VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3 5 1 4 7 1 2 2 2 1 2 2 9 2 2 9 2 2 2 9 2 9 2 2 2 2 3 3 2 1
(e) (imsc) 1 2i 1 + 2i 3 i 3 i 4i 3 1 + 4i 2. Az a, b paraméterek függvényében állapítsuk meg az adott mátrix rangját! 1 2 1 3 1 a b 0 5 (d) (e) 1 2 3 2 4 a 3 a b 1 a b b 1 a a b 1 a 1 b 4 a b 3a b + 3 0 1 1 1 1 1 1 1 4 3 6 3 5 a b 2 0 2 3 5 b 3 3. A rang vizsgálatának segítségével döntsük el, hogy az egyenletrendszernek hány megoldása van a valós paraméterek függvényében! (2a + 1)x 1 ax 2 + (a + 1)x 3 = a 1 (a 2)x 1 + (a 1)x 2 + (a 2)x 3 = a (2a 1)x 1 + (a 1)x 2 + (2a 1)x 3 = a 2
(3a 1)x 1 + 2ax 2 + (3a + 1)x 3 = 1 2ax 1 + 2ax 2 + (3a + 1)x 3 = a (a + 1)x 1 + (a + 1)x 2 + 2(a + 1)x 3 = a 2 x 1 + 2x 2 = 1 x 1 ax 2 = 2 x 1 + bx 2 = 2 (d) x 1 x 2 + x 3 x 4 = 1 x 1 + x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 6 3x 1 + 5x 2 + ax 3 + bx 4 = 2 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 = b 3. Lineáris leképezések (tenzorok) 1. Döntsük el, hogy az alábbi leképezések lineárisak-e. Ha igen, adjuk meg a leképezés mátrixát a kanonikus bázispárra vonatkozóan! Adjuk meg a leképezés magterét és képterét, és ezek dimenzióját (nullitás (deffektus) illetve rang). A : R 3 R 3, A minden vektorhoz az x tengelyre eső merőleges vetületet rendeli. (Írjuk fel x és z tengelyre vonatkozóan is!) A : R 3 R 3 az origón átmenő b irányvektorú egyenesre való merőleges vetítés. A : R 3 R 3 az origón átmenő n normálvektorú síkra való merőleges vetítés. (d) A : R 3 R 3 tükrözés a 3x + 4y 12z = 0 egyenletű síkra. (e) A : R 3 R 3 tükrözés az x = y = z egyenletű egyenesre. 6 7 6 (f) A : R 3 R 3 merőlegesen vetít az x = y = z egyenesre. 3 4 12 (g) A : R 3 R 3 merőlegesen vetít az 3x + 4y 12z = 0 síkra. (h) A : R 3 R 3, A : r b r, ahol b = (2, 1, 3) T. 3
(i) A : R 3 R 3 z tengely körüli α szögű forgatás. (ugyanígy x és y tengely körül). (j) D : P n P n, D(p(x)) = xp (x) + 2p (x) + 3p(x), ahol P n a legfeljebb n-ed fokú polinomok tere. (k) A : R 3 R 3, A minden vektorhoz az (1, 2, 3) vektorral párhuzamos összetevőjét rendeli. (l) (imsc) L : R 2 R 3, L : (x, y) T (x, y, x + y) T. (m) (imsc) L : R 3 R 2, L : (x, y, z) T (x + y, y + z) T. 2. A fentiek alapján számoljuk ki a következő vektorok képét! Forgassuk el az r = (1, 0, 1) vektort a z tengely körül π/3-mal, majd tükrözzük az xy-síkra. Forgassuk el r = (1, 1, 0)-t először, y, majd z, végül x tengely körül π/6-tal. (imsc) Forgassuk el r = ( 1, 0, 2)-t az x = y, z = 0 egyenletű egyenes körül π/4 -gyel, majd tükrözzük az x + 3y 2z = 0 síkra. Sajátérték, sajátvektor 1. Számoljuk ki az alábbi mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait! A = 0 3 1 1 1 0 5 3 2 A = 2 1 2 5 3 3 1 0 2 A = 2 2 1 1 3 1 1 2 2 4
2. Diagonalizáljuk az alábbi mátrixokat! Adjuk meg A 10 mátrixot is! A = A = 0 2 2 2 1 0 2 0 1 5 4 2 4 5 2 2 2 8 3. Legyen A = 1 2 1 0 2 0 0 0 1/2 Határozzuk meg A inverzét, A 1 sajátértékeit és a legkisebb sajátértékhez tartozó egységnyi hosszúságú sajátvektort! 4. Legyen 5. A = 1 0 0 5 2 14 9 1 3 Számítsuk ki a legnagyobb és legkisebb valós sajátértékhez tartozó sajátvektorok által bezárt szöget! Írjuk fel az A lineáris leképezésnek a mátrixát, ha tudjuk, hogy A-nak sajátvektorai a z-tengellyel párhuzamos vektorok λ = 2 sajátértékkel, és az x+y z = 0 egyenletű síkkal párhuzamos vektorok λ = 3 sajátértékkel. 6. Adjuk meg a következő tenzorok sajátértékeit és sajátvektorait! R 3 -ben a z-tengely körüli 45 fokos forgatás. R 3 -ben az xy síkra való vetítés. R 3 -ben az xy síkra való tükrözés... Euklideszi terek 1. Skaláris szorzást definiálnak-e a V vektortéren az alábbi kifejezések? 5
V = C([0, 1]), f, g = 1 0 fg. V = C 1 ([0, 1]), f, g = 1 0 f g. V = C 1 ([0, 1]), f, g = 1 0 f g + f(0)g(0). (d) V = R 2, (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) = x 1 y 1 2x 1 y 2 2x 2 y 1 + 6x 2 y 2. (e) V = R 3, (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ) = x 2 1y 2 1 + x 2 2y 2 2 + x 2 3y 2 3. (f) V = R 3, (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 y 1 + x 3 y 3. (g) V = F n (C), A, B = Tr A B. 2. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenségeket! (Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség gyakorlása.) Ha x, y, z R és x 2 + y 2 + z 2 = 1, akkor x + 2y + 3z 14. Ha x, y, z, w R és x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1, akkor x + 2y + 3z + 4w 30. Ha f C([0, π]) pozitív, akkor π 0 f(x) sin x d x π 2 π 1 f 2 (x) d x. Ortogonális rendszerek, Gram-Schmidt ortogonalizáció 1. Mutassuk meg, hogy R 3 -ben e 1 = 1 6 (1, 1, 2), e 2 = 1 11 (1, 3, 1), e 3 = 1 66 ( 7, 1, 4) vektorok ortonormált bázist alkotnak. Irjuk fel az x = (3, 4, 5) R 3 vektort ebben a bázisban! 2. Határozzuk meg azt az R 4 -beli vektort, melynek utolsó koordinátája 1, és merőleges az (1, 0, 0, 2), (0, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) vektorok mindegyikére. 3. Mutassuk meg, hogy a {cos kx, sin kx} függvények ortogonális rendszert alkotnak a 2π szerint periodikus folytonos valós függvények terében, ha a skalárszorzatot f, g = 2π 0 f g definiálja. Hogyan kapunk ortonormált rendszert? 4. Határozzuk meg azokat az R 4 -beli egységvektorokat, melyek merőlegesek az (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 3) (1, 1, 1, 1) vektorok mindegyikére. 5. Az (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), (1/6, 1/6, 1/2, 5/6) vektorokból kiindulva készítsünk R 4 - ben egy ortonormált bázist! Adjuk meg (0, 1, 1, 2) koordinátáit ebben a bázisban! 6
6. Adjunk meg az (1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0) vektorok által generált térben egy ortogonális bázist! Benne van-e (0, 1, 2, 1) ebben a térben, ha igen, mik a koordinátái az ortogonális bázisban, ha nem, milyen szöget zár be a generált altérrel? 7. Adjunk meg az x 2 3, 2x 5, x 3 x polinomok által generált térben egy ortonormált bázist, ha a polinomok terén a skaláris szorzatot f, g = 1 fg képlettel definiáltuk. 0 Benne van-e a generált térben az x 3 +x polinom? Ha igen adjuk meg a koordinátáit az ortonormált bázisban, ha nem adjuk meg a generált altértől vett távolságát! 7