Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

Hasonló dokumentumok
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

Alkalmazott algebra - SVD

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Numerikus módszerek 1.

Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Mer legesség. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Mer legesség / 40

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Haladó lineáris algebra

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ 2005.

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

1. Az euklideszi terek geometriája

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

3. el adás: Determinánsok

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23

Opkut deníciók és tételek

Alkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

Matematika (mesterképzés)

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

Rang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15

Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások

3. előadás Stabilitás

2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma

1. Bázistranszformáció

1. zárthelyi,

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Lineáris algebra mérnököknek

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

1 Lebegőpontos számábrázolás

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

Alkalmazott algebra - skalárszorzat

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

Tartalomjegyzék. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok Lineáris egyenletrendszerek és megoldásuk 63

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Principal Component Analysis

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

Mátrixok 2017 Mátrixok

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

A derivált alkalmazásai

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

Analízis I. beugró vizsgakérdések

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Numerikus módszerek beugró kérdések

A fontosabb definíciók

Bevezetés az algebrába 2

Lineáris algebra mérnököknek

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23

Faragó István Horváth Róbert NUMERIKUS MÓDSZEREK

Normák, kondíciószám

Lineáris algebra numerikus módszerei

Szalai Eszter. Mátrix felbontások és alkalmazásaik

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Egyváltozós függvények 1.

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 22.

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

1. feladatsor Komplex számok

Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31

Lineáris algebra gyakorlat

Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

Numerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

Numerikus matematika vizsga

Mátrixfelbontások BSc szakdolgozat

rank(a) == rank([a b])

Matematika A1a Analízis

Differenciálszámítás normált terekben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

1 p, c = p 1 és d = 4. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a c és d paraméterek minden értékére. x + 2z = 5 2x y = 8 3x + 6y + cz = d

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

A Matematika I. előadás részletes tematikája

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Átírás:

Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28

Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 2 / 28

Szinguláris érték Szinguláris vektorok D A pozitív σ 1 σ 2 σ r > 0 számok az r-rangú valós (komplex) A mátrix szinguláris értékei, ha van olyan {v 1,..., v r } ONB-a a sortérnek (konjugáltjának) és {u 1,..., u r } ONB-a az oszloptérnek, hogy Av i = σ i u i, i = 1,..., r. A v i vektorokat jobb, az u i vektorokat bal szinguláris vektoroknak nevezzük. M u i = 1 (i = 1, 2,..., r) Av i = σ i. Lehetne így: k = min(m, n), és σ r+1 = σ r+2 = = σ k = 0. P {v 1, v 2 } = {( 4, 3), ( 3, 4)}, 5 5 5 5 {u 1, u 2 } = {( 5, 12 12 ), ( 13 13 [ ] [ 5/13 3 /5 [ ] [ ] 4/13 6 4 /5 = 10 111/13 4 3 /5 σ 1 = 10, σ 2 = 5. 12/13 ], [ 4/13 6 111/13 4, 5 )} 13 13 ] = 5 4/5 [ 12 /13 5/13 ], Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 3 / 28

Szinguláris érték SVD J Jelölések σ 1 0... 0 0 σ Σ 1 = diag(σ 1,..., σ r ) = 2... 0........ U 1 = {u 1,..., u r } V 1 = {v 1,..., v r } 0 0... σ r Av i = σu i AV 1 = U 1 Σ 1 σ 1 0... 0 [ ] [ ] 0 σ A v1 v 2... v r = u1 u 2... u r 2... 0........ {v 1,..., v r }-b l {u 1,..., u r }-b l ONB: V 2 = [ v r+1... v n ] U 2 = [ u r+1... u m ] 0 0... σ r Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 4 / 28

Szinguláris érték SVD R-ben V 2 oszlopvektorai S (C-ben S-re) r < i n esetén Av i = 0. AV = [ ] Av 1... Av r Av r+1... Av n = [ σ 1 u 1... σ r u r 0... ] 0 σ 1 0... 0 0... 0 0 σ 2... 0 0... 0 = [ ]................. u 1... u r u r+1... u m 0 0... σ r 0... 0 0 0... 0 0... 0........... 0 0... 0 0... 0 = UΣ, azaz A m n V n n = U m m Σ m n, blokkmátrix alakban [ ] [ ] [ ] Σ A V1 V 2 = 1 O U1 U 2. O O Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 5 / 28

Szinguláris érték SVD D Szinguláris érték szerinti felbontás, vagy szinguláris felbontás: A = UΣV H Redukált szinguláris felbontás: A = U 1 Σ 1 V H 1 Szinguláris érték szerinti diadikus felbontás vagy a szinguláris felbontás diadikus alakja A = σ 1 u 1 v T 1 + σ 2 u 2 v T 2 + + σ r u r v T r. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 6 / 28

Szinguláris érték SVD 0 2 2 2 3 2 = 4 2 0 = = 6 1/3 2 /3 2/3 2 /3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 2 /3 2 /3 1/3 2/3 2/3 1 3 2 3 2 3 [ 2 3 2 3 6 0 0 0 3 0 0 0 0 2/3 2 /3 1/3 2/3 1/3 2 /3 1/3 2/3 2/3 [ ] [ ] 6 0 2 /3 2 /3 1/3 0 3 2/3 1/3 2 /3 ] 1 3 + 3 2 3 1 3 2 3 [ 2 3 ] 1 2 3 3 4/3 4 /3 2/3 4 /3 2 /3 4/3 = 8 /3 8/3 4 /3 + 2/3 1/3 2 /3. 8/3 8 /3 4/3 4/3 2/3 4 /3 Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 7 / 28

Szinguláris érték Az SVD meghatározása M Ötlet: A H A = (UΣV H ) H UΣV H = VΣ H U H UΣV H = VΣ H ΣV H Ez A H A spektrálfelbontása: V ortogonális (unitér), Σ H Σ diagonális (σ i 0) A H A sajátértékei épp a szinguláris értékek négyzetei, ui. Σ H Σ = diag(σ 2 1, σ2 2,..., σ2 r, 0,..., 0). SVD kiszámítása: 1 meghatározzuk A T A sajátértékeit (λ i ) és sajátvektorait (x i ), 2 a sajátértékek gyökei a szinguláris értékek (σ i = λ i ), 3 a jobb szinguláris vektorok a sajátvektorok (v i = x i / x i ), 4 bal szinguláris vektorok: mivel Av i = σ i u i, ezért u i = Av i /σ i, 4 alternatíva: a bal szinguláris vektorok megegyeznek az AA T sajátvektoraival, 5 a szinguláris vektorokból fölírható V 1 és U 1, a redukált szinguláris felbontás és a diadikus alak, 6 a V-hez ki kell egészíteni a {v 1,..., v r } vektorokat ONB-sá (hasonlóképp U-hoz) Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 8 / 28

Szinguláris érték Szinguláris érték szerinti felbontás létezése T A szinguláris értékek létezése és egyértelm sége: Minden r-rangú komplex A mátrixnak létezik r szinguláris értéke. Ezek megegyeznek A H A (illetve az AA H ) pozitív sajátértékeinek négyzetgyökeivel. A szinguláris értékek monoton csökken sorozata egyértelm. B A H A önadjungált: (A H A) H = A H (A H ) H = A H A minden sajátértéke valós, így ortogonálisan diagonalizálható, A H A pozitív szemidenit, így minden sajátértéke nemnegatív, ui. x H A H Ax = (Ax) H (Ax) = Ax 2 0. r(a H A) = r(a) = r, így (λ 1 λ 2 λ n rendezés után), λ i > 0, ha 1 i r, és λ i = 0, ha r < i n σ i = λ i > 0, ha 1 i r A H A sajátértékei egyértelm ek, ezért A szinguláris értékei is azok A H A és AA H 0-tól különböz sajátértékei megegyeznek Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 9 / 28

Szinguláris érték Szinguláris felbontás geometriai interpretációja P SVD hatása egységkörön 2-rangú 2 2-es mátrixszal: V T v i = e i, Σe i = σ i e i, Uσe i = σue i = σu i, azaz V T a {v i } bázist a standardba viszi ortogonális leképezéssel (forgatás vagy tükrözés), ott Σ tengelyirányban nyújtja/összenyomja, végül az ortogonális U hat rá. A = UΣV T : x UΣV T x: V T Σ U e 2 v 2 e 1 σ 2 e 2 σ 1 u 1 σ 1 e 1 σ 2 u 2 v 1 Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 10 / 28

Szinguláris érték Szinguláris felbontás geometriai interpretációja P 2 3-as, valós, 2-rangú mátrix: V T ortogonális, így hatása: V T v i = e i (i = 1, 2, 3). Σ a két els tengely irányában nyújt/összenyom: Σe i = σ i e i (i = 1, 2), a harmadik tengely irányával párhuzamosan vetít: Σe 3 = 0. A kép nem egy ellipszisvonal, hanem a teljes általa határolt tartomány. Végül az ortogonális U ezt elforgatja vagy tükrözi egy egyenesre. v 3 V T Σ U e 2 σ 2 e 2 σ 1 u 1 σ 2 u 2 v 2 e 1 e 3 σ 1 e 1 v 1 Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 11 / 28

Szinguláris érték Szinguláris felbontás geometriai interpretációja T A egy r-rangú, m n-es valós mátrix. Az x Ax leképezés R n az e T e = 1 egyenletet kielégít, egységgömb felületén lév pontjait, R m egy r-dimenziós altere egy ellipszoidjának felületére képzi, ha r = n, és egy ellipszoidja által határolt tartományára képzi, ha r < n. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 12 / 28

Szinguláris érték Polárfelbontás M Analógia: az r e iϕ exp. alak egy nyújtás és egy forgatás szorzata D Polárfelbontás: egy négyzetes mátrixnak egy pozitív szemidenit és egy ortogonális (unitér) mátrix szorzatára való felbontása: A = PQ. T Bármely komplex (valós) négyzetes A mátrix el áll A = PQ alakban. Ha A invertálható, akkor P pozitív denit, és a felbontás egyértelm. B A felbontás A = UΣV H = UΣU H UV H = (UΣU H )(UV H ), ahonnan P = UΣU H, Q = UV H. P önadjungált: (UΣU H ) H = UΣ H U H = UΣU H. P pozitív szemidef. (hasonló Σ-hez), ha A invertálható, Σ pozitív def. Q unitér (ortogonális), hisz két unitér (ortogonális) mátrix szorzata. P egyértelm (nem csak akkor, ha pozitív denit), ugyanis AA H = PQQ H P H = PP H = P 2, és pozitív szemidenit önadjungált mátrix négyzetgyöke egyértelm az önadjungált pozitív szemidenit mátrixok körében. Ha P pozitív denit, akkor invertálható, így Q = P 1 A is egyértelm. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 13 / 28

Szinguláris érték Pszeudoinverz T SVD: A = U 1 Σ 1 V T 1, illetve A = UΣVT. Ekkor B U 1 teljes oszloprangú, Σ 1 V T 1 A + = V 1 Σ 1 1 UT 1 = VΣ + U T. teljes sorrangú, így ( ) A + 1 ) 1 = (Σ 1 V T 1 ) T Σ 1 V T 1 (Σ 1 V T 1 ) (U T T 1 U 1 U T 1 = V 1 Σ 1 Σ 2 1 UT 1 = V 1 Σ 1 1 UT 1. Ebb l VΣ + U T = [ V 1 V 2 ] [ Σ 1 1 O O O ] [ ] U T 1 U T 2 = V 1 Σ 1 1 UT 1. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 14 / 28

Alkalmazások Információtömörítés T Kis rangú approximáció tétele EckartYoung-tétel A r-rangú, k-adik szinguláris értéke σ k, jobb és bal szinguláris vektorta v k, illetve u k. Legyen k A k = σ i u i v T i. Ekkor A k az A mátrix legjobb legföljebb k-rangú közelítése, azaz r min A B F = A A k F = σ 2, i r(b) k i=1 i=k+1 min A B 2 = A A k 2 = σ k+1. r(b) k Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 15 / 28

Alkalmazások Információtömörítés 1, 2, 3, 4, 8, 12, 40, 97, 194. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 16 / 28

Alkalmazások Információtömörítés Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 17 / 28

Alkalmazások Mögöttes tartalom analízise A latent semantic indexing (LSI) vagy latent semantic analysis (LSA) Ö Az egy dokumentumban szerepl szavakat összekapcsolja a dokumentum tartalma, e kapcsolatokat a szavak mögött lév tartalmat az SVD kiemeli, mint lényeges információt. A sorai a szavakat, oszlopai a dokumentumokat reprezentálják. t ij az i-edik szó gyakorisága a j-edik dokumentumban és T i a teljes szöveggy jteményben ( ) t n ik log t ik T a ij = 1 + i T i log(1 + t ij ). log n k=1 az els tényez egy csak az i-edik szónak az egész gy jteményhez való kapcsolatától függ globális súly, a második csak a lokális érték függvénye. A = UΣV T és közelítése A k = U k Σ k V T k U k, illetve V k oszlopainak vektorterében a szavak, illetve dokumentumok kapcsolatát a hozzájuk tartozó vektorok helyzete jellemzi Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 18 / 28

Norma Euklideszi vektornorma és p-norma D Az x vektor euklideszi normája vagy más néven abszolút értéke x 2 = n x 2 = x i T x, ha x R n, i=1 x 2 = n x i 2 = x H x, ha x C n. i=1 M Manhattan ( x + y ), képméretezés (max{ x, y }). D A p 1 valósra az x C n vektor p-normája x p = ( n i=1 x i p ) 1/p, míg ennek határértéke a -norma, azaz x = lim p x p. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 19 / 28

Norma Euklideszi vektornorma és p-norma M 1-norma = rácsnorma = Manhattan-norma maximum norma = -norma x = lim p x p = lim p ( n i=1 ) 1/p x i p = max x i. i B a legnagyobb abszolút érték koordináta x max ( x i / x max 1) 1 n x i /x max p n. i=1 Mindegyik kifejezést 1/p-edik hatványra emelve, majd x max -szal beszorozva kapjuk, hogy ( n x max x max i=1 x i x max p ) 1/p x max n 1/p, Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 20 / 28

Norma Euklideszi vektornorma és p-norma p = 1 p = 3 2 p = 2 p = 3 p = Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 21 / 28

Norma Euklideszi vektornorma és p-norma p = 1 p = 2 p = Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 22 / 28

Norma A norma általános fogalma Á Az el z normák alaptulajdonságai: x 0 x = 0 x = 0 ( a d(x, y) = x y távolságfüggvény szeparálja a pontokat, azaz két különböz pont távolsága sosem 0) cx = c x (pozitív homogenitás) x + y x + y (háromszögegyenl tlenség) D Az f : R n R, vagy f : C n R függvény norma, ha f (x) 0 minden x vektorra, és f (x) = 0 pontosan akkor áll fenn, ha x = 0, f (cx) = c f (x) minden x vektorra, f (x + y) f (x) + f (y). M x = x bármely. normára igaz, hisz x = 1 x = x. M háromszögegyenl tlenség másik alakja: z x z x Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 23 / 28

Norma A norma általános fogalma M A háromszögegyenl tlenség p-normánál: Minkowski-egyenl tlenség: x + y p x p + y p. (1) M A Hölder-egyenl tlenség a CBS-egyenl tlenség általánosítása: x H y x p y q, ahol 1 p + 1 q = 1. (2) M Ha x x egy norma, és A egy egy-egy értelm lineáris leképezés, akkor az x Ax leképezés is norma és az x y x sup y 0 y M max i { x i } x 1 2 + + x n 2 x 1 + + x n azaz M Másrészt x x 2 x 1. x 1 n x 2, x 2 n x és x 1 n x. M Minden norma folytonos függvény. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 24 / 28

Norma Vektornormák ekvivalenciája D A. a és. b normák ekvivalensek, ha van olyan c és d pozitív valós szám, hogy. a c. b és. b d. a. M Az 1-, 2- és -normák ekvivalensek T A K n téren értelmezett bármely két norma ekvivalens (K = R vagy C). M Ez csak véges dimenziós terekben igaz, itt tehát a konvergenciakérdésekhez bármelyik norma jó. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 25 / 28

Mátrixnorma Vektornorma mátrixokon D Az A C m n mátrix Frobenius-normája m n m n A F = a ij 2 = A i 2 = 2 A j 2. 2 i=1 j=1 T Frobenius-norma ekvivalens alakjai: A F = i=1 trace(a H A) = min(m,n) i=1 j=1 σ 2 i. B [A H A] jj = A j 2 2 nyom = sajátértékek összege Á Bármely x C n vektorra és A C m n mátrixra Ax 2 A F x 2. B CauchyBunyakovszkijSchwarz-egyenl tlenségb l: n n Ax 2 = 2 A i x 2 A i 2 2 x 2 = 2 A 2 F x 2. 2 i=1 i=1 Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 26 / 28

Mátrixnorma A mátrixnorma általános fogalma D. : K n R mátrixnorma, ha A 0, és A = 0 pontosan akkor áll fenn, ha A = O, ca = c A, A + B A + B, AC A C. D. egy tetsz leges vektornorma. Ekkor az A = max Ax x =1 egyenl séggel deniált függvényt a vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük. M Jelölés: A p = max x p =1 Ax p M Ha lineáris leképezésre értelmezzük, operátornormáról beszélünk. M A normák ekvivalenciájából bármely normában az egységgömb korlátos és zárt a x Ax függvénynek van maximuma és minimuma M a deníció a ekvivalens alakjai Ax A = sup x =0 x = max Ax x =0 x. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 27 / 28

Mátrixnorma Az 1-, 2- és -norma mátrixokra T Legyen A C m n, ekkor A 1 = max j n a ij = legnagyobb abszolút oszlopösszeg, (3) i=1 m A = max a ij = legnagyobb abszolút sorösszeg, (4) i j=1 A 2 = A H = max max y H Ax = σ 1, (5) 2 x 2 =1 y 2 =1 Ha az A C n n invertálható, akkor A 1 2 = max x 2 =1 1 Ax 2 = ahol σ n az A legkisebb (pozitív) szinguláris értéke. 1 = 1, (6) min Ax 2 σ n x 2 =1 M Az 1-, a - és a 2-normára szokásos másik elnevezés: oszlopnorma, sornorma és spektrálnorma. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 28 / 28