Perigal négyzete Tuzson Zoltán tanár, Székelyudvarhely Henry Perigal (101-19) matematikus 17-an egy nagyon szemléletes izonyítást mutatott e a Pitagorasz-tételre. Een két kise négyzetet átdaraol egy nagyoá, méghozzá nagyon egyszer módon. Úgy, hogy csak az egyik négyzetet kell felosztani 4 kise részre. Kés - nem tudni pontosan mikor - ez az átdaraolás lett az alapja az egyik legötletese, legegyszer en elkészíthet két dimenziós összerakó játéknak, az úgynevezett Perigal-négyzet -nek. A izonyításának a történetéhez hozzátartozik az is, hogy a Perigal sírkövére elefaragták ezt a izonyítást: A aloldali ára a faragott sírk, a középs a rekonstruálása míg a jo oldali a kihangsúlyozása, ami tulajdonképpen a izonyítást képezi, amire részleteseen kitérünk. A Perigal négyzete a aloldali árán látható. Fáól is elkészíthet a 4 kongruens négyszög l álló kirakós játék. A négy alakzatot átrendezve megkaphatjuk a jooldali nagyo négyzetet, amelynek a közepéen szintén négyzet alakú üresség található. (Próáljuk elátni, hogy az alakzat is és az üreg is valóan négyzet!) Álljon itt most a Pitagorász tételének ezen izonyítása. A izonyítás valóan leolvasható az áráról: Legyen c a jo fels közepes négyzet oldalának a hossza, ezért annak a területe c 2 -tel egyenl. Rendezzük át a közepes négyzet négy kongruens daraját úgy, hogy az alsó, legnagyo négyzetet kapjuk, amelynek az oldalhossza legyen a, ezért a területe a 2 -tel egyenl. A nagynégyzet közepée egy kisnégyzet alakú üresség keletkezett. Ennek a kisnégyzetnek az oldalát jelöljük c-vel, tehát a területe c 2 -tel egyenl. Most készítsünk el egy c oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy rakjuk egymás mellé, hogy páronként 2-2 csúcsuk érintse egymást és a legnagyoik és a legkiseik négyzet oldala egymásra mer legesek legyenek, ahogyan az árán is látható. Így az árán világos szín derékszög háromszög keletkezik, amelynek oldalai a,, c hosszúak. És mivel a nagy négyzet területe egyrészt a 2 -nel egyenl, másrészt pedig a két kise négyzetnek a területösszegé l adódik, ami 2 + c 2, ezért máris izonyítottuk a Pitagorász tételét miszerint ha egy derékszög háromszög átfogója a, efogói illetve c hosszúak, akkor a 2 = 2 + c 2
(az árán a világos szín háromszög). Ezt a m veletet, ahogyan egy alakzatot feldaraoltunk, és átrendezve egyrét en összeraktunk egy másik alakzatot, átdaraolásnak nevezzük Az el i átdaraolásnak a szemléltetését a világhálón például itt tekinthetjük meg: http://www.youtue.com/watch?v=ltkaiqcacqy A kisfilmr l az is kiderül, hogy gyakorlatilag hogyan állítható el a Perigal négyzetének a négy kongruens daraja. Ez úgy történik, hogy a kisnégyzetet a nagy négyzettel koncentrikusan (a középpontjuk egyeessen) helyezzük el, majd a kisnégyzetet elforgatjuk úgy, hogy oldala ne legyen párhuzamos a nagy négyzet oldalaival. Ezután meghosszaítjuk a kisnégyzet oldalait, amelyek a nagy négyzet l négy kongruens daraot vág ki, és ez a négy alakzat egy négyzetté rakható össze, ami a Perigal négyzete. Az el ieken izonyítottak kapcsán könnyen izonyíthatjuk a következ érdekes feladatot: * Feladat: Bizonyítsuk e, hogy n 1, n N dara tetsz leges, különöz méret négyzetlap feldaraolható úgy, hogy a keletkezett daraokól hézagmentesen és egyrét en kirakhassunk egy négyzetlapot! Bizonyítás: A izonyítást a teljes matematikai indukcióval végezzük el. El ször is igazoljuk, hogy n=2 négyzet feldaraolható úgy, hogy a daraokól négyzetet rakhatunk ki. 4 1 2 Tekintsük a kiseik négyzetlapot, ennek az oldala legyen. A nagyoik négyzetlap oldala legyen c, és két, egymásra mer leges egyenessel osszuk négy kongruens részre úgy, ahogyan az el i árán látható (vagyis Perigal-négyzetet készítettünk). Az el izonyítottak alapján az daraól kirakható az olyan a oldalú négyzet, amelyet az a 2 = 2 + c 2 összefüggés l kapunk meg. Feltételezzük most, hogy n dara négyzet feldaraolható úgy, hogy a daraokól egy négyzetet rakhatunk ki. Igazoljuk, hogy ez igaz n+1 dara négyzet esetén is. Ez valóan így van, mert ha az n+1 négyzet közül például a második legkise négyzetet úgy daraoljuk fel (Perigal négyzetre) mint a fenti árán, akkor a legkiseikkel összeilleszthet egyetlen négyzetté, így most már csak n dara négyzetünk van, amire az indukciós feltétel alapján érvényes az, hogy feldaraolható úgy, hogy a daraokól kirakható egyetlen négyzet. Ezzel a feladatot izonyítottuk. Az el eken izonyítottak kapcsán, azaz ezek helyességét illet en, nem sok kételyünk merülhet fel, hiszen Pitagorasz tétele a matematika egyik alaptétele. Ha azonan joan elgondolkodunk az átdaraolás folyamatán és a megvalósítás lehet ségén, akkor máris felmerülhet a következ kérdés: vajon a daraokól hézagmentesen és fedés nélkül tényleg összerakhatók-e az illet alakzatok? Miel tt erre a kérdésre válaszolnánk, nézzünk meg egy úja átdaraolást, amely nagyon meggy en alátámasztja, hogy a fölmerült kételyünk teljesen megalapozott. Tekintsük a következ árán látható egység oldalhosszúságú négyzetet, amelyet a szemléltetett módon daraoltunk fel. (c+)/2 (c )/2 a a D A 1 1 M C B
Ezek l a daraokól rakjuk ki a második ára téglalapját. Könnyen leolvasható, hogy AB = 1 egység és BC = egység. Tehát úgy t nik, hogy az els ára négyzetlapját átdaraoltuk a második ára téglalapjáa. Vajon tényleg igaz? Nézzünk csak utána! (Lásd még a MatLap 2/2012-es számának 64. oldalán az F. 17. feladványt). A négyzet területe: T 1 : 64, míg a téglalap területe: T 2 : 1 6. Honnan származik a 6 64 = 1 négyzetegységnyi eltérés? Ha esetleg milliméteres papíron, pontos mérésekkel rekonstruáljuk az el i átdaraolást és ha jól figyelünk, akkor észrevehet, hogy a BD átló mentén az alakzatok nem illeszkednek tökéletesen, pontosaan egy kis rés marad. Számolásokkal megmutatjuk, hogy az a kis rés éppen 1 négyzetegység (és mivel elég kicsi, szaad szemmel nehezen érzékelhet ). Tehát valójáan a második ára téglalapja nem illeszthet össze hézagmentesen a. ára négyzetlapjának darajaiól. Az ilyen, hiás átdaraolások során nem csak úgymond hiány állhat el, hanem éppen fedés is. Például, ha az els árán lev,, mér számok helyett rendre az,, 1 mér számokat vesszük, akkor a négyzet területe T 1 : 1 1 169, míg a téglalap területe T2 : (1 ) 16 lesz, vagyis az átrendezés után nem hézag marad, hanem a daraok fedni fogják egymást. Ennek izonyítása az el iek mintájára is történhet, és az érdekl Olvasóra ízzuk. Ezek után természetesen felmerül a kérdés, hogy mi az átdaraolhatóság helyességének a feltétele? A következ tétel értelméen a Pitagorasz-tétel izonyítására használt átdaraolhatóság lehet sége iztosítva van, de a tétel az átdaraolhatóság hogyanjára nem ad választ. Nyilvánvaló, hogy az átdaraolt alakzatok területei egyenl k. Vajon igaz-e ennek a fordítottja is? Erre a választ (szinte egy id en) Bolyai Farkas (12) és Gerwin (1) adták meg, de egyes források szerint a tétel els felfedez je Wallace, angol matematikus volt, aki már 107-en közölte a következ eredményt: Tétel. Az egyenl terület sokszöglapok átdaraolhatók egymása. A tétel kijelenti tehát, hogy ha két sokszöglap egyenl egyenl, akkor egymása átdaraolható. Így igaz a tétel ellentettje is miszerint, ha két sokszöglap területe nem egyenl, akkor a két sokszöglap nem daraolható át egymása. Ezért tehát az el példáan a négyzetlap nem daraolható át téglalappá, mert a két alakzat területe nem egyenl. Ellenen a Pitagorasz tétel izonyításának a helyessége nem kérd jelezhet meg, hiszen az épen az átdaraolt alakzatok területének az egyenl ségén alapszik. Néhány évvel Perigal halála után megfigyelték, hogy a Pitagorasz tételének a Perigal-féle izonyítása képezi az alapját a kés i úgynevezett Pitagorasz-féle parkettázásnak (csempézésnek). A matematikai tárgyalás egyszer sítése céljáól parkettázáson (vagy csempézésen) a síknak síkidomokkal való egyrét és hézagtalan (vagyis hézagmentes) lefedését fogjuk érteni. Egyrét nek nevezzük a lefedést, ha a sík minden pontját legfelje egy lefed idom els pontja fedi le. (Egy pontot tö fed idom határpontja is fedhet.) Hézagtalan a lefedés, ha a sík minden pontját lefedi legalá egy fed idom els - vagy határpontja. Parkettázásnál a teljes sík lefedésére gondolunk. A parkettázás története szinte egyid s az építkezések történetével. Az épületek padozatát régen k daraokkal rakták ki, ez eleinte találomra egymás mellé rakott laposa daraokól állott, kés már faragtak ezeken a köveken, hogy az összeillesztésnél a padozat minél nagyo része legyen fedett és minél kevese legyen a hézag. A fejl dés továi folyamán a hézagokat is igyekeztek kiküszöölni a padozatól a felhasznált daraok faragásával. Gyakorlati tapasztalatok alapján rájöttek arra, hogy egyszer a padozat eorítása, ha egyforma, azonos alakú és nagyságú fed köveket használnak, különösen akkor, ha ezeket pl. agyagól égetik. Néhány ilyen parkettázást mutatnak az ókori lakóépületek l a következ árák:
Már e l az öt, évezredekkel ezel tt ismert parkettázási módól is a fellép formák nagy gazdagságára következtethetünk. Máris felmerül a kérdés: milyen egyevágó idomokól készíthet k parketták? Kézenfekv nek látszik tehát az a gondolat, hogy minden parkettázást sokszögekkel való parkettázásra vezessünk vissza. De persze messzir l sem ilyen egyszer téma a parkettázás. (B veen lásd pl az []-en) Azt a parkettát (nevezzük még csempét vagy mozaikot) aminek a végtelen ismétlésével el állítjuk a parkettát, motívumnak nevezzük. Az el i els ára motívuma egy téglalap, a másodiké egy négyzet, a harmadiké egy szaályos hatszög, st. A Pitagorasz parkettázás vagy a két négyzet parkettázása az alái aloldali árán látható: A jooldali árán a parkettán a motívum is meg van jelölve (kett is, az egyik éppen a Perigal négyzete), ez természetesen töféle is lehet, de minden eseten, a motívumok egymás mellé illesztésével meg kell kapjuk a aloldali ára parkettázását. Befejezésül, térjünk vissza ismét a kezdeten emutatott Perigal négyzetére. Vegyük ennek a négy kongruens alakzatját és próáljuk úgy összerakni, hogy ne négyzetet, hanem egy általános téglalapot zárjon közre. Némi próálkozás után hamar rájövünk, hogy sehogyan sem sikerül a téglalapot ezárni, vagyis csak nyitott téglalap keletkezik. Vajon elvágható-e úgy a négyzet, hogy töféle téglalap is kialakítható legyen a elsejéen? A válasz igenl, de nem egyszer megtalálni a megoldást. Javaslom a matematika iránt érdekl knek, hogy próálkozzanak ilyen elrendezést találni. Néhány példa a következ árákon látható: Egy másik ötlet az lehet, hogy a Perigal négyzete helyett megpróálunk egy Perigal téglalapot összeállítani. Hogyan? Pontosan azonos módszerrel, ahogyan Perigal négyzetet szerkesztettünk. Ennek az elvégzését az érdekl Olvasóra ízzuk. Érdekes játékvariációt kapunk, ha nem négyzet l, hanem téglalapól indulunk ki, és készítünk egy Perigal téglalapot.
Een az eseten is ügyelni kell a két vágás mer legességére. Ez is olyan elrendezés, ahol téglalap alakú lyuk lehet a nagy téglalap elsejéen. El is készítettük az egyik kis téglalapot, így ez a játék is alkalmas egy "paradoxon-szer ség" emutatására. Ehhez csak egy dooza kellett helyezni az elemeket. Egyszer elefért a kis téglalap, egyszer pedig nem. Vajon mi az oka? Gondoljunk csak az el ieken emutatott hamis átdaraolásra! Továi érdekes információkat olvashatunk a ween, ha a Google keres e eírjuk a Perigal szót, és láthatóvá tesszük képek közötti találatokat is. Szakirodalom és Forrásanyag: [1] Tuzson Zoltán: Algerai azonosságok szemléltetése, ML6/1994, 210. old. [2] Tuzson Zoltán: Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat? Harmadik, vített kiadás, Áel Kiadó, Kolozsvár, 2011 [] http://ordoglakat.log.hu/2010/10/24/perigal_negyzete#more2949 [4] http://plus.maths.org/content/dissecting-tale []http://www.tankonyvtar.hu/konyvek/matematikai-mozaik/matematikai-mozaik- 01029-2 [6] http://en.wikipedia.org/wiki/pythagorean_tiling [7] http://fac-we.spsu.edu/math/tile/symm/types/p4/p4.htm [] http://fac-we.spsu.edu/math/tile/pythagorean/index.htm