Hidak és Profunktorok Pécsi Bertalan Doktori disszertáció 2012
Pécsi Bertalan: Hidak és Profunktorok Doktori disszertáció ELTE TTK, Matematika Doktori Iskola (vezeti: Laczkovich Miklós, egyetemi tanár) Elméleti Matematika Program (vezeti: Sz cs András, egyetemi tanár) Témavezet : Sain Ildikó, a matematikai tudományok kandidátusa, tudományos f munkatárs, Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet. ELTE TTK, Algebra és Számelmélet Tanszék, Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet. 2012.
Tartalomjegyzék Bevezet 2 0. Alapvetések 7 1. Bikategóriák 20 2. Profunktorok 32 3. Ekvivalenciahidak 39 4. Morita-összefüggések 42 5. Kett s kategóriák 46 6. Kolax/lax adjunkciók 67 A. Függelék: Bénabou-féle bikategóriák 73 B. Függelék: Verity-féle kett s kategóriák 76 Tárgymutató 81 Hivatkozások 84 1
Bevezet Jelen értekezés tárgya a bikategóriák, kett s kategóriák és a köztük men lax, kolax funktorok egy alternatív, koherencia-ötszögt l és különbözeti celláktól mentes felépítése, és néhány további, ezekhez kapcsolódó struktúra vizsgálata. Az axiomatikus felépítésben Tom Leinster egyik irányvonalát követjük, továbbá profunktorokat és reexiókat használunk. Nagy vonalakban leírva, a következ kategóriaelméleti struktúrákat fogjuk tanulmányozni: Amikor két adott kategória (A és B) közt mehetnek (A-n és B-n kívüli) küls nyilak, úgynevezett heteromorzmusok, amik komponálhatóak A és B nyilaival [persze csak ha a végpont és a kezd pont stimmel]. Ilyen általánosságban ezt úgy hívjuk, hogy híd; az irányított (A Û B) esetet pedig hogy profunktor, avagy magyarul ág. (2.1. def.) Egy A Û B ág önmagában rejthet akár egy A Ñ B funktort [ha minden A-beli objektumnak van reexiója B-ben], akár egy B Ñ A funktort [ha minden B-beli objektumnak van koreexiója A-ban], s ha mindkett t, akkor ez a két funktor adjungált egymáshoz. (2.4. def. és 2.7. tétel.) Amikor egy kategória nyilai között is mehetnek morzmusok (úgynevezett 2-cellák), amiket, ha a széleik passzolnak, vízszintesen és függ legesen is össze lehet f zni. Ha csak párhuzamos nyilak között mennek 2-cellák, akkor bikategóriáról beszélünk (1.1. def.), egyébként kett s kategóriáról (angolul double category, 5.3. def.) Sajnos számos fontos példában a nyilak eredeti kompozíciója nem asszociatív a szigorú értelemben véve, csak izomorzmus 2-cella erejéig (ez a fajta gyenge asszociativitás meggyelhet például a halmazok Descartes-szorzatánál: az pa Bq C és A pb Cq halmazok nem egyenl ek egymással, csak természetesen izomorfak). Ez a bikategória axiomatikus deníciójánál bonyodalmakat okoz, amire számos feloldás született már, jelen írásban mi Tom Leinster unbiased bikategória deníciójának ([Leinster]) egy változatát ismertetjük: a kétváltozós gyengén asszociatív kompozíció m velet helyett egy (szintén gyengén, azaz csak izomorzmus erejéig) asszociatív m veletcsaládot veszünk alapul, lásd 1.1. def). Az A. függelékben ezt összevetjük az eredeti, Bénabou-féle denícióval. Kett s ágak bikategóriák illetve kett s kategóriák közt (angolul double profunctors", 5.6. és 5.1. def). Ezek teljesen analóg módon viselkednek, mint a hagyományos kategóriák közti ágak: segítségükkel jellemezhetjük a lax- és kolax- funktorokat, s t a kolax/lax adjunkciókat is. (5.11, 5.13, 6.6. tételek.) A kategóriák közti ágak mint vízszintes nyilak egy bikategóriát határoznak meg, amiben egy A é B híd a két ága (A Û B és B Û A) által éppen 2
egy híres diagram-féleséget határoz meg, amit úgy hívnak, hogy Moritakontextus avagy Morita-összefüggés, és bármely bikategóriában deniálható. A 0. fejezetben áttekintjük a szükséges kategóriaelméleti hátteret. Az 1. fejezetben, Tom Leinster unbiased bicategory deniciójának [ Leinster] egy elemi interpretációját adjuk, valamint felvázolunk néhány bikategórián belül értelmezhet fogalmat (úgymint adjungált nyílpár vagy bels monoid, monoidhatás). A 2. fejezetben bevezetjük a 3.-ban és 4.-ben használt híd fogalmat, és ennek egyirányú változatát, az ág-at, valamint igazoljuk, hogy az ágak és a profunktorok egyértelm en meghatározzák egymást. Bevezetjük a kategóriák és ágak Prof bikategóriáját, majd a kategóriák és funktorok Cat bikategóriájának két kanonikus, Prof-ba való beágyazását taglaljuk. A 3. fejezetben a kategóriák ekvivalenciáját és Morita ekvivalenciáját jellemezzük bizonyos fajta hidakkal. A 4. fejezetben a gy r k köréb l ismert ún. Morita-összefüggések és a hidak közös általonísátását vezetjük be, tetsz leges bikategóriában. Az 5. fejezetben a vízszintesen gyengén asszociatív kett s kategóriát deniáljuk, mint egy függ leges struktúrával kib vített bikategóriát, majd a 2. fejezetben írtak 2 dimenziós analógiájaként, reexiókkal illetve koreexiókkal adunk egy elegáns jellemzését a bi- és kett s kategóriák elméletében alapvet szerepet játszó kolax illetve lax funktoroknak. A 6. fejezetben egy konkrét, mindkét irányban gyengén asszociatív kett s kategória közbenjárásával kiterjesztjük a két kanonikus Cat ãñ Prof beágyazást kett s kategóriákra, majd ezt felhasználva egy tollvonással megmutatjuk, hogy a [Gran-Pare2]-ban értelmezett kolax/lax adjunkciók hogyan jellemezhet k kett s ágakkal, vö. [Fio-Gam-Kock]. Végül, az A. függelékben összevetjük a Bénabou-féle és az itt interpretált Leinsterféle bikategóriákat, valamint, a B. függelékben a felépített saját apparátussal de- niáljuk az utolsó fejezethez a Verity-féle, mindkét irányban gyengén asszociatív kett s kategóriákat. Saját eredményeim: o - A híd fogalma, mint szimmetrikus profunktor: 2.1. def., avagy mint Moritaösszefüggés a profunktorok körében: 3.2. - A kategóriák Morita-ekvivalenciájára vonatkozó 3.9. tétel elemi bizonyítása. - A 3.4. tétel, mely a kategóriaekvivalenciának egy híddal való jellemzése, és ami alapvet épít köve Mark Lawson félcsoportok Morita elméletér l szóló egyik cikkének: [Lawson]. 3
- A 2.9. következmény, miszerint minden adjungált funktorpár el áll egy koreektív és egy reektív adjunkció kompozíciójaként. ([Pecsi]-ben azt is igazoltam, hogy ez egy gyenge faktorizációs rendszert határoz meg.) - Egy adott bikategória Morita-összefüggéseinek bikategóriájának néhány tulajdonsága, például, hogy ugyanazok az objektumok lesznek ekvivalensek egymással, mint az eredeti bikategóriában (4.7. tétel és 4.8. és 4.9. következmények.) - A bikategóriák illetve kett s kategóriák közti lax- és kolax funktoroknak (ko-)reexiókkal való egyszer jellemzése, kett s ágon belül, koherencia feltételek és különbözeti cellák nélkül: ezek a kett s ág struktúrába bele vannak kódolva. (5.11, 5.13. tételek.) Ezt a 6.6. tétel egy alternatív bizonyításához is használni fogjuk. - A [Gran-Pare2] cikk egyik központi kett s kategóriájának, ami a lax és kolax funktorokat mint vízszintes és függ leges nyilakat tartalmazza, teljes beágyazása a kett s ágak bikategóriájába (ami a lax funktorokon kontravariáns, 6.5. tétel). - A [Verity]-ben értelmezett mindkét irányban gyengén asszociatív kett s kategória (`double bicategory') egy, [Morton]-étól eltér kompakt deníciója: B.1. Terminológia és jelölés. o Minthogy a bikategóriák, kett s kategóriák és profunktorok elmélete viszonylag atal a matematikán belül, a fogalmak pláne magyarul! még nem mind szilárdultak meg teljesen. Ha egy faág két rügypontnál vett transzverzális metszetét tekintjük, illetve az ezek közt futó rostokat, az olyasmi ábrázolatú, amilyennek egy általános profunktort mint irányított hidat szokott az ember a táblára vagy a jegyzetébe rajzolni (vagy akár egy páros gráfot). Ez ihlette az `ág' elnevezést, melyet még azel tt találtam ki, hogy megismertem volna az ugyanerre alkalmazott `profunktor' kifejezést (ami mellett még a `(bi-)modulus', és `disztribútor' szavak is valamennyire elterjedtek). Precízen, a 2.1.-beli `ág' egy profunktor kollázsának felelne meg, ld. pl. [Gran-Pare], ami azonban könnyen láthatóan meghatározza magát a profunktort, ld. még 2.3. tétel. Mindazonáltal, meghagyjuk az ágakra az egyik legelterjedtebb profunktor jelölésmódot, az áthúzott nyilat: F : A Û B, ugyanakkor magát F-et is kategóriának tekintjük, ami megkönnyíti a tárgyalásmódot. 4
E Egy közös halmazból induló függvénypárt ( villa diagramot, A B angolul `span'-t) páros gráfnak fogunk tekinteni, ilyenkor A-t és B-t diszjunktnak ábrázoljuk, ez a két `ponthalmaz' (ha van közös elemük, azt mindkét oldalon külön szerepeltetjük), E elemeit élekként fogjuk fel, és a két függvény minden élnek kijelöli a kezd - és végpontját. Nyilak kompozícióját összef zésnek is nevezzük. Gyakran írjuk azt valamiféle nyílról, hogy X és Y közti. Ezt úgy értjük, hogy ay adott nyíl kezd pontja X és végpontja Y. Általánosabban is, a kijelölt irányok mindenütt az olvasás irányai: balról jobbra, illetve fentr l lefele. Ezt szem el tt tartva legtöbbször megspóroljuk az ábrákban a 2-cellák, cellák, de néha még a nyilak irányításának a jelölését is. Megjegyzend, hogy ezen lerögzíteett haladási irányok mellett az Ehresmann-féle kvintett-konstrukció (5.3.7. pl.) szükségszer en megfordítja a két irány egyikét, nálunk a vízszinteset: Ez összhangban van azzal, hogy a 2.10. és a 6.5. tételekben szerepl beágyazások mindegyike kontravariáns, pontosan az egyik irányban. Kategóriákat A, B, C, F,..., funktorokat F, G, U, V,..., bikategóriákat A, B, C,..., kett s kategóriákat A, B, D, F,..., cellákat és 2-cellákat α, β, γ,... bet típussal fogunk jelölni. A nyilakat általában vegyesen kis latin vagy görög bet kkel. Emellett, α P A azt fogja jelenteni, hogy α egy nyíl az A kategóriában, és β P B azt, hogy β egy 2-cella a B bikategóriában, legalábbis eleinte. A 2-cellákat (nyilak közötti nyilakat) absztraktan mindig dupla nyíllal jelöljük: α : f ùñ g, de konkrét példákban, például, ha a 2-cellák valamiféle funktorok vagy bimodulus-morzmusok, akkor maradunk a szimpla nyílnál. Nyilak vízszintes kompozíciót egymás mellé írással, 2-cellák vízszintes kompozícióját a jellel jelöljük, és a b jelet meghagyjuk a gy r k közti (fölötti) bimodulusok tenzorszorzatára. Mivel a függeléket nem számítva végig ezekkel fogunk dolgozni, az egyszer ség kedvéért lehagyjuk a Leinster-féle unbiased bicategory, unbiased lax functor elnevezések unbiased el tagját, valamint a pszeudo kett s kategóriából a pszeudo el tagot. A bels monoidokat (`internal monoid') gyakran `monádok'-nak hívják, ha bikategórián belül van, de monoidális kategórián belül (ami lényegében az egy objektumú bikategória) viszont inkább `(internal) monoid'-nak. Ami azért ellentmondásos kicsit, mert minden bikategóriabeli `monád' egy objektumon van értelmezve, így ha arra az objektumra megszorítjuk a bikategóriát, egy monoidális kategóriát 5
kapunk, amin belül a monád már `monoid'-nak nevezhet. Eredend en a Cat 2-kategóriábeli bels monoidokat hívják monádoknak. Az 5. fejezetben megjelennek a függ leges nyilak, ezekre az A Ó B jelölést alkalmazzuk, ami tehát egyik esetben sem vessz kategória (`comma category'). [Gran-Pare]-val ellentétben nálunk, a bikategóriás jelöléseket és terminológiát követve, a vízszintes kompozíció a gyengén asszociatív, és a függ leges irány a szigorúan asszociatív. A vízszintes kompozíciót itt is jelöli, a függ leges kompozícióra viszont a `törtjelet' vezetjük be, követve [Gran-Pare]-t, viszont ezt a jelölést a függ leges nyilakra is kiterjesztjük: ha f : A Ó B és g : B Ó C, akkor összef zöttjük az f g : A Ó C függ leges nyíl lesz. A kolax funktorokat `oplax funktorok'-nak is szokták nevezni, nálunk a 'ko' prex összhangban van azzal, hogy a függ leges ellentettet co jelöli. A [Verity]-ben és [Morton]-ban `double bicategory'-nak nevezett fogalom nálunk Verity-féle kett s kategória néven van deniálva (B.1). Noha a deníció valóban tartalmaz két bikategóriát, a fogalom mégis inkább a vízszintesen és függ legesen is gyengén asszociatív kett s kategóriákat kívánja megfogni (`doubly weak double category'). Amit az 1. és 5. fejezetekben α pϕ ψq β-val jelölünk, az a B. függelékben már az α emeletes " ϕ ψ! β írásmódba megy át, merthogy ez voltaképpen α felülr l illetve β alulról való hatása (a ϕ ψ vízszintes kompozíción). Ugyanakkor, megtartjuk a -t az itt felbukkanó bal és jobb oldali hatásokra. o A m elkészüléséért köszönetemet fejezem ki témavezet mnek, Sain Ildikónak, továbbá Böhm Gabriellának, Márki Lászlónak, Szlachányi Kornélnak, valamint Gyenis Zalánnak, Horváth Ramónnak, Pintér Gerg nek. 6
0. Alapvetések Az alábbiakban egy rövid halmazelméleti megalapozás után tömören összefoglaljuk a kés bbi fejezetekhez szükséges hátteret. E fejezetben felsorolt fogalmak, állítások mindegyike megtalálható a legtöbb kategóriaelméleti bevezet könyvben (pl. [MacLane], [Freyd-Sced], [JoyCat]), helyenként némi ekvivalens átfogalmazással. A matematika szinte minden területe valamiféle struktúrákról szól: ezek rendszerint egy vagy több alaphalmazra épülnek, amin vagy amiken az adott struktúrafajtákra jellemz operációk és/vagy relációk vannak értelmezve. Például a monoidok, a gráfok vagy a kategóriák (ld. 0.4, 0.1. def.) mind struktúrafajták. A kategóriaelmélet, mint nyelv, általánosságban képes beszélni a struktúrákról, a struktúratartó függvények (ún. morzmusok) segítségével. o Használni fogjuk a hagyományos halmazelméleti és logikai jeleket: @x: `minden x-re' (pl. @xpx : P olvasata: minden X-beli x-re teljesül P ), Dx: `létezik olyan x, hogy', D!x : `pontosan egy x létezik, amire', P _ Q: P ^ Q: P ñ Q: `P vagy Q' (ahol P, Q kijelentések) `P és Q' `P -b l következik Q', P ðñ Q: `P és Q ekvivalensek', azaz pp ñ Qq ^ pq ñ P q, x P y: x y: xa 1, a 2,..., a n y: `x eleme y-nak', `x részhalmaza y-nak', rendezett elem n-es. Ahogy az a halmazelméleti felépítésekben szokás, egy rendezett párokból álló f halmazt függvénynek vagy leképezésnek nevezünk az A és B halmazok közt (jelben f :A Ñ B), ha @apa D!bPB : xa, by P f és @x, y : pxx, yy P f ñ x P Aq. Egy adott A halmazhoz tartozó txa, ay a P Au identitás függvényt id A jelöli. Ha f : A Ñ B és g : B Ñ C függvények, a kompozíciójukat balról jobbra írjuk, és egymás mellé írással vagy -tal jelöljük, így: f g : txa, cy DbPB : pxa, by P f ^ xb, cy P gqu. Ha egy adott a P A elemhez b az egyetlen elem, amire xa, by P f, akkor azt mondjuk, hogy f az a-hoz b-t rendeli hozzá (jelben a ÞÑ b), ugyanekkor b-t az a elem 7
f függvénynél vett képének is nevezzük, és f-et az a jobb fels indexébe helyezve jelöljük, így: a f, összhangban a kompozíció balról jobbra men írásmódjával. Tehát, és így a f g pa f q g. b a f def ðñ xa, by P f, Egy f : A Ñ B függvény értékkészlete a tb P B Da P A : a f bu halmaz ( B), és ha ez megegyezik B-vel (azaz ha @bpb DaPA : a f b), akkor azt mondjuk rá, hogy szürjektív. Továbbá, f-et injektívnek nevezzük, ha @a, a 1 P A : a f a f 1 ñ a a 1. Ha mindkett teljesül, akkor f bijektív. Legyen X A és f : A Ñ B egy függvény, ennek az X-re vett megszorítását jelölje F æ X, ez tehát egy X Ñ B függvény lesz: az X Ñ A identikus beágyazás (X Q x ÞÑ x P A) és f kompozíciója. Egy I indexhalmazzal indexelt xx i y ipi sorozat alatt azt az f : I Ñ X függvényt értjük, amire i f x i minden i P I-re. Speciálisan, egy rendezett elem n-es az egy, az t1, 2, 3,..., nu halmazon értelmezett függvényként interpretálható. o A konstrukciókban használni fogjuk a kiválasztási axiómát (amikor majd egy adott gráf bizonyos pontjaihoz lerögzítünk valahogy bizonyos éleket, pl. 2.7. tétel vagy 5.10. állítás). Valamint gyakran el fordul majd egy halmaz (vagy struktúra) több, egymástól diszjunkt, izomorf példányba való lemásolása. A kés bbi példákban elvétve el fordulnak olyan közismertebb struktúrafajták, kifejezések, melyeket itt nem vezetünk be. Ezek a következ k: - a 0.4. részben ismertetett monoidok és biaktok additív megfelel i: az (egységelemes) gy r k, és a gy r k közti bimodulusok; - Abel-csoportok, biaktok, valamint bimodulusok tenzorszorzata; - csoportok, azok kommutátor részcsoportjaik; - testek fölötti vektorterek, illetve csoportok lineáris reprezentációi; - ekvivalenciarelációk és velük való lefaktorizálás; - metrikus terek; - Boole-algebrák és relációalgebrák. Ezeknek a fogalmaknak a nagy része a legtöbb egyetemi jegyzetben szerepel, és mindegyik megtalálható a következ könyvek valamelyikében: [ Kiss-Freud], [Simon], [Hirsh-Hod]. 8
o Az értekezésben sok helyen említünk olyan példát, amik a szó legtágabb értelmében a (Zermelo-Fraenkel féle, röviden ZFC) halmazelméletben nem állják meg a helyüket, például alább a 0.1. részben a halmazok kategóriájában (Set-ben) az objektumok összessége intuitíve az összes halmaz lenne, ami azonban nem alkot halmazt ZFC-ben! Az eéle problémák feloldhatók úgy, hogy a ZFC axiómarendszerhez az alábbiak szerint hozzáveszünk még egy axiómát, 1 és a példákat megszorítjuk egy, az új axióma szerint létez ún. Grothendieck univerzum halmazaira. Deníció. Egy U halmazt Grothendieck univerzumnak nevezzük, és elemeit kis halmazoknak hívjuk, ha 1. Kis halmazok elemei is kis halmazok: @x, y : x P y P U ñ x P U, 2. Egy vagy két kis halmaz halmaza kis halmaz: @x, y : x, y P U ñ tx, yu P U, 3. Kis halmaz hatványhalmaza kis halmaz: @x : x P U ñ ty y xu P U, 4. Kis halmaznyi sok kis halmaz uniója is kis halmaz: @I PU : @ipi : x i P U ñ ipi x i P U. Ezek a feltételek többek között biztosítják, hogy ha x, y P U, akkor az összes x-b l y-ba men függvényt tartalmazó halmaz is kicsi. Ez elegend ahhoz, hogy a kis alaphalmazokon értelmezett struktúrák és a köztük men struktúratartó leképezések lokálisan kis kategóriát alkossanak a 0.1.-ben adott deníció értelmében. A ZFC-hez hozzáveend axióma ekkor így szól: Minden X halmazhoz van olyan U Grothendieck univerzum, amire X P U. Ett l a kib vített axiómarendszer ekvikonzisztens marad a ZFC-vel, azaz ugyanannyira ellentmondásmentes. (Lásd pl. [Sonner], [Fef-Krei]). Most két példán keresztül bemutatjuk, hogy halmazelméletileg milyen limitálásokkal értelmezend ek a kés bb bevezetésre kerül kategóriák, bikategóriák, kett s 1 Szokás még például a Gödel-Bernays-féle halmazelmélet keretrendszerében dolgozni (ld. pl. [Bernays]), amelyben tárgynyelvi szinten beszélhetünk valódi osztályokról és halmazokról: ebben a megközelítésben egy H összességre vonatkozó 'kis' jelz úgy olvasandó, hogy H halmaz. Egy harmadik feloldási mód, hogy olyan halmazelméletbe helyezzük a témakört, amelyben megengedettek az eéle totális konstrukciók, mint pl. minden halmaz halmazát tekinteni. halmazelmélet létezik, ld. pl. Quine 'New Foundation' rendszere, [Holmes]. Ilyen 9
kategóriák. El ször is, rögzítsünk le egy U Grothendieck univerzumot, ami tartalmaz végtelen halmazt, elemeire továbbra is kis halmazokként hivatkozunk. Tekintsük a fentebb említett és a 0.1. utáni 2. példában bevezetett Set kategóriát, továbbá a 1.1.7. példában bevezetett Span bikategóriát: mindkett nél azt írjuk, hogy az objektumai a halmazok, de ezt igazából (e (kib vített ZFC) + rögzített U rendszeren belül) úgy értjük, hogy Set-nek és Span-nek is az objektumai a kis halmazok. Vagyis, ObSet U és ObSpan U. Span nyilai a kis páros gráfok, azaz olyan A Ð E Ñ B függvénypárok, ahol A, E, B P U. A deníció utáni megjegyzés következtében ekkor maga a két, kezd és végpontot kijelöl függvény is U-ban van. 0.1. Kategóriák Egy irányított gráf alatt pontok és élek összességét értjük, ahol minden élnek meg van adva a kezd - és végpontja. Formálisan tehát ez egy xp, E, k, vy négyes, ahol P és E halmazok, P elemeit pontoknak, E elemeit éleknek mondjuk, és k és v mindketten E Ñ P függvények: E k v P. Az α P E élhez hozzárendelt α k pontot α kezd pontjaként, illetve az α v pontot α végpontjaként említjük. Azt a tényt, hogy egy α élre α k A és α v B, leggyakrabban ezzel a jelöléssel szoktuk kifejezni: α : A Ñ B vagy A α Ñ B, illetve egyéb nyílrajzulattal, attól függ en, hogy a szóban forgó gráfban éppen hogy jelöljük az éleket. (Tehát az α : A Ñ B jelölés nem feltétlenül bármiféle halmazok közti függvényt takar.) Megengedjük, s t használjuk a hurokéleket (α : A Ñ A) és párhuzamos éleket is (α, β :A Ñ B esetén α β nem feltétlenül teljesül). Két él, α és β, ilyen sorrendben egymást követ, ha α végpontja megegyezik β kezd pontjával, azaz α v β k. Éleknek egy xα 1, α 2,..., α n y sorozatát n hosszú A-ból B-be men (A B) útnak hívjuk, ha ezek ilyen sorrendben egymást követ ek, valamint α 1 kezd pontja A és α n végpontja B. Egy A pontot 0 hosszú (A A) útnak is tekintünk. Hasonlóan, egy A és egy B halmaz közti (irányított, egyirányú) páros gráf alatt formálisan egy xa, B, E, k, vy ötöst értünk, ahol E az élek halmaza, és k :E Ñ A, v : E Ñ B függvények. Mivel az A és B ponthalmazok kitüntetett szerep ek, sokszor diszjunktként tekintünk rájuk 2 innen a név, noha ezt explicite nem 2 Precízen, vehetünk mondjuk A helyett t0u A-t és B helyett t1u B-t, ezek már biztos diszjunktak. 10
követeljük meg. (S t, gyeljük meg, hogy pl. az A B szerepválasztás visszaadja az irányított gráf denícióját.) k E Egy ilyen páros gráfot az ún. villa diagrammal ábrázolunk: v, A B vagy olykor röviden csak így jelöljük: E :A B. A rá való hivatkozásnál néhol azonosítjuk a páros gráfot E-vel. 0.1. Deníció. Kategóriának nevezünk egy xg, y párt, ha G egy irányított gráf, és az egymást követ élpárjain adott lokálisan egységelemes asszociatív m velet, amit kompozíciónak (avagy összef zésnek, helyenként szorzásnak) nevezünk. Ez a m velet tehát minden xα, βy 2 hosszú A C úthoz (azaz, egymást követ élpárhoz) egy α β-val jelölt A Ñ C élt rendel úgy, hogy pα βq γ α pβ γq, minden xα, β, γy 3 hosszú útra, valamint a gráf minden A pontján van egy (1 A -val jelölt) A Ñ A lokális egységelem, amire minden A-ba érkez α-ra α 1 A α, és minden A-ból induló β-ra 1 A β β teljesül. Ha minden A, B pontpárra az A-ból B-be men nyilak halmaza kicsi, a kategóriát lokálisan kis kategóriának nevezzük. Ez a feltétel a legtöbb példánkban teljesülni fog, igazi jelent sége pedig a hamarosan bevezetésre kerül hom-funktor értelmezésénél lesz. A pontokat objektumoknak, az éleket nyilaknak vagy (homo-)morzmusoknak is nevezzük. Az 1 A egységnyilat úgy is hívjuk, hogy A identitása. Egy A kategória objektumainak összességét ObA jelöli, a nyilak összességét meg maga A. Ha ez kis halmaz, A-ról azt mondjuk, hogy kis kategória. Az A Ñ B nyilak halmazát hom-halmaznak hívjuk és ApABq-vel jelöljük, esetleg csak pabq-vel, ha a szóban forgó kategória világosan kiderül a szövegb l. A kompozíciót alapjában véve minden kategóriában balról jobbra értjük, összhangban a fentebb bevezetett függvénykompozícióval. (Illetve a kés bbiekben helyenként felülr l lefele is.) Ha egy kategória két egymást követ élpárjára α β γ δ, akkor azt mondjuk, hogy az γ α # δ β Példák. α γ β δ négyzet kommutál. Ezt rajzban a # szimbólummal jelöljük, így: 1. Bármely halmazra tekinthetünk mint ponthalmaz, és elláthatjuk formális identitásnyilakkal, így egy ún. diszkrét kategóriához jutunk (amiben minden nyíl 11
identitásnyíl). Precízen, ha adott az A halmaz, tekintsük az xa, A, id A, id A y gráfot, ebben az élek (akárcsak a pontok) A elemei, az a P A élnek a kezd pontja és a végpontja is az a pont, tehát az egymást követ élpárok csak az xa, ay párok lehetnek, a kategóriában a kompozíció pedig xa, ay ÞÑ a. 2. A halmazok kategóriáját jelölje Set: ennek az objektumai a (kis) halmazok, a nyilai a függvények, az összef zés a függvénykompozíció. Mivel a fenti értelmezés szerint, ha f : A Ñ B egy függvény és B C, akkor ugyanúgy f : A Ñ C is írható. Hogy a végpont leképezés mégis egyértelm legyen, formálisan a függvények helyett az xa, f, By hármasokat szokás Set mor- zmusainak tekinteni, ahol f : A Ñ B függvény, és A, B kis halmazok. Hasonlóan értelmezend ek a további példák is. 3. A csoportok kategóriájában az objektumok a (kis halmazokon értelmezett) csoportok, a nyilak a homomorzmusok, az összef zés függvénykompozíció. 4. Analóg módon értelmezhet bármely algebrai struktúrafajták kategóriája, pl. az Abel-csoportok, az egységelemes gy r k, vagy a monoidok kategóriája. 5. Az irányított gráfok kategóriájában az objektumok az irányított gráfok, és a nyilak az úgynevezett gráfmorzmusok: olyan függvények, amik ponthoz pontot, élhez élt rendelnek, és megtartják a kezd - és végpontokat. Precízen, ha G xp, E, k, vy és G 1 xp 1, E 1, k 1, v 1 y irányított gráfok, akkor egy f : G Ñ G 1 alatt egy f xf P, f E y függvénypárt értünk, ahol f P : P Ñ P 1 és f E :E Ñ E 1, valamint E k P f E # E 1 P 1 k1 f P és E v P f E # f P. E 1 v1 P 1 6. Hasonlóan, egy E : A B páros gráfból egy E 1 : A 1 B 1 -be men (páros gráf)-morzmus alatt egy xf A, f E, f B y függvényhármast értünk, amelyre E A f B # E # f A E 1 A 1 B 1 f B. 7. Egy A kategória nyílkategóriája az az A Ñ, aminek pontjai az A nyilai és nyilai az A kommutatív négyzetei, tehát, A Ñ pf gq : txα, βy f β α g, azaz f α # β u. g 12
o Funktor alatt két kategória közt egy olyan gráfmorzmust értünk, ami identitáshoz identitást rendel, és megtartja az összef zést, vagyis, F egy funktor A-ból B-be (jelben F :A Ñ B), - ha α P A, α:a Ñ A 1 esetén α F :A F Ñ A F 1, - ha α, β P A egymást követ ek, akkor pα βq F α F β F, - minden A P ObA-ra 1 F A 1 A F. A kategóriák és funktorok maguk is kategóriát alkotnak, jelöljük ezt Cat-tal: ennek az objektumai a kis kategóriák, a nyilai a köztük men funktorok, és az összef zés a függvénykompozíció. Azt mondjuk, hogy B teljes részkategóriája A-nak, ha feszített részgráf, azaz B A és minden B, B 1 P ObB és α : B Ñ B 1 P A esetén α P B. Általánosabban, ha egy B A nyílhalmaz zárt az összef zésre, és minden β P B, β :X Ñ Y esetén 1 X és 1 Y benne van B-ben, akkor (ObB : tx P ObA 1 X P Bu objektumhalmazzal együtt) A-nak egy részkategóriáját alkotja. Az F :B Ñ A funktor [teljes] beágyazás, ha F injektív (a pontokon és a nyilakon is), és értékkészlete [teljes] részkategória A-ban. Egy kategória ϕ : A Ñ B nyila balinvertálható, ha van olyan ψ : B Ñ A, hogy ψ ϕ 1 B. Duálisan értelmezzük a jobbinvertálható nyilat. Egy kategória két objektuma, A és B izomorf (jelben A B), ha van köztük egy mindkét oldalról invertálható ϕ : A Ñ B nyíl. Könnyen adódik, hogy ekkor ϕ bármely balinverze megegyezik bármely jobbinverzével, tehát egyetlen egy, mindkét oldali inverze van, amit ϕ -1 jelöl. Az invertálható nyilakat izomorzmusoknak is hívjuk. Az izomorf objektumokat kategóriaelméletileg (azaz a nyilak nyelvén) nemigen tudjuk megkülönböztetni egymástól: ha A A 1, akkor az A-ból induló [ill. A- ba érkez ] nyilak egy az egyben megfelelnek az A 1 -b l induló [ill. oda érkez ] nyilaknak. Legyenek A 1,.., A n egy adott A kategória objektumai. Ezek direkt szorzata alatt egy olyan P P ObA objektumot értünk, amihez adva vannak p i : P Ñ A i úgynevezett `projekció'-nyilak (i 1,.., n), hogy akárhogy is veszünk egy közös X P ObA objektumból induló pf i q i nyílcsaládot (f i : X Ñ A i ), az egyértelm en átvezethet a pp i q i nyílcsaládon, úgy értve, hogy D!s:X Ñ P : @i : pf i s p i q Ez, izomorzmus erejéig egyértelm en deniálja P -t, már ha létezik, és ekkor ezt `a' P -t A 1 A 2... A n -nel jelölik. Ha n 0-val elismételjük a fentieket, a végobjektum fogalmához jutunk: P végobjektuma az A kategóriának, ha minden X objektumból pontosan egy nyíl megy P -be: D!s:X Ñ P. 13
Egy ilyen n tényez s direkt szorzatot szinte minden konkrét példában a megfelel elem n-esekb l álló struktúra jeleníti meg, a végobjektumot ugyanakkor az egyelem struktúra. Nincs ez másként a kategóriák kategóriájában, Cat-ben sem: Ha A 1,.., A n P ObCat, akkor az A 1... A n direkt szorzat pontjai legyenek az xa 1,..., A n y pontsorozatok, az ilyenek közti nyilak a (koordinátánként köztük men ) xα 1,..., α n y nyílsorozatok (α i P A i ), ezzel összhangban xα 1,..., α n y k : xα k 1,..., α k ny, xα 1,..., α n y v : xα v 1,..., α v ny, és az összef zés is koordinátánként értelmezett. Az üres direkt szorzat pedig legyen az egy objektumú diszkrét kategória (Cat végobjektuma). A direkt szorzatot ugyanígy fogjuk használni esetlegesen nem kis kategóriákra is. Ha egy A kategória nyilait és vele együtt az összef zést is megfordítjuk, akkor az A op ellentett kategóriáról beszélünk, ennek tehát a kompozícióját a g f : f g határozza meg, és a `végpont' és `kezd pont' A Ñ ObA függvények értelemszer en felcserél dnek. Minden lokálisan kicsi A kategória meghatároz egy A op A Ñ Set funktort, a hom-funktort, amely az xa, By objektumpárhoz az ApA Bq hom-halmazt rendeli (ami kis halmaz, így valóban Set objektuma), és az xα, βy nyílpárhoz az f ÞÑ α f β függvényt. Az ellentett-kategória révén jön egy kézenfekv dualitás a kategóriaelméletben: Ha valamely fogalmat a nyilak (-ból kirakott diagramok) nyelvén meg tudunk fogalmazni, annak rögvest ott van a duális fogalma, amit néhány kivételt l eltekintve mindig a fogalom neve elé helyezett ko- el tag jelez. A direkt szorzat duálisa (koproduktum) a kategóriák körében éppúgy mint a halmazok vagy gráfok körében, a diszjunkt unió: fogjuk a szóban forgó kategóriák egy-egy egymástól diszjunkt izomorf példányát, és ezek unióját vesszük, jelben A \ B. Legyen adott egy A kategória, és képezzük ennek az A Ñ nyílkategóriáját. Jön két egyszer, de fontos funktor A Ñ dom A : az egyik (dom) a baloldal funktor, a cod másik (cod) a jobboldal funktor, melyek egy A Ñ B nyílhoz mint A Ñ -beli objektumhoz A-t illetve B-t rendelik, egy kommutatív négyzethez pedig annak a bal illetve jobb oldalát. Azt mondjuk, hogy ϕ : F ùñ G természetes transzformáció az F, G : A Ñ B funktorok közt, ha ϕ voltaképpen egy A Ñ B Ñ funktor (A pontjaihoz B-beli nyilakat rendel) úgy, hogy ϕ dom F és ϕ cod G. Ekkor tehát A ϕ : A F Ñ A G minden A P ObA-ra, és ezen A ϕ nyilak összessége, ha meg 14
van adva F és G, már meghatározza ϕ-t. A ϕ:f ùñ G és ψ :G ùñ H természetes transzformációk (függ leges) kompozíciója alatt az A ÞÑ A ϕ A ψ természetes transzformációt értjük. Egy ϕ : A Ñ B Ñ természetes transzformációt természetes izomorzmusnak nevezünk, ha minden A P ObA objektumhoz a hozzárendelt A ϕ nyíl egy B-beli izomorzmus. 0.2. Reexiók 0.2. Deníció. Legyen B teljes részkategóriája A-nak, és legyen A P ObA. Ekkor egy f : A Ñ B nyílról azt mondjuk, hogy A reexiónyila B-be, ha B P ObB és minden B-be men g : A Ñ B 1 nyíl egyértelm en átvezethet f-en, azaz D!h P B : g f h. A f B D! h @g Ugyanekkor a B-beli B pontot illetve a h nyilat az A illetve a g (f általi) vetületének hívjuk. Ugyanezt a jelenséget úgy is szokták fogalmazni, hogy f univerzális B 1 tulajdonságú az A-ból induló B-be érkez nyilak között. Azt mondjuk, hogy B reektív részkategória A-ban, ha A minden objektumának van vetülete B-ben. A duális fogalmak a ko-vetület avagy koreexió, illetve a koreektív részkategória. Tehát A ko-vetülete a B a B teljes részkategóriában, ha van olyan f : B Ñ A (koreexió-) nyíl, amire @g :B 1 Ñ A D!hPB : g h f. Központi jelent ség lesz a következ ismert tény: egy objektum vetülete izomorzmus erejéig egyértelm. 0.3. Állítás. Legyen B A teljes részkategória. Ekkor a következ k érvényesek: a) Amennyiben B és B 1 is vetülete A-nak B-ben, úgy B B 1. b) Legyen f :A Ñ B egy reexiónyila A-nak B-be. Ekkor egy f 1 :A Ñ B 1 nyíl (ahol B 1 P ObB) pontosan akkor lesz szintén reexiója A-nak, ha van egy t : B Ñ B 1 izomorzmus, amire f t f 1. Az ilyen t ekkor mindig egyértelm en meghatározott. c) Tegyük fel, hogy A B, B P ObB. Ekkor B az A vetülete B-ben. Bizonyítás. Az a) és c) állítás mindkett közvetlen folyománya b)-nek, így elegend azt megmutatni. Tegyük fel el ször, hogy adott egy A-ból induló másik reexiónyíl, f 1 : A Ñ B 1. Mivel f reexiónyíl és B 1 P ObB, van egyetlen t P B az f 1 -hez, hogy f t f 1, és f- hez is csak egy ilyen van, méghozzá az 1 B. Hasonlóan, minthogy f 1 is reexiónyíl, D!t 1 PB : f 1 t 1 f, de akkor f t t 1 f 1 t 1 f f 1 B miatt t t 1 1 B. Ugyanígy 15
t 1 t 1 B1. Tehát t 1 t -1. Ha meg f 1 f t egy t : B Ñ B 1 izomorzmusra, akkor tetsz leges g : A-ból B-be men nyílhoz D!h : g f h, így ez f 1 -en is egyértelm en vezethet át: g f 1 t -1 h. Példák. 0.2.1. Tekintsük a csoportok (és homomorzmusaik) kategóriájának az Abel csoportok Ab teljes részkategóriáját. Ekkor egy G csoport vetülete Ab-ban a G { rg, Gs kommutátor szerinti faktorcsoportja (illetve minden ezzel izomorf csoport), a reflexiónyíl pedig a kanonikus G Ñ G { rg, Gs leképezés. 0.2.2. Legyen adva egy A kategória két ugyanoda men nyila: f : B Ñ D és g : C Ñ D, tekintsük ezekhez az A kategóriának egy ktív, mondjuk -gal jelölt objektumával vett P f,g b vítését, amelyben az A Ñ nyilak az A B f D C g kommutatív négyzetek, és -ból az identitáson kívül nem indul nyíl. Az összef - zés értelemszer. Ebben a P f,g kategóriában a pont A-ban vett ko-vetületét úgy hívják, hogy pullback: ezen tehát minden f, g jobbalsó szél kommutatív négyzet egyértelm en átvezethet. Set-ben egy f :B Ñ D és g :C Ñ D nyílpár pullback-je reprezentálható a txb, cy P B C b f c g u halmazzal. A pullback duálisát, az egy pontból induló f, g nyílpár pushout-ját jelen tézisben nem használjuk. 0.2.3. Hasonlóan, bármely diagram limeszét lehet így koreexióval, kolimeszét pedig reexióval jellemezni (ld.pl. [JoyCat], 13.27). Amit még használni fogunk, az egy adott A kategóriabeli párhuzamos X f g Y nyílpár koegyenlít je: ehhez az A-t b vítsük megint egy objektummal, amib l indulva a Ñ A nyilak legyenek azon t : Y Ñ A A-beli nyilak, amelyekre f t g t, és vegyük a b vített kategóriában a pont A-beli reexióját (már ha létezik). Ezt Set-ben reprezentálja az a halmaz, amit úgy kapunk, hogy az Y -beli x f és x g elemeket azonosítjuk egymással (minden x P X esetére): X f g Y Y { ahol tehát az a legsz kebb ekvivalenciareláció, amire @x : x f x g. A fenti pullback tehát `megkérdezi B-t és C-t', hogy az f és a g hol egyenl, a koegyenlít pedig `felszólítja Y -t', hogy f és g legyenek egyenl ek. 0.3. Idempotensek Egy e:a Ñ A nyilat idempotensnek hívunk, ha e e e. 16
Figyeljük meg, hogy ha valamely x f, g y nyílpár kompozíciója egyik irányból az AÑBÑA identitás (azaz f g 1 A ), akkor a másik irányból, g f idempotens [ugyanis: g f g f g 1 A f g f]. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a g f : B Ñ B idempotens felhasad (az A objektumon keresztül, g-re és f-re). Az A kategória idempotensen teljes (avagy, Cauchy-teljes 3 ), ha minden idempotens nyila felhasad. Minden kategória kib víthet egy idempotensen teljes kategóriává, erre a 3. fejezetben szükségünk lesz. 0.4. Deníció. Egy adott A kategória idempotens b vítése alatt azt az A id kategóriát értjük, aminek objektumai az A idempotens nyilai, és amiben e, f P ObA id közt akkor megy az eredeti α P A nyíl, ha e, α, f összef zhet ek és e és f bal- ill. jobbegységként viselkedik α-ra nézve: e α f α. Hogy a nyilak eleje és vége A id -ben meghatározott legyen, precízen ezen xe, α, fy nyílhármasokat szokás venni: A id : txe, α, fy e α f αu. Az összef zés marad az eredeti: xe, α, fy xf, β, gy : xe, α β, gy, az egységnyilak (identitások) az xe, e, ey hármasok lesznek. Az A ÞÑ 1 A (és nyilakon α ÞÑ x1 A, α, 1 B y) megfeleltetés A-nak egy teljes AÑB beágyazása A id -be, s minthogy az összef zést A-tól örökli, A id -ben ugyanazok a nyilak lesznek idempotensek, és ezek A id -ben immár mind felhasadnak: ha e:a Ñ A idempotens, akkor A id tehát idempotensen teljes. x1 A, e, 1 A y x1 A, e, ey xe, e, 1 A y. 0.5. Állítás. Egy A kategória e : B Ñ B idempotense pontosan akkor hasad fel az A objektumon keresztül, ha A id -ben 1 A e. Bizonyítás. Mindkét állítás olyan A-beli x f, g y nyílpár létezésér l szól, melyre AÑBÑA g f e és f g 1 A (ez már maga után vonja azt is, hogy x1 A, f, ey P A id és xe, g, 1 A y P A id, mármint hogy 1 A f e f és e g 1 A g). o 0.4. Monoidok Monoidnak, avagy egységelemes félcsoportnak nevezünk egy asszociatív m velettel ellátott halmazt, amelyre nézve a halmazban van egy egyszersmind bal és jobb oldali egységelem. A m veletet egyszer en egymás mellé írással jelöljük, az 3 A metrikus terek háromszögegyenl tlensége dpa, bq dpb, cq dpa, cq és a kategóriák összef zés m velete pa Bq pb Cq Ñ pa Cq közti analógia explicitté tehet lásd [Lawvere], és e tekintetben a kategóriák idempotens teljességének a metrikus terek Cauchy-teljessége felel meg, amikor is minden Cauchy-sorozat konvergens. 17
egységelemet 1-gyel. Tehát minden x, y, z elemére xpyzq pxyqz és 1x x x1 teljesülnek. Legyenek A és B monoidok. Egy f : A Ñ B függvény homomorzmus köztük, ha az A-beli egységelemet a B egységelemébe viszi, és minden a, a 1 P A elemekre paa 1 q f a f a 1 f. Természetesen a monoidok és homomorzmusaik is kategóriát alkotnak, a monoidok kategóriáját. Az A és B monoidok közti két oldali hatás vagy idegen szóval biakt, az egy M halmaz, ellátva egy A M Ñ M és egy M B Ñ M függvénnyel (amiket szintén egymás mellé írással jelölünk), úgy, hogy 1m m, m1 m, pamqb apmbq, a 1 pamq pa 1 aqm és pmbqb 1 mpbb 1 q teljesül minden a, a 1 P A, m P M, b, b 1 P B elemekre. Egy A és B monoidok közti biaktot röviden így jelölünk: M : A B. Ha M : A B és N : C D monoidok közti biaktok, f : A Ñ C és g : B Ñ D monoidhomomorzmusok, akkor egy h : M Ñ N leképezést f, g menti biakthomomorzmusnak nevezünk, amennyiben minden a P A, m P M, b P B elemekre pambq h a f m h b g. Gyakran használt speciális esetben A C, B D és f és g is identitás. Ezeket a kongurációkat kés bb így is ábrázoljuk: A M f h B g C N D illetve A M h B N Példák. 1. Minden A monoid tekinthet A A biaktnak: a bal és jobb oldali hatást is az eredeti monoidm veletként értelmezve. 2. Bármely, egységelemes gy r k közti bimodulus magában foglal egy biaktot, amit úgy kapunk, hogy az additív struktúrákat egyszer en gyelmen kívül hagyjuk. 3. Hasonlóan, egy G csoport K test feletti lineáris reprezentációja egy V vektortéren (jobboldali hatással) meghatároz egy K G biaktot: a vektortér struktúrából adódóan K multiplikatív monoidja balról hat V -n, míg G a reprezentáció szerint jobbról. A két hatás felcserélhet sége (a fenti 'pamqb apmbq' kitétel) abból következik, hogy G minden eleme V -nek egy lineáris transzformációját határozza meg a reprezentációban. Legyenek A, B, C monoidok, M egy A-B-biakt, és N egy B-C-biakt. Értelmezzük ekkor az M N tenzorszorzatot az alábbi módon: B 18
M N : M N { B ahol is az a legsz kebb ekvivalenciareláció, amelyre xmb, ny xm, bny teljesül bármely m P M, n P N, b P B esetén. Az ilyen helyzetekben a faktorhalmaz elemeit továbbra is xm, ny párokkal jelöljük. Ugyanezt megfogalmazhatjuk az alábbi két M B N Ñ M N függvény koegyenlít jeként is: xm, b, ny ÞÑ xmb, ny és xm, b, ny ÞÑ xm, bny. Az M N tenzorszorzat örökli az A monoid M-en való baloldali hatását, és a C B monoid N-en való jobboldali hatását, tehát egy A C biakt lesz. Vegyük észre, hogy gyakorlatilag egy monoid nem egyéb, mint egy egy objektumú kategória: a monoid elemeinek az egy objektumú kategória nyilai felelnek meg, az összef zés asszociatív, és bármely két nyíl összef zhet. Ugyanekkor a monoidok közti homomorzmusok épp a megfelel egy objektumú kategóriák közti funktorok lesznek, a biaktok pedig a kés bb bevezetend ágaknak avagy profunktoroknak felelnek meg, ld. 2.1 és 2.2. def. Ezen túlmen en, a kés bbiekben (1.11.1.13. def.) a monoid, monoidhatás, biakt fogalmak további általánosítását ismertetjük, és a tenzorszorzatot a fenti koegyenlít vel fogjuk deniálni. 19
1. Bikategóriák 1.1. Deníció (Bikategória). Legyen adott egy G irányított gráf, és G minden A, B pontpárjához egy pabq-val jelölt (ún. hom-) kategória, amire ObpABq ta Ñ B G-beli éleku. pabq morzmusait 2-celláknak hívjuk, G pontjait és éleit objektumoknak és nyilaknak (0- és 1-cellák). Legyenek f, g P ObpABq, egy köztük men ϕ:f ùñ g 2-cellát így rajzolunk: A f ϕ g B (mindig felülr l lefelé irányul). Legyen adott továbbá minden n P N természetes számhoz és minden A 0, A 1,..., A n pontsorozathoz egy A0,...,A n : pa 0 A 1 q pa n 1 A n q ÝÑ pa 0 A n q funktor, az úgynevezett vízszintes kompozíció. Ez tehát G minden xf 1, f 2,.., f n y : A 0 A n útjához egy A 0 Ñ A n nyilat rendel, amit a továbbiakban egyszer en csak f 1 f 2... f n jelöl, valamint, ha ϕ i P pa i 1 A i q 2-cellák i 1, 2,..., n, akkor az általuk alkotott n-es A0,...,A n funktornál vett képét ϕ 1... ϕ n jelölje: f 1 f 2... f n : xf 1, f 2,..., f n y A 0,..,An ϕ 1 ϕ 2... ϕ n : xϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n y A 0,..,An Fontos ide érteni az n 0 esetet is: A0 az üres direkt szorzatból (az egy objektumú diszkrét kategóriából) megy pa 0 A 0 q-ba, magyarul, kijelöl egy ottani elemet, amit az A 0 objektum vízszintes egységének hívunk és 1 A0 -val jelölünk. Ez az alant taglalt zárójelezhet ségi kritériumok [azaz az asszociativitási feltétel] miatt ténylegesen egységként fog viselkedni, izomorzmus erejéig. Azt is feltételezzük, hogy minden 1 hosszú út vízszintes kompozíciója önmaga 4, azaz A,B id pabq. Legyenek f 1,..., f n egymást követ nyilak, i P t1,..., nu és ϑ:f i ùñ g i. Ekkor a ϑ-hoz hozzáf zött f 1,.., f i 1, f i 1,.., f n nyilak alatt a következ 2-cellát értjük: f 1..f i 1 ϑf i 1..f n : 1 f1.. 1 fi 1 ϑ 1 fi 1.. 1 fn Ez magában foglalja a következ, gyakrabban el forduló rövidítéseket: fϑ : 1 f ϑ, ϑg : ϑ 1 g, fϑg : 1 f ϑ 1 g. Ily módon, ha ϑ:u ùñ v, akkor fϑ:fu ùñ fv, fϑg :fug ùñ fvg, stb. 4 Igazából, bizonyos példákban volna értelme felvetni, hogy egy tag zárójelezése (egyváltozós kompozícója) is csak izomorf önmagával, nem feltétlenül identikus. Érdemben nem változtatna semmit, csak egy fokkal komplikálná a tárgyalást. Leinsternél nincs is kikötve, [Leinster]. 20
ó ó Az egyértelm megkülönböztethet ség miatt az eredeti pa Bq kategóriákban adott (ún. függ leges) kompozíciót mindig jelöli, a vízszintes kompozíciót meg vagy egymás mellé írás, a fentiek szerint. Vegyük észre, hogy a függ leges kompozíció élben találkozó kompozíció pontban találkozó 2-cella-párokon van értelmezve, míg a vízszintes ó ó 2-cella-párokon, valamint nyilakon. Megköveteljük továbbá, hogy ez a A0...A n funktorokból álló m veletcsalád izomorzmus erejéig asszociatív legyen, méghozzá koherens módon. Azt, hogy izomorzmus erejéig asszociatív, úgy értjük, hogy minden xf 1, f 2,..., f n y : A 0 A n útra és minden i, j indexpárra (0 i 1 j n) f 1... f n f 1.. pf i.. f j q.. f n. Míg azt, hogy koherens módon, úgy értjük, hogy ezek közt lerögzíthet k bizonyos természetes izomorzmusok 5, ι A0.. A n,i,j : f 1... f n ùñ f 1.. pf i.. f j q.. f n, méghozzá úgy, hogy ha két zárójelpárt teszünk be egy ilyen n tényez s vízszintes kompozícióba (a ι-k mentén), akkor mindegy, melyiket tesszük be el ször. Azaz, Koherencia axióma: Minden xf 1, f 2,..., f n y : A 0 A n út esetén, ha az i j 1 indexekre helyezett zárójelpár diszjunkt a k l 1 zárójelpártól [l i vagy j k], vagy pedig teljesen magában foglalja [i k és l j], akkor a rögzített ι izomorzmusokból keletkez alábbi diagramok kommutálnak az pa 0 A n q homkategóriában 6 : ι ij f 1 f 2... f n f 1.. pf i.. f j q.. f n ι k 1 l 1 ι kl f 1.. pf k.. f l q.. f n ι ij f 1.. pf i.. f j q.. pf k.. f l q.. f n ι ij f 1 f 2... f n f 1.. pf i.. f j q.. f n ι kl f 1.. pf k.. f l q.. f n ι ij 1 f 1.. ι k 1 l 1.. f n f 1.. pf i.. pf k.. f l q.. f j q.. f n Az i j esetben az pf i q f i feltétellel összhangban megköveteljük, hogy minden ι ii identitás legyen. Ugyanígy, minden n-re (és A 0,.., A n objektumokra) ι 1n -r l is ami az egész kompozíciót bezárójelezné egy taggá feltesszük, hogy identitás. 5 A A0,...,A n és a id pa0 A 1q... Ai 1,..,A j id pan 1 A nq A0,..,A i 1,A j,..,a n funktorok között. 6 A fels ábra a j k esetet illusztrálja, ahol is k 1 k pj iq és l 1 l pj iq. Az alsó ábra az i k és l j esetet, itt j 1 j pl kq, k 1 k i 1 és l 1 l i 1. Innent l fogva, a jobb áttekinthet ség érdekében az ι-k indexébe már nem tesszük be az A 0,..., A n objektumokat ill. a megfelel (A i,..., A j, stb.) részhalmazait. 21
Megjegyezzük továbbá, hogy mivel az A j objektumon elhelyezett üres zárójel (amikor i j 1) az A j A j üres út Aj általi összef zöttjét, az 1 Aj vízszintes egységnyilat jelenti, ι j 1,j egy f 1 f 2... f n ùñ f 1... f j 1 Aj f j 1... f n izomor- zmust ad, ami egyszersmind tanúsítja, hogy 1 Aj valóban egységként m ködik. Egy, a fenti tulajdonságokat teljesít pg, tpa Bqu A,B, t A0.. A n u, tι A0.. A n,i,juq rendszert bikategóriának nevezünk (vö. unbiased bicatgeory: [Leinster]). Egy B bikategória objektumainak (azaz a G gráf pontjainak) a halmazát ObB jelöli, az összes 2-cella halmazát pedig maga B. Megj. Ha B-nek csak egy objektuma van, akkor az lényegében egy monoidális kategória, pl. [Leinster] értelmében; ugyanúgy, ahogy egy egy objektumú kategória lényegében monoid. Az egyes példákban a koherencia-izomorzmusok kézenfekv en fognak adódni, ld. 1.1.1. pl. Speciálisan, ha egy adott A objektumon vett 0 hosszú útra felírjuk a koherencia axiómat (az egyetlen lehetséges) i k 1 és n j l 0 értékekkel, akkor azt kapjuk, hogy ι 10 ι 10 ι 10 ι 21, ahol, a fentiek értelmében, mivel minden n-re ι 1n identitás, ι 10 1 1 A, következésképp a két 1 A ùñ 1 A 1 A koherencia-izomorzmus, ι 10 és ι 21 egybeesik. A vízszintes kompozíció funktorialitásából adódik többek közt a következ, gyakran használt összefüggés, mely a `bikategória-kalkulus' központi eleme, a felcserélési tulajdonság: A f ϕ f 1 B g ψ C esetén fψ ϕg 1 ϕ ψ ϕg f 1 ψ. (1) g 1 Ugyanis, a fent bevezetett rövidítésekkel a bal oldal: fψ ϕg 1 p1 f ψq pϕ 1 g1 q p1 f ϕq pψ 1 g1 q ϕ ψ, használván, hogy a m velet (azaz ABC ) funktor. Ugyanígy jön a másik oldal is. o A koherencia axióma azért jó és azért kell, hogy bármely n tényez s vízszintes kompozíció bármely két zárójelezése közt legyen pontosan egy kijelölt izomorzmus, 7 ami mentén átjárhatunk a különféle sorrendben elvégzett részkompozíciók kompozíciói közt, és ezáltal egyértelm értelmet nyernek az alábbi 7 Ez amúgy MacLane nevezetes koherencia tétele, [MacLane], mely a mi (redundáns) deníciónkból közvetlenül adódik, teljes indukcióval. Ld. még az A. Függeléket. 22
példákhoz hasonló, az elkövetkezend kben gyakran alkalmazott, kissé pongyola megfogalmazások: 1. Ha egy B bikategóriában egy adott ϱ:fg ùñ u 2-cellához egy jobbról hozzáf zhet h nyilat f zünk (értsd: ϱ 1 h ), akkor egy ϱh:fgh ùñ uh 2-cellát kapunk. 2. Ha egy ϑ : fgh ùñ 1 A 2-cellához balról hozzáf zünk egy v nyilat, akkor egy vϑ:vfgh ùñ v 2-cellát kapunk. Noha precízen az 1.-ben szerepl ϱh voltaképp pf gqh ùñ uh, ezt kell komponálni balról a megfelel ι 12 : fgh ùñ pfgqh izomorzmussal, hogy fgh ùñ uh-t kapjunk, valamint a 2.-beli vϑ szigorúan véve vpfghq ùñ v1 A alakú 2-cella, amit balról a megfelel ι 24 :vfgh ùñ vpfghq-val, jobbról pedig a ι -1 21 :v1 A ùñ v-vel kell komponálni, hogy ténylegesen a jelölt vf gh ùñ v 2-cellához jussunk. Noha ezek a ι ij zárójelezési (avagy koherencia) izomorzmusok elég fontos szerepet játszanak a bikategóriák axiomatikus elméletében, az olvashatóság érdekében mégis le szokás hagyni ket. Minden zárójel átrendezésnél implicite oda kell érteni a köztük men, ι-kból egyértelm en felépíthet izomorzmust. Ahol felépítés alatt, egy rögzített út esetén, a következ m veletek egymásutánját értjük: - függ leges kompozíció, ( ) - inverz, ( -1 ) - az adott útban szerepl nyilak hozzáf zése. Példaként vegyük egy xf 1, f 2, f 3, f 4, f 5 y út két zárójelezését, f 1 p1 B f 2 pf 3 f 4 qqf 5 -et és pf 1 f 2 q1 C pf 3 f 4 f 5 q-et. Az ezek közt men koherencia-izomozmust megkaphatjuk a zárójelek (ι-k menti) felbontásával, például így: f 1ι -1 10 f 1 p1 B f 2 pf 3 f 4 qqf f5 f 1ι -1 23 5 ùñ f 1 pf 2 pf 3 f 4 qqf f5 ι -1 24 5 ùñ f 1 pf 2 f 3 f 4 qf 5 ùñ f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 ùñ f 1 f 2 1 C f 3 f 4 f 5 ùñ pf 1 f 2 q1 C f 3 f 4 f 5 ùñ pf 1 f 2 q1 C pf 3 f 4 f 5 q ι32 ι12 ι35 A koherencia axióma biztosítja, hogy bármilyen sorrendben is bontjuk fel a zárójeleket, az ezen felbontásokat megvalósító koherencia-izomorzmusok kompozíciója mindig ugyanazt adja. Hogy azonban a precizitást egy fokkal jobban megtartsuk, bevezetjük a következ rövidítéseket: Ha egy α 2-cellának a végpontja az f : xf 1, f 2,.., f n y útnak valamely zárójelezett vízszintes kompozíciója, és egy β 2-cellának a kezd pontja ugyanezen útnak esetleg egy máshogyan zárójelezett vízszintes kompozíciója, akkor az α és a β végs soron összef zhet lesz, a megfelel ι-kból felépített egyértelm izomorzmus közbeékelésével. 23
Jelölje I f az f út különféleképpen zárójelezett vízszintes kompozíciójai közt men, ι-kból a fentiek szerint felépített izomorzmusok halmazát, és jelölje ekkor egyszer en csak α β az α ι β szorzatot a megfelel ι P I f -fel. Ezenkívül, ha most az α és β 2-celláknak az eleje ugyanazon u út valamely zárójelezése, és mindkettejük vége ugyanazon v út valamely zárójelezése akkor α β jelentse azt, hogy léteznek olyan ι P I u, ι 1 P I v izomorzmsok, amikre α ι 1 ι β. A konkrét alkalmazások mindegyékénél a szerepl kezd u, köztes f és végz v utak mind értelemszer ek lesznek a szövegkörnyezetb l. Figyeljük meg, hogy ha α β, és az elejük és végük ugyanazon zárójelezése, akkor α β. ugyanannak az útnak Amennyiben a vízszintes kompozíció szigorúan asszociatív, azaz mindegyik ι ij nyíl identitás az ilyet 2-kategóriának hívják, akkor ténylegesen α β α β és pα βq ô pα βq. A kés bbiekben implicite használni fogjuk a következ állítást, amelyben az I f - ekr l tulajdonképpen csak annyit használunk, hogy az elemei izomorzmusok. 1.2. Állítás. Tegyük fel, hogy a fenti értelemben α β γ. a) Ha γ jobbinvertálható, akkor α is. b) Ha γ balinvertálható, akkor β is. Bizonyítás. a): A feltétel szerint megfelel ι, ι 1, ι 2 invertálható 2-cellákkal α ι β ι 1 ι 2 γ. Legyen ϑ egy jobbinverze γ-nak, akkor jobbról ϑ ι 2-1 -vel szorozva egységet kapunk: α pι β ι 1 ϑ ι 2-1 q 1 f. Ugyanígy igazolható a b) is. Példák. 1.1.1. pset, q: Vegyünk egy darab ktív objektumot, jelöljük mondjuk -gal. A ( Ñ ) nyilak legyenek a halmazok, a 2-cellák pedig a függvények közöttük. A vízszintes kompozíció legyen a direkt szorzás: H 1 H 2... H n halmazokhoz H 1 H 2... H n : H 1 H 2... H n, (aminek a xh 1, h 2,..., h n y alakú Ñ Ñ Ñ elem-n-esek az elemei, h i P H i ). Ez értelemszer en kiterjed a 2-cellákra. Az 1 egységnyíl pedig legyen egy rögzített egyelem halmaz (ami valóban egységként viselkedik: txu A A A txu). A koherencia-izomorzmusokat az elem n-esek átcsoportosításai adják: ι ij :H 1 H 2... H n ÝÑ H 1.. ph i... H j q.. H n xh 1, h 2,..., h n y ÞÝÑ xh 1,.., xh i,..., h j y,.. h n y. A 0 hosszú út esetében (amikor i j 1), a j. és az i. hely közé bekerül még 1 egyetlen, x-szel jelölt eleme: xh 1, h 2,..., h n y ÞÝÑ xh 1, h 2,.., h j, x, h i,.., h n y. 24
1.1.2. Cat: A kategóriák, funktorok és természetes transzformációk 2-kategóriája. Ebben a nyilak (vagyis a funktorok) kompozíciója szigorúan asszociatív: pf GqH F pghq. Ha A F ϕ F 1 B G 1 G ψ C természetes transzformációk, akkor a ϕ ψ vízszintes kompozíció az A P ObA objektumhoz rendelje az A ϕ nyílhoz adott pa ϕ q ψ : A ϕg A F ψ # A ϕg 1 A ϕf 1 kommutatív négyzetbeli A F ψ A ϕg1 kompozíciót, azaz ϕ ψ az (1) azonossággal értelmezhet, a többváltozós vízszintes kompozíció pedig a szigorú asszociativitás révén. 1.1.3. Egy adott A kategóriát minden további nélkül elláthatunk a nyilakhoz tartozó identikus 2-cellákkal, ezáltal egy 2-kategóriát kapunk (szigorúan asszociatív bikategóriát). Ebben tehát ha ϑ:f ùñ g 2-cella, akkor f g és ϑ 1 f. 1.1.4. pab, bq: Akárcsak 1.1.1.-ben, vegyünk egy (újfent -gal jelölt) ktív objektumot, a nyilak legyenek az Abel-csoportok, és a 2-cellák a köztük men csoporthomomorzmusok. A nyilak összef zése legyen a szóban forgó Abel-csoportok tenzorszorzata. Az 1 egységnyíl pedig legyen az egész számok Z Abel-csoportja. 1.1.5. Biact: Ezt lényegében felvezettük a 0.4. részben: a pontjai legyenek a monoidok, nyilai a köztük értelmezett biaktok, 2-cellái pedig a speciális biakthomomorzmusok. A nyilak összef zése a biaktok tenzorszorzata. 1.1.6. Bimod: Az el bbinek az additív megfelel je: pontjai az egységelemes gy - r k, nyilai a bimodulusok, 2-cellái a bimodulus-homomorzmusok. A nyilak összef zése megint csak a tenzorszorzás. 1.1.7. Span: A halmazok, a páros gráfok és a köztük men gráfmorzmusok bikategóriája. Ebben a nyilak (a páros gráfok) összef zése a villa diagramok pullbackjeként értelmezhet, vagy elemien: az E : A B és F : B C páros gráfok kompozíciójának az élei az egymást követ xe, fy élpárok (e P E, f P F és e v f k P B). Analóg módon értelmezhet minden n-re az n-szeres kompozíció: élei az egymást követ él-n-esek, illetve n 0-ra, egy adott A objektum (mint 0 hosszú út) kompozíciója id A A az id A identikus páros gráf. A A Ha E és F is páros gráf (élhalmaza) az A és B halmazok közt, akkor egy E Ñ F függvény akkor lesz Span-beli 2-cella, ha megtartja a kezd - és végpontokat, azaz, ha xid A, f, id B y (páros gráf)-morzmus a 0.1. def. 6. pl. értelmében, tehát a pontok helyben maradnak. 25