Perigal négyzete. oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy



Hasonló dokumentumok
A figurális számokról (I.)

Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Dr. Katz Sándor, Bonyhád

Tangramcsodák. Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

MATEMATIKA évfolyam

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

HELYI TANTERV MATEMATIKA tanításához Szakközépiskola évfolyam

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban

Matematika tanmenet (A) az HHT-Arany János Tehetségfejleszt Program el készít -gazdagító évfolyama számára

ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖRVÉNYEK

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

Az indukció. Azáltal, hogy ezt az összefüggést felírtuk, ezúttal nem bizonyítottuk, ez csak sejtés!

Szeretettel köszöntöm a Dekorációs Ötlettár olvasóját. Gratulálok Önnek, mert abba a táborba tartozik, akinek számít a végeredmény, aki nem bízza a

Mérei Ferenc Fıvárosi Pedagógiai és Pályaválasztási Tanácsadó Intézet. Javítási, karbantartási és festési szolgáltatások. Ajánlati dokumentáció

TARTALOM. Ismétlő tesztek ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

Kártyajátékok és bűvésztrükkök

MATEMATIKA 5 8. ALAPELVEK, CÉLOK

Matematika A 1. évfolyam. páros, páratlan. 22. modul. Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva

Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged

Az analízis néhány közgazdaságtani alkalmazása

Topográfia 7. Topográfiai felmérési technológiák I. Mélykúti, Gábor

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

TIMSS Tanári kérdőív Matematika. online. 8. évfolyam. Azonosító címke

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

BESZÉLGETÉS MELLÁR TAMÁSSAL

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Gondolatok a Blokus játékról

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

Települési szilárd hulladékok vizsgálata. Mintavétel.

Alapfokú nevelés-oktatás szakasza, alsó tagozat, 1 4. évfolyam

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Tankönyv-választás. igazgató és tankönyvfelelős kérdőív. A válaszadás önkéntes! Ki válaszol a kérdőívre? nap... óra...

Háromszögcsaládok Síkbeli és térbeli alakzatok 5. feladatcsomag

MATEMATIKA A és B variáció

Dr. Göndöcs Balázs, BME Közlekedésmérnöki Kar. Tárgyszavak: szerelés; javíthatóság; cserélhetőség; karbantartás.

A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag

MATEMATIKA Emelt szint évfolyam

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

Matematika évfolyam

Egy csodálatos egyenesről (A Simson-egyenes) Bíró Bálint, Eger

AZ EURÓPAI UNIÓ TANÁCSA. Brüsszel, december 1. (03.12) (OR. en) 16555/10 Intézményközi referenciaszám: 2008/0028 (COD)

HODÁSZ NAGYKÖZSÉGI ÖNKORMÁNYZAT KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK. 10 / (IV.28.) önkormányzati rendelete

Tej. Szívvel-lélekkel! Gyűjts össze 100 tejszívet és nyerj egy játszóteret!

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

A Megbízó a szakértői vizsgálat lefolytatásához az alábbi iratokat, illetve termékmintát bocsátotta rendelkezésre:

Átrendezések és leszámlálások ÚTMUTATÓ Hegedüs Pál június 30.

2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról. ELSŐ RÉSZ ÁLTALÁNOS RENDELKEZÉSEK I. Fejezet ALAPVETŐ RENDELKEZÉSEK Bevezető rendelkezés

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok.

Magnifice Rector! Tisztelt Dékán Asszony! Tisztelt Kari Tanács! Kedves Vendégeink! Hölgyeim és Uraim!

D Felépítési útmutató a 2-3 mezős alumínium melegházhoz

NYUGAT-MAGYARORSZÁGI EGYETEM Faipari Mérnöki Kar. Mőszaki Mechanika és Tartószerkezetek Intézet. Dr. Hajdu Endre egyetemi docens MECHANIKA I.

2. Halmazelmélet (megoldások)

ENERGETIKAI AXIÓMARENDSZEREN NYUGVÓ RENDSZERELMÉLET I. KÖTET.

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

3. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben

oda egy nagy adatbázisba: az eszközök nincsenek egy koncentrált helyre begyűjtve, azaz minden egyes eszközt külön-külön kell megszerezni egy

Váltakozó áramlási irányú, decentralizált, hővisszanyerős szellőztető berendezés

AZ ELIDEGENITÉS FOGALMA A KÁNONJOGBAN

AUTOMATIKUS GÉPJÁRMŰ BELÉPTETŐ RENDSZER

2007. évi CXXVII. törvény az általános forgalmi adóról

Teodolit. Alapismeretek - leolvasások

Országos Logikai Rejtvénybajnokság szeptember 14. Instrukciós füzet

TABLETTÁK. Compressi

1. melléklet a 2/2010. (VI. 30.) VM rendelethez 1. Az R. 2. számú melléklete I. fejezetének 1. pontja helyébe a következő szöveg lép:

AZ IGAZSÁGALKOTÁS METAFIZIKÁJA

5.10. Exponenciális egyenletek A logaritmus függvény Logaritmusos egyenletek A szinusz függvény

8. Babzsák 14x12 cm, 16 dkg Fejlesztés: Mozgáskultúra, ritmikai

6. évfolyam MATEMATIKA

6. modul Egyenesen előre!

mini-háromszöges kicsiknek (játssz velük: ügyesedjenek, okosodjanak)

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

206/2011. (X. 7.) Korm. rendelet

A controlling integrálódása az oktatási szférában

Protimeter. Grainmaster i. Használati útmutató

Matematikai logika Arisztotelész Organon logika feladata Leibniz Boole De Morgan Frege dedukció indukció kijelentésnek

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Mesterséges intelligencia feladatsor

Egy helytelen törvényi tényállás az új Büntető törvénykönyv rendszerében

FELHASZNÁLÓI LEÍRÁS a DIMSQL Integrált Számviteli Rendszer Készlet moduljának használatához

lakásépítés és lakásvásárlás önkormányzati támogatására a 15/2010. (IV.16.) számú önkormányzati rendelet alapján Adóazonosító jele: Adóazonosító jele:

ELİTERJESZTÉS a Komárom-Esztergom Megyei Közgyőlés június 26-ai ülésére

L. Ritók Nóra A nyomorszéle-blog

Ingatlanvagyon értékelés

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Vetülettani és térképészeti alapismeretek

FOLYTONOS TESTEK. Folyadékok sztatikája. Térfogati erők, nyomás. Hidrosztatikai nyomás szeptember 19.

A word első megnyitása

élőfej és élőláb távolsága a lapszéltől (0,5 cm)

Bolyai János Matematikai Társulat

Egészségre veszélyes szivárgó és kiömlő anyagok kárelhárítása

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

Ady Endre Líceum Nagyvárad XII.C. Matematika Informatika szak ÉRINTVE A GÖRBÉT. Készítette: Szigeti Zsolt. Felkészítő tanár: Báthori Éva.

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

EMLÉKEZTETŐ. Az OKA tizenkettedik üléséről (2007. szeptember :00, SZMM, Tükörterem)

INHALÁCIÓS KÉSZÍTMÉNYEK VIZSGÁLATA: A FINOMRÉSZECSKÉK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA

A TÖMEG LÉLEKTANA, AVAGY HOGYAN TUDUNK HATNI A TÖMEGRE

MAGYAR törzsfájl. g60 TEN, TEL K085109A

Rövid útmutató. Joker 6 / 8 HD. Használatba vétel előtt gondosan olvassa el! Kiadás: 07/2013

Átírás:

Perigal négyzete Tuzson Zoltán tanár, Székelyudvarhely Henry Perigal (101-19) matematikus 17-an egy nagyon szemléletes izonyítást mutatott e a Pitagorasz-tételre. Een két kise négyzetet átdaraol egy nagyoá, méghozzá nagyon egyszer módon. Úgy, hogy csak az egyik négyzetet kell felosztani 4 kise részre. Kés - nem tudni pontosan mikor - ez az átdaraolás lett az alapja az egyik legötletese, legegyszer en elkészíthet két dimenziós összerakó játéknak, az úgynevezett Perigal-négyzet -nek. A izonyításának a történetéhez hozzátartozik az is, hogy a Perigal sírkövére elefaragták ezt a izonyítást: A aloldali ára a faragott sírk, a középs a rekonstruálása míg a jo oldali a kihangsúlyozása, ami tulajdonképpen a izonyítást képezi, amire részleteseen kitérünk. A Perigal négyzete a aloldali árán látható. Fáól is elkészíthet a 4 kongruens négyszög l álló kirakós játék. A négy alakzatot átrendezve megkaphatjuk a jooldali nagyo négyzetet, amelynek a közepéen szintén négyzet alakú üresség található. (Próáljuk elátni, hogy az alakzat is és az üreg is valóan négyzet!) Álljon itt most a Pitagorász tételének ezen izonyítása. A izonyítás valóan leolvasható az áráról: Legyen c a jo fels közepes négyzet oldalának a hossza, ezért annak a területe c 2 -tel egyenl. Rendezzük át a közepes négyzet négy kongruens daraját úgy, hogy az alsó, legnagyo négyzetet kapjuk, amelynek az oldalhossza legyen a, ezért a területe a 2 -tel egyenl. A nagynégyzet közepée egy kisnégyzet alakú üresség keletkezett. Ennek a kisnégyzetnek az oldalát jelöljük c-vel, tehát a területe c 2 -tel egyenl. Most készítsünk el egy c oldalhosszúságú négyzetet. A három négyzetet úgy rakjuk egymás mellé, hogy páronként 2-2 csúcsuk érintse egymást és a legnagyoik és a legkiseik négyzet oldala egymásra mer legesek legyenek, ahogyan az árán is látható. Így az árán világos szín derékszög háromszög keletkezik, amelynek oldalai a,, c hosszúak. És mivel a nagy négyzet területe egyrészt a 2 -nel egyenl, másrészt pedig a két kise négyzetnek a területösszegé l adódik, ami 2 + c 2, ezért máris izonyítottuk a Pitagorász tételét miszerint ha egy derékszög háromszög átfogója a, efogói illetve c hosszúak, akkor a 2 = 2 + c 2

(az árán a világos szín háromszög). Ezt a m veletet, ahogyan egy alakzatot feldaraoltunk, és átrendezve egyrét en összeraktunk egy másik alakzatot, átdaraolásnak nevezzük Az el i átdaraolásnak a szemléltetését a világhálón például itt tekinthetjük meg: http://www.youtue.com/watch?v=ltkaiqcacqy A kisfilmr l az is kiderül, hogy gyakorlatilag hogyan állítható el a Perigal négyzetének a négy kongruens daraja. Ez úgy történik, hogy a kisnégyzetet a nagy négyzettel koncentrikusan (a középpontjuk egyeessen) helyezzük el, majd a kisnégyzetet elforgatjuk úgy, hogy oldala ne legyen párhuzamos a nagy négyzet oldalaival. Ezután meghosszaítjuk a kisnégyzet oldalait, amelyek a nagy négyzet l négy kongruens daraot vág ki, és ez a négy alakzat egy négyzetté rakható össze, ami a Perigal négyzete. Az el ieken izonyítottak kapcsán könnyen izonyíthatjuk a következ érdekes feladatot: * Feladat: Bizonyítsuk e, hogy n 1, n N dara tetsz leges, különöz méret négyzetlap feldaraolható úgy, hogy a keletkezett daraokól hézagmentesen és egyrét en kirakhassunk egy négyzetlapot! Bizonyítás: A izonyítást a teljes matematikai indukcióval végezzük el. El ször is igazoljuk, hogy n=2 négyzet feldaraolható úgy, hogy a daraokól négyzetet rakhatunk ki. 4 1 2 Tekintsük a kiseik négyzetlapot, ennek az oldala legyen. A nagyoik négyzetlap oldala legyen c, és két, egymásra mer leges egyenessel osszuk négy kongruens részre úgy, ahogyan az el i árán látható (vagyis Perigal-négyzetet készítettünk). Az el izonyítottak alapján az daraól kirakható az olyan a oldalú négyzet, amelyet az a 2 = 2 + c 2 összefüggés l kapunk meg. Feltételezzük most, hogy n dara négyzet feldaraolható úgy, hogy a daraokól egy négyzetet rakhatunk ki. Igazoljuk, hogy ez igaz n+1 dara négyzet esetén is. Ez valóan így van, mert ha az n+1 négyzet közül például a második legkise négyzetet úgy daraoljuk fel (Perigal négyzetre) mint a fenti árán, akkor a legkiseikkel összeilleszthet egyetlen négyzetté, így most már csak n dara négyzetünk van, amire az indukciós feltétel alapján érvényes az, hogy feldaraolható úgy, hogy a daraokól kirakható egyetlen négyzet. Ezzel a feladatot izonyítottuk. Az el eken izonyítottak kapcsán, azaz ezek helyességét illet en, nem sok kételyünk merülhet fel, hiszen Pitagorasz tétele a matematika egyik alaptétele. Ha azonan joan elgondolkodunk az átdaraolás folyamatán és a megvalósítás lehet ségén, akkor máris felmerülhet a következ kérdés: vajon a daraokól hézagmentesen és fedés nélkül tényleg összerakhatók-e az illet alakzatok? Miel tt erre a kérdésre válaszolnánk, nézzünk meg egy úja átdaraolást, amely nagyon meggy en alátámasztja, hogy a fölmerült kételyünk teljesen megalapozott. Tekintsük a következ árán látható egység oldalhosszúságú négyzetet, amelyet a szemléltetett módon daraoltunk fel. (c+)/2 (c )/2 a a D A 1 1 M C B

Ezek l a daraokól rakjuk ki a második ára téglalapját. Könnyen leolvasható, hogy AB = 1 egység és BC = egység. Tehát úgy t nik, hogy az els ára négyzetlapját átdaraoltuk a második ára téglalapjáa. Vajon tényleg igaz? Nézzünk csak utána! (Lásd még a MatLap 2/2012-es számának 64. oldalán az F. 17. feladványt). A négyzet területe: T 1 : 64, míg a téglalap területe: T 2 : 1 6. Honnan származik a 6 64 = 1 négyzetegységnyi eltérés? Ha esetleg milliméteres papíron, pontos mérésekkel rekonstruáljuk az el i átdaraolást és ha jól figyelünk, akkor észrevehet, hogy a BD átló mentén az alakzatok nem illeszkednek tökéletesen, pontosaan egy kis rés marad. Számolásokkal megmutatjuk, hogy az a kis rés éppen 1 négyzetegység (és mivel elég kicsi, szaad szemmel nehezen érzékelhet ). Tehát valójáan a második ára téglalapja nem illeszthet össze hézagmentesen a. ára négyzetlapjának darajaiól. Az ilyen, hiás átdaraolások során nem csak úgymond hiány állhat el, hanem éppen fedés is. Például, ha az els árán lev,, mér számok helyett rendre az,, 1 mér számokat vesszük, akkor a négyzet területe T 1 : 1 1 169, míg a téglalap területe T2 : (1 ) 16 lesz, vagyis az átrendezés után nem hézag marad, hanem a daraok fedni fogják egymást. Ennek izonyítása az el iek mintájára is történhet, és az érdekl Olvasóra ízzuk. Ezek után természetesen felmerül a kérdés, hogy mi az átdaraolhatóság helyességének a feltétele? A következ tétel értelméen a Pitagorasz-tétel izonyítására használt átdaraolhatóság lehet sége iztosítva van, de a tétel az átdaraolhatóság hogyanjára nem ad választ. Nyilvánvaló, hogy az átdaraolt alakzatok területei egyenl k. Vajon igaz-e ennek a fordítottja is? Erre a választ (szinte egy id en) Bolyai Farkas (12) és Gerwin (1) adták meg, de egyes források szerint a tétel els felfedez je Wallace, angol matematikus volt, aki már 107-en közölte a következ eredményt: Tétel. Az egyenl terület sokszöglapok átdaraolhatók egymása. A tétel kijelenti tehát, hogy ha két sokszöglap egyenl egyenl, akkor egymása átdaraolható. Így igaz a tétel ellentettje is miszerint, ha két sokszöglap területe nem egyenl, akkor a két sokszöglap nem daraolható át egymása. Ezért tehát az el példáan a négyzetlap nem daraolható át téglalappá, mert a két alakzat területe nem egyenl. Ellenen a Pitagorasz tétel izonyításának a helyessége nem kérd jelezhet meg, hiszen az épen az átdaraolt alakzatok területének az egyenl ségén alapszik. Néhány évvel Perigal halála után megfigyelték, hogy a Pitagorasz tételének a Perigal-féle izonyítása képezi az alapját a kés i úgynevezett Pitagorasz-féle parkettázásnak (csempézésnek). A matematikai tárgyalás egyszer sítése céljáól parkettázáson (vagy csempézésen) a síknak síkidomokkal való egyrét és hézagtalan (vagyis hézagmentes) lefedését fogjuk érteni. Egyrét nek nevezzük a lefedést, ha a sík minden pontját legfelje egy lefed idom els pontja fedi le. (Egy pontot tö fed idom határpontja is fedhet.) Hézagtalan a lefedés, ha a sík minden pontját lefedi legalá egy fed idom els - vagy határpontja. Parkettázásnál a teljes sík lefedésére gondolunk. A parkettázás története szinte egyid s az építkezések történetével. Az épületek padozatát régen k daraokkal rakták ki, ez eleinte találomra egymás mellé rakott laposa daraokól állott, kés már faragtak ezeken a köveken, hogy az összeillesztésnél a padozat minél nagyo része legyen fedett és minél kevese legyen a hézag. A fejl dés továi folyamán a hézagokat is igyekeztek kiküszöölni a padozatól a felhasznált daraok faragásával. Gyakorlati tapasztalatok alapján rájöttek arra, hogy egyszer a padozat eorítása, ha egyforma, azonos alakú és nagyságú fed köveket használnak, különösen akkor, ha ezeket pl. agyagól égetik. Néhány ilyen parkettázást mutatnak az ókori lakóépületek l a következ árák:

Már e l az öt, évezredekkel ezel tt ismert parkettázási módól is a fellép formák nagy gazdagságára következtethetünk. Máris felmerül a kérdés: milyen egyevágó idomokól készíthet k parketták? Kézenfekv nek látszik tehát az a gondolat, hogy minden parkettázást sokszögekkel való parkettázásra vezessünk vissza. De persze messzir l sem ilyen egyszer téma a parkettázás. (B veen lásd pl az []-en) Azt a parkettát (nevezzük még csempét vagy mozaikot) aminek a végtelen ismétlésével el állítjuk a parkettát, motívumnak nevezzük. Az el i els ára motívuma egy téglalap, a másodiké egy négyzet, a harmadiké egy szaályos hatszög, st. A Pitagorasz parkettázás vagy a két négyzet parkettázása az alái aloldali árán látható: A jooldali árán a parkettán a motívum is meg van jelölve (kett is, az egyik éppen a Perigal négyzete), ez természetesen töféle is lehet, de minden eseten, a motívumok egymás mellé illesztésével meg kell kapjuk a aloldali ára parkettázását. Befejezésül, térjünk vissza ismét a kezdeten emutatott Perigal négyzetére. Vegyük ennek a négy kongruens alakzatját és próáljuk úgy összerakni, hogy ne négyzetet, hanem egy általános téglalapot zárjon közre. Némi próálkozás után hamar rájövünk, hogy sehogyan sem sikerül a téglalapot ezárni, vagyis csak nyitott téglalap keletkezik. Vajon elvágható-e úgy a négyzet, hogy töféle téglalap is kialakítható legyen a elsejéen? A válasz igenl, de nem egyszer megtalálni a megoldást. Javaslom a matematika iránt érdekl knek, hogy próálkozzanak ilyen elrendezést találni. Néhány példa a következ árákon látható: Egy másik ötlet az lehet, hogy a Perigal négyzete helyett megpróálunk egy Perigal téglalapot összeállítani. Hogyan? Pontosan azonos módszerrel, ahogyan Perigal négyzetet szerkesztettünk. Ennek az elvégzését az érdekl Olvasóra ízzuk. Érdekes játékvariációt kapunk, ha nem négyzet l, hanem téglalapól indulunk ki, és készítünk egy Perigal téglalapot.

Een az eseten is ügyelni kell a két vágás mer legességére. Ez is olyan elrendezés, ahol téglalap alakú lyuk lehet a nagy téglalap elsejéen. El is készítettük az egyik kis téglalapot, így ez a játék is alkalmas egy "paradoxon-szer ség" emutatására. Ehhez csak egy dooza kellett helyezni az elemeket. Egyszer elefért a kis téglalap, egyszer pedig nem. Vajon mi az oka? Gondoljunk csak az el ieken emutatott hamis átdaraolásra! Továi érdekes információkat olvashatunk a ween, ha a Google keres e eírjuk a Perigal szót, és láthatóvá tesszük képek közötti találatokat is. Szakirodalom és Forrásanyag: [1] Tuzson Zoltán: Algerai azonosságok szemléltetése, ML6/1994, 210. old. [2] Tuzson Zoltán: Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat? Harmadik, vített kiadás, Áel Kiadó, Kolozsvár, 2011 [] http://ordoglakat.log.hu/2010/10/24/perigal_negyzete#more2949 [4] http://plus.maths.org/content/dissecting-tale []http://www.tankonyvtar.hu/konyvek/matematikai-mozaik/matematikai-mozaik- 01029-2 [6] http://en.wikipedia.org/wiki/pythagorean_tiling [7] http://fac-we.spsu.edu/math/tile/symm/types/p4/p4.htm [] http://fac-we.spsu.edu/math/tile/pythagorean/index.htm