VERTE BR ATA HUNGARICA

VERTE BR ATA HUNGARICA MUSE! HISTORICO - NATURALIS HUNGARICI Tom. IX. 1967. Fase. 1-2. A Barbus meridionals petényi Hecke! pikkelyszámának variációja Irta: Bennkey László Természettudományi Múzeum, Budapest Ismeretes, hogy a biometriai sokaságok többsége, igy a növényekre és az állatokra vonatkozó mérési eredményekből adódó eloszlások is, több kevesebb pontossággal a normális eloszlásnak felelnek meg, azaz a mérési adatok zöme, a GAUSS görbe szerint, egy középérték körül tömörül és attól mindkét irányban szimmetrikusan csökken az észlelések száma. A mérési hibák is ilyen eloszlást mutatnak. A normál eloszlás fontosságát növeli még az a tény,hogy sűrűségfüggvénye felhasználható a többi elméleti eloszlások megközelítésére is, és a legtöbb és legefficiensebb statisztikai próbát erre dolgozták ki. Gyakorlatilag sok egycsucsu tapasztalati eloszlás ki elégítően megközelíti a normálist. így bár a vizsgált eloszlásról semmit sem tudunk és nem ismerjük tényleges elméleti alakját, első közelítésként feltételezzük, hogy az normális és a további vizsgálatokat ezen az alapon folytatjuk. Gyakran elegendő is az ilyen megközelítés. Előfordul azonban, hogy a vizsgálat eredményessége szempontjából pontosabban kívánjuk ismerni, hogy az észlelt gyakoriságok mennyire illeszkednek az elméleti értékekhez, vagy más esetben, hogy két, vagy több populáció gyakorisági eloszlása mennyire hasonló egymáshoz. Ennek megállapítására

leggyakrabban yc ^ próbát alkalmazzuk. A Barbus meridíonalls petényi pikkelyszámának vizsgálatakor szükségesnek láttam e próba használatát. Három populáció pikkelyszám variabilitását hasonlítottam össze a Bükkös patak 93, Tapoly folyó 111, Szamos 45 példánya alapján. Érdekes jelenség, hogy a petényi márna pikkelyszáma, más fajokéhoz képest, szokatlanul tág határok között változhat. A tanulmányozott populációk ezen értékei" 1 " a következők voltak:bükkös p. M = 51.74, s 2 = 7.3043, s = 2.703, v.h. = 47-59; Tapoly M = 52.32, s 2 = 7.3805, s = = 2.716, v.h. = 47-59; Szamos M = 54.27, s 2 = 12.15,s= 3.486, v.h. = 49-63. A közölt adatokból látható, hogy a Bükkös patak és a Tapoly értékei megegyezőek, mig a Szamosé az előbbiekét valamivel felülmúlja. De a pikkelyszám variációs szélessége mindenütt változatlanul nagy. Ezért azt kívántam tisztázni, hogy a pikkelyszám észlelt gyakorisági eloszlása, ilyen nagy variációs szélesség mellett, mennyiben felel meg a normálisnak, azaz milyen pontosan illeszkedik a normál görbéhez (A számitások eredményeit az 1-3. táblázat tartalmazza). Az illeszkedés vizsgálat elvégzésénél annak megállapítása a feladat, hogy milyenek az adott n. számú eloszlásfüggvény normál eloszlás értékei és ehhez kell hasonlítani az észlelt gyakoriságokat. Az átlag a JLL becslése, a görbének egy helye az abszcisszán, melyre a görbe formája nincs befolyással, mig a szórás a & becslése meghatározza a görbe eloszlását, de annak helyére nincs hatással. Más szóval az átlag csak a központi tendenciának a mértéke és független a variabilitástól,. mig a variancia, vagy szórás, a szóródás mértéke és független az átlagtól. A normál görbét e két paraméter határozza meg. Az azonban matematikailag rendkívül nehézkes és hosszadalmas lenne, ha minden paraméterhez ki számítanánk a normál eloszlás függvényt. Ezt a nehézséget + M = számított közép, s v.h. = variációs határok. = szórásnégyzet, s = szórás,

megkerülhetjük, ha a keresett értékeket standardizáljuk, a következő képlet szerint hol T* a standardizált normál valószínűségi változó, ezt megkapjuk, ha X eredeti variációs érték és a A közötti különbséget osztjuk a szórással. Ezt a mennyiségi eloszlást a következő képlet fejezi ki, ahol a V olyan normális eloszlású változó, melynek középértéke = 0, a szórása pedig = 1. Ha tehát meg akarjuk alkotni, az észlelt eloszlásnak legszorosabban megfelelő normális eloszlást a /* és a ty értéke az észlelt mintánál a középértéke X és szórása s lesz. Ezeket a mennyiségeket kell behelyettesíteni a V kifejezésébe. A minden egyes valószínűségi értékét a standardizált normál eloszlás táblázatból határozzuk meg. A számolás menetét legcélszerűbb táblázatban feltüntetni, ahol az első oszlop tartalmazza a méretek osztályba sorolt valódi értékei t, a másodikban ezeknek a középtől való eltérései vannak feltüntetve, a harmadikban az eltérések és a szórás hányadosa vagyis a tf értékei kerülnek, mig a negyedik oszlop ezen intervallumok valószínűségi értékeit mutatja, melyeket a standardizált normál eloszlás táblázatából határozunk meg. Az ötödik oszlopba a vizsgálati anyag elméleti gyakorisági értékeit, mig a hatodikba az észlelt gyakoriságokat irjuk be, melyek közvetlenül összehasonlíthatók az elméleti gyakoriságokkal. Annak megállapítására, hogy az észlelt gyakoriságok milyen mértékben illeszkednek az elméleti gyakorisághoz és az eltérést mikor kell szignifikánsnak tekinteni, használjuk a

7C eljárást. Ennek értékét az alábbi képlet állapítjuk meg segítségével i hol 0 osztályonként az észlelt gyakoriság (példányok száma), E a várt, vagy elméleti gyakoriságok, melyek az osztályhoz tartoznak, a szumma jel a minta minden osztályára vonatkozik. A képletnek megfelelően az eddigi táblázatos számítási módszert folytatva, a hetedik oszlopban az észlelt és a várt érték közötti különbséget tüntetjük fel, mig a nyolcadikban ennek négyzet összegei kerülnek. Végül a kilencedik a négyzet összegek és a várt értékek hányadosait tartalmazza és ezek összege adja X ** számitott értékét. A kiszámított X 1 * értékek mindhárom populációnál szorosan megegyeznek. A pt*' értékei a szabadság foktól függnek. A szabadság fokot megkapjuk, ha az osztályok számából levonjuk a konstansok számát. Adott szabadság foknál a X^ nagyobb értéke,mindig kisebb valószinüséget jelent. Az észlelt számnak egy nagyobb eltérése az osztályában lévő várt értékétől a Ti. 1, értékét növeli és a valószinüséget csökkenti. sz.f. + X ti- v. + Bükkös p. 8 7.56 30-50 1» között Tapoly 9 7.30 50-70 % között Szamos 10 7.22 70-80 1o között A X 1, próba alapján megállapíthatjuk, hogy a Barbus meridionalis petényi pikkelyszárnának gyakorisági eloszlása mindhárom populációnál nem egészen pontosan illeszkedik a normális eloszláshoz, az eltérés legerősebb a Bükkös patak + sz.f. szabadság fok; v = valószínűség.

halainál. E faj vizsgálatával kapcsolatban még két adatot kívánok ismertetni, melyeknél folytonos eloszlású értékekkel számoltam és az illeszkedés pontosabbnak mutatkozott. A 4. táblázatban a Bükkös patak példányainak test magasság változásá- 2 nak értékeit közlöm. E méretnél az M = 21.17, s = 1.0044, s = 1.002, i t t a szórás meglehetősen kicsiny. A X** értéke = 1.06, mely az adott szabadság foknál 2- nél 50-70 $> valószínűségnek felel meg. Végül az 5. táblázat a Bükkös patak példányainak predorzális értékeit tartalmaz- 2 za. A kiszámított közép M = 50.55, szórásnégyzet s = 1.4204, szórás s = 1.19- A = 1*01, ez 5 szabadság foknál 90-95 % valószínűséggel egyezik a normális eloszlással. Mint a táblázatokból megállapíthatjuk a kapott X értékek elég tág határok között mozognak. Pontos tehát azt a kérdést tisztázni, hogy általánosságban hogyan értékelhetők a -to 1 " próba eredményei. Az eltérés vizsgálatokkal ellentétben, hol az alaphipotézisünk az, hogy elvethetjük-e a null hipotézist, az illeszkedésvizsgálatoknál abból indulunk ki, hogy a null hipotézist megtarthatjuk-e. Ha a X- erteké = 0, ez azt jelenti, hogy az észlelt és a várt értékek teljesen megegyeznek, viszont attól függően, hogy az egyes, illetve minden észlelt érték kisebb, vagy nagyobb mértékben eltér a várt-tói, növekszik a X** értéke is. így a X*" mérőszámot szolgáltat a hipotézis és a tapasztalat egyezésére.a X^táblázat P értéke megadja annak a valószinüséget, hogy a véletlen mintavétel a kapott értékkel egyenlő, vagy annál nagyobb % értéket eredményez. Ha a P kicsiny, akkor feltételezhetjük, hogy az elmélet és a tapasztalat közötti eltérés valamilyen tényleges hatás következtében vált szignifikánssá és nem csupán a mintavételi ingadozásnak tulajdonitható. Minél kisebb a P, annál inkább gondolhatjuk, hogy az összhang a tapasztalat és az elméleti feltevés között igen gyenge és a megfigyelt esemény rendkívül valószínűtlen, ezért az eltérést szignifikánsnak mondjuk. A gyakorlatban általában az

5 $-os, vagy annál kisebb értékeket szoktunk szignifikánsnak tekinteni. Az általam kiszámított % értékek egyike sem különbözik tehát szignifikánsan a normális eloszlástól. Végül még azt kivántam tisztázni, hogy a Szamos és a Bükkös patak populációi, melyeknek pikkelyszáma különbözik egymástól, ezen bélyeg alapján mennyire tekinthetők homogénnek. E célra a kontigencia vizsgálat egy rövidített eljárását alkalmaztam, mely a 6. táblázatban van feltüntetve. Az eredményül kapott X> értéke magas, 6 szabadság foknál 1.0-0.1 i> között van, tehát a két populáció, mivel szignifikáns különbség mutatkozik közöttük, nem tekinthetők homogénnek. Die Variation der Schuppenzahien bei Barbus meridionaüs petényi Hecke! Von L Berinlcey Zoologische Abteilung des Ungarischen Naturwissenschaftlichen Museums, Budapest Es ist allgemein bekannt,dass die Schuppenzahl von Barbus meridionalis petényi zwischen weiten Grenzen schwanken kann. Der Verfasser verfolgte bei drei Populationen dieser Art wie die Verteilung der Schuppenzahl sich zur Normalkurve verhält. Auf Grund der Berechnungsergebnisse konnte festgestellt werden, dass bei den einzelnen Populationen eine Annäherung zwar in verschiedenem Masse besteht, doch überall erscheint diese für ausreichend. Da die Durchschnittswerte zweier Populationen (Szamos und Bükkös) abweichten, wurde mit Kontingentsberechnung untersucht ob sie als homogen betrachtet werden können. Das Ergebnis zeigte auch hier signifikanten Unterschied.

13 Irodalom - Literatur 1. COCHRAN, W.C.: Some methods for strengthening common X^tests (Biometrics, 10, 1954, p.417-451). - 2. IRWIN, J. is t C: A note on the subdivision of X into oomponents (Biometrika, 36, 1949, p.130-134). - 3. KIMBALL, A.W.: Short-cut formulas for the exact partition of * n contingency tables (Biometrics, 10, 1954, p.452-458). - 4. LANCASTER, H.O.: The exact partition of ^''and its application to the problem of pooling of small expectations (Biometrika, 37, 1950, p, 267-270).

Bükkös patak Pikkelyszám Osztály Eltérés d 8 normál valószin. Elm. Észl. 0-E (0-E) 2 (0-E) 2 47-48 4.74-3.74 1.75-1.38 0.0436 4.05 5 0.95 0.90 0.22 48-49 3.74-2.74 1.38-1.01 0.0726 6.75 9 2.25 5.06 0.75 49-50 2.74-1.74 1.01-0.64 0.1046 9.73 8 1.73 2.99 0.31 50-51 1.74-0.74 0.64-0.27 0.1326 12.33 9 3.33 11.09 0.90 51-52 0.74-0.26 0.27-0.10 0.1463 13.61 10 3.61 13.03 0.96 52-53 0.26-1.26 0.10-0.47 0.1410 13.11 14 0.89 0.79 0.06 53-54 1.26-2.26 0.47-0.84 0.1189 11.06 15 4.05 16.40 1.48 54-55 2.26-3.26 0.84-1.21 0.0871 8.10 8 0.10 0.01 0.00 55-56 3.26-4.26 1.21-1.58 0.0562 5.23 7 1.77 3.13 0.60 56-57 4.26-5.26 1.58-1.95 0.0314 2.92 4 1.08 1.17 0.40 57-58 5.26-6.26 1.95-2.32 0.0155 1.44 3 58-59 6.26-7.26 2.32-2.69 0.0064 0.60 1 1.96 3.84 1.88 n «93; M» 51.74; s 2 = 7.3043; s = 2.703; szabadságfok = 8; értéke - 30-50 $ között. X^= 7.56

2. Táblázat Tapoly Pikkelyszám Osztály Eltérés d s normál valószín. Elm. Észl. 0-E (0-E) 2 47-48 5.32-4.32 1.96-1.59 0.0308 3.51 4 0.49 0.24 0.07 48-49 4.32-3.32 1.59-1.22 0.0555 6.33 5 1.33 1.77 0.28 49-50 3.32-2.32 1.22-0.85 0.0864 9.85 8 1.85 3.42 0.35 50-51 2.32-1.32 0.85-0.49 0.1143 13.03 9 4.03 16.24 1.25 51-52 1.32-0.32 0.49-0.12 0.1402 15.98 16 0.02 0.00 0.00 52-53 0.32-0.68 0.12-0.25 0.1465 16.70 25 8.30 68.89 4.13 53-54 0.68-1.68 0.25-0.62 0.1337 15.24 16 0.76 0.58 0.04 54-55 1.68-2.68 0.62-0.99 0.3 065 12.14 13 0.86 0.74 0.06 55-56 2.68-3.68 0.99-1.35 0.0726 8.28 7 1.28 1.64 0.20 56-57 3.68-4.68 1.35-1.72 0.0457 5.21 4 1.21 1.46 0.28 57-58 4.68-5.68 1.72-2.09 0.0246 2.80 2 0.80 0.64 0.23 58-59 5.68-6.68 2.09-2.46 0.0112 1.28 2 0.72 0.52 0.41 í X - 7.30 n = 111; M m 52.32; s 2 = 7. 3805; s m 2.716; szabadságfok = 9; X értéke «50-70 # között.

Szamos Pikkelyszám Osztály Eltérés d 8 normál valószín. Elm. Észl. 0-E (0-E) 2 (0-E)2 E 48-49 6.27-5.27.1.80-1.51 0.0296 1.33 1 0.33 0.11 0.08 49-50 5.27-4.27 1.51-1.22 0.0458 2.06 3 0.94 0.88 0.43 50-51 4.27-3.27 1.22-0.94 0.0620 2.79 2 0.79 0.62 0.22 52-52 3.27-2.27 0.94-0.65 0.0845 3.80 4 0.20 0.04 0.01 52-53 2.27-1.27 0.65-0.36 0.1016 4.57 6 1.43 2.04 0.45 53-54 1.27-0.27 0.36-0.08 0.1088 4.90 3 1.90 3.61 0.74 54-55 0.27-0.73 0.08-0.21 0.1150 5.18 4 1.18 1.39 0.27 55-56 0.73-1.73 0.21-0.50 0.1083 4.87 8 3.13 9.80 2.01 56-57 1.73-2.73 0.50-0.78 0.0909 4.09 4 0.09 0.01 0.00 57-58 2.73-3.73 0.78-1.07 0.0753 3.39 3 0.39 0.15 0.04 58-59 3.73-4.73 1.07-1.36 0.0554 2.49 1 1.49 2.22 0.89 59-60 4.73-5.73 1.36-1.64 0.0365 1.64 2 0.36 0.13 0.08 60-61 5.73-6.73 1.64-1.93 0.0237 1.07 1 61-62 6.73-7.73 1.93-2.22 0.0135 0.61 1 2.00 4.00 2.00 62-65 7.73-8.73 2.22-2.50 0.0070 0.32 2 n = 45; M 54.27; s 2-12.15; s = 3.486; szabadságfok m 10; L, X érteke 70-80 % között. 7L = 7.22

4. Táblázat Bükkös patak Test magasság Osztály Eltérés d s normál valószín. Elm. Észl. 0-E (0-E) 2 (0-E)2 E 17.5-18.5 3.67-2.67 3.66-2.66 0.0037 0.28 1 18.5-19.5 2.67-1.67 2.66-1.67 0.0436 3.31 3 0.41 0.17 0.05 19.5-20.5 1.67-0.67 1.67-0.67 0.2039 15.50 18 2.50 6.25 0.40 20.5-21.5 0.67-0.33 0.67-0.33 0.3779 28.72 29 0.28 0.08 0.00 21.5-22.5 0.33-1.33 0.33-1.33 0.2790 21.20 20 1.20 1.44 0.07 22.5-23.5 1.33-2.33 1.33-2.33 0.0819 6.22 4 23.5-24.5 2.33-3.33 2.33-3.33 0.0093 0.71 1 1.93 3.72 0.54 n - 76; M =» 21.17; s 2 = 1.0044; s - 1.002; szabadságfok = 2; ^értéke m 50-7O # között. PC 1.06

5. Táblázat Bükkös patak Predorzális távolság Osztály Eltérés d 8 normál valószín. Elm. Észl. 0-E (0-E) 2 E 47.50-48.49 2.85-1.85 2.39-1.55 0.0524 3.93 4 0.07 0.01 0.00 48.50-49.49 1.85-0.85 1.55-0.71 0.1783 13.37 13 0.37 0.14 0.01 49.50-50.49 0.85-0.15 0.71-0.13 0.3129 23.47 24 0.53 0.28 0.01 50.50-51.49 0.15-1.15 0.13-0.97 0.2821 21.16 20 1.16 1.35 0.06 51.50-52.49 1.15-2.15 0.97-1.81 0.1310 9.83 10 0.17 0.03 0.00 52.50-53.49 2.15-3.15 1.81-2.65 0.0310 2.33 3 0.67 0.45 0.19 53.50-54.49 3.15-4.15 2.65-3.49 0.0038 0.29 1 0.71 0.50 0.74 n - 75} M = 50.35; s 2 m 1.4204; s = 1.19; szabadságfok = 4; X^ = 1.01 X X értéke = 90-95 $> között.

6. Táblázat Pikkelyezám Osztály Szamos Bükkös összes Hányados Szamos x hányados 50 vagy kevesebb 4 22 26 0.1538 0.6152 51-52 6 19 25 0.2400 1.4400 53-54 9 29 38 0.2368 2.1312 55-56 12 15 27 0.4444 5.3328 57-58 7 7 14 0.4666 3.2662 59-60 3 1 4 0.7500 2.2500 61 vagy több 4 0 4 1.0000 4.0000 1 45 93 138 0.3260 19.0354 19.0354-14.6700 m 4.3654. 1 9. 8 6 9 8 0.3260 x 0.6739 0.2197 szabadságfok = 6 >*< értéke - 19.8698-1.0-0.1 i» között.