IDEIGLENES PÉLDATÁR vegyészhallgatók számára A Kémiai Matematika c. tantárgyhoz kézirat gyanánt Összeállította: Surján Péter Szabados Ágnes Lázár Armand ELTE TTK Elméleti Kémia Tanszék
ELŐSZÓ Ez a példatár a II. éves vegyészhallgatók számára készül a Kémiai Matematika c. tantárgyhoz kapocsolódó számolási gyakorlatok segédanyagaként. Az ideiglenes jelző arra utal, hogy bár folyamatosan javítjuk és fejlesztjük még sok fontos példa hiányzik, a meglévő példák összeállítása, sorrendje több helyen esetleges, nehézségi fokuk nem kiegyensúlyozott. Az idén először közreadott megoldások hibát is tartalmazhatnak ezek megkereséséhez és kijavításához kérjük a T. kollégák szemfüles segítségét. A jelen kiadás hiányos is, mert nem tartalmazza a kvantummechanikai példák egy részének megoldását. Mindezen negatívumok ellenére azt gondoltuk, hogy az ideiglenes példatár közreadása felbecsülhetetlen segítséget jelent az anyag elsajátításához. A példák forrása részben az elmúlt években kialakult rend szerint a gyakorlatokon megoldásra kerülő feladatai, részben az elmúlt évek zárthelyi dolgozatainak példái. Kivételt képez a csoportelmélet és a kvantummechanika fejezet, amely jórészt az Elméleti Kémia Tanszék korábbi, még a Kémiai Matematika c. tantárgy bevezetése előtt összeállított és sokszorosítva rendszeresen közreadott feladatait tartalmazza. A példákat három nehézségi fokú csoportba soroltuk. A jelöletlen feladatok ezek vannak a legtöbben a legkönnyebbek, ezeket mindenkinek meg kell tudni oldani. A *-gal jelölt feladatok középnehezek, ezek megoldását a jobb érdemjegyet igénylőktől követeljük csak meg. Végül ** jelöli az érdekesebb feladatokat, amelyeket nem kérünk számon, csak szorgalmi jelleggel ajánljuk az anyagon túlmenő érdeklődésű kollegáknak. A példák megoldásához sok sikert kívánunk. Budapest, szeptemberében Surján Péter
4
Tartalomjegyzék I. Példák 7. Bevezető számolási gyakorlatok 7. Határérték; a rend fogalma 7 3. Egyváltozós differenciálás és integrálás 4. Többváltozós differenciálás 9 5. Többváltozós integrálás 6. Szélsőértékszámítás, variációszámítás 7. Koordinátarendszerek. Komplex függvények 3 9. Lineáris terek és operátorok, mátrixszámítás 4. Differenciálegyenletek 7. Ortogonális polinomok, speciális függvények 9. Csoportelmélet 3. Kvantummechanikai alkalmazások 3 II. Megoldások 7. Bevezető számolási gyakorlatok 7. Határérték; a rend fogalma 7 3. Egyváltozós differenciálás és integrálás 4. Többváltozós differenciálás 3 5. Többváltozós integrálás 3 6. Szélsőértékszámítás, variációszámítás 33 7. Koordinátarendszerek 37. Komplex függvények 39 9. Lineáris terek és operátorok, mátrixszámítás 4. Differenciálegyenletek 4. Ortogonális polinomok, speciális függvények 53. Csoportelmélet 53 3. Kvantummechanikai alkalmazások 6 III. Függelék 6. Néhány gyakrabban előforduló pontcsoport karaktertáblája 6. A hidrogén atom sajátfüggvényei 3 7 3. Lexikai minimum kémiai matematikából 7. Analízis blokk 7. Csoportelmélet 7
6
7 I. PÉLDÁK. Bevezető számolási gyakorlatok.. Egyszerűsítsük a következő kifejezéseket:. κ n k n. a + 3. κ + λ k j a j+ n i k i k+ k.. Legyen A i a i és B i b i. Igaz-e, hogy AB i a ib i?.3. Tekintsük az alábbi mennyiséget: N N N C L kj v j L li w l v i k w k j i,l. Lecserélhető-e a j összegző index k -ra?. Lecserélhető-e az i összegző index l -re? 3. Lecserélhető-e a k összegző index j -re, ha ugyanakkor a j -t k -ra változtatjuk? 4. Lecserélhető-e a k összegző index i -re vagy l -re? 5. Lecserélhető-e a j összegző index i -re vagy l -re? 6. Egyszerűsítsük a kifejezést! 7. Írjuk fel a kifejezést indexek nélkül mátrixos, vektoros jelöléssel!.4. Mit adnak az alábbi összegzések:.. 3 δ ik δ kj k 3 k,i δ ik δ ki 3. 3 i,j,k δ ij δ ij δ ik a Kronecker-delta. Határérték; a rend fogalma.. Számítsuk ki az alábbi n határértékeket:. a n n + 4 n. a n n n 3. a n n n + 4. a n cosn n 5. a n 5n + 7n + 9 6. * a n n k n k + 4 n + 7n.. Legyen F ε aε + bε ε + Adjuk meg O4-ig! 4n + 3.3. Közelítsük O3 -ig az alábbi kifejezést: F + ɛ + ɛ.4. Közelítsük kis x-re O3-ig az e cosx kifejezést!.5. Számítsuk ki az alábbi határértékeket:. lim x x 5 x 4. lim x 3. lim x x + x x 3 x sinx
4. lim x sinx x.6. Becsüljük meg a sin o kifejezés értékét!.7. Közelítsük számológép nélkül az alábbi számot: exp arctg 3 3.6. Tekintsük azt az fx függvényt, amelyik y-nél 45 o -os szögben metszi az y tengelyt, és amelyre igaz, hogy fx + x fx.fx. Számítsuk ki a df/ dx deriváltat! 3.7. Végezzük el az alábbi integrálásokat:. dx. x 4 dx 3. Egyváltozós differenciálás és integrálás 3.. Igazoljuk a kis változások módszerével, hogy d dx x3 3x 3.. Deriváljuk az alábbi függvényeket:. fx x + 3. fx x + 5x 3x 3x 3. fx + x 4. fx 3e 4x [ + x + 6x ] 5. fx x x 6. fx x gy dy 7. ** fx x gx, y dy 3.3. Legyen y sinz és z x +. Adjuk meg a dy dx deriváltat! 3.4. Fejtsük Taylor-sorba az fx e sinx függvényt az origó körül! 3.5. Fejtsük Taylor-sorba az fx, y e x+y függvényt! 3. x dx 4. 6x 4 3x + x + 7 dx 5. tgx dx 6. x + x dx 7. e x e x + dx. lnx dx 9. cos x dx. 4 4x dx. xe x dx. e x sine x dx 3. x cosx dx 4. e x sine x dx 3.. Számítsuk ki az alábbi integrálok értékét szükség esetén használjunk integráltáblázatot:.. 3. 4. π/ x cosx dx x 5 e x dx x e x dx x e x dx
9 5. 6. x e x dx x e + dx 4. Többváltozós differenciálás 4.. Adjuk meg az alábbi függvények parciális deriváltjait!. fx, y. fx, y x x + y lnx.y 3. fx, y ln x + y 4. Ψx, y, z e x +y +z 4.. Ellenőrizzük a Young tétel érvényességét az alábbi függvény példáján: 4.3. Számítsuk ki az fx, y fx, y x + y 3 függvény gradiensét a síkban! x x + y y 4.6. Írjuk föl az fx, y 5x 3y 3 + x y függvény teljes deriváltját! 4.7. Az ideális gáz állapotegyenlete pv nrt, ahol R állandó. Tekintsük n-et is konstansnak. Hogyan változik a gáz hőmérséklete, ha nyomását kicsiny p-vel, térfogatát kicsiny V -vel megváltoztatjuk? 4.. Reális gáz nyomását kicsiny dp -vel, térfogatát dv - vel növeljük. Hogyan változik a hőmérséklete? Állapotegyenlet: p + a V b RT V ahol a, b, és R: const. 4.9. Az atommag elektromos potenciálja Φ Z r. Számítsuk ki a térerősség vektorát! Mennyi ennek a vektornak az abszolút értéke a tér egyes pontjaiban? 4.. Igazoljuk az alábbi azonosságokat:. div rot v. rot grad Φ 4.. Legyen vr r. Számítsuk ki ennek a centrális térnek a divergenciáját! 4.4. Legyen Φx, y, z sinx + y + z Számítsuk ki Φ gradiensét! 4.. Számítsuk ki az E r r 3 Coulomb tér divergenciáját! 4.5. Legyen fx, y, z x +y +z n, n >. Számítsuk ki f -t a 3 dimenziós térben! 4.3. ** Igazoljuk, hogy div v értéke invariáns a koordináta rendszer elforgatására!
4.4. ** Igazoljuk, hogy operátor Descartes-alakja invariáns a koordináta rendszer elforgatására! 4.5. Legyen Φ x.y.z 3 és a xzi y j + x yk, ahol i, j, k az x, y, z irányú egységvektorokat jelöli. Adjuk meg div a-t és rot Φa-t! 5.. Végezzük el az integrálást! 5. Többváltozós integrálás x x + y dx dy 5.. Számítsuk ki az fxx parabola ívének hosszúságát az, és a,4 pontok között! 5.3. Milyen hosszú a lánc az y tengely x- és x+ pontjai között kifeszítve? A láncgörbe : y y + chx, ahol y konstans. 5.4. Számítsuk ki a kör kerületét ívhosszintegrállal! 5.5. Határozzuk meg az y x parabola és az y x + egyenes által közrezárt tartomány területét kettős integrállal! 5.7. Számítsuk ki a kör területét kettős integrállal! 5.. Számítsuk ki a gömb felszínét! 5.9. Számítsuk ki a gömb térfogatát! 5.. * Számítsuk ki az ellipszis területét kettős integrállal! 5.. Adjuk meg a vr v x, v y x, yx vektortér v x dx + v y dyvonalintegrálját az y x + L egyenes mentén x -tól x -ig integrálva! 5.. * x Határozzuk meg az Fr x + y i + y x + y j vektortér integrálját az L { rϕ i cosϕ + j sinϕ + kϕ ϕ [, π] } görbe mentén! i, j, k a Descartes bázisvektorok, x, y, z a helyvektor komponensei; az L görbe az egységsugarú henger palástján emelkedő spirált ír le, a görbe paramétere a henger koord. rendszer ϕ szöge 5.3. Mit ad az ur gradφr vektormező integrálja az A,, és a B, 3, 5 pontokat összekötő tetszőleges görbére, ha Φr x 3 yz? 5.6. Vázoljuk fel az y x, x, és y függvények által határolt R területet. Számítsuk ki a x + y dx dy integrált! R 6. Szélsőértékszámítás, variációszámítás 6.. Hol lehet szélsőértéke az fx x e x függvénynek? 6.. Hol lehet szélsőértéke az fx, y x y függvénynek
az x + y mellékfeltétellel? 6.3. Állapítsuk meg a Hess mátrix segítségével, hogy vane szélsőértéke az alábbi kétváltozós függvénynek: fx, y xy + x + y 6.4. Hol veszi föl az fx, y xy + x + y függvény legnagyobb ill. legkisebb értékét az sugarú kör mentén? 6.. Hol lehet szélsőértéke a funkcionálnak a mellékfeltétellel? Jf π/ π/ cosxfx dx f x dx 6.5. Hol veszi föl az fx, y, z xy + yz függvény legnagyobb ill. legkisebb értékét az sugarú gömb felületén? 6.6. Hol lehet szélsőértéke az fx, y, z x + 4 y + 9 függvénynek az x + y + z z figyelembevételével? mellékfeltétel 6.7. Vizsgáljuk az fx, y e x.y függvényt! a Mely x, y pontban stacionárius? b Határozzuk meg ebben a pontban a normálkoordinátákat, mint a Hess mátrix sajátvektorait! c Döntsük el a sajátértékek alapján, hogy van-e szélsőértéke a függvénynek! 6.. Hol lehet szélsőértéke az alábbi funkcionálnak? b Jf f 3 xx f xx 3 dx a 6.9. Hol lehet szélsőértéke az alábbi funkcionálnak? Jf b a [fx ln fx fx] dx 6.. Melyik fx függvény teszi stacionáriussá a Jf x fx dx funkcionált azzal a mellékfeltétellel, hogy fx normált az L [,] téren? 6.. * Tekintsük az alábbi funkcionált: Jf f x f x dx Ennek keressük a szélsőértékét az f és f határfeltételek mellett. Mutassuk meg, hogy a φx x + cx x próbafüggvény minden c-re kielégíti a határfeltételeket! Mennyi a c paraméter optimális értéke? Ritz-módszer Oldjuk meg egzaktul is a problémát! 6.3. Legyen v x,y -dimenziós normált vektor. Minimalizáljuk az E v Hv skalárszorzatot az x + y mellékfeltétellel, ha H 6.4. Egy menekülőnek az A pontból a B pontba kell
futnia. Az út először rögös terepen vezet; itt v sebességgel tud futni. Egy határvonal után szabadabb terepen v sebességgel futhat. Milyen szög alatt fusson, hogy legrövidebb idő alatt érjen oda? 7.9. ** Tudjuk, hogy az x R µ ν cosφ 7. Koordinátarendszerek y R µ ν sinφ 7.. Adjuk meg az x, y 3,.5 pontot síkbeli polárkoordinátákban! 7.. Adjuk meg az x, y, z,, pontot térbeli polárkoordinátákban! 7.3. Mik a Descartes-koordinátái az r, φ, π/ pontnak? z R µν transzformációt végrehajtva egyenleteinket a µ, ν, és φ ortogonális koordinátarendszerben írhatjuk fel elliptikus koordináták. Hogy fest a metrikus mátrix az elliptikus koordinátarendszerben? 7.. Szemléltessük rajzban azt a tényt, hogy a síkbeli polárkoordináta-rendszer térfogateleme dτ r dr dφ! 7.4. Mik a Descartes-koordinátái az r, θ, φ, π/4, π pontnak? 7.. * Mi a szemléletes magyarázata a térbeli polárkoordináta-rendszer térfogatelemét megadó dv r dr sin θ dθ dφ képletnek? 7.5. Számítsuk ki a síkbeli polárkoordiáta-rendszer Jacobi determinánsát! 7.6. Számítsuk ki a térbeli polárkoordiáta-rendszer Jacobi determinánsát! 7.7. Írjuk fel a síkbeli polárkoordiáta-rendszer metrikus mátrixát! 7.. Írjuk fel a térbeli polárkoordiáta-rendszer metrikus mátrixát! 7.. * Legyen fx, y, z fr gömbszimmetrikus függvény. Számítsuk ki f-et! Útm.: tekintsük fr hatványsorát, beleértve a negatív kitevőjű tagokat is. Mit lehet mondani az fr /r esetről? 7.3. Végezzük el az alábbi integrálást: e x +y dx dy 7.4. Számítsuk ki az alábbi térfogati integrált: [ e x +y +z ] 7 3 x + y + z dx dy dz
3 7.5. * Az a és a b pontba az ábra szerint elhelyezzük a χ a e r a ill χ b e r b függvényeket, ahol r a és r b az a és a b pontoktól mért távolságot jelenti. Számítsuk ki a χ a χ b skalárszorzatot! Átfedési integrál.. Vizsgáljuk meg, hogy analitikusak-e az alábbi függvények az egész komplex számsíkon: a. cosz b. sinz χ a R. Komplex függvények χ b.. Adjuk meg a z 4 + egyenlet gyökeinek valós részét! Rajzoljuk föl a gyököket a komplex számsíkon! c. e z d. cosz z e. sinz z f. ez z.9. Hol analitikusak az alábbi függvények?.. Melyik az a j szám, amelyre j i? a. fz fx + iy x y + ixy b. fz fx + iy x + y + ix + y.3. Bizonyítsuk be, hogy i i e π/ Mi az érdekessége ennek a képletnek?.4. Válasszuk szét az fz z képzetes részét! függvény valós és.5. Válasszuk szét az fz sinz függvény valós és képzetes részét!.. Deriváljuk le a z n e z komplex függvényt!.. Adjuk meg az ez függvény Laurent-sorát! z4 Hol analitikus ez a függvény?.. Vizsgáljuk az fz komplex függvényt! z a. Válasszuk szét a valós és képzetes részeket! b. Állapítsuk meg, hogy hol analitikus fz?.6. Írjuk fel az fz sinz függvényt exponenciális alakban!.3. Határozzuk meg a ze z függvényét! komplex függvény primitív.7. Hogy fest az fz sinz függvény domborzata?.4. ** Milyen feltételnek kell eleget tegyen egy komplex függvény, hogy egy végtelen sugarú origó
4 középpontú félkör mentén vett integrálja eltűnjön?.5. Számítsuk ki az alábbi valós integrált a komplex sík alkalmasan választott kontúrján integrálva!.6. Számítsuk ki az integrált! dx 4 + x cosx + x dx 9. Lineáris terek és operátorok, mátrixszámítás 9.. Normáljuk az alábbi vektort : a,, 4, 5 9.. Számítsuk ki az a b skalárszorzatot, ha a, i, 3 és b,, i! 9.3. Egyszerűsítsük az alábbi kifejezéseket: a. e iα x e iα x b. a + ibx y. x a + iby 9.4. Legyen a és b két ortonormált vektor a Hilbert térben. Bizonyítsuk be, hogy a c c a a + b b c vektor ortogonális a -ra és b -re! 9.5. Adott a síkon két vektor, e, 3 és e 3,. a Ortogonális-e a két vektor? Normáljuk e -t és e -t! b Fejtsük ki a v, vektort a normált e és e alkotta bázison! 9.6. Határozzuk meg az alábbi mátrix inverzét: A Mikor létezik az inverz? x 9.7. Határozzuk meg az alábbi mátrixok determinánsát, sajátértékeit és normált sajátvektorait! a. A 5 5 b. * B i 3 9.. Számítsuk ki az alábbi két mátrix kommutátorát: A 9.9. Felcserélhető-e 3 4 3 B. két diagonális mátrix szorzása; 5. egy általános és egy diagonális mátrix szorzása? 9.. Kommutál-e az alábbi két mátrix? cos α sin α cos β sin β A sin α cos α B sin β cos β 9.. Igazoljuk, hogy az alábbi mátrix unitér, és írjuk fel az inverzét!
5 A 3 3 3 6 6 6 a projekciós operátort, amelyik erre az egyenesre vetít! Keressük meg a v, vektornak az egyenesre eső vetületét! 9.. Adott a sík v, 3 vektora. Forgassuk el 3 o -kal pozitív irányba! Mik az új komponensek? 9.3. * Számítsuk ki az A π 4 mátrix cosinusát! 9.4. Mivel egyenlő  + ˆB, ha  és ˆB nem kommutáló operátorok? 9.5. Igazoljuk [ az alábbi [ azonosságot: ]] ]] [Â, ˆB, Ĉ]] + ˆB, [Ĉ,  + [Ĉ, [Â, ˆB 9.6. Igazoljuk, hogy  ˆB ˆB Â! 9.7. Igazoljuk, hogy  ˆB ˆB Â! 9.. Legyen  lineáris operátor. Lineáris-e az  operátor? 9.9. Megvizsgálandó, hogy két hermitikus operátor a összege b lineáris kombinációja c szorzata hermitikus-e. 9.. Adott az y 3x egyenes a síkban. Írjuk fel azt 9.. Igazoljuk, hogy ha ˆP tetszőleges projektor, akkor az + ˆP operátor invertálható, és az inverz ˆP. 9.. Adott egy n dimenziós tér ortonormált bázisa,,,..., n. A ˆP k k operátor a k-adik bázisvektorra vetítő projektor. a Mik lehetnek a ˆT Î ˆP tükröző operátor sajátértékei? Î az egységoperátor b Mivel egyenlő a ˆT operátor? 9.3. Mutassuk meg, hogy ha ˆT Î ˆT tükröző operátor, akkor ˆP Î + ˆT projektor. Hogyan fest a ˆP -re ortogonális ˆQ Î ˆP projektor? Î az egységoperátor 9.4. * Mutassuk meg, hogy ha ˆP projektor, akkor exp ˆP Î + e ˆP! 9.5. Egy kétdimenziós tér két ortonormált bázisvektora u és v. Adjuk meg a ˆQ u v operátor spúrját! 9.6. ** Legyen α és β két normált, egymásra merőleges vektor. Tekintsük az operátorokat. ŝ x α β + β α ŝ y i α β + β α ŝ z α α β β a Építsük fel az ŝ x, ŝ y, ŝ z operátorok mátrixát az α, β bázisán! Ezek a Pauli-mátrixok, feles spinű részecskék spin-impulzusmomentumának x, y, z koordinátájához rendelhetők.
6 b Mutassuk meg, hogy [ŝ x, ŝ y ] iŝ z, [ŝ y, ŝ z ] iŝ x és [ŝ z, ŝ x ] iŝ y! c Ellenőrizzük, hogy az operátorok mátrixai is kielégítik az előző pontban szereplő kommutációs szabályokat! 9.3. Az L [,] térben adott fx x + 3x 4 és gx x 3 5x. Számítsuk ki a skalárszorzatukat! d Szerkesszük meg az ún. léptető operátorokat vagy azok mátrix reprezentációját, amelyek az alábbiak szerint hatnak: 9.33. Milyen messze van egymástól a 9.3. szereplő két függvény? példában ŝ + β α és ŝ + α ŝ α β és ŝ β Hogyan lehet ŝ x, ŝ y -nal ŝ + -t, ŝ -t kifejezni? 9.7. Mely számok lehetnek a projekciós operátor sajátértékei? 9.. Lássuk be, hogy unitér operátor sajátértékei abszolút értékű számok! 9.9. * Lássuk be, hogy ha Ĝ hermitikus operátor azaz Ĝ Ĝ, akkor az Û expiĝ operátor unitér! 9.3. Az alábbiak közül melyik függvény eleme az L [, ] térnek? 9.34. Adott a következő függvényrendszer az L [, + ] térben: f e x f xe x f 3 x e x a. normáljuk és ortogonalizáljuk őket; b. az a. pontban nyert ortogonális bázisban fejtsük sorba az fx e x függvényt! 9.35. Az alábbi operátorok közül melyik önadjungált? ˆD d dx ; ˆD 3 i d dx ; ˆD d dx ˆD4 i d dx 9.36. Határozzuk meg az ábrázolt függvény Fouriersorfejtésének együtthatóit az L, π tér következő ortonormált bázisán: φ x π ; φ x π cos x; φ 3 x π sin x; φ 4 x π cos x; f x x 3 f x e x φ 5 x π sin x f 3 x e x / f 4 x e x / - π π 9.3. Normáljuk le az y cosx függvényt a [ π, π ] intervallumon! 9.37. Legyen Ψr normált, négyzetesen integrálható
7 valós függvény, amely r-en kívül még egy R paraméternek is függvénye. Igazoljuk, hogy Ψr ortogonális Ψr R -re!.6. Oldjuk meg az f x + xfx differenciálegyenletet! 9.3. Milyen feltételekkel ortogonális egy négyzetesen integrálható függvény a saját deriváltjára?. Differenciálegyenletek.. Hányadrendű az alábbi differenciálegyenlet?.7. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet:.. Oldjuk meg a df dx f x [x + d dx ] fx differenciálegyenletet! df dx + f 3 x Írjuk fel a szokásos alakban!.. Oldjuk meg az alábbi egyszerű differenciálegyenleteket:.9. Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet: f x fx + 6.. 3. 4. df dx c df dx cos x d f dx c d f dx cos x cconst cconst.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet: e x fxf x x.. Oldjuk meg az alábbi yx függvényre vonatkozó differenciálegyenletet:.3. Keressük meg az f x x+ differenciálegyenlet azon megoldását, melyre f! y x + y Útmutatás: vezessünk be új változót!.4. Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet a változók szétválasztásának módszerével: f x + x fx + λfx.. Keressük meg az y x y.5. Megoldandó az y y differenciálegyenlet. differenciálegyenlet azon megoldását, amely áthalad az x, y ponton! Útmutatás: vezessünk be új változót!
.3. * Oldjuk meg a következő függvényegyütthatós differenciálegyenletet: f x + fx sin x x.9. * Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet a Sommerfeld-féle polinom módszerrel, a következő peremfeltételekkel: f x + Efx x fx.4. Mutassuk meg, hogy az y x + Ce x az y y x differenciálegyenlet általános megoldása, és keressük meg azt a partikuláris megoldást, amely kielégíti az x, y 3 feltételeket!.5. Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet: y xy x 3 e x /.6. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyeneletet! my ky.7. gramm cukrot vízbe szórunk. Ha az oldódott cukor mennyiségét q-val jelöljük, akkor az oldódás sebessége megadható a következő egyenlettel: dq dt k q Adjuk meg a feloldódott cukor mennyiségének időfüggését!.. Az etil-acetát elszappanosítási reakciója a következő: CH 3 COO C H 5 + NaOH CH 3 COONa + C H 5 OH Ha az etil-acetát kezdeti koncentrációja a. súlyszázalék, a nátrium-hidroxid kezdeti koncentrációja b.4 súlyszázalék és azt tapasztaljuk, hogy az etil-acetát koncentrációja 5 perc alatt % -kal csökken, akkor mennyi idő alatt csökken a koncentráció 5 % -kal? lim x ± fx.. * Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet a Sommerfeld-féle polinom módszerrel, az alábbi peremfeltételek mellett: f x + x f x + 4 + b x c x fx.. Legyen f lim x fx f x 3f x + 4fx e x. Milyen egyenletnek tesz eleget fx Laplacetranszformáltja, az alábbi kezdeti feltételek mellett: f f.. * Megoldandó az alábbi differenciálegyenlet Laplace transzformáció segítségével, az alábbi kezdeti feltételek mellett: d f df + a dx dx + b fx δx x. f f.3. Alakítsuk elsőrendű differenciál-egyenletrendszerré az alábbi harmadrendű egyenletet: d 3 f dx 3 + 5d f dx 4fx
9.4. Oldjuk meg az fx, y x y parciális differenciálegyenletet az f, y és fx, x + kezdeti feltételekkel!.5. Szeparáljuk az alábbi parciális differenciálegyenletet: f f + x x x + f y.6. A változók szeparálásával adjuk meg az időfüggő Schrödinger egyenlet Ψr, t i ĤrΨr, t t egy partikuláris megoldását. Az egyenletben konstans, r a térbeli, t pedig az időbeli koordinátát jelöli. A térfüggő egyenletet természetesen nem kell megoldani!.7. A hidrogénatom elektronjának hullámfüggvényét az alábbi Schrödinger egyenletet határozzuk meg: [ + ] Ψr, θ, φ EΨr, θ, φ r A operátor polárkoordinátás alakját felhasználva szeparáljuk ezt a differenciálegyenletet az r, θ, φ koordinátákban! Hogyan lehet az r-re vonatkozó egyenletet megoldani?.. Tekintsük a [, ] intervallumon értelmezett függvények terét az < f a f b > e x f a xf b x dx skalárszorzattal. Ortogonalizáljuk a következő normált függvényeket a Schmidt-féle eljárással! f f x.3. Legyen a skalárszorzat f g e x f xgx dx. Ortogonalizáljuk az f, f x, f 3 x függvényeket!.4. a. Mutassuk meg, hogy az előző feladatban kapott ortogonális polinomok kielégítik a H jx xh jx + ch j x Hermite egyenletet. b. ** Oldjuk meg ezt az egyenletet a polinommódszerrel, és mutassuk meg, hogy a polinom akkor véges, ha cn páros szám!.5. ** Vizsgáljuk meg az Y lm θ, ϕ N lm P l m cos θe imϕ. Ortogonális polinomok, speciális függvények.. Igazoljuk, hogy a P x 3 polinom kielégíti az gömbfüggvények Y lm Y l m δ ll δ mm ortogonalitási relációinak teljesülését! Itt P lm az asszociált Legendre polinom: x P n xp n + nn + P n Legendre-egyenletet! P lm cos θ cos θ m d m P l cos θ d cos θ m
. Csoportelmélet.. Csoportot alkot e az és a szám, ha a csoport szorzás művelete a közönséges szorzásként definiált?.. Igazoljuk, hogy az Ê és a σˆ h szimmetria operátorok csoportot alkotnak!.3. A szimmetriájuk szerint melyik pontcsoportba tartoznak a következő molekulák: a piridin; b P Cl 3 ; c,-difluoretilén; d sósav; e ciklobutadién I feltételezett négyzetes gyűrű; f ciklobutadién II ma általánosan elfogadott, téglalap alakú gyűrű; g nyitott etán h fedő etán; i benzol; j naftalin; k sík etilén; l 9 o csavart etilén; m buckminsterfullerén, C 6 ; n monoklór metán; o diklór metán; p,,4,5-tetrafluor-benzol; q ciklobután; r diborán; sboh 3.4. Tekintsünk egy szabályos háromszöget alkotó hipotetikus A 3 molekulát, s ennek atomjain vegyünk fel x,y,z irányú elmozdulás-egységvektorokat az ábra szerint a z vektorok a síkra merőlegesek: y y x D 3h y 3 x a. Adjuk meg a molekula-pontcsoport ezen 9 vektor által generált reprezentációjának felbontását irreducibilis reprezentációkra! b. Mely irreducibilis reprezentációkhoz sorolhatók ezen A 3 molekula rezgései precízebben normálrezgései? x 3.5. A klórmonoxid molekula klóratomjain helyezzünk el egy-egy ekvivalens p x függvényt az ábra szerint. a. Határozzuk meg ezen két függvény által generált reprezentáció felbontását irreducibilis reprezentációkra! b. Projekciós operátort segítségével, képezzük a két függvény azon lineárkombinációit, melyek az a. pontban kapott irreducibilis reprezentációknak képezik bázisát! y O x Cl Cl + +.6. Végezzük el a sík etilén molekula rezgési analízisét abban a bázisban, amelynek vektorai a szénatomokból indulnak a szomszédos atomok felé! Hogy festenek a szimmetrizált bázisvektorok?.7. * A transz-difluor-diazin molekula atomjain helyezzünk el a molekula síkjára merőlegesen egy egy p függvényt, legyenek ezek p N, p N, p F, p F! a. Határozzuk meg a fenti négy függvény által definiált reprezentáció felbontását irreducibilis reprezentációkra! b. Határozzuk meg az irreducibilis reprezentációk számára bázist képező szimmetriapályákat!.. Határozzuk meg, hogy a P Cl 3 molekula C 3v pontcsoport egyes rezgési módusai mely irreducibilis reprezentációknak felelnek meg!
.9. Helyezzünk el a P Cl 3 molekula klór atomjain egy-egy alkalmasan megválasztott p függvényt a szokásos p x, p y, p z függvények megfelelő lineárkombinálásával, és képezzünk belőlük egy A szimmetriájú kombinációt!.. Tekintsük a ciklobután molekulának csak a szénvázát, ami sematikusan a következő: c A F atomokon egy-egy s függvényt elhelyezve hogyan redukálódik ez a 3 dimenziós tér? d Helyezzünk el a F atomokon egy-egy p z függvényt, jelöljük ezeket p, p, p 3 -mal, és képezzük a q 3 p + p + p 3 kombinációt! Irreducibilis reprezentáció bázisfüggvénye-e q, és ha igen, melyiké? e Tekintsük az atomok következő két elmozdulását! + S : S : F + + F B F + + a Ez az egyszerűsített molekula a D d pontcsoportba tartozik. Rajzon, vagy írásban mutassuk be, hogy a D d csoport szimmetriaelemei valamennyi típus, lásd karaktertábla valóban megvannak! b Helyezzünk el az atomokon egy-egy s függvényt! Redukáljuk az ezek által képezett reprezentációt irreducibilis reprezentációkra! c Határozzuk meg, hogyan oszlanak el a négy atom belső rezgési szabadsági fokai az irreducibilis reprezentációk között!.. * Igazoljuk, hogy egy véges csoport tetszőleges A elemének A n hatványai maguk is egy csoportot részcsoport alkotnak!.. Legyen a z-irány a trigonális planáris BF 3 molekula síkjára merőleges! a Melyik pontcsoportba tartozik ez a molekula? b Állapítsuk meg egyszerűen kiolvasva a karaktertáblából, hogy a B atomon elhelyezett p x, p y, p z függvények képezte 3 dimenziós reprezentáció milyen irreducibilis reprezentációkra bontható! Melyik irreducibilis reprezentációhoz tartozik S és S? f Milyen irreducibilis reprezentációkra bonthatók a molekula rezgései? Helyezzünk el x i, y i, z i elmozdulás-koordinátákat az atomokon, határozzuk meg a dimenziós reprezentáció felbontását, majd vonjuk le a molekula egészének transzlációját és rotációját!.3. Az etilén molekula szimmetriája D h. A z tengelyt vegyük a síkra merőlegesnek! a Végezzük el azon 4 elmozdulás-koordináta által definiált reprezentáció felbontását, amelyek a C H kötésirányokba mutatnak! r, r, r 3, r 4 b Határozzuk meg r, r, r 3, r 4 -ből a szimmetrizált koordinátákat! c Helyezzünk el a H atomokon egy-egy s függvényt, s, s, s 3, s 4 -et! Mi lesz az ezek által definiált reprezentáció felbontása? Melyek lesznek a belőlük képezhető szimmetriafüggvények? d Egy-egy p z függvényt elhelyezve a H atomokon, állapítsuk meg az p + p + p 3 + p 4 függvény szimmetriáját!
.4. * Legyenek egy csoportreprezentáció karakterei valós számok! Bizonyítsuk be, hogy a reprezentáció önmagával képzett direkt szorzata tartalmazza a teljesen szimmetrikus reprezentációt! Útmutatás: Írjuk fel a képletet arra vonatkozóan, hogy hányszor van meg a direkt-szorzat reprezentációban a teljesen szimmetrikus reprezentáció, majd bizonyítsuk be, hogy az nem lehet zérus!.5. Tekintsük a C 4v pontcsoport esetén azt a Γ v három dimenziós reprezentációt, amelynek a valós R 3 térbeli e, e, e 3 ortonormált elemek képezik bázisát!,,vektor-reprezentáció! a Bontsuk fel Γ v -t irreducibilis összetevőire! b Határozzuk meg a Γ v E direkt szorzat reprezentáció karaktereit és felbontását irreducibilis reprezentációkra!.6. A TeCl 5 ion szimmetriája C 4v. A molekula atomjainak az egyensúlytól való elmozdításai a C 4v csoport egy dimenziós reprezentációját adják. Állapítsuk meg ennek karaktereit és bontsuk fel a reprezentációt irreducibilis összetevőkre! Hány paraméter kell a molekula egyensúlyi geometriájának meghatározására adott szimmetria esetén?.7. Tekintsük a.7. feladatban szereplő transzdifluor-diazin molekulát C h szimmetria! a. Állapítsuk meg, hogy a molekulának az egyensúlyi helyzethez képest vett elmozdulásai, amelyek egy dimenziós vektorba foglalhatók, milyen irreducibilis reprezentációkra bonthatók! Állapítsuk meg, hogy melyik reprezentációhoz hány szabadsági fok rezgés tartozik! Hány paraméter szükséges az egyensúlyi geometria jellemzéséhez? b. Van-e a molekulának állandó dipólusnyomatéka, és ha igen, milyen irányú?.9. * Mi az Ŝ4 z-tengely körüli 9 o -os forgatás-tükrözés operátor hatása az yz x függvényre?.. Bizonyítsuk be, hogy egy Abel-csoport bármelyik irreducibilis reprezentációjának bármely operátorra vonatkoztatott karaktere csakis olyan komplex szám lehet, amelynek abszolút értéke!.. * Tekintsük a ϕ x y és ϕ xy függvényeket! Állapítsuk meg, hogy ezek bázisát képezik-e a z-tengely körüli tetszésszerinti szögű forgatások csoportjának! Határozzuk meg az α szögű forgatáshoz tartozó mátrixot ezen a bázison!.. ** Ismeretes, hogy egy magárahagyott H atom n főkvantumszámhoz tartozó állapotai degeneráltak. Egyedül a szimmetriára vonatkozó megfontolások segítségével állapítsuk meg, hogy hány különböző energiaszint alakul ki, ha ezt a gerjesztett H atomot az ábra szerinti elektromos tér pl. ligandumok tere veszi körül: δ+ δ+ H δ+.3. A BF 3 molekula B atomján helyezzük el a p x, p y és a 3p x, 3p y függvény párt! Állapítsuk meg, hogy milyen reprezentációt generál a következő négy függvény tere!.. Egy A 6 összetételű molekulát az î és a Ĉ3 operátorok önmagára képeznek le. Milyen ennek a molekulának a szerkezete? Rajz és leírás. f f f 3 f 4 p x 3p x p x 3p y p y 3p x p y 3p y
3 3. Kvantummechanikai alkalmazások 3.. Határozzuk meg a φ polárkoordinátához mint helykoordinátához tartozó operátor és az impulzusmomentum térbeli polárkoordinátákban kifejezett z komponenséhez tartozó operátor kommutátorát! 3.9. * A Franck Hertz kísérletben a hidrogénatomokat elektronnyaláb segítségével juttatjuk első gerjesztett állapotba. A gerjesztő elektronok energiáiban fellépő fluktuáció E 6 ev azaz E.6 5 J nagyságrendű. Számítsuk ki a gerjesztett állapot átlagos élettartamát! 3.. Definiáljuk l α cosαl z + sinαl x alakban az impulzusmomentumnak a z tengellyel az xz síkban α szöget bezáró irányra való vetületét. Határozzuk meg az [ˆl z, ˆl α ] kommutátort! Milyen α értékeknél lesz a kommutátor zérus? 3.3. Határozzuk meg a ˆp x x-irányú impulzus és az ˆx operátorok kommutátorát, azaz a ˆp xˆx ˆx ˆp x operátort! Önadjungált e ez az operátor? 3.4. Határozzuk meg az [ˆl z, ˆx] kommutátort! Lehete egyszerre,,élesen meghatározott értéke l z impulzusmomentum-komponensnek és x nek? 3.5. Igazoljuk, hogy a ˆT kinetikus energia operátor pozitív szemidefinit! Az egyszerűség kedvéért L [a, b] térben dolgozzunk! 3.6. Kommutál e a kinetikus és a potenciális energia operátora? 3.7. Számítsuk ki az impulzusmomentum operátor x és z komponensének kommutátorát! 3.. ** A Heisenberg-féle határozatlansági relációk segítségével számítsuk ki hozzávetőlegesen a hidrogénatom alapállapotának energiáját! 3.. Mozogjon egy m tömegű részecske az x-tengely mentén V x kx potenciáltérben! Harmonikus lineáris oszcillátor modell. Igazoljuk, hogy a rendszer Ĥ Hamilton- operátorának a Ψ x e γx függvény nem normált sajátfüggvénye, ha γ km, és az energia sajátérték E hν ahol ν k π m! 3.. Ismert az x-tengely mentén [, ] intervallumban V x kx potenciál hatásának alávetve mozgó m tömegű részecske harmonikus lineáris oszcillátor alapállapotú normált hullámfüggvénye és energiája: ahol Ψ x γ π 4 e γx E hν, γ km ν k π m. a. Határozzuk meg a kinetikus energia várható értékét, és mutassuk meg, hogy ez E fele! b. * Számítsuk ki az alapállapot energiájának közelítő értékét a perturbációszámítás első rendjében arra az esetre, ha a potenciál V x kx + bx 6! A megoldást elegendő b vel és γ val kifejezni! 3.. Adjon a variációs elv alapján felső korlátot a V x kx potenciál hatása alatt mozgó m tömeg részecske alapállapotú energiájára, a következő útmutatás segítségével: a. Induljunk ki a következő függvényből: { cos π fx ax, ha x < a, ha x a
4 Normáljuk e függvényt, majd használjuk próbafüggvényként a kérdezett szélsőérték számításnál! Az a itt egyelőre konstans paraméter. b. Keressük meg a azon értékét, amellyel a felső korlát a lehető legszigorúbb legmélyebb! c. * Milyen meggondolásból választottuk éppen a fenti próbafüggvényt vagyis mi a felhasznált fizikai modell? 3.3. Mozogjon egy m tömegű részecske az x-tengely mentén, és legyen a rá ható erő F ax + bx! Irjuk fel e mozgás Hamilton operátorának sajátértékegyenletét! 3.4. Legyen egy egydimenziós mozgást végző részecske hullámfüggvénye : γ pozitív állandó. Ψx Ne γx a. Határozzuk meg az N normálási tényező értékét! b. Határozzuk meg x várható értékét! 3.5. Tekintsünk egy egydimenziós mozgást az x tengely mentén! Határozzuk meg az impulzusoperátor p, és p, mátrixelemét a következő két bázisfüggvényre: φ x N e γx φ x N xe γx ahol N és N normálási tényezők, γ pedig konstans paraméter. A legegyszerűbb megoldáshoz használjuk ki azt a tényt, hogy a fenti függvények az L [, ] tér egy ortonormált bázisának elemei közül valók! 3.6. Mozogjon egy m tömegű részecske a q koordináta mentén, és legyen a potenciál : V q D e βq. Kétatomos molekulák rezgései tárgyalhatók a fenti potenciállal; ez jobb közelítés, mint a parabolikus potenciál. a. Írjuk fel a részecskére ható erőt! b. Mi a D és a β paraméterek szemléletes jelentése? c. Írjuk fel a mozgás Schrödinger egyenletét! 3.7. Egy m tömegű részecske mozogjon egy dimenzióban, a V x F x harmonikus potenciál hatása alatt! Keressük az alapállapot hulámfüggvényét φx e αx alakban! Optimáljuk α-t a variációs elv segítségével! Figyelem : a próbafüggvény nem normált! 3.. Adjunk felső korlátot a V x potenciáltérben mozgó m tömegű részecske alapállapotú energiájára! V x { cx, ha x a, ha x > a c konstans Útmutatás: használjuk a variációs tételt és a potenciálgödör hullámfüggvényét! 3.9. Hasonlítsuk össze a két normált hullámfüggvényt, amelyek egydimenziós mozgáshoz tartoznak : { cos πx Ψ x, ha x, ha x > Ψ x { cosπx, ha x 4, ha x > 4 Melyikhez tartozik a nagyobb kinetikus energia? 3.. Egy pontszerű, m tömegű test mozog a V x e x potenciálban. Írjuk fel a rendszer Hamilton operátorát és a Schrödinger egyenletet! 3.. Legyen egy rendszer hullámfüggvényének a φ polárkoordinátától függő része Ψφ 6π cosφ +. Mi lesz az impulzusmomentum z komponensének várható értéke ebben
5 az állapotban? Mi annak a valószínűsége, hogy l z mérésekor rendre,,,, lesz az eredmény? 3.. Ellenőrizzük integrálással, hogy a H-atom s függvénye normált! 3.. Analizáljuk a H-atom s pályáját! a. Határozzuk meg a csomógömb sugarát! b. Mi a jelentése a Ψ 4πr függvénynek, és hol van ennek a szélsőértéke? Elegendő az egyenletet felírni, megoldani nem kell! 3.3. Ellenőrizzük integrálással, hogy a H-atom s és s függvényei egymásra ortogonálisak! 3.4. Határozzuk meg a potenciális energia várható értékét a H atom p állapotában! Hasonlítsuk össze a nyert erdményt a teljes energia ugyanezen állapotra vonatkoztatott értékével, illetve a kinetikus energia megfelelő értékével! E < T > + < V >. 3.9. * Tekintsünk egy hidrogénatomot a Ψr, θ, φ π r e r 3 sin θ cos θ cos φ állapotfüggvénnyel leírt állapotban! a. Melyik két d függvénynek, kombinációja ez? milyen lineáris b. Az impulzusmomentum egyik komponensének mérése milyen lehetséges értékeket, milyen valószínűséggel eredményez? 3.5. Számítsuk ki az elektron átlagos távolságát a magtól a H-atom p állapotában! 3.6. A H-atom egy tetszőleges Ψ nlm állapotában a magtól való távolság várható értéke < r > a [3n ll + ], ahol a a Bohr rádiusz. Számítsuk ki az < r > várható értéket a hidrogénatom s állapotában! Megjegyzés: egy baktérium átlagos mérete.. mm. 3.7. * Mekkora az energia, az impulzusmomentum és a mágneses momentum abszolut értéke, valamint az utóbbi két mennyiség z-komponenseinek értéke a H-atom 3p + állapotában? Az atomi egységeket is adjuk meg! 3.3. Ortogonális-e egymásra a H-atom p x és p y pályája? A bizonyítás során ne végezzünk integrálást explicite! 3.3. * Keressük a hidrogénatom alapállapotú hullámfüggvényét e αr alakban! Optimáljuk α paraméter értékét a variációs elvnek megfelelően! 3.3. Mi annak a valószínűsége, hogy a H atom s állapotában az elektront a sugarú gömbön belül találjuk? 3.33. A hidrogénatom s állapotának normálatlan hullámfüggvénye: Ψ s re r/ Számítsuk ki a gradiensét! A nyert eredmények az ún. viriál tétel megfogalmazásai a V r konst. r alakú potenciálfüggvénnyel rendelkező rendszerek esetére. 3.34. Normáljuk le az előző példában szereplő
6 hullámfüggvényt az L [, + ] 3 dimenziós téren! Mennyi a valószínűsége annak, hogy az elektron a mag köré vont r. sugarú gömbön belül tartózkodik? 3.35. * Határozzuk meg egy hipotetikus V r r + a r potenciáltérben mozgó elektron alapállapotú energiáját a perturbációszámítás első rendjében! Próbáljuk megítélni az eredmény megbízhatóságát a, és a esetén!
7 II. MEGOLDÁSOK. Határérték; a rend fogalma. Bevezető számolási gyakorlatok M... κ κ n + n λ k k k κn + n. κ n a k k 3. i i n+ k λ k n + κ n λ k k M.. Nem. AB i a i j b j i,j a ib j Egyszerű dolog, mégis gyakori hiba. M.3.. Nem.. Nem. 3. Igen. 4. Igen. 5. Igen. 6. Cseréljük az i indexet j -re, az l -et k -ra. N w k L kj v j N L kj w k v j k,j N k,j 7. C wlv wlv M.4.. δ ij. 3. 3 δ kk 3 k 3 3 9 k k,j w k L kj v j v j M.... 3. 4. nincs határértéke 5. 5 7 6. n k n! k! n k! nn... n k + n k! n k n k! k! nn... n k + n n k k! k! M.. b ε + ab + b ε 3 + O4 M.3. + ɛ + 3 ɛ + O3 M.4. cosx x / + O4; e ε ee ε e e ε + Oε ; e cosx e e x / + O4 M.5.. + ɛ5 + ɛ 4 + 5ɛ + Oɛ ɛ + 4ɛ + Oɛ 5 4. a nevező gyorsabban divergál, mint a számláló 3. nincs határértéke 4. sinx x x Ox3 x Ox x M.6. sinx x O3; ε x/ Oε ; sinπ/ π/36 + O;
ordo 5-ig: sinx x/ x / + x 3 / /6+ +x 4 /4 5/ + O5 M.7. arctg 3 3 ; 3 3 /; exp 3 e e 3 3. Egyváltozós differenciálás és integrálás M 3.. d x + x 3 x 3 dx x3 lim x x x + x 3 x 3 x3 + 3x x + O x x 3 x x M 3... 6x + x 3x. x + 53x 3x 6x 3x + 5x 3x 3x 3. + x/ / x / 4 x + x 4. 4 x e 4x [ + x + 6x ] + 3 e 4x [x + ] 5. x x e x lnx ; 6. de x lnx dx x x + ln x; vagy lehet logaritmikus differenciálás segítségével, f f ln f alapján df dx lim fx + x fx x x x+ x lim x lim x x x x x gy dy gy dy x gy dy [ lim gx x + O x ] gx x x 7. df dx lim dx lim dx + dx dx x x+ dx x x+ dx gx + dx, y dy x gx + dx, y dy+ gx + dx, y dy gx, y dy x gx, y dy Az első két tagban gx + dx, y-t Taylor sorba fejtjük x szerint, O: df dx x x g gx, y dy + dx dy+ dx x lim dx + + x+ dx x x+ dx x g dx dy x gx, y dy+ x gx, y dy A jobb oldalon a zárójelben az első tag kiesik az utolsóval. A harmadik és a negyedik tagban az integrál kicsi dx-re írható, mint: x+ dx gx, y dy gx, y x dx x x+ dx x g gx, y x dx dy dx dx x x Ezek segítségével kapjuk: df dx x dx dx lim dx lim gx, y x + dx g x dy gx, y x +gx, y x dx + x x g x dy+ x g gx, y x + x dy + gx, y x x ] dx dx ] dx
9 M 3.3. dy dx dy dz x cosz dz dx M 3.4. e sinx ; e sinx ; e sinx ; e sinx 3; e sinx a Taylor sor ordo 6-ig: f + δ + δ + δ + 3 δ 4 + δ 5 + O6 4! 5! M 3.5. jelölés: f fx, y ; A példában szereplőfüggvényre igaz, hogy n+m f x n f bármely n, m term. szám esetén; ym fx + x, y + y f +f x+f y+ f x + f y +f x y+ k!j! f x k y j k,j M 3.6. fδ f + f δ + Oδ + δ + Oδ df dx lim fx + δ fx fxfδ fx lim δ δ δ δ fxfδ fx fx + δ + Oδ fx δ δ fx fxδ + fxoδ fx δ f δ M 3.7.. x + C. x5 5 + C 3. x + C 4. 6 x5 5 3x3 3 + x + 7x + C 5. az integrandus f /f alakú, ekkor f f ln f + C; tgx dx sin x cos x dx cos x cos x ln cosx + C 6. x dx alakra hozás után az integrandus f /f alakú, + x tehát a megoldásfüggvény: ln + x + C Egy másik lehetőség: x sh t helyettesítéssel. 7. az integrandus f /f alakú; lne x + + C. parciális integrálás: u v + uv uv; lnx dx x lnx x x dx x lnx x+c 9. cos x cosx + ; t x helyettesítéssel; x + 4 sinx + C. t 4x helyettesítéssel: /4 dx t dt dt t /4 dt 4 4 +C 4 t5 + C 5 5. parciális integrálás; xe x e x + C 5t 5/4 4 + 4 4x5 + C. t e x helyettesítéssel; cose x + C 3. parciális integrálás kétszer; x sinx + x cosx sinx + C 4. t e x helyettesítés után parciális integrálás; e x cose x + sine x + C M 3... parciális integrálás; π. parciális integrálás ötször, vagy tábázatból; 5 + Γ 3. π 4 3/ 4. t π x helyettesítéssel; 5. integráltáblázatból: π /6 6. integráltáblázatból: π /
3 4. Többváltozós differenciálás jelölés: r x, y ill. x, y, z értelem szerint, a két ill. három változós esetben r r x + y ill. x + y + z a két ill. három változós esetben jó tudni: r/ x x/r M 4.5. f x xnr n f x 4x nn r n + nr n f 4nn r n x + y + z + 6nr n r n 4nn + 6n M 4.... f x r x r 4 ; f x ln xy x ; f y xy r 4 f y ln xy y M 4.6. df dt f x dx dt + f y dy dt x + y dx dt + xy 9y dy dt 3. 4. f x x r ; Ψ x x r e r ; f y y r Ψ y y r e r ; Ψ z z r e r A 3. és 4. példában szereplő függvény x, y-ban ill. x, y, z-ben szimmetrikus, ezért a különböző változók szerinti deriváltak x y stb. helyettesítéssel megkaphatók. M 4.. y x f y 6x + y x + y x y f x 3x + y x + y M 4.7. T pv Rn dt T T dp + p V dv V Rn p + p Rn V M 4.. T p + a/v V b ; R T V R p + a T av b; V p V b R ; dt R p + a V b av bdv + V R dp M 4.3. jelölés: r x, y f x x x r r 3 gradf f x, f y, f z x x, y y, z z r r 3 r r r r 3 M 4.9. Φ E gradφ; x Zx r 3 ; E Z r x, y, z Z r3 r 3 ; E Z r r 3 Z r M 4.. M 4.4. Φ x cosrx r ; cosr Φ r r részletesebben: lásd előző példa. formálisan: a v vektor,,merőleges -ra, ezért v skaláris szorzata -val precízebben:
3 jelölés: v w v x, y, z w x, w y, w z w x x + w y y + w z z v z x + z vy x v x y x v z y v y z + y v x z u.i.: Young-tétel. formálisan: a Φ vektor -val,,párhuzamos, ezért szorzata -val precízebben: [ Φ] x x Φ y y Φ x x Φ y y Φ x Újból a Young-tétel miatt. Teljesen hasonlóan látható, hogy a másik két komponens is. M 4.. div v x, y, x z x, y, z x + y y + z z 3 M 4.. div E x, y, z x r 3, y r 3, z r 3 x x/r3 + y y/r3 + z z/r3 r3 3rx r 6 + r3 3ry r 6 + r3 3rz r 6 3r 3 3r 3 /r 6 kivéve r M 4.3. jelölések: e x, e x, e x 3 : az eredeti Descartes bázisvektorok e y, ey, ey 3 : az elforgatott bázisvektorok kapcsolat e x -ek és e y -ok között: e y i j U ije x j ei x j U ij ey j j U ij ey j j U jie y j mivel U unitér, valós mátrix a helyvektor komponensei: r j y je y j i x ie x i i,j x iu ji e y j tehát: y j i U jix i v komponensei: v i vx i ex i k vy k ey k ik vy k U kie x i tehát: v x i k U kiv y k a divergencia, a két koord. rendszerben számítva: div v x vi x : az eredetiben x i i div v y i y i v y i a láncszabály segítségével: div v x vi x x i i i,j : az elforgatottban y j y j x i v x i kihasználva, hogy y j / x i U ji : div v x U ji vi x U ji U ki v y k y i,j j y j i,j,k mivel i U jiu ki δ jk u.i. U unitér: div v x δ jk v y k y v y j div vy j y j,k j j QED A Laplace- M 4.4. Az előző példa jelöléseit használjuk. operátor a két koord. rendszerben: x i x i ill. a láncszabály segítségével: y j x i y j j x i y i y i ezért: y j y k x i x i y j j x i y k x i k U ji U ki y j y k j,k Az utolsó egyenlőségnél kihasználtuk, hogy y j x i U ji. A Laplace operátor: x U ji U ki y j y k i,j,k Mivel U unitér, i U jiu ki δ jk. Így x δ jk y y j y k y jk j j y j QED M 4.5. div a x xzi + y y j + z x yk z y Φa x 3 yz 4 i x y 3 z 3 j + x 4 y z 3 k rot Φa 4x 4 yz 3 + 3x y 3 z i+ + 4x 3 yz 3 x 3 y z 3 j+ + xy 3 z 3 + x 3 z 4 k
5. Többváltozós integrálás M 5.. dy x 3 dx + x y dx dy y x4 4 + x 3 3 y dy yx 4 4 + x3 y 6 + gx + hy gx és hy tetszőleges függvények M 5.. l ds dx + dy dx + dy dx + y dx dx dx + 4x dx integráltáblázatból: [ x l +4x + 4 ln4 + 4x + x + 6 + 4 ln4 + 6 + 6 + 4 4 ln4 + 4 + 3,674 M 5.3. l + ch x dx, részletesebben: lásd előző feladat l + sh x dx chx dx [sh] sh sh e /e /e+e e e M 5.4. Praktikus a polár koord. rendszer φ szögét használni paraméterként. Ha r a kör sugara, x r cosφ és y r sinφ a két Descartes koordináta. A kör kerülete: l dx + dy π π π ] r sinφ + r cosφ dφ r dφ r π dx dφ + dy dφ dφ dφ r[φ] π rπ M 5.5. A parabola és az egyenes metszéspontjai: -, és,4. Az integrál: I x+ x dy dx [ x x+ x dx M 5.6. R x + y dx dy ] yx [x y + y3 3 dx y [ x 5 5 + x7 x3 3 x 3 ] [y] x+ x x dx + x x3 3 ] 3 4,5 x + y dy dx x 4 + x6 3 x 3 3 5 + 7 3 dx M 5.7. Descartes koordináták helyett érdemes síkbeli polárkoordinátákat használni. A transzformáció Jacobi-determinánsának abszolút értéke J r. Az R sugarú kör területe: R π T dx dy r dr dφ kör [ ] r R [φ] π R π M 5.. Polárkoordináta rendszer. Az x, y, z r, θ, φ transzformáció Jacobi-determinánsának abszolút értéke J r sinθ. A térfogatelem gömbi koordinátarendszerben tehát: dv r sinθ dφ dθ dr dσ dr, ahol dσ az elemi gömbfelület. Az R sugarú gömb felszíne: F gömb dσ π π R sinθ dθdφ R π dφ π sinθ dθ R [φ] π [ cosθ] π R π 4R π Jó tudni: 4π az ún térszögintegrál, π π sinθdθdφ. Gömbszimmetrikus függvény integrálásakor megjelenik. M 5.9. Az előző példához hasonlóan. A különbség, hogy itt a gömb sugara nem rögzített, hanem r szerint is integrálni kell. Az R sugarú gömb térfogata: V R π π r sinθ dθ dφ dr R r dr π dφ π sinθ dθ [ r 3 3 ] R 4π R3 3 4π
33 M 5.. Az x, y Descartes koordinátákról érdemes új koordinátákra r, φ áttérni, az x a r cosφ, y b r sinφ transzformáció szerint r és φ itt nem a síkbeli polárkoordináták. Az ellipszis nagytengelye a, kistengelye b. Könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti paraméterezéssel r esetén tetszőleges φ-re teljesül az ellipszis egyenlete x /a + y /b. Ha r <, az ellipszis belsejébe eső pontot kapunk. A fenti transzormáció Jacobi-deteminánsának abszolút értéke J abr, ez is könnyen megkapható. Az ellipszis területe: T π abr dφdr ab r dr π dφ [ ] ab π abπ r M 5.. A vektortér az egyenes mentén: vr x, x + x x, x x az egyenes egyenletének deriváltja: dy/ dx, a keresett integrál: L v x dx + v y dy v x dx + v y dy dx dx x dx + x x dx 3x + 4x dx [ x 3 + x ] M 5.. az F vektortér a görbe paraméterével kifejezve: cosϕ Frϕ cos ϕ+sin ϕ i + sinϕ cos ϕ+sin ϕ j + k i cosϕ + j sinϕ + k a görbe deriváltja a paraméter szerint: dr/dϕ i sinϕ + j cosϕ + k az F dr skaláris szorzat értéke: dϕ cosϕ sinϕ + sinϕ cosϕ + ezért a keresett integrál: L Fdr π Frϕ dr dϕ dϕ π M 5.3. Az első gradiens tétel értelmében B gradφrdr ΦB ΦA. A A kérdéses integrál értéke tehát: 3 3 5 3 599 dϕ 6. Szélsőértékszámítás, variációszámítás M 6.. f x xe x Szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy f. Mivel e x, bármely valós x-re, a derivált függvény x és x esetén lehet nulla. Ezekben a pontokban lehet szélsőértéke f-nek. A feladat nem kérdezi, de lehet ellenőrizni az elégséges feltételt. f e x xe x f f x >, x esetén ezért minimuma van f-nek f x e <, x esetén ezért maximuma van f-nek M 6... megoldás: behelyettesítéssel A mellékfeltételből: y x. Ezt behelyettesítve f-be: fx x x f x x [ x x] f, ha x. Ekkor y. vagy x. Ekkor y. vagy x /. Ekkor y /. Ebben a három pontban lehet szélsőérték.. megoldás: multiplikátor módszerrel A mellékfeltétel egyenlete, -ra rendezve: gx, y x + y Tekintsük az alábbi függvényt λ a Lagrange multiplikátor: F x, y, λ fx, y λgx, y Az F parciális derivált függvényei: F x xy λ
34 F y x y λ gx, y F λ A mellékfeltételes szélsőérték létezésének szükséges feltétele a parciális deriváltak volta. A λ szerinti derivált eltűnése a mellékfeltételt biztosítja, ezzel egyelőre nem foglalkozunk. A másik két deriváltat nullává téve a xy x y egyenletet kapjuk. Az egyenlet teljesül, ha x vagy y vagy x y. Ezt a három megoldást a mellékfeltételbe visszahelyettesítve: x, y vagy x, y vagy x y / A Lagrange féle multiplikátor módszer használata ebben a példában nem indokolt, az. megoldás egyszerűbb. Vannak esetek azonban, amikor a multiplikátor módszerrel tudunk sokkal könyebben célt érni lásd pl. 6.5., 6.6.. M 6.3. f x, f y, A Hess-mátrix: H f x y det H 4 3 > A determináns egyenlő a sajátértékek szorzatával. Mivel a determináns pozitív, ebből következik, hogy a Hess-mátrix két sajátértéke azonos előjelű. Ezért létezik szélsőértéke az f-nek. A feladat nem kérdezi, de lehet ellenőrizni: a két sajátérték λ és λ 3. Mindkettő pozitív, f-nek tehát minimuma van. A minimum helyét a } f/ x f/ y egyenletrendszerből kapjuk: x és y. M 6.4. Lagrange multiplikátor módszerrel lásd 6.. példa a multiplikátor értékére 3± -t kapunk. A négy x, y pontpár: x, y, x, y, x, y, x, y, ahol y / 4 +, y / 4 x 4+, x 4 A függvényértékeket kiszámolva látható, hogy x, y és x, y esetén maximuma, x, y és x, y esetén pedig minimuma van f-nek az adott mellékfeltétel mellett. A fenti megoldás helyett egyszerűbb, ha a mellékfeltételt, a geometriai jelentést kihasználva, x cos ϕ, y sin ϕ választással teljesítjük ϕ a síkbeli polár koord. rendszer második koordinátája. Így az fϕ cos ϕ sin ϕ + cos ϕ + sin ϕ egyváltozós függvény szélsőértékeit keressük. A df/dϕ feltételből a cos ϕ sin ϕ + cos ϕ sin ϕ egyenletet kapjuk. A kétszeres szögek szögfüggvényeit felhasználva cosϕ sinϕ adódik. Ebből ϕ 3 4 π + kπ, ϕ 3 π + k π A ϕ szerinti második derivált, f [cosϕ sinϕ] negatív ϕ 3 π ill. ϕ π esetén, ezért ezekben a pontokban maximuma van f-nek. A ϕ 7 π ill. ϕ 5 π esetben f pozitív, ezeken a helyeken minimuma van f-nek. M 6.5. Lagrange multiplikátor módszerrel. A mellékfeltétel -ra rendezett egyenlete: gx, y, z x + y + z A mellékfeltétellel kiegészített függvény: F x, y, z, λ fx, y, z λgx, y, z Ennek x, y, z szerinti parciális deriváltjai: F/ x y λx, F/ z y λz F/ y x + z λy A F/ x F/ z F/ y egyenletrendszer megoldásaként kapjuk, hogy z x y/λ az első és a második egyenletből, vagy λ. Ha λ, az } x z x + z egyenletrendszerből x ±/, y és z /. A z x y/λ esetben λ ± -t kapunk. A
y mellékfeltételbe a ±, y, y ± pontot visszahelyettesítve kapjuk, hogy y ±/. Az f stacionárius pontjai tehát: ±,,, ±,, és ±,,. A fügvényértékek a stacionárius pontokban rendre,, +, +,, Az f-nek tehát a harmadik és negyedik pontban maximuma, az ötödik és hatodik pontban minimuma van az adott mellékfeltétel mellett. Itt is lehet polárkoordinátákkal próbálkozni, de a megoldás multiplikátor módszerrel egyszerűbb. M 6.6. Lagrange multiplikátor módszer. A nullára rendezett mellékfeltételt egy számmal szorozva az eredeti függvényhez hozzádjuk: F x, y, z, λ /x + 4/y + 9/z + λx + y + z Az F függvény x, y, z szerinti parciális deriváltjait nullává téve a /x + λ 4/y + λ 9/z + λ egyenletrendszert kapjuk, ennek megoldása: y ±x és y ±3x. A mellékfeltételbe visszahelyettesítve: x ± x ± 3x. Ez tkp. négy egyenlet, amiből +, + előjel esetén x, y 4, z 6 -ot kapunk. Ez az egyik megoldás. A +, előjeleket választva ellentmondásra jutunk, a, + eset az x 6, y, z megoldásra, a, eset pedig az x 3, y 6, z 9 megoldásra vezet. M 6.7. a f/ x ye x, f/ y e x Az ye x } e x egyenletrendszerből kapjuk, hogy a, pont a stacionárius pont. b a második parciális deriváltak: f/ x ye x, f/ y f/ x y e x A Hess-mátrix az x, y pontban: H, Ennek sajátértékei és normált sajátvektorai: λ, v, λ, v, 35 c Mivel a, pontban számított Hess-mátrix egyik sajátértéke pozitív, a másik negatív, ezért f-nek nincs szélsőértéke a, pontban, hanem nyeregpontja van. M 6.. A funkcionál variációja: b δj 3f xx δf fxx 3 δf dx a b a 3f xx fxx 3 δf dx A szélsőérték szükséges feltétele, hogy a funkcionál variációja nulla legyen. Az f függvény variációja, δf, tetszőleges. A fenti integrál ezért akkor nulla, ha 3f xx fxx 3 fx 3fxx x 3 Az egyenlet megoldásai: fx konstans függvény, és fx 3 x. M 6.9. A funkcionál variációja: b δj ln f δf + f f δf δf dx a b a ln f + δf dx A J variációja akkor nulla, ha ln f + fennáll. Ebből kapjuk, hogy a J funkcionálnak az f e konstans függvény esetén lehet szélsőértéke. M 6.. A J funkcionálhoz hozzáadjuk a mellékfeltételt nullára rendezve, szorozva egy számmal Lagrange multiplikátor: π/ π/ J cosxfx dx λ f x dx A J funkcionál variációja: δ J π/ cosx λfx δf dx akkor tűnik el, ha cosx λfx, azaz fx cosx/λ.