Morfológia Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Szoftvertechnológia Intézet 2012. október 9. Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 1 / 41
Bevezetés A matematikai morfológia a képanaĺızishez biztosít hasznos eszközöket A matematikai morfológia műveleteit halmazműveletekkel írjuk le Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 2 / 41
Alapműveletek A műveletek a d-dimenziós euklideszi tér tetszőleges részhalmazain értelmezettek Legyenek X és Y a képpontok V halmazának részhalmazai 2D kép esetén: V = Z 2 3D kép esetén: V = Z 3 Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 3 / 41
Alapműveletek X ponthalmaz komplementere X C = {p p / X } = V \ X X ponthalmaz a-val való eltolása (X ) a = {x + a x X }, ahol a V és + a komponensenkénti/koordinátánkénti összeadás Az Y ponthalmaz tükrözése Ŷ = { y y Y }, ahol a komponensenkénti -1 -gyel való szorzás Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 4 / 41
Alapműveletek Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 5 / 41
Dilatáció X ponthalmaznak az Y -nal való dilatációja { } X Y = a (Ŷ ) a X = ahol az Y ponthalmazt szerkesztőelemnek nevezzük { a [(Ŷ ) a X ] X A szerkesztőelem koordináta-rendszerének origóját eltoljuk V minden elemére és az adott elemet felvesszük a dilatált halmazba, ha a szerkesztőelemnek legalább egy pontja X -beli ponttal kerül fedésbe Belátható, hogy X X Y, azaz a dilatáció hízlal, ha az Y szerkesztőelemnek eleme a saját origójában lévő elem }, Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 6 / 41
Erózió X ponthalmaznak az Y -nal való eróziója X Y = {a (Y ) a X } = (X C Ŷ ) C A V halmaz egy pontja akkor kerül be az erodált halmazba, ha a szerkesztőelem koordináta-rendszerének origóját az adott pontba eltolva minden egyes Y -beli pont Y -belivel kerül fedésbe Ha Y tartalmazza az origót, akkor X Y Y, vagyis az erózió fogyaszt Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 7 / 41
Dilatáció és erózió Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 8 / 41
Dilatáció és erózió Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 9 / 41
Iterált szerkesztőelem Legyen Y V egy tetszőleges szerkesztőelem és jelölje O V az origót (ami (0, 0), ha V = Z 2 és (0, 0, 0), ha V = Z 3 ). Az Y elem k-adik iteráltja: Y (k) = { {OV }, ha k=0 Y (k 1) Y, ha k 1 Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 10 / 41
Iterált dilatáció és erózió X ponthalmaznak az Y szerkesztőelemmel való iterált dilatációja { X, ha k = 0 X k Y = (X k 1 Y ) Y, ha k > 0 X ponthalmaznak az Y szerkesztőelemmel való iterált eróziója { X, ha k = 0 X k Y = (X k 1 Y ) Y, ha k > 0 Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 11 / 41
Dilatáció és erózió tulajdonságai Asszociativitás (X Y ) Z = X (Y Z) (X Y ) Z = X (Y Z) X {O V } = X X {O V } = X Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 12 / 41
Iterált dilatáció és erózió Előzőekből következik: X k Y = X Y (k) X k Y = X Y (k) Következmény: A nagyméretű szerkesztőelemekkel való dilatáció és erózió kiváltható kisméretűekkel végrehajtott iterált műveletekkel Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 13 / 41
Nyitás X ponthalmaznak az Y szerkesztőelemmel való nyitása X Y = {(Y ) a (Y ) a X } = (X Y ) Y X halmaz megad egy szegmenst a kifestőkönyvben Y szerkesztőelem leírja az egyet méretét és alakját A nyitás eredménye a szegmens szabályos kifestésének felel meg (a szegmenst maximálisan kifestettük anélkül, hogy kifutottunk volna belőle) Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 14 / 41
Zárás X ponthalmaznak az Y szerkesztőelemmel való zárása X Y = (X Y ) Y = (X C Ŷ ) C Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 15 / 41
Nyitás és zárás tulajdonságai 1 A nyitás fogyaszt, a zárás pedig hízlal X Y X X X Y 2 Monotonitás: Ha X 1 X 2, akkor X 1 Y X 2 Y X 1 Y X 2 Y 3 Idempotencia: (X Y ) Y = X Y (X Y ) Y = X Y Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 16 / 41
Morfológiai szűrés (X Y ) Y = (((X Y ) Y ) Y ) Y Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 17 / 41
Morfológia szűrés 1 Erózió törli a kisméretű külső zajokat. 2 Eközben a kisméretű üregek megnőnek, így a megőrzendő objektumok fogynak. Kell egy dilatáció, amely visszaálĺıtja az objektumok és üregek eredeti méretét. 3 Újabb dilatáció kitölti a kisméretű (zajnak minősülő) üregeket. 4 Eközben az objektumok meghíznak, amit egy újabb erózió álĺıt helyre. Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 18 / 41
Nyitás, zárás, morfológiai szűrés Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 19 / 41
Nyitás hatása jól megválasztott szerkesztőelemmel Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 20 / 41
Hit-or-miss transzformáció Az Y szerkesztőelemet két diszjunkt részhalmazra bontjuk, azaz Y = Y 1 Y 2, ahol Y 1 Y 2 =. X ponthalmaz Y -nal való hit-or-miss transzformációja X Y = (X Y 1 ) (X C Y 2 ) = (X Y 1 ) \ (X Ŷ 2 ) A hit-or-miss transzformált halmaznak olyan pont lesz eleme, amellyel a szerkesztőelem origóját eltolva az Y 1 által lefedett valamennyi pont X -be esik, de az Y 2 által lefedett pontok között nincs X -beli. Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 21 / 41
Hit-or-miss transzformáció Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 22 / 41
Morfológia vékonyítás X halmaznak az Y szerkesztőelemmel való vékonyítása X Y = X \ (X Y ) = X (X Y ) C A formula a vékonyítás egy lépését adja meg A vékonyítást addig kell végezni, amíg X Y Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 23 / 41
Morfológiai vékonyítás Amennyiben a vékonyítás az ún. irány-szekvenciális megközeĺıtést követi, úgy egy iterációs lépés több fázisból áll, ahol az egymást követő fázisokhoz különböző szerkesztőelemek tartoznak. k-fázisú (k > 1) vékonyítás esetén egy k tagból álló szerkesztőelem-rendszert kell megadni: Y = {Y 1, Y 2,..., Y k }, ahol Y i az i-edik fázis során alkalmazandó szerkesztőelem (1 i k). X halmaznak az Y-nal történő vékonyításának egy iterációs lépése X Y = ((... ((X Y 1 ) Y 2 )...) Y k ) Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 24 / 41
Szerkesztőelem-rendszer Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 25 / 41
Morfológiai vékonyítás Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 26 / 41
Morfológiai váz Diszkrét terek a morfológiai váz meghatározásához olyan Y szimmetrikus szerkesztőelemet szoktak feltételezni, ami az origó középpontú, 1 sugarú hipergömb egy közeĺıtése. Morfológiai váz: S(X ) = S k (X ) = k=0 Véges X halmazra: S(X ) = K S k (X ) = k=0 {(X k Y ) \ [(X k Y ) Y ]} k=0 K {(X k Y ) \ [(X k Y ) Y ]}, k=0 ahol K = max {k (X k Y ) } Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 27 / 41
Morfológiai váz Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 28 / 41
Morfológiai váz A kiindulási X halmaz rekonstruálható a morfológiai váz S k (X ) részhalmazainak ismeretében: X = K S k (X ) k Y k=0 Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 29 / 41
Morfológia szürkeárnyalatos képekre Ha a szerkesztőelem csak egy ponthalmaz, akkor lapostetejű szerkesztőelemről és operátorokról beszélünk Ha a szerkesztőelemhez tartozó pontoknak értéke is van, a szerkesztőelem és a művelet nem-lapostetejű Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 30 / 41
Dilatáció és erózió szürkeárnyalatos képekre Legyen A = [a(i, j)] egy szürkeárnyalatos kép Jelölje a lapostetejű S szerkesztőelem tartományát D S B = A S = [b(i, j)] dilatáció b(i, j) = max {a(i u, j v)} (u,v) D S C = A S = [c(i, j)] erózió c(i, j) = min (u,v) D S {a(i + u, j + v)} Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 31 / 41
Dilatáció és erózió nem-lapostetejű S = [s(u, v)] szerkesztőelemre B = A S = [b(i, j)] dilatáció b(i, j) = C = A S = [c(i, j)] erózió c(i, j) = max {a(i u, j v) + s(u, v)} (u,v) D S min (u,v) D S {a(i + u, j + v) s(u, v)} Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 32 / 41
Kapcsolat a dilatáció és az erózió között A S = (A C Ŝ) C, ahol A C = [a C (i, j)] és Ŝ = [ŝ(u, v)], valamint a C (i, j) = a(i, j) és ŝ(u, v) = s( u, v) Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 33 / 41
Dilatáció és erózió szürkeárnyalatos képekre Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 34 / 41
Nyitás, zárás és morfológiai szűrés szürkeárnyalatos képek esetén Nyitás A S = (A S) S Zárás A S = (A S) S Morfológiai szűrés MFilter(A, S) = (A S) S Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 35 / 41
Nyita s, za ra s e s morfolo giai szu re s Forra s: Pala gyi Ka lma n Ke pfeldolgza s halado knak Sergya n (OE NIK) Morfolo gia 2012. okto ber 9. 36 / 41
Nyitás és zárás tulajdonságai Vezessük be a relációt az alábbi módon: Az A 1 = [a 1 (i, j)] m 1 n 1 -es és az A 2 = [a 2 (i, j)] m 2 n 2 -es képekre A 1 A 2, ha m 1 m 2, n 1 n 2 és a 1 (i, j) a 2 (i, j), ahol i = 1,..., m 1 és j = 1,..., n 1. Tulajdonságok 1 A S = (A C Ŝ) C és A S = (A C Ŝ) C vagyis a nyitás és a zárás egymás duálisai 2 A S A és A A S, azaz a nyitás sötétít, a zárás pedig világosít 3 Ha A B, akkor A S B S és A S B S, tehát mindkét művelet monoton 4 (A S) S) = A S és (A S) S = A S, vagyis mindkét művelet idempotens Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 37 / 41
További négy művelet Morfológiai gradiens Grad(A, S) = (A S) (A S) Morfológiai Laplace-transzformáció Laplace(A, S) = (A S) + (A S) 2 A Top-hat transzformáció TopHat(A, S) = A (A S) Well-hat transzformáció WellHat(A, S) = (A S) A Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 38 / 41
Morfológiai gradiens és Laplace-transzformáció Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 39 / 41
Top-hat és well-hat transzformáció Forrás: Palágyi Kálmán Képfeldolgzás haladóknak Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 40 / 41
Felhasznált irodalom Palágyi Kálmán: Képfeldolgozás haladóknak. Typotex Kiadó, 2011 Sergyán (OE NIK) Morfológia 2012. október 9. 41 / 41