Tóth : Eektromos áram/1 1 Eektromos áram tapasztaat szernt az eektromos tötések az anyagokban ksebb vagy nagyobb mértékben hosszú távú mozgásra képesek tötések egyrányú, hosszútávú mozgását eektromos áramnak nevezk küönböző anyagokban küönböző tötéshordozó részecskék mozoghatnak (eektronok, onok), és a tötésmozgás küönböző mechanzmusokka vaósuhat meg hhoz, hogy egy anyagban tötésáramás ndujon e, az anyag besejében eektromos erőteret pontja között eektromos potencáküönbséget ke étrehozn zt a jeenséget, hogy az anyagban eektromos erőtér hatására eektromos áram jön étre eektromos vezetésnek nevezk dott eektromos térerősség hatására a küönböző anyagokban küönböző erősségű tötésáramás jön étre, vagys az anyagok az eektromos vezetés szempontjábó küönböző tuajdonságúak hhoz, hogy a tötéshordozók áandóan egy rányban mozogjanak, vagys az anyagban áandó eektromos áram jöjjön étre, benne áandó eektromos erőteret (potencáküönbséget) ke fenntartan, és bztosítan ke, hogy mndg egyenek mozgásképes tötéshordozók Eektromos teret (potencáküönbséget) egy anyagban étrehozhatunk p úgy, hogy két végét egy fetötött kondenzátor két fegyverzetéhez kapcsojuk (a) ábra) Ekkor az anyagban az U potencáküönbség hatására étrejön egy eektromos áram, de ez az áram eőbb-utóbb anyag anyag U - - kondenzátor E U F e munka teep - a) b) megszüntet a potencáküönbséget: ha p az anyagban a poztív tötések tudnak mozogn, akkor a magasabb potencáú (poztív tötésű) odaró a poztív tötések átmennek az aacsonyabb potencáú (negatív tötésű) odara, aho semegesítk a negatív tötéseket (a kondenzátor ksü ), így az áram s megszűnk z áandó áram fenntartásához a kondenzátor heyére tehát egy oyan eszközt ke eheyezn, amey a negatív odara megérkező poztív tötéseket vsszavsz a poztív odara, ezze fenntartja a potencáküönbséget, és egyútta bztosítja, hogy a poztív tötések újra körbemenjenek az anyagban yen eszközök éteznek, ezeket a továbbakban áramforrásnak vagy feszütségforrásnak nevezzük z áramforrás működésének aapeve a b) ábrán átható, aho smét poztív tötéshordozókat téteeztünk fe z áramforrás a tötésmozgást akadáyozó (az ábrán F e erőt kfejtő) eektromos erőtér (E) eenében munkavégzés útján a poztív tötéseket a teep besejében vsszavsz a teep poztív odaára, és így az áram áandóan fennmarad z áramforrások működéséhez szükséges munka többfée foyamat segítségéve bztosítható, eggyakrabban specás kéma reakcóbó származk z áramforrások működéséve később fogakozunk
Tóth : Eektromos áram/1 2 z eektromos áram aaptörvénye Most anékü, hogy az egyes vezetés mechanzmusokat, az egyes anyagok vezetés tuajdonságat megvzsgánánk az eektromos áram átaános eírására akamas mennységekke, az eektromos áramra vonatkozó átaános törvényekke fogakozunk Egyeőre azt téteezzük fe, hogy a tötéshordozó részecskék poztív tötésűek, mert történet okok matt az áramra vonatkozó megáapodások s poztív tötéshordozók esetére vonatkoznak apfogamak, az eektromos áram jeemzése z áram közeítő jeemzésére hasznáhatjuk a vezető keresztmetszetén egy rányban átfoyt tötés ( Q) és az átfoyás dő ( t) hányadosát: Q t z így defnát mennység a t dőtartamra vonatkozó átagos eektromos áramerősség Ha az áramerősséget egy adott dőpanatban akarjuk megadn, akkor az Q dq = m =, t 0 t dt mennységet hasznáhatjuk, amt panatny eektromos áramerősségnek nevezünk 1 Ha az áramerősség dőben nem vátozk, akkor az eektromos áramot dőben áandó-, degen szóva staconárus áramnak nevezk z áramerősség a keresztmetszetre vonatkozó átagos mennység (a keresztmetszet küönböző részen küönböző ehet a tötésáramás üteme) keresztmetszeten beü okás tötésáramás jeemzésére vezették be az áramsűrűséget, ameynek nagyságát közeítőeg egy az áramás rányára merőeges nagyságú eem feüeteemen átfoyó áram és a feüet hányadosa adja meg (a) ábra): j feüet egy pontjában az áramsűrűség pontos értékét a már smert módon kapjuk: j = = m = d t 0 d (az áramsűrűség számértéke: egységny feüeten egységny dő aatt áthaadt tötés) Ha az áramsűrűségge egyútta az áram rányát s jeemezn akarjuk, akkor oyan vektorként defnáhatjuk, ameynek ránya az áramás rányáva egyezk meg (a) ábra): α u j u j = ju = u, d aho u az áram rányába vagys a poztív tötések mozgásrányába mutató egységvektor a) b) 1 defnícóban egy dfferencáhányados szerepe, am matematkaag a következőképpen értendő vezető adott heyén átmenő össztötés az dő függvénye, azaz Q = Q( t ) (ha p a tötések mndg ugyanabban az rányban mozognak, akkor Q a t-nek monoton növekvő függvénye) Egy t dő aatt átment Q tötést ennek a függvénynek a Q = Q( t t ) Q( t ) megvátozása adja meg z áramerősség tehát Q( t t ) Q( t ) dq( t ) = m = t 0 t dt, vagys a Q(t) függvény t szernt dfferencáhányadosa
Tóth : Eektromos áram/1 3 z a tény, hogy annak dején az áram rányát a térerősségge azonos rányban mozgó tötések vagys a poztív tötések mozgás rányaként defnáták, azza a következménnye jár, hogy ha a tötéshordozók negatív tötésűek (ez a heyzet p a fémekben), akkor az áram ránya eentétes a tötéshordozók tényeges mozgás rányáva Ha a feüeteem nem merőeges az áramás rányára (b) ábra), akkor = cosα matt j etve j = cosα dcosα Ugyanez vektor aakban j = u dcosα Ennek aapján egy feüeteemen átfoyó áram kfejezhető az áramsűrűség nagyságáva s = j cosα Ezze egy véges feüeten átfoyó tejes áram s megadható, ha az egyes feüeteemeken átfoyó áramokat összeadjuk: j cosα Ha bevezetjük a feüeteemre merőeges N szög éppen a feüetvektor és az áramsűrűség-vektor áta bezárt szög Ezért az eem feüeten átfoyó áram e két vektor skaárs szorzataként s feírható: = u feüetvektort (baoda ábra), akkor átható, hogy az α 1 j 1 α u N α j j = j Véges feüeten átfoyó tejes áram ennek aapján (jobboda ábra): = m 0 j = jd Ohm törvény, eektromos eenáás, vezetőképesség z áramot okozó U potencáküönbség (feszütség) és az áramerősség között a mérések szernt (ábra) neárs összefüggés van: ~ U, szokásos aakjában 1 R=U/=20/4=5 ohm = U etve U = R 6 R tt R adott vezető és adott körümények között áandó, 4 értéke az U grafkonbó meghatározható z összefüggés Ohm-törvény néven smert z R jeemző 2 a vezető eektromos eenáása, am függ az anyag 0 mnőségtő, a vezető geometra adatató és a 0 10 20 30 körüményektő (p hőmérséket) defnícó aapján U (V) az eenáás egysége: V/, amt ohm-nak neveznek ()
Tóth : Eektromos áram/1 4 z eenáás enevezés onnan származk, hogy értékének növeésekor egyébként azonos körümények között a vezetőn foyó áram csökken, vagys a vezetőnek az áramma szemben tanúsított eenáása nő KÍSÉRLETEK: Ha egy zzóámpán és a hozzá kapcsot rövd üvegrúdon át egy teeppe áramot hozunk étre, akkor az zzóámpa nem vágít, mert az üveg nagy eenáása matt nem foyk át rajta eég nagy áram Ha az üvegrudat fezzítjuk, a ámpa kgyuad, am azt mutatja, hogy az áram megnőtt, vagys az üveg eenáása a hőmérséket növeésekor csökken Tszta (desztát) vízbe két nem érntkező fémemezt teszünk Ha egy zzóámpán és a fémemezekke a vízen át egy teeppe áramot hozunk étre, akkor az zzó nem vágít vízbe sót szórva a ámpa kgyuad: a sós víz eenáása sokka ksebb, mnt a tszta vízé Ha egy fémszáon és a hozzá kapcsot zzóámpán át egy teeppe áramot hozunk étre, akkor az zzóámpa vágít, mert a rajta átfoyó áram eég nagy a fezzításához Ha a fémszáat femeegítjük, a ámpa kaszk, am azt mutatja, hogy az áram ecsökkent, vagys a fémszá eenáása a hőmérséket növeésekor növekszk Egy vezető eenáása a mérések szernt függ a vezető anyagátó, a vezető geometra adatató (méret) és a fzka körüményektő (p hőmérséket) Egyenetes keresztmetszetű vezető eenáása Ohm mérése szernt arányos a vezető hosszáva () és fordítva arányos a vezető keresztmetszetéve (): R ~ z arányosság tényezőt ρ-va jeöve, az eenáás R = ρ (néha ezt a törvényt s Ohm-törvénynek nevezk) ρ arányosság tényező a vezető geometra adatató már nem függ, csak a vezető anyagátó Ezt az anyagjeemzőt a vezető fajagos eenáásának nevezk (egysége: ohm m) KÍSÉRLET: vezető dróton áandó áramot átfoyatva a feszütség a drót mentén a mért drótszakasz hosszáva arányos, mert U~R és R~ Hasáb aakú vezető méretet és eenáását megmérve, fajagos eenáása kszámítható: ρ = R z Ohm-törvénynek egy másk aakját kapjuk, ha fgyeembe vesszük, hogy egyenetes keresztmetszetű, hosszúságú vezető esetén a vezető vége közt feszütség a térerősségge, az áram pedg az áramsűrűségge az aább módon fejezhető k: U = E és = j Ematt az U = R Ohm-törvény aapján 1 j = E = E R ρ 1 Bevezetve a γ = jeöést a ρ
Tóth : Eektromos áram/1 5 j = γe összefüggést kapjuk fajagos eenáás recprokaként defnát γ szntén csak a vezető anyag mnőségétő függ; ez a vezető fajagos vezetőképessége (egysége 1/(ohm m)=ohm -1 m -1 ) z enevezés azza kapcsoatos, hogy ha γ nagy, akkor az anyag jó vezet (eenáása kcs) fajagos vezetőképességge (rövdebben: a vezetőképességge) az áramsűrűség és térerősség összefüggése vektor aakban j = γe, amt dfferencás Ohm-törvénynek neveznek z Ohm-törvénynek ez az aakja amt hasáb aakú vezetőné vezettünk e átaánosan érvényes: egy vezető tetszőeges heyén megadja a térerősség és az áramsűrűség összefüggését (okás törvény) z eektromos áram moekuárs modeje Megepő tapasztaat tény, hogy áandó feszütség (tehát áandó eektromos térerősség) áandó áramot hoz étre Ez azt sugaja, hogy a tötések vaamyen okbó áandó átagos sebességge mozognak Vzsgájuk meg most, hogy az áramerősségre myen összefüggést kapunk, ha a tötéshordozók mozgásábó knduva, moekuárs adatokka próbájuk kszámítan v sebességge mozgó tötéshordozók közü egy feüeten t dő aatt azok haadnak át, ameyek benne vannak a V = v t v t térfogatban (ábra) Ha a tötéshordozók tötése q, térfogat N darabsűrűsége n = (n számértéke az egységny térfogatban v V évő tötéshordozók számáva egyenő), akkor az áthaadt tötés Q = q N = qn V = qnv t V z áram ennek aapján Q = = qnv t Eszernt az áramerősség csak akkor ehet áandó, ha a tötéshordozók sebessége áandó z áramsűrűség nagysága a moekuárs adatokka kfejezve j = = qnv Mve poztív tötéshordozók esetén az áram ránya a tötéshordozók sebességének rányáva egyezk, az áramsűrűség-vektorra azt kapjuk, hogy j = qnv (tt az áramrány defnícója matt a v sebességvektor ránya akkor s a poztív tötések mozgásrányáva egyezk, ha a tötéshordozók negatív tötésűek) Ha ezt az összefüggést összehasonítjuk a korábban kapott j = γe dfferencás Ohm-törvénnye, akkor áthatjuk, hogy tejesün ke a v ~ E összefüggésnek, vagys az Ohm törvény csak akkor tejesühet, ha a tötések átagsebessége a térerősségge arányos fent tapasztaatok pontos magyarázata a kasszkus fzka törvényeve nem adható meg, de a vaóságot közeítő, szeméetes képet kaphatunk egy egyszerű kasszkus mode segítségéve mode szernt a tötések mozgását vaamyen fékező erő akadáyozza, am
Tóth : Eektromos áram/1 6 hasonó a vszkózus közegben mozgó testre ható közegeenááshoz Egy q tötésre az eektromos erőtér áta kfejtett Fe = qe erő meett eszernt egy oyan fékező erő ép fe, amey a sebességéve arányos, és azza eentétes rányú: Ffék = kv Ekkor a mozgásegyenet ma = Fe Ffék = qe kv fékező erő növekvő sebességge nő, így eőbb-utóbb eér az eektromos erőtér áta kfejtett erő értékét Ekkor az eredő erő és így a gyorsuás s nua esz, és a mozgásegyenetbő a kaakut áandó végsebesség ( v ) megkapható: q E kv = 0 q v = E k tt k áandó a tötéshordozók mozgás mechanzmusátó függő jeemző, amey a fent egyszerű modebő nem határozható meg ************************************* tötéshordozókra feírt mozgásegyenet átaában s megodható, hszen kcst átrendezve a v sebességre egy dfferencáegyenetet kapunk dv k q v = E, dt m m ameynek megodása v(0)=0 kezdet fetétee (a tötések nyugaombó ndunak) qe k v = 1 exp t k m tötéshordozók sebessége az eektromos erőtér bekapcsoása után exponencásan nő z áandósut áapot beáásának sebességét az exponensben szerepő k/m hányados szabja meg Jó vezetőkben a sebesség gen rövd 10 dő (nagyságrendben 10 s) aatt gyakoratag a feszütség bekapcsoása után azonna eér az áandósut értékét z dőfüggő megodásbó természetesen ugyanazt kapjuk, mnt a korább megfontoásbó: áandósut q áapotban, vagys a t esetben v = E k ************************************* vszkózus mode a vaóságos vszonyokat nagyon eegyszerűsít, de vaóban azt a tapasztaat áta megerősített eredményt adja, hogy a tötések végsebessége (ezt a továbbakban v-ve jeöjük) arányos a térerősségge: v ~ E, és a mozgás sebesség áandó, ha a térerősség (és így a potencáküönbség s) áandó z arányosság tényező ebbő a modebő nem kapható meg, ezt mérésse határozhatjuk meg Ha a szokásoknak megfeeően ezt az áandót µ-ve jeöjük, akkor az összefüggést az átaánosan hasznát v = µe aakba írhatjuk µ arányosság tényezőt a tötéshordozó mozgékonyságának nevezk (mné nagyobb a µ értéke, anná gyorsabban mozog a tötéshordozó adott térerősség hatására) z áramsűrűség ennek megfeeően a j = qn v = qnµ E aakba írható Ez az Ohm-törvény moekuárs adatokka kfejezett aakja Ezt összevetve a j = γe összefüggésse, azt kapjuk, hogy γ = qnµ, vagys az anyagok vezetőképességét a benne évő tötéshordozók tötése, a tötéshordozók térfogat sűrűsége és a tötéshordozók mozgékonysága szabja meg
Tóth : Eektromos áram/1 7 Hőfejődés áramma átjárt vezetőben, a Joue-törvény tötéshordozók az eektromos erőtér áta foyamatosan végzett munka eenére áandó átagsebességge mozognak, vagys az erőtér áta végzett munka a vezetőben mechanka érteemben etűnk, a vezető beső energáját növe ( hővé aaku ) Mve egy Q nagyságú tötésnek U potencáküönbségű heyek között átmeneténé az eektromos erőtér munkája W = QU, az átfoyt tötés pedg az áramerősségge kfejezhető ( Q = t ), a t dő aatt fejődő hő W = U t Egy hosszabb t dő aatt fejődő hőt a W = Ut összefüggés adja meg Ez a Joue-törvény, a fejődő hőt pedg Joue-hőnek nevezk hővé aakut tejesítmény ennek megfeeően W P = = U t hővé aakut eektromos munka etve tejesítmény a moekuárs modebő s kszámítható, ha fgyeembe vesszük, hogy egy tötéshordozó mozgása során az eektromos erőtér tejesítménye P 1 = Fv = qev Egy V térfogatú vezetőben egydejűeg nv számú tötéshordozó mozog (n a tötéshordozók térfogat darabsűrűsége), így az összes tejesítmény: P = nvp1 = nqve = je = U tt fehasznátuk, hogy az hosszúságú, keresztmetszetű vezető térfogata V = tejes munka (etve a beső energa növekménye, szokásos kfejezésse a keetkezett hő) t dő aatt: W = Pt = Ut m azonos a korábban más úton kapott Joue-törvénnye tejesítmény kfejezhető okás mennységekke s: P nvp = nqvev = = 1 nqµ E V = γe V z egységny térfogatban eveszett tejesítmény ennek aapján P p = = γ E 2 = je V 2 2