Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot. Hány összefüggő, illetve reguláris van közöttük? 2. Hány olyan, páronként nem izomorf gráf van, amelyben a) két-két másod-, harmad- és negyedfokú csúcs van, másfokszám nem fordul elő; b) három-három másod-, harmad- és negyedfokú csúcs van, másfokszám nem fordul elő? 3. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden pont foka különböző? 4. Van-e olyan társaság, ahol minden embernek különböző számú ismerőse van? 5. Van-e olyan 9-pontú gráf (tetszőleges, illetve egyszerű), melyben a pontok foka rendre a)7,7,7,6,6,6,5,5,5; b) 6,6,5,4,4,3,2,2,1? 6. És olyan 8-pontú egyszerű, melyben a fokszámok 6,6,6,6,3,3,2,2? 7. Mutasd meg, hogy tetszőleges gráfban a páratlan fokú pontok száma páros! 8. A bergengóc nyelvben kétbetűs szavak vannak. Ezek közül 5 szót leírtunk egy lapra és azokat a szavakat kötöttük össze, amikben van azonos betű. Melyik ábrát nem kaphattuk, ha a pöttyök a leírt szavakat jelölik? (Mj: Zrínyi Ilona Matematikaverseny, 3. osztály) 9. * Rajzold le a következő gráfot! Egy kör kerületén vegyünk fel öt pontot! A gráf csúcsai a pontok által meghatározott ( 5 2) húr lesz. Két csúcsot akkor kötünk össze a gráfban, ha a nekik megfelelő húroknak nincs közös végpontjuk. Ezt hívják Petersen-gráfnak. Milyen C n gráfok részgráfjai a Petersen-gráfnak? 10. Hány olyan 3, illetve 4 csúcsú gráf van, amely izomorf a komplementerével? 11. Rajzolj a komplementerével izomorf 5, illetve 6 csúcsú gráfot. 12. Mutasd meg, hogy tetszőleges páratlan hosszúságú zárt séta tartalmaz kört. Igaz-e ez páros hosszúságúra? 13. Mutasd meg, hogy ha egy gráf minden pontja legalább másodfokú, akkor a gráfban van kör! 14. Igaz-e, hogy ha egy gráf bármely két pontja között van séta, akkor út is van? 15. Mutasd meg, hogy ha a-ból vezet út b-be, és b-ből c-be, akkor a-ból is vezet c-be! 16. Hat versenyző körmérkőzést játszik. Bizonyítsd be, hogy bármely időpontban van három olyan versenyző, akik már mind játszottak egymással, vagy három olyan, hogy egyik sem játszott a másik kettővel. 1

17. Mutasd meg, hogy ha egy 2n-pontú gráf minden pontjának foka legalább n, akkor a gráf összefüggő! Mi történik, ha n 1-fokú pontokat is megengedünk? 18. Igaz-e, hogy vagy G, vagy a komplementere biztosan összefüggő? 19. Rajzold le az összes (páronkánt nem izomorf) 3, 4 és 5 csúcsú fát. 20. Hány olyan 8 csúcsú fa van, amiben pontosan 2 db harmadfokú csúcs van? 21. * Jelöljük egy fa elsőfokú pontjanak számát f 1 -gyel, a kettőnél nagyobb fokúak számát pedig c-vel. Mutasd meg, hogy ha legalább két pontja van a gráfnak, akkor f 1 c + 2. 22. Igazold, hogy egy összefüggő véges gráfban bármely két leghosszabb útnak van közös pontja! 23. Mutasd meg, hogy egy véges fában az összes leghosszabb út egy ponton megy át! 24. Mely fák izomorfak a komplementerükkel? 25. * Az n hosszúságú 0-1 sorozatok legyenek egy gráf csúcsai. A gráfban két csúcs pontosan akkor van összekötve, ha a megfelelő sorozatok pontosan egy helyen különböznek. Rajzold fel a gráfokat n = 2 és 3 esetén. Legalább hány élet kell a gréfból törölni, hogy ne legyen a maradékban kör? 26. Lerajzolhatóak-e a ceruza felemelése nélkül az alábbi gráfok úgy, hogy minden élet pontosan egyszer húzunk be (=van-e Euler vonala/köre)? 27. Van-e olyan egyszerű gráf, amelyben van Euler-kör, páros sok csúcsa és páratlan sok éle van? 28. Igazold, hogy minden összefüggő gráfban van olyan séta, amely a gráf minden élét pontosan kétszer tartalmazza. Igaz-e ez zárt sétára? 29. * Mutasd meg, hogy ha egy gráf minden pontjának foka 4, akkor élei színezhetőek piros és kék színekkel úgy, hogy minden csúcshoz két-két piros és kék él illeszkedjen! 30. Van-e az alábbi gráfoknak Hamilton köre (útja)? 31. Bejárható-e a 9 9-es sakktábla lóugrással úgy, hogy a kiindulási mezőre érjünk vissza? 2

32. Mutasd meg, hogy ha egy gráfban van Hamilton-kör, akkor bárhogy töröljük egyetlen élét, a maradék gráf összefüggő. 33. Mutasd meg, hogy minden n 5-re igaz, hogy (a) létezik olyan n csúcsú G gráf, hogy G is és G is tartalmaz Hamilton-kört; (b) létezik olyan n csúcsú G gráf, hogy sem G sem G nem tartalmaz Hamilton-kört. 34. Egy hotelba 100 fős társaság érkezik, akik közül kezdetben bármely két ember jóban van egymással. Esténként egyetlen nagy kerek asztal köré ül le mindenki. Sajnos egy vacsora alatt az egymás mellé került emberek örökre összevesznek egymással. A társaság minden vacsora előtt úgy ül le, hogy a szomszédjaival jóban legyen. Ha ez lehetetlen, akkor minden résztvevő aznap este hazamegy. Mutasd meg, hogy legalább 25 éjszakát a hotelben tölt a társaság! 35. * Mutasd meg, hogy egy dominócsomagból kirakható kör. 36. * Mutasd meg, hogy a Petersen-gráfban nincs Hamilton-kör, de bárhogy töröljük egyetlen csúcsát, a maradékban már lesz. 37. * Bizonyítsd be, hogy amennyiben egy gráfban található k pont, melyeket elhagyva a gráf több, mint k komponensre esik szét, akkor a gráfnak nincs Hamilton-köre! 38. * Bizonyítsd be, hogy ha egy véges összefüggő gráf K köréből valamelyik élt eltörölve a gráf egy leghosszabb útját kapjuk, akkor K Hamilton-köre a gráfnak! 39. * Legyen n 3 pozitív egész, és G egy n pontú egyszerű, összefüggő gráf. Bizonyítsd be, hogy ha G minden csúcsának foka legalább n 2, akkor G-nek van Hamilton-köre! 40. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3 csúcsú, 4 élű, hurokmentes irányított gráfot, amelynek van olyan csúcs, aminek a kifoka és a befoka is 2. 41. Hány páronkánt nem izomorf 4 csúcsú, 3 élű egyszerű irányított gráf létezik? 42. Mutasd meg, hogy bármely hurokmentes irányítatlan gráfnak van olyan irányítása, ami nem tartalmaz irányított kört. 43. Mutasd meg, hogy egy körmérkőzéses pingpongverseny résztvevői sorbaállíthatóak úgy, hogy mindenki legyőzte a közvetlenül mögötte állót! (Azt nem követeljük meg, hogy az összes mögötte állót le kellett volna győznie.) 44. Legalább mekkora egy 64 levelű irányított fa magassága, ha minden csúcsnak maximum 4 gyereke lehet? Legfeljebb mekkora lehet a magassága? 45. Egy 9 tagú társaságban mindenki átad öt másik embernek 100-100 forintot. Igaz-e, bárhogyan történik az elosztás, lesz két ember, akinek ugyanannyival változott pénze? 46. * Jellemezd véges halmazokon az ekvivalencia-relációk gráfjait. 47. * Bizonyítsd be, hogy bármely véges, hurokmentes gráf irányítható úgy, hogy a keletkező gráf nem tartalmaz irányított kört. 48. Melyik gráfot tudod lerajzolni úgy, hogy az élei ne messék egymást: (a) egy kocka éleinek hálózata; (b) teljes n-szög n = 3, 4, 5,..; (c) három-ház-három-kút : páros gráf 3-3 ponttal (házak, kutak), minden ház összekötve minden kúttal; (d) a Petersen-gráf. 49. Hány éle van egy n-pontú síkgráfnak, ha minden lapja (a végtelen lap is) háromszög? 50. Mutasd meg, hogy egy n 3 pontú síkbarajzolható gráfnak legfeljebb 3n 6 éle lehet! 51. Bizonyítsd be, hogy ha egy G gráf pontszáma legalább 11, akkor vagy G, vagy a komplementere nem síkbarajzolható! 52. Rajzolj egy olyan 8-pontú síkgráfot, aminek a komplementere is síkgráf! 53. Mutasd meg, hogy egy egyszerű síkbarajzolható gráfban nem lehet minden pont foka legalább 6! 3

54. Legfeljebb hány éle lehet egy síkbarajzolható gráfnak, ha minden köre legalább k hosszú? 55. Egy nemzetközi konferencián öt különböző ország egy-egy résztvevője ül. Bizonyítsd be, hogy van közöttük legalább kettő, akiknek az országa nem szomszédos! 56. * Mutasd meg, hogy egy síkbarajzolható gráf lapjai pontosan akkor színezhetőek két színnel úgy, hogy a szomszédos lapok különböző színűek legyenek, ha a gráfnak van Euler-körsétája! 57. Mi az alábbi fák Prüfer kódja? 58. Egy 4 levelű teljes bináris fa csúcsait címkézzük a gyökértől kezdve szintenként lefelé növekvő sorrendben. Mi lesz ennek a fának a Prüfer kódja? 59. * Rajzolj olyan fát, melynek a Prüfer kódja: (a) 111...1; (b) 11342; (c) 12345; (d) 54321 2. Polinomok 1. Add meg Z 72 felett a 8x 2 + 12 és a 18x + 36 polinomok szorzatát! 2. * Határozd meg H felett az f = (3 + 2i j + 5k)x 2 (2 3i + k) és a g = 2ix (4 5k) polinomokra fg gf-et. 3. Határozd meg a Z feletti 3x 8 + 5x 6 11x 3 + 7x 2 15x + 8 és 16x 7 13x 6 + 6x 3 13x + 21 polinomok szorzatában a 0-ad, 9-ed, 14-ed, 15-öd és 20-ad fokú tag együtthatójút! Oldd meg ugyanezt Z 24 felett is! Mennyi lesz ekkor a szorzatpolinom foka? 4. Osszd el az f(x) polinomot g(x)-szel maradékosan Q, Z 7 és Z 6 felett, ha lehet a) f(x) = 42x 4 7x 3 +13x 2 +43x 12, g(x) = x 2 x+1; b) f(x) = x 3 3x 2 x 1, g(x) = 3x 2 2x+1; c) f(x) = 5x 4 + 2x 3, g(x) = 2x 2 3x + 4; d) f(x) = x 3, g(x) = 2x + 3; e) f(x) = x 2 + 3x 2, g(x) = 6x 4 + 5x 2 3x + 2; f) f(x) = x 3 + x 2 + 3x + 2, g(x) = 2x 2 + 4. 5. Legyen f(x) = x 5 + x 4 15x 3 + 25x 2 + 2x 3 és g(x) = x 2 + 4x 5. Osszuk el maradékosan f-et a g-vel Q és Z 3 felett! 6. Hogyan kell megválasztani a p, q, m értékeket, hogy az x 3 + px + q polinom C felett osztható legyen az x 2 + mx 1 polinommal? 7. Határozd meg a és b értékét úgy, hogy x 4 + 3x 2 + ax + b osztható legyen x 2 2ax + 2-vel Z, Q, R, illetve C felett! 8. Határozd meg az alábbi Q[x]-beli polinomok legnagyobb közös osztóját: a) (x 1) 3 (x + 2) 2 (x 3)(x 4) és (x 1) 5 (x + 2)(x 5); b) x m 1 és x n 1; c) x m + 1 és x n + 1. 9. Ha lehet, oldd meg az u, v ismeretlen polinomokra nézve R[x]-ben a következő egyenleteket: a) (3x 3 2x 2 + x + 2)u + (x 2 x + 1)v = 1; b) (x 4 x 3 4x 2 + 4x + 1)u + (x 2 x + 1)v = x. 10. Ha lehet, oldd meg az u, v ismeretlen polinomokra nézve Z 2 [x]-ben a következő egyenleteket: a) (x 5 + x 2 + 1)u + (x 4 + x 2 + x)v = 1; b) (x 4 + 1)u + (x 3 + x 2 + x + 1)v = x 3 + x + 1. 4

11. Az x c-vel való maradékos osztás segítségével határozd meg az alábbi C[x]-beli polinomok helyettesítési értékét az adott helyen: a) x 4 3x 3 + 6x 2 10x + 16, c = 4; b) x 5 + (1 + 2i)x 4 (1 + 3i)x 2 + 7, c = 2 i; c) x 4 3ix 3 4x 2 + 5ix 1, c = 1 + 2i. 12. Keresd meg az f(x) = x 4 3x 3 + x + 6 polinom helyettesítési értékét a 3, 1, 2, 2 helyeken! 13. Határozd meg az alábbi maradékos osztások hányadosát és maradékát a Horner-módszer segítségével: f(x) = 3x 5 + 2x 2 7x + 2 a) g(x) = x 3, R = Z; b) g(x) = x + 2, R = Z; c) g(x) = x 1/2, R = Q; d) g(x) = x 3, R = Z 3 ; e) g(x) = x 3, R = Z 5. 14. Határozd meg az alábbi maradékos osztások hányadosát és maradékát a Horner-módszer segítségével: a) f(x) = 4x 3 + x 2, g(x) = x + 1 + i; b) f(x) = x 3 x 2 x, g(x) = x 1 + 2i. 15. Határozd meg a p értékét úgy, hogy az f(x) = x 5 + 3x 4 + 5x + p polinom osztható legyen x 2-vel! 16. Az x c-vel való ismételt maradékos osztás segítségével írjuk fel a következő C[x]-beli polinomokat x c hatványai segítségével: a) x 4 + 2x 3 3x 2 4x + 1, c = 1; b) x 5, c = 1. 17. Hányszoros gyöke 2 az x 5 5x 4 + 7x 3 2x 2 + 4x 8 Z[x] polinomnak? 18. Határozd meg az a együtthatót úgy, hogy 1 legalább kétszeres gyöke legyen az x 5 ax 2 ax + 1 R[x] polinomnak. 19. Keresd meg a következő C[x]-beli polinomok többszörös gyökeit: a) x 6 6x 4 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4; b) x 5 10x 3 20x 2 15x 4. 20. Add meg az alábbi C[x]-beli polinomokhoz olyan polinomot, amelynek ugyanazok a gyökei, de egyszeresek: a) x 6 15x 4 + 8x 3 + 51x 2 72x + 27; b) x 5 6x 4 + 16x 3 24x 2 + 20x 8. 21. Hány másodfokú reducibilis főpolinom van Z 7 felett? 22. Felbontható-e Z 3 felett az x 7 + 2x 4 + x 2 + 2x + 2 polinom? 23. A Z 2 gyűrű felett a) állapítsd meg, hogy irreducibilisek-e az x 4 + 1, x 3 + x 2 + 1, illetve x 4 + x + 1 polinomok; b) add meg az összes, legfeljebb harmadfokú irreducibilis polinomot; c) bontsd irreducibilis polinomok szorzatára az x 7 + 1 polinomot. 24. Döntsd el, hogy Z[x]-ben a megadott halmazok ideált alkotnak-e, és ha igen, határozd meg a faktorgyűrűt: a) polinomok, amelyek konstans tagja páros; b) polinomok, amelyek elsőfokú tagjának együtthatója páros. 25. A 3x 4 5x 3 + 3x 2 + 4x 2 polinom egyik gyöke 1 + i. Határozd meg a többi gyökét. 26. Add meg a következő polinomok irreducibilis felbontását C, illetve R felett: a) x 6 27; b) x 6 + 27; c) x 8 16; d) x 8 + 16; e) x 10 x 5 + 1; f) x 22 + x 11 6; g) x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 1; h) x 2n + x n + 1; i) x 2n 2x n 3. 27. Határozd meg a 4x 6 8x 5 3x 4 11x 3 + 18x 2 + 28x + 8 polinom racionális többszörös gyökeit és ezek multiplicitását. 28. Bontsd fel a következő polinomokat irreducibilis polinomok szorzatára Z és Q felett: a) 3x 5 + 2x 3 12x 2 + 10x + 14; b) 20x 4 + 26x 3 + 65x 2 + 91. 29. Mik az f(x) = 40x 4 + 45x + 15 polinom racionális gyökei? 30. Keresd meg a következő egész együtthatós polinomok racionális gyökeit: a) x 4 2x 3 8x 2 + 13x 24; b) x 4 + 4x 3 2x 2 12x + 9; c) 10x 4 13x 3 + 15x 2 18x 24. 31. Igazold, hogy az alábbi polinomok irreducibilisek Z[x]-ben: a) x 4 8x 3 + 12x 2 6x + 2; b) x 5 12x 3 + 36x 12; c) x 4 x 3 + 2x + 1. 5

Kódolás 1. Legyen adott egy hétbetűs ábécé a következő valószínűségekkel: A (12.5%), B(12.5%), C(6.25%), D(25%), E(12.5%), F(6.25%), G(25%). Számítsuk ki az entrópiát. 2. Legyen adott egy kétbetűs ábécé (X, Y). Az X valószínűségét jelölje p. Számítsuk ki az entrópiát. Tekintsük a kétbetűs szavakat: XX, XY, YX, YY. Mik lesznek ezek előfordulási valószínűségei? Számítsuk ki az entrópiát erre a négybetűs ábécére is. Milyen kapcsolatban van az eredetivel? 3. Tekintsük az alábbi bináris kódolást: 00 00000, 01 01110, 10 10101, 11 11011. a) Mekkora a 01110 és az 10101 kódszavak távolsága? b) Mekkora a kód távolsága? c)* Mutasd meg, hogy a kód csoportkód Z 5 2-ben! d) Mennyi az 11011 kódszó súlya? e) Mennyi a kód súlya? f Add meg a 00000 kódszóhoz legfeljebb 1 távolságra levő Z 5 2-beli szavak halmazát! g) A 01000 szót mire dekódoljuk minimális távolságú dekódolással? 4. Az alábbi bináris kódok esetében állapítsd meg a kód távolságát, hibajelző és hibajavító képességét, hogy lineáris-e, valamint a lineárisoknál add meg a szokásos bázisban a generátormátrixot és egy ellenőrzőmátrixot: a) (c 1, c 2, c 3 ) (c 1, c 2, c 3, c 1 + c 2 + c 3 + 1); b) (c 1, c 2, c 3 ) (c 1, c 2, c 3, c 1, c 2 + c 3 ); c) (c 1, c 2, c 3 ) (c 1, c 2, c 3, c 1, 1 c 2 c 3 ). 5. Legyen K az ötelemű test (0,1,2,3,4 az elemek). A test elemei legyenek a kódolandó ábécé jelei. Kódoljuk úgy a 3 betűs szavakat, hogy egy negyedik betűvel egészítjük ki őket: (a, b, c) (a, b, c, a+b+c). Hibajavító vagy hibejelző kódot kapunk? Mennyi a kód távolsága? 6. Legyen K ismét az ötelemű test. A test elemei legyenek a kódolandó ábécé jelei. Kódoljuk úgy a 3 betűs szavakat, hogy egy negyedik és ötödik betűvel egészítjük ki őket: (a, b, c) (a, b, c, a + b + c, a + 2b + 3c). Hibajavító vagy hibejelző kódot kapunk? Mennyi a kód távolsága? Mi lesz a következő szavak dekódolása? a) (3, 2, 4, 4, 4); b) (1, 0, 4, 0, 2); c) (1, 1, 1, 2, 3); d) (0, 3, 3, 2, 1); e) (0, 0, 0, 1, 4); f) (1, 2, 3, 0, 0). 7. Az előző példában található kód lineáris kód. Konstruáljunk hozzá ellenőrző mátrixot. 8. Tekintsük a következő bináris lineáris kódok generátormátrixait: G 1 = 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 ; G 2 = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ; G 3 = 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 Add meg mindegyiknek valamelyik ellenőrző-mátrixát, majd ennek felhasználásával a kódtávolságot! 9. Legyenek egy ötbetűs ábécében a valószínűségek 0.15, 0.15, 0.2, 0.25, 0.25. Írjuk fel a bináris és ternáris Huffman-kódot. Mennyi az átlagos kódhossz? 10. Adott eloszlásokhoz határozzuk meg a Huffman-kódot a négyelemű ábécé fölött. Hasonlítsuk össze az átlagos kódhosszat az entrópiával! a) 0,2; 0,2; 0,19; 0,12; 0,11; 0,09; 0,09; b) 0,4; 0,2; 0,2; 0,1; 0,1; c) 0,34; 0,18; 0,17; 0,16; 0,15. 11. Képezzük az n = 7 hosszú CRC kódot g(x) = x 3 +x 2 +1 generátorpolinommal. Mi lesz a következő üzenetek kódja: a) 0001 b) 0011 c) 0111 d) 1000 e) 1011 f) 1110 g) 1111? 12. Képezzük az n = 7 hosszú CRC kódot g(x) generátorpolinomokkal: a) g(x) = x 3 + x + 1 b) g(x) = x + 1 c) g(x) = x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Add meg a kódszavak halmazát, a minimális távolságot és a paritásellenőrző polinomot! 6

Algebra A D n diédercsoport a síknak egy szabályos n oldalú sokszögét önmagába vivő egybevágósági transzformációkból áll, művelet a transzformációk egymás utáni végrehajtása. Ha ϕ a 2π/n-nel való forgatást, τ pedig egy szimmetriatengelyre való tükrözést jelöl, akkor D n elemei A számolás szabályai: {e, ϕ, ϕ 2,..., ϕ n 1, τ, τϕ, τϕ 2,..., τϕ n 1 }. ϕ n = τ 2 = e, ϕ k τ = τϕ n k. Belátható, hogy D n a fenti művelettel csoportot alkot. 13. Írjuk fel D 2 és D 3 műveleti tábláját. Határozzuk meg a két csoport részcsoportjait és a részcsoportok rendjét. 14. A D 5 diédercsoport minden részhalmazára határozd meg az általa generált részcsoportot. 15. Normálosztó-e a) Z-ben 3Z; b) D 6 -ban a 120 -os forgatás által generált részcsoport; c) D 6 -ban a 180 -os forgatás és egy tükrözés által generált részcsoport. 16. Tekintsük a racionális számok (Q, +, ) gyűrűjét. Bizonyítsuk be, hogy a páros egészek a racionális számok gyűrűjének részgyűrűjét alkotják, de nem ideálját! 17. Lássuk be, hogy a páros számok (2Z) az egészek részgyűrűjét, sőt ideálját alkotják! Határozzuk meg a Z/2Z maradékosztály gyűrűt! 18. Bizonyítsd be, hogy Z 12 -nek a 0,3,6,9 osztályai egy részgyűrűt alkotnak. Ideál, illetve főideál-e? Ha ideál, akkor a faktrogyűrű test-e? 19. Döntsd el, hogy a Gauss-egészek gyűrűjében az alábbi halmazok ideált alkotnak-e, és ha igen, határozd meg a faktorgyűrűt: a) Z; b) 2Z + 2iZ; c) 4Z + 6iZ. {( ) } {( ) } a b a b 20. Legyen R = : a, b, c, d Z és I = : a, b, c, d 2Z. Mutasd meg, hogy I ideál c d c d R-ben! Hány elemű az R/I faktorgyűrű? 21. Az következő faktorgyűrűk közül melyek izomorfak: Z 4 /( 0), Z 8 /( 4), Z 16 /( 4), 2Z 16 /( 8), Z/(4), 4Z/(16)? 7