AGYAR GEOFIZIKA TANULÁNY 51. évf. (010) 3. sám, 1 7 Sorfejtéses inverió IV. A nehéségi erőtér potenciálfüggvényének inveriós előállítása DOBRÓKA IHÁLY 1,3, VÖLGYESI LAJOS,4 1 iskolci Egyetem, Geofiikai Intéeti Tansék, 3515 iskolc-egyetemváros Budapesti űsaki és Gadaságtudományi Egyetem, Általános és Felsőgeodéia Tansék, H-151 Budapest 3 TA E űsaki Földtudományi Kutatócsoport, 3515 iskolc-egyetemváros 4 TA BE Fiikai Geodéia és Geodinamikai Kutatócsoport, H-151 Budapest A jelen dolgoat egy cikksoroat rése, amelyben a iskolci Egyetem Geofiikai Tansékén kifejlestett sorfejtéses inveriós módseren alapuló adatfeldolgoásiértelmeési eljárásokat mutatjuk be. A első dolgoatban a Fourier-transformációt újserű megköelítésben inver feladatként tárgyaltuk úgy, hogy a frekvenciaspektrumot sorfejtéssel köelítettük, inveriós váltoónak a sorfejtési együtthatókat tekintve. A második dolgoatban a sorfejtéses inverió módserét a mélyfúrási geofiikai adatok feldolgoására alkalmatuk úgy, hogy a petrofiikai paramétereket mint a mélység függvényeit sorfejtéssel köelítettük, a sorfejtési együtthatókat a inveriós eljárás keretében állítottuk elő. A harmadik dolgoatban a sorfejtéses inverió módserével a gerjestettpotenciál- (GP-)adatok feldolgoására mutattunk be új módsert. Folytatva a alkalmaási lehetőségeket, ebben a dolgoatban a E Geofiikai Tansék és a BE Általános és Felsőgeodéia Tansék együttműködése keretében korábban kidolgoott D eljárás továbbfejlestésével bemutatjuk a nehéségi erőtér 3 dimeniós potenciálfüggvényének inveriós előállítását Eötvös-ingával mért adatok, nehéségi gyorsulás mérésének, függővonal-elhajlás értékeinek és digitális terepmodell adatainak együttes felhasnálásával. A módserrel nem csupán a Eötvös-inga mérési pontjaiban, hanem eek környeetében (a mérési terület bármely pontjában) is meghatároható a teljes Eötvöstenor, és így megkaphatjuk a Eötvös-ingával követlenül nem mérhető vertikális gradiensértékeket is. Eel egyserű lehetőség adódik a Eötvös-inga-mérések átsámítására különböő magasságokra, és megoldható a nehéségi erőtér potenciál-sintfelületeinek analitikus meghatároása. Dobróka,., Völgyesi, L.: Series expansion based inversion IV. Inversion reconstruction of the gravity potential The present study is part of a series of articles in which data processinginterpretation methods are presented which are based on series expansion inverse technique developed by the Department of Geophysics, University of iskolc. In the first paper the Fourier transform was discussed in a new approach as an inverse problem so that the frequency spectrum was approximated by series expansion and the inversion variables were regarded as series expansion coefficients. In the second article the series expansion inverse method was applied for borehole geophysical data processing so that the petrophysical parameters such as functions of depth were approximated by series expansion, the series expansion coefficients were produced within the confines of the inversion method. A new method which processes induced potential (IP) data by series expansion inversion method was presented in the third paper. Now as a continuation we developed the former D solution which was elaborated by cooperation between the Department of Geophysics, U and the Department of Geodesy and Surveying, BUTE, and an inversion reconstruction of 3D gravity potential is presented in this paper which is based not only on the torsion balance and gravity measurements, but also on the deflections of the vertical and digital terrain model data. Applying this method the elements of the full Eötvös tensor including the vertical gradients which are not directly measurable by torsion balance can be determined not only in the torsion balance stations, but anywhere in the surroundings of these points. This gives a simple possibility to transform the torsion balance measurements to different heights and the analytical determination of the equipotential surfaces of the gravity field. Beérkeett: 010. november 11.; elfogadva: 010. november 15. Beveetés agyarorságon a múlt sáadban köel 60000 mérést végetek Eötvös-ingával elsősorban ásványi nyersanyagok kutatása céljából. Napjainkban erre a célra már lényegesen hatékonyabb kutatási módsereket alkalmanak, eért a Eötvös-ingával végett mérések geofiikai hasnosítása helyett a geodéiai hasnosítás került előtérbe. A geofiikai alkalmaások céljára korában csak a x és a y horiontális gradienseket dolgoták fel, a és xy görbületi adatok eddig feldolgoatlanok maradtak. A geodéiában visont éppen a görbületi gradiensek alapján sámíthatók függővonal-elhajlások, amelyeknek többek köött a geoid finomserkeetének meghatároása sempontjából van nagy jelentősége (Völgyesi 1, 1, 001, 005). ISSN 005-010 010 agyar Geofiikusok Egyesülete
Dobróka., Völgyesi L. A Eötvös-ingával végett mérések geodéiai célú felhasnálási lehetőségei a legutóbbi időkben tovább bővültek (Völgyesi et al. 005). A x és a y horiontális gradiensek felhasnálásával a nehéségi erőtér, illetve a gravitációs anomáliák határohatók meg interpolációval (Völgyesi et al. 004, 007), a x és a y horiontális gradiensek és a és xy görbületi adatok együttes felhasnálásával pedig a vertikális gradiensek állíthatók elő a Eötvös-ingával végett mérési pontokban (Haalck 1950, Tóth et al 004, 005, Tóth 007). Valamennyi probléma megoldása sempontjából nagy jelentősége van a potenciálfüggvény előállításának. Amenynyiben meg tudjuk határoni a nehéségi erőtér potenciálfüggvényét, ebből megfelelő irányú első deriváltakkal elő tudjuk állítani a erőtér vektorának össetevőit, a második deriváltak pedig a Eötvös-tenor elemeit adják. A általunk korábban kidolgoott D eljárással megoldottuk a és a xy Eötvös-inga-mérések alapján a nehéségi erőtér potenciálfüggvényének és a potenciálfüggvény valamennyi fontos deriváltjának inveriós előállítását (Dobróka, Völgyesi 005, 008). A alábbiakban a D eljárás továbbfejlestésével a nehéségi erőtér 3D potenciálfüggvényének inveriós rekonstrukciójára adunk megoldást. A 3D inveriós algoritmus ellenőrésére a Sabadsállás Kiskőrös környéki, köel 750 km kiterjedésű területen végetük kísérleti sámításokat. A javasolt módserrel lehetőség nyílik a eddig alkalmaott interpolációs módserek pontosságát felülmúló sámítások elvégésére és a korábban alkalmaott eljárások során felmerülő bionyos problémák áthidalására. Eel kapcsolatos kutatásainkban több résletkérdés még tistáásra sorul, aonban a módser bionyítottan jól működik. A inveriós algoritmus Írjuk fel a nehéségi erőtér potenciálfüggvényét valamely báisfüggvényrendser serinti sorfejtés alakjában! xy (,,) Bl i() xj() yk(), (1) ahol l i + ( j 1)N y + (k 1)N x N y. Báisfüggvényekként pl. hatványfüggvényeket alkalmahatunk. A 1 index a konstans tagot jelöli, és mivel a potenciál konstans erejéig egyértelmű, eért a i j k 1 eset kiárható. A (1) potenciál második deriváltjaiként egyserűen előállíthatjuk a Eötvös-ingával mérhető görbületi adatok (, xy ), illetve a horiontális gradiensek ( x, y ) elméleti értékeit: xy Bl il() x jl() y k(), (a) x y D yy - xx Bl{ jm( y) i( x) - j() y im()} x k(), (b) Bl() x () y l(), (c) x x l i j k B() x l() y l(), (d) y y l i j k ahol a (x), ill. (x) típusú mennyiségekben a vesső a árójelben levő koordináta serinti első, ill. második deriváltat jelenti. Veessük be a q-ik (x q, y q, q ) mérési pontban a alábbi jelöléseket! Sql il( xq) jl( yq) k, Qql { jll( yq) i( xq) - j( yq) ill( xq)} k, Dql il( xq) j( yq) kl, Fql jl( yq) i( xq) kl, amelyekkel a () Eötvös-ingával kapott adatok a q-ik pontban: xy D x y l 1 l 1 l 1 l 1 BS l ql, BQ l ql, BD l ql, BF l ql, ahol N x N y N 1 a sorfejtési együtthatók sáma, S ql, Q ql, D ql, F ql pedig ismertek. A inveriós eljárásho sükséges első deriváltak így írhatók: l i j k x y és sükség van a B() x () y l(), Bl() x () y (), x l i j k B() x l() y (), y l i j k l i j k B() x () y m() második deriváltra is. Alkalmauk a q-ik (x q, y q, q ) mérési pontban a alábbi jelöléseket! Aql i( xq) j( yq) kl, Cql il( xq) j( yq) k, Hql i( xq) jl( yq) k, Rql i( xq) j( yq) kll. Eek sintén kisámítható és mátrixba foglalható elemek, amelyekkel a első derivált adatok a q-ik pontban: x l 1 l 1 BA l ql, BC l ql, agyar Geofiika 513
Sorfejtéses inverió IV. A nehéségi erőtér potenciálfüggvényének inveriós előállítása y l 1 l 1 BH l ql, BR l ql, ahol N x N y N 1 a sorfejtési együtthatók sáma, A ql, C ql, H ql, R ql pedig ismertek. A mért és a értékekből alkotott eltérésvektorok elemei a második deriváltra vonatkoó adatokra: l 1 ( 1) ( e q ) mért q xy - BS l ql, l 1 l 1 ( ) mért eq D - BQ l ql, ( 3) ( e q ) mért q x - BD l ql, ( 4) ( e q ) mért q y - BF l ql, a első derivált adatokra pedig: l 1 l 1 ( 5) ( e q ) mért q - BA l ql, l 1 l 1 ( 6) ( e q ) mért q x - BC l ql, ( 7) ( e q ) mért q y - BH l ql, ( 8) ( e q ) mért q - BR l ql, l 1 ahol ( q ) mért a nehéségi gyorsulás graviméterrel mérhető értéke és ( q ) mért x és yq ( ) mért pedig csillagásati függővonalelhajlásokból sámítható értékek. (A első deriváltak a függővonal-elhajlásból: x gp + U x és y gh + U y, ahol U a ellipsoidi normáltér ismert potenciálfüggvénye, g a átlagos nehéségi gyorsulás, p és h pedig a függővonalelhajlási össetevők.) A minimaliálandó függvény legyen a eltérésvektor L normája! 8 Ns E ( e () s q ), (3) s 1 q 1 ahol N s a s-ik típusú adatok sáma. Vektoros írásmódot alkalmava veessük be a mért ( 1) ( N1) ( 1) ( N) ( 1) ( N3) d { xy, f, xy, D, f, D, x, f, x, ( 1) ( N7) ( 1) ( N8) f, y, f, y,, f, } jelölést! A S ql, Q ql, D ql, F ql, valamint a A ql, C ql, H ql, R ql értékeket egyetlen (a ún. Jakobi-együttható-mátrixba) foglalva: Z Sqj q # N1 ] Gqj [ h. 7 8 ] Rqj Ns 1 q # Ns s 1 s 1 \ A mért és a értékek eltérése: mért e d - G B, és eel a (3) serint: N s 1 q 1 8 E ( ee, ) eq, ahol N Ns. A így definiált inver feladat megoldását a E B l 0, l 1,, feltételrendser alapján felállított egyenletrendserből kapjuk: G G B G d T T mért T B (G G ) -1 T G d. A inver probléma lineáris, megoldásával a sorfejtési együtthatók B vektora meghatároható. A B vektor elemeinek ismeretében a teljes Eötvös-tenor (beleértve a Eötvös-ingával követlenül nem mérhető vertikális gradiens értékeket is), eenkívül pedig a függővonal-elhajlás sámításáho sükséges x, y mennyiségek, továbbá a nehéségi gyorsulás értékek is egaktul sámíthatók nemcsak a mérési pontokban, hanem a teljes mérési területen. Kísérleti sámítások A módser alkalmahatóságának visgálatára a 1. ábrán látható Sabadsállás Kiskőrös környéki területen végetünk kísérleti sámításokat, ahol 48 Eötvös-ingával végett és graviméteres mérés eredményei álltak rendelkeésre. A testterületen három astrogeodéiai és további tí astrogravimetriai pont is található, ahol ismertek a GRS80 rendserre vonatkoó p, h függővonalelhajlás-értékek. A ábrán a pontok a graviméteres mérések, a körök a ingamérések helysínét, a fekete négyetek a astrogeodéiai, a háromsögek pedig a astrogravimetriai pontokat jelölik. A kereten a EOV koordináták láthatók méterben. A területen mind a topográfiai visonyok, mind a Eötvös-ingával végett mérések sűrűsége, valamint a astrogeodéiai állomások átlagos magyarorsági állapotot tükrönek. A. és 3. ábrán a, a 4. és 5. ábrán a xy görbületi gradiensek, a 6. és 7. ábrán a x, a 8. és 9. ábrán pedig a y horiontális gradiensek iovonalas térképe látható. A., 4., 6. és 8. ábrán a 48 Eötvös-ingával végett mérés alapján megserkestett kép, a 3., 5., 7. és 9. ábrán pedig a inveriós eljárással előállított kép látható. A ábrákon a iovonalak lépésköe 5 E. (1 E 1 Eötvös-egység 10 9 s ). A ábrákat úgy csoportosítottuk, hogy a Eötvös-ingával mért eredeti és a ellenőrés céljából inveriós rekonstrukcióval előállított képek egymás mellett követlenül össehasonlíthatók legyenek. A, xy, x és a y gradiensek., 4., 6. és 8. ábrán látható meglehetősen váltoatos képe at vetítette előre, hogy esetünkben a potenciáltér sorfejtéses leírása csak visonylag magas foksámú polinomokkal válik lehetővé. A inveriós feladat megoldása során meghatárotuk mindaon sorfejtési együtthatókat, amelyek segítségével a teljes testterületre előállítható mind a nehéségi erőtér potenciálfüggvénye, mind a potenciálfüggvény valamennyi első és második deriváltja. Össehasonlítva például a. és 3., illetve a 4. és 5. ábrá kon a Eötvös-ingával mért, valamint a együttes inverióval előállított és xy görbületi agyar Geofiika 513 3
Dobróka., Völgyesi L. 10 639 109 88 108 104 108 107 116 101 10 106 109 110 100 11 111 116 117 19 11 119 118 113 15 98 97 96 95 94 16 163 99 157 159 100 150 158 156 101 145 153 113 117 118 119 115 11 111 10 140 155 116 114 103 147 146 154 105 104 138 141 106 136 151 114 110 111 113 103 115 114 104 105 107 137 108 139 117 110 109 111 1018 11 _IZSK 113 101 114 99 63 110 634 109 115 104 635 106 105 100 636 105 103 637 106 107 107 108 638 93 9 164 91 1. ábra Graviméteres és Eötvös-inga-mérési helyek, valamint a astrogeodéiai és a astrogravimetriai pontok a test terület topográfiai térképén. A kereten a EOV koordináták, jobb oldalon a magasságok láthatók méterben Figure 1 Locations of the gravity and torsion balance stations, besides the astrogeodetic and astrogravimetric points on the topo-graphic map of the test area. Coordinates are in meters in the Hungarian Unified National Projections (EOV) system gradiensek képét, a egyeés igen jónak mondható, de ugyane a jó egyeés tapastalható a x és a y horiontális gradiensek esetében is a 6. és 7., illetve a 8. és 9. ábrákon. 10 639 109 88 108 104 108 107 110 10 109 110 100 11 111 105 116 114 117 11 19 4 113 103 115 111 110 119 104 119 114 111 118 113 117 138 141 15 154 108 104 108 109 110 150 158 10 106 100 11 111 105 113 156 157 159 163 116 16 164 114 117 11 113 19 111 110 119 119 114 113 111 118 117 115 138 141 15 113 156. ábra Eötvös-ingával mért területi eloslása 3. ábra A inverióval előállított területi eloslása Figure Isoline map of measured by torsion balance Figure 3 Isoline map of from joint inversion 150 158 145 153 155 147 140 146 151 154 136 137 116 114 11 139 117 116 118 _IZSK 101 1018 99 63 110 109 115 104 103 115 115 104 634 635 101 145 153 155 106 105 100 636 105 107 140 146 151 147 103 637 106 107 136 137 116 114 11 107 108 638 118 139 101 106 109 88 117 _IZSK 116 10 639 101 1018 99 63 115 634 109 635 104 106 105 100 636 105 103 637 106 107 107 108 638 Tapastalataink serint a sámításainkban alkalmaott Legendre-polinomok foksámának meghatároásakor körültekintően kell eljárnunk, mert a foksám növelésével kedetben lassan, majd egyre gyorsabban csökken a megol- 157 159 163 16 164 agyar Geofiika 513
Sorfejtéses inverió IV. A nehéségi erőtér potenciálfüggvényének inveriós előállítása 10 639 88 109 108 104 108 110 99 116 10 109 110 100 11 111 103 114 119 113 115 104 108 107 110 99 116 145 153 109 110 150 158 154 10 106 100 11 111 155 157 103 164 19 11 119 111 113 119 163 5. ábra A inverióval előállított xy területi eloslása Figure 4 Isoline map of xy measured by torsion balance Figure 5 Isoline map of xy from joint inversion 10 109 88 108 104 116 101 10 106 109 110 100 11 111 103 114 117 19 11 113 119 111 113 119 104 145 115 109 110 150 158 113 157 100 11 111 16 163 114 116 159 156 115 110 116 164 117 103 19 11 113 104 105 119 113 119 115 163 Figure 6 Isoline map of x measured by torsion balance Figure 7 Isoline map of x from joint inversion 109 88 108 104 108 107 110 116 10 109 110 100 11 111 105 116 114 117 11 113 19 103 115 111 110 119 104 119 114 118 113 111 118 117 15 104 108 116 115 10 109 110 150 113 163 157 159 156 100 11 111 105 116 16 164 114 117 11 113 19 111 110 119 104 103 119 114 118 113 111 118 115 138 141 15 113 156 8. ábra Eötvös-ingával mért y területi eloslása 9. ábra A inverióval előállított y területi eloslása Figure 8 Isoline map of y measured by torsion balance Figure 9 Isoline map of y from joint inversion agyar Geofiika 513 150 158 145 153 155 147 140 146 151 154 136 137 116 114 11 117 139 117 _IZSK 116 101 1018 99 63 110 115 109 104 634 635 101 106 153 155 106 105 100 636 105 107 145 158 154 108 140 146 151 147 138 141 107 136 137 103 637 106 115 114 11 107 108 638 139 101 106 109 117 88 _IZSK 10 639 101 1018 99 63 115 634 109 635 104 106 105 100 636 105 103 637 106 107 107 108 638 16 164 A inverióval előállított x területi eloslása 10 157 159 156 7. ábra 150 158 Eötvös-ingával mért x területi eloslása 639 145 153 155 6. ábra 147 140 146 154 113 117 118 116 114 11 141 15 138 151 111 118 136 137 139 117 114 110 111 _IZSK 101 1018 99 63 109 634 635 104 10 106 153 155 106 108 107 105 100 636 101 146 154 116 114 117 118 108 105 115 11 111 147 140 15 138 141 107 103 637 106 136 137 151 118 114 110 115 116 104 105 107 108 638 139 117 109 88 101 1018 _IZSK 10 639 63 99 110 634 109 115 635 104 105 106 108 107 100 636 105 103 637 106 107 107 108 638 16 164 Eötvös-ingával mért xy területi eloslása 639 157 159 156 4. ábra 150 158 145 153 155 113 117 118 115 146 154 116 114 11 111 147 140 15 138 141 151 118 114 110 113 117 16 163 114 116 159 156 104 105 136 137 139 117 _IZSK 101 1018 63 115 109 634 635 104 106 105 100 636 105 115 113 117 118 119 116 114 11 111 108 140 15 147 146 151 118 114 110 111 19 11 113 117 115 116 104 105 138 141 107 101 101 106 136 137 103 637 106 139 117 107 108 638 109 88 _IZSK 101 1018 10 639 63 115 109 634 635 104 106 105 100 636 107 105 103 637 106 107 107 108 638 157 159 163 16 164 5
Dobróka., Völgyesi L. 10 639 109 88 108 104 108 99 10 109 110 100 11 111 105 114 117 11 19 10. ábra A együttes inverióval előállított potenciáltér (a iovonalak lépésköe 0,1 ms) és a függővonal-elhajlások vektorábrája Figure 10 Computed potential field from the joint inver-sion (isoline interval is 0.1 ms) and the vector field of the deflections of the vertical 113 103 115 116 111 110 119 104 119 114 118 113 111 118 117 115 138 141 15 155 113 150 157 159 156 145 153 158 154 147 140 146 151 116 114 11 136 137 139 117 101 106 _IZSK 101 1018 116 63 110 115 634 109 635 104 106 105 100 636 107 105 103 637 106 107 107 108 638 163 16 164 1. ábra A inverióval előállított g () területi eloslása Figure 1 Isoline map of gravity from joint inversion dandó normálegyenletek együtthatómátrixának kondicionáltsága, a foksám csökkentésével visont romlik a felbontóképesség. Visgálataink serint a P 18 4 köötti érték általában jó kompromissumnak látsik a felbontóképesség és a normálegyenletek kondicionáltsága vonatkoásában sámításaink során a P 19 foksámig terjedő Legendrepolinomokat alkalmatuk. A sorfejtési együtthatók ismeretében lehetőség van a nehéségi erőtér potenciálfüggvényének, valamint a potenciálfüggvény első deriváltjainak meghatároására is. A 10. ábrán egy additív állandó erejéig együttes inverióval meghatároott potenciálmeő látható. A ábrán a iovonalak lépésköe 0,1 ms. A 11., 1., 13. és 14. ábrák a potenciáltér első deriváltjainak iovonalas térképeit mutatják be. A iovonalas lépéskö 0,5 mgal (1 mgal 10 5 ms ). A potenciáltér iovonalas 6 Computed x from the joint inversion Figure 13 A inverióval előállított x területi eloslása 13. ábra 11. ábra Graviméterrel mért g () területi eloslása 14. ábra A inverióval előállított y területi eloslása Figure 11 Gravity g () measured by gravimeters Figure 14 Computed y from the joint inversion agyar Geofiika 513
Sorfejtéses inverió IV. A nehéségi erőtér potenciálfüggvényének inveriós előállítása 887 100 1_EBDL 10 639 109 108 107 635 638 637 636 88 106 104 103 105 105 634 63 _IZSK 107 104 99 101 1018 106 109 A általunk korábban kidolgoott D eljárás továbbfejlestésével megoldottuk a nehéségi erőtér 3 dimeniós potenciálfüggvényének inveriós előállítását. A bemutatott módser a potenciálfüggvény nagysámú Eötvös-inga- és graviméteres mérés, valamint digitális terepmodelladatok és néhány függővonalelhajlás-adat együttes inveriójának felhasnálásával történő meghatároására nyújt lehetőséget. A így rekonstruált potenciálfüggvényből sámos gyakorlati fontosságú mennyiséget (pl. vertikális gradienseket, függővonal-elhajlásokat) sármatathatunk le a visgálati terület bármely pontjában. A eljárás előnye, hogy mindet egy jelentősen túlhatároott inver probléma megoldásával tehetjük. 108 110 117 139 137 138 136 147 Kösönetnyilvánítás térképe, mely a 10. ábrán látható, gravitációs mérésen alapsik. A geodéia sámára igen fontos függővonal-elhajlások sámításáho a x és y mennyiségek ismerete sükséges, ugyanis a p és a h értékek a p x g és a h y g össefüggések alapján sámíthatók. Eeknek a x és y első deriváltaknak a területi eloslását láthatjuk a 13. és 14. ábrán. indemellett a 10. ábrán egyúttal a függővonal-elhajlások vektorait is bemutatjuk a együttes inveriós megoldásából, ahol a vektorok hossát a i [p + h ] 1 össefüggés alapján uk. Végül, amint jeletük, a inveriós eljárással lehetőség nyílik a Eötvös-ingával követlenül nem mérhető vertikális gradiensek meghatároására is. A testterületünkre vonatkoó vertikális gradiensek területi eloslása a 15. ábrán látható. A így meghatároott vertikális gradiensek ellenőrésére eddig nem volt lehetőségünk, ebből a célból néhány ellenőrő pontban vertikális gradiens méréseket terveünk. Össefoglalás 107 108 115 141 116 140 101 10 151 146 106 105 104 145 109 100 15 110 114 153 103 111 150 111 11 110 154 158 115 114 113 155 116 157 113 114 116 117 11 19 119 111 11 118 119 118 117 115 113 156 159 163 164 15. ábra A inverióval előállított vertikális gradiensek Figure 15 Computed vertical gradients from the joint inversion 16 Kutatásaink a K60657, K7631 és T-03799 OTKA támogatásával folynak. A serők kösönetet mondanak a agyar Tudományos Akadémiának a TA E űsaki Földtudományi Kutatócsoport, (3515 iskolc-egyetemváros) és a TA BE Felsőgeodéia és Geodinamikai Kutatócsoport (H-151 Budapest) támogatásáért. Hivatkoások Dobróka., Völgyesi L., (005): A nehéségi erőtér potenciálfüggvényének inveriós rekonstrukciója Eötvös-inga adatok alapján. Geomatikai Kölemények, VIII, 3 30 Dobróka., Völgyesi L., (008): Inversion reconstruction of gravity potential based on gravity gradients. athematical Geosciences, 403, 99 311 Haalck H., (1950): Die vollständige Berechnung örtlicher gravimetrischer Störefelder aus Drehwaagemessungen. Veröffentlichungen des Geodätischen Institutes Potsdam, Nr. 4, Potsdam Tóth Gy., Völgyesi L., Csapó G., (004): Determination of vertical gradients from torsion balance measurements. IAG International Symposium, Gravity, Geoid and Space issions. Porto, Portugal August 30 September 3, 004 Tóth Gy., Völgyesi L., Csapó G., (005): Determination of vertical gradients from torsion balance measurements. IAG Symposia Vol. 19, Gravity, Geoid and Space issions, C. Jekeli, L. Bastos, J. Fernandes (Eds.), Springer, 9 97 Tóth Gy., (007): Vertikális gravitációs gradiens meghatároás Eötvös-inga mérések hálóatában. Geomatikai Kölemények, X, 9 36 Völgyesi L., (1): Interpolation of deflection of the vertical based on gravity gradients. Periodica Polytechnica Civ. Eng., 37, 137 166 Völgyesi L., (1): Test interpolation of deflection of the vertical in Hungary based on gravity gradients. Periodica Polytechnica Civ. Eng., 391, 37 75 Völgyesi L., (001): Local geoid determinations based on gravity gradients. Acta Geodaetica et Geophysica Hung., 36, 153 16 Völgyesi L., Tóth Gy., Csapó G., (004): Determination of gravity anomalies from torsion balance measurements. Gravity, Geoid and Space issions GGS 004. IAG International Symposium Porto, Portugal. Jekeli C, Bastos L, Fernandes J. (Eds.) Springer Verlag Berlin, Heidelberg, New York; Series: IAG Symposia, Vol. 19, 9 97 Völgyesi L, Tóth Gy, Csapó G, Sabó Z (005): A Eötvösingamérések geodéiai célú hasnosításának helyete agyarorságon. Geodéia és Kartográfia, 575, 3 1 Völgyesi L., (005): Deflections of the vertical and geoid heights from gravity gradients. Acta Geodaetica et Geophysica Hungarica, 40, 147 159 Völgyesi L., Tóth Gy., Csapó G., (007): Determination of gravity field from horiontal gradients of gravity. Acta Geodaetica et Geophysica Hungarica, 41, 107 117 agyar Geofiika 513 7