaszok érintkezéseinek helye (b, b + a): ( Mx2b (η) + M x2t(η) 2βM xy2b (η) 2βM xy2t (η) t t N x2b (η) + x x 2 x + t ) b N x2t (η) + βt t N xy2b (η) βt b N xy2t (η) 2 x ( Mxαb (η) + x + t b N xαt (η) 2 x + M xαt(η) 2βM xyαb (η) 2βM xyαt (η) t t N xαb (η) + x 2 x ) + βt t N xyαb (η) βt b N xyαt (η) = 0 (4.46) A (4.46) és (4.45) illesztési feltételeket együttesen az úgynevezett Mujumdar-féle feltételeknek nevezzük[4].
5. fejezet Az elmélethez kapcsolódó mérések bemutatása Ebben a fejezetben részletezem a mérés során felhasznált saját készítés próbatestek el állítását, ezen kompozit lemezekre vonatkozó anyagparaméterek meghatározását méréssel és számítással. Ismertetem az analitikus számítás során alkalmazott peremfeltételeket kielégít befogó készülék tervezési követelményeit, m szaki paramétereit. Továbbá bemutatásra kerülnek a delaminált és az ép lemezekre elvégzett mérési kísérletek. 5.1. A próbatestek el állítása A kompozit lemezek unidirekcionális üvegszálas er sít anyagból és h re keményed telítetlen poliészter gyantából készültek kézi laminálással. Az ép lemez 3 azonos orientációjú [0 ; 0 ; 0 ] rétegb l épül fel. A delaminációt tartalmazó kompozit lemezek 4 szintén azonos elrendezés rétegb l állnak [0 ; 0 ; 0 ; 0 ], a középs rétegek közötti szimmetrikusan elhelyezett réteghibát formaleválasztóval bevont teon lapokkal idéztük el. 5.1. ábra. Réteghibát tartalmazó kompozit lemezek gyártás közben Az 5.1 ábrán delaminációt tartalmazó lemezek láthatóak gyártásuk közben. A térhálósítás iniciátor hozzáadásával, légkeveréses kemencében történt 80 4 órán keresztül. 22
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA 23 5.1. táblázat. A mérések során felhasznált kompozit lemezek geometriai adatai - Rétegek száma: Szélesség: Hossz: Delamináció hossza: [db] [mm] [mm] [mm] Ép lemez 3 230 300 0 Delaminált lemez 1 4 230 300 50 Delaminált lemez 2 4 230 300 5 Az 5.1. táblázat a lengéstani analízishez készített rétegelt kompozit lemezek f bb geometriai adatait tartalmazza. A kompozit lemezek analitikus számításainál ezekkel az adatokkal dolgoztam. 5.2. Az anyagjellemz k számítása Az analitikus számításhoz szükségesek a rétegelt kompozitokra jellemz anyag paraméterek. Szakítógép segítségével méréssel meghatároztam a száliránnyal párhuzamos (E 1 ) és arra mer leges (E 2 ) rugalmassági modulusokat, majd ezeket a keverék szabály segítségével ellen riztem. A csúsztató rugalmassági modulus (G 12 ), a Poisson-tényez k (ν 12, ν 21 ) és a s r ség (ρ) pedig csak a keverék szabály segítségével számolhatóak[1]. 5.2. ábra. A szakítógéphez készített tabolt próbatest A szakítógépen végzett méréshez 5-5 hosszirányra mer leges és azzal párhuzamos szálirányú, három réteg, tabolt próbatestet használtam. Az 5.2 ábrán láthatóak a hossziránnyal párhuzamos szálirányú próbatestek. A "tabolás", azaz a keresztmetszet vastagítása a befogás mentén, elengedhetetlen a szakítógépes vizsgálatok során. Segítségükkel a tönkremenetel a minta hasznos hosszán történik meg, nem egyb l a befogásnál, ami hibás értékeket produkálna a megnövekedett feszültség hatására [10]. A próbatestek tabolása kézi laminálással történt anyaga megegyezik a kompozit anyagával.
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA 24 5.2. táblázat. A mért rugalmassági modulusok Próbatest: 1. 2. 3. 4. 5. Átlag E 2 [GPa] 5.24 5.19 4.74 4.83 3.79 4.76 Próbatest: 6. 7. 8. 9. 10. Átlag E 1 [GPa] 9.19 9.16 11.6 9.9 11.7 10.3 Az egyes próbatestekre mérés alapján meghatározott er -nyúlás görbék áttranszformálhatóak mérnöki feszültség-fajlagos nyúlás görbékké. Ezen görbék lineáris szakaszának meredekségei kis nyúlások esetén a keresett modulusoknak felelnek meg. Ezek az 5.2. táblázatban szerepelnek. 5.3. táblázat. A kompozit alkotóelmeinek anyagparaméterei a szakirodalom alapján Anyag: E G ν V ρ [Gpa] [Gpa] [-] [-] [g/cm 3 ] GF 72 33 0.12 1/3 2.6 UP 3 1 0.33 2/3 1.38 A méréssel nem kimérhet anyagjellemz ket (G 12, ν 12, ν 21 ) és a már meghatározottakat (E 1, E 2 ) a keverék szabály alapján számítjuk. A 5.3 táblázatban a szakirodalomban szerepl anyagtulajdonságok és a kompozit alkotóegységeinek aránya található, melyeket grammpontos mérleggel gyártás közben mértem le. A paraméterek meghatározása tehát következ módon történik: A száliránnyal megegyez irányban értelmezett rugalmassági modulus: E 1 = E f V f + E m V m (5.1) A szálirányra mer leges irányban értelmezett rugalmassági modulus: E 2 = E f E m E m V f + E f V m (5.2) Ahol E f az er sít anyagra és E m a mátrixra jellemz rugalmassági modulus, illetve V f az er sít anyag és V m a mátrix anyag aránya a kompozitban. A csúsztató rugalmassági modulus a következ módon határozható meg: G 12 = G f G m G m V f + G f V m (5.3) Ahol G f az er sít anyagra és G m a mátrixra jellemz csúsztató rugalmassági modulus, illetve V f az er sít anyag és V m a mátrix anyag aránya a kompozitban.
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA 25 A Poisson-tényez k a következ módon határozhatóak meg: ν 12 = ν f V f + ν m V m (5.4) Ahol ν f az er sít anyagra és ν m a mátrixra jellemz Poisson-tényez, illetve V f az er sít anyag és V m a mátrix anyag aránya a kompozitban. ν 21 számítható az (5.1) (5.2) (5.4) összefüggések alapján: ν 21 = E 2 E 1 ν 12 (5.5) A keverék szabály felírható a kompozit lemez s r ségére is: ρ = ρ f V f + ρ m V m (5.6) Ahol ρ f az er sít anyagra és ρ m a mátrixra jellemz s r ség, illetve V f az er sít anyag és V m a mátrix anyag aránya a kompozitban. 5.4. táblázat. Az üvegszál/poliészter réteg anyagtulajdonsági a keverék szabály alapján: E 1 E 2 G 12 ν 12 ν 21 ρ [GPa] [GPa] [GPa] [-] [-] [g/cm 3 ] 26 4.4 1.48 0.26 0.12 1.79 A keverék szabály alapján meghatározott anyagparamétereket az 5.4. táblázatban foglaltam össze. Látható, hogy E 1 esetében a mért és elméleti adatok nem egyeznek. Ennek oka, hogy a tabok utólagosan lettek a lemezre laminálva, ezért ezek id el tt elengedték a lemezt szakítás közben. E 2 mérése közben a próbatest a mérési szempontból hasznos részen ténylegesen elszakadt, itt az értékek közel egyeznek. Szakirodalmi adatok alapján a keverék szabály 5%-on belül becsli a kompozit anyagtulajdonságait, így a nem megfelel tabolással kapott értékek helyett a keverékszabállyal kapott adatokat használtuk a számítások során.
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA 26 5.3. A befogó készülék A rétegelt kompozit lemez analitikus megoldása csak speciális PF-ek mellett lehetséges. Ilyenek a 3.4, a 4.6 és a 4.8 fejezetekben tárgyalt peremfeltételek. Az alkalmazott peremfeltételek valóságba való átültetése, illetve a mérés során fellép húzó-nyomó terhelés felvétele alapozta meg a szerkezet elkészült formáját, funkcióját. 5.3. ábra. A peremfeltételeket modellez készülék A peremfeltételeket modellez befogó készülék tervezése során több feltételt, követelményt gyelembe kellett vennem. Az ezek alapján tervezett készülék a 5.3 ábrán látható. A tervezés során gyelembe vett fontosabb követelmények: Mivel a Lévy-féle peremfeltételek a lemez oldalsó élein egyszer támaszt feltételeznek, ezért a tervezés els lépése ennek a kialakítása volt. Az egyszer támaszt egy lazán illeszked cs és csap kapcsolata biztosítja, mely a szögelfordulásokat lehet vé teszi, viszont az (x, y)-síkbeli elmozdulást gátolja. A lemez alsó és fels végénél szabad vég vagy befogás peremfeltétel alakítható ki. A következ elvárás, a szakítógép által kifejtett ±5000 N terhelés elviselése volt. Ehhez masszív vázszerkezet kialakítására volt szükség, melyet több menetes kapcsolat és hegesztés segítségével valósítottam meg. A szerkezet könny szerelhet ségének és gyors legyártásának érdekében, minden egyes alkatrész szabványos elemekb l áll. - A szakítógéphez csatlakozó csapokat és a készülék befoglaló méreteit a gép méretei alapján készítettem. A készülék méreteit úgy alakítottam ki, hogy azzal többféle geometriájú lemezt lehessen mérni. 5.4. A sajátfrekvencia-unaxiális terhelés mérésének bemutatása Ezen mérés során egy kompozit lemez els sajátfrekvenciáit mértem ki, egytengely húzó-nyomó terhelés mellett.
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA 27 5.4. ábra. A terhelés-sajátfrekvencia próba mérés összeállítása A mérési összeállítás az 5.4. ábrán látható. Az 5.3 fejezetben részletezett befogó készülékbe belehelyeztem a lemezt, majd az egészet a M szaki mechanikai tanszék INSTRON 3345 szakítógépének INSTRON 2519-107 mér cellájához rögzítettem. Így a lemez élein befogás-befogás, egyszer támasz peremfeltételek keletkeznek. Mivel els sajátfrekvenciákat mértem, ezért a lemez hátsó felületének középpontjára helyeztem fel egy gyorsulásmér t, mivel várhatóan ott lesz a legnagyobb az elmozdulás. A rendszer sajátfrekvenciáit a kísérleti modális analízis segítségével határoztam meg. A sajátfrekvenciák a bemen jel és a válasz jel frekvencia átviteli függvényér l olvashatóak le. A bemen jel impulzus gerjesztés, ami modális kalapáccsal ütéssel állítható el. A kalapácsban található szenzorok küldik a programnak az ütés id jelét (dirac-delta), ezt Gyors Fourier Transzformálva (FFT) kapjuk a frekvenciatartományon értelmezett bemen jelet. A gerjesztésre adott válasz id jelét egy gyorsulásmér szenzor méri. A mért gyorsulás kétszeres id szerinti integrálját véve az FFT adódik, ahol a válasz jel a frekvenciatartományon van értelmezve. Az egyes lengésképekhez tartozó sajátfrekvenciák leolvashatóak a bemen és kimen jelhez tartozó frekvenciaátviteli függvényr l. A mérés során a szakítógép segítségével lépésenként állítottam a terhelést. Az egyes terhelésekhez tartozó els saját frekvenciát, a terhelés közben modális analízissel határoztam meg. 5.5. A sajátfrekvencia-delamináció mérés bemutatása A mérés során középsíkjában szimmetrikusan elhelyezett, szélesség mentén átmen delaminációt tartalmazó kompozit lemezek els sajátfrekvenciáit vizsgáltam a delaminációs szakasz hosszának függvényében.
AZ ELMÉLETHEZ KAPCSOLÓDÓ MÉRÉSEK BEMUTATÁSA 28 5.5. ábra. A sajátfrekvencia-delamináció hossz mérés összeállítása A mérési összeállítás az 5.5. ábrán látható. Az 5.3. fejezetben részletezett befogó készülékbe belehelyeztem a lemezt úgy, hogy fels éle szabadon maradjon. Mivel szabad lengést vizsgáltam, így nincs szükség terhelésre, ezért a készüléket satuba rögzítettem. Így a lemez élein befogás-szabad vég, egyszer támasz peremfeltételek keletkeznek. A gyorsulásmér t a lemez hátsó felületének közepére helyeztem. A mérés során két különböz delaminációs hosszal (5 mm és 50 mm) rendelkez kompozit lemez sajátfrekvenciáit mértem. A mérés közben a lemezek teljes hosszát 20 mmes léptékenként szimmetrikusan csökkentettem szalagf résszel, és az adott hosszokhoz tartozó els sajátfrekvenciát modális analízis segítségével határoztam meg.
6. fejezet A mért és számított eredmények bemutatása 6.1. Az ép lemez eredményei A számítás során mind a két megoldási módszerrel kiszámolható a kritikus kihajlási er és a terheletlen esetben értelmezett els sajátkörfrekvencia. A mérés során ezeket csak becsülni tudjuk, mivel pontosan nem tudunk ezeken a jellemz pontokon mérni. Mivel a szakítógép null pontja nehezen beállítható, illetve a kihajlást csak nehezen lehet megtalálni modál analízis során. 6.1. táblázat. A frekvencia változás húzás esetén F [N] f [Hz] 4200 2835 3420 3070 2850 2570 2250 1970 1550 1120 760 430 245 241.5 236 231 228 224.5 220.5 215.5 209.6 202.5 192.5 186 6.2. táblázat. A frekvencia változása nyomás esteén F [N] f [Hz] -440-780 -980-1280 -1680-2150 -2560-3000 -3300-3700 165.5 158 154 147 137.5 128 124 274 268 173 A mért eredmények húzásra a 6.1. táblázatban és nyomásra a 6.2. táblázatban találhatóak. Ezek közül néhány jellegzetes mérési sorozat frekvenciaátviteli függvénye kerül bemutatásra a következ oldalakon. Ezek jól szemléltetik a mérés és a számítás során vizsgált összefüggést a terhelés és a sajátfrekvencia között. 29
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA 30 6.1. ábra. Csökken frekvencia a nyomó terhelés hatására A 6.1. ábrán látható a nyomó terhelés hatására bekövetkez frekvencia csökkenés, az els sajátfrekvenciák esetében ez nyíllal jelölve van. Látható, hogy növelve a nyomó terhelést a frekvenciák a tengely felé tolódnak. 6.2. ábra. Növekv frekvencia a húzó terhelés hatására A 6.2. ábrán látható a húzó terhelés hatására bekövetkez frekvencia növekedés, az els sajátfrekvenciák esetében ez nyíllal jelölve van. Látható, hogy növelve a húzó terhelést a frekvenciák a tengelyt l távolodnak.
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA 31 6.3. ábra. Átviteli függvény a kritikus kihajlási er t elérve. (Látható, hogy az els sajátfrekvencia elt nik.) Nyomásnak kitéve a lemez a transzverzális elmozdulás mindaddig kvázi zérusok marad, amíg a lemez el nem éri a kritikus kihajlási er t. A klasszikus kihajlási elmélet szerint ekkor a lemez új egyensúlyi helyzetet vesz fel, melynek alakja megegyezik az els módus alakjával. Ezen egyensúlyi útvonalak vannak I. és II.-vel jelölve az 6.4. ábrán. A valóságban természetesen a stabilitásvesztés nem hirtelen következik be, 6.4. ábra. Horpadási bifurkációs diagram a terhelés függvényében [11] hanem a gyártási tökéletlenségek miatt már el bb elkezd a lemez deformálódni, a kritikus kihajlási értéket átlépve pedig a deformáció nagyobb léptékkel növekszik [11].
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA 32 Ez az egyensúlyi útvonal van szemléltetve az V.-ös útvonallal. Ahogy a mérés során átléptük a kritikus kihajlási értéket a lemez deformációja szemmel láthatóan is az els lengésképpel megegyez kihajlási módus alakját vette fel, emiatt a modális analízissel az els lengéskép nehezen mérhet vé vált. Egy ilyen post-buckling helyzetbeli mérés átviteli függvényét mitatja a 6.3. ábra. 6.5. ábra. A frekvencia ismét mérhet a kihajlás után Növelve a kompressziót a lemez deformációja tovább halad az els horpadási módus egyensúlyi útján egészen addig, amíg a felhalmozódó energia elég nagy nem lesz, hogy a lemez új egyensúlyi helyzetbe menjen át [11]. Ekkor a deformáció a második módus szerint alakul, így a modális analízis ütésgerjesztésével újra mérhet vé válik az els lengéskép által okozott gyorsulás. Vélhet en ezt a jelenséget tapasztaltuk a lemez kritikus kihajlási er n túli terhelésekor. Egy ilyen mérési pontot szemléltet a 6.5. ábra, ahol a megváltozott horpadási alak miatt a lemez az els sajátfrekvencia újra mérhet vé vált. 6.3. táblázat. A mérési és számítási eredmények - Próbafüggvényes megoldás Mérés Sajátfrekvencia [Hz] 136.8 175.4 Kihajlási terhelés [N] -2970-4136 Mint az látható a 6.3. táblázatban és a 6.6. ábrán a számítás során használt módszer a sajátkörfrekvenciát alul becsüli a méréshez képest. Jól látható viszont, hogy egymáshoz képest nagyon kicsi az eltérés. Az állapottér modellel számított sajátkörfrekvencia 136.8 Hz -re adódott. Az eltérés adódhat abból, hogy az állapottér modell gyelembe
A MÉRT ÉS SZÁMÍTOTT EREDMÉNYEK BEMUTATÁSA 33 6.6. ábra. A frekvencia-terhelés görbék számítás és mérés esetén (a) Az els lengéskép (b) A második lengéskép (c) A harmadik lengéskép 6.7. ábra. Lengésképek veszi a membrán mozgásokat is, az azonban látszik, hogy a számított értékek hasonló nagyságrendbe esnek, így a zárt alakú képlet levezetésnél a szabadlengésb l számított paraméter alkalmazható a terhelt esetben is. A 25 %-os relatív eltérés a mért frekvenciához képest vélhet en, az analitikus modell során alkalmazott közelít Kirchho elmélet közelítéseib l és az egyéb elhanyagolásokból fakad. Továbbá a mérések során adódó bizonytalanságok is torzíthatnak a kapott eredmények viszonyán. A mérések során, felhasználtuk az állapottér modell segítségével meghatározott lengésképeket a gyorsulás érzékel ideális helyének meghatározásához. A számított értékek a 6.4. táblázatban a hozzájuk tartozó alakok pedig a 6.7. ábrán láthatóak. 6.4. táblázat. A lemez sajátfrekvenciái: - I. II. III. Sajátfrekvencia [Hz] 136.8 701.9 1153.2 Összességében elmondhatjuk, hogy a mért és a számított értékek nagyon jó egyezést mutatnak, így a levezetett zárt alakú képlet alkalmas lehet a kompozit lemezek hajlítómerevségeinek a visszaszámítására amennyiben további információk állnak rendelkezésünkre a próbatestr l. Továbbá a mérés és a számítás egyezése jelen esetben igazolja a saját tervezés szakirodalomban eddig nem közölt befogókészülék m ködésének helyességét, mely alkalmas az analitikus eredmények mérés útján történ validálására.