1 Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához Előző dolgozatunkkal melynek címe: A ferde körkúp palástfelszínének meghatározásához már mintegy megágyaztunk a jelen írásnak. Több mindent itt már nem magyarázunk el, amiről korábban már bőven esett szó. A kifejtés során felhasználjuk az [ 1 ] forrást is. Először tekintsük az 1. ábrát! Itt feltüntettük a feladat alapadatait: ~ az ellipszis ( a, b ) féltengelyeit; ~ a kúp csúcsának ( u, v, h ) koordinátáit. 1. ábra Tudjuk, hogy a kúp felszíne két részből áll: Ebből ismerjük az első tagot [ 2 ] : ( 1 ) ( 2 ) A közvetlen feladat ( 1 ) második tagjának meghatározása. A palást felületeleme: ( 3 ) Az elemi háromszög f magassága az 1. ábra szerint: ( 4 )
2 Most tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra Itt az ellipszis egy P( t ) pontjának kétkörös szerkesztését, ezzel együtt az ellipszis para - méteres egyenletrendszerének előállítását mutatjuk meg; így: ( 5 ) ahol t: a szögparaméter. Az ívelem kifejezése: ( 6 ) ahol ponttal jelöltük a t szerinti differenciálást. Majd ( 5 ) - ből, a P indexet elhagyva: ( 7 ) Most ( 6 ) és ( 7 ) - tel: Bevezetve az jelölést, ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 8 ) ( 9 ) ( 10 )
3 Most meghatározzuk ( 3 ) - hoz f - et. Ehhez ( 4 ) szerint kell a k távolság is. Ehhez tekintsük a 3. ábrát! Erről a φ segédszög meghatározása olvasható le. 3. ábra Eszerint: tehát: ( 11 ) Érdemes a 3. ábra kapcsán megjegyezni, hogy a t paraméter és a ϑ polárszög eltérőek. Ezután tekintsük a 4. ábrát! Erről leolvasható, hogy a k távolságra: ( 12 ) A k( t ) kapcsolat előállításához alkalmazzuk az alábbi trigonometriai összefüggéseket: ( 13 )
4 4. ábra Ezután ( 11 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 ) Most ( 5 ), ( 12 ) és ( 14 ) - gyel: ( 15 ) Átalakításokkal:
5 tehát: ( 16 ) Bevezetve a jelölést, ( 16 ) átírható ( 9 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 ) ( 18 ) Most ( 4 ) és ( 18 ) szerint:. ( 19 ) Majd ( 3 ), ( 10 ) és ( 19 ) - cel: tehát: ( 20 ) Integrálva: ( 21 ) A rövidítő jelöléseket ( 9 ) és ( 17 ) szerint feloldva ( 21 ) így alakul: ( 22 ) A ( 22 ) integrál adja meg a keresett palástfelszínt. Ennek ismeretében a teljes felszín is számítható ( 1 ), ( 2 ) és ( 22 ) szerint. Ezzel feladatunkat megoldottuk.
6 Megjegyzések: M1. A 3. ábra alapján még felírhatunk néhány hasznos összefüggést. Egy P ellipszispontra fennállnak az alábbiak: ( 23 ) ( 24 ) Innen: ( 25 ) folytatva: ( 26 ) A ( 26 ) egyenlet az ellipszis polárkoordinátás egyenlete, amikor a pólus az ellipszis O centruma. M2. A t és ϑ szögek összefüggéséhez ( 24 ) és ( 23 ) osztásával: innen: ( 27 ) M3. A ρ( t ) összefüggéshez pedig ( 23 ) és ( 24 ) szerint: innen: ( 28 )
7 M4. Látjuk, hogy a t paraméter alkalmazása kevésbé szemléletes, mint ϑ - é, ám így talán egyszerűbbek a számítások. M5. Az 1. ábra szerint feladatunk felvétele az általános esetet tartalmazza, vagyis amikor a kúp C csúcsa nincs benne az 1. ábra Oxz vagy Oyz síkjában. M6. A ( 22 ) integrál minden bizonnyal elliptikus, azaz nem fejezhető ki elemi függvé - nyekkel [ 2 ]. De már az ellipszis kerületét megadó, ( 8 ) - ból kapható egyszerűbb ( 29 ) integrál is elliptikus.( Innen kapta a nevét. ) Ugyanilyen alakú integrál áll elő v.ö. [ 1 ] az egyenes ellipsziskúp esetében is, amikor u = v = 0. Részletezve, ( 22 ) - ből: ( 30 ) majd: ( 31 ) vagyis ( 30 ) és ( 31 ) - gyel: ( 32 ) ahol: ( 33 ) Látjuk, hogy ( 29 ) és ( 32 ) teljesen hasonló alakú kifejezések, vagyis ( 32 ), illetve ( 30 ) is elliptikus integrál. A ( 22 ), ( 29 ) típusú integrálokra közelítő képleteket, illetve becsléseket szoktak felállítani. Ilyenekre látható példa [ 1 ], [ 2 ] - ben is. Egyébként pedig kiszámításukra numerikus módszereket alkalmaznak, melyekkel egy - egy konkrét esetre nyerhetők kellően pontos számszerű eredmények. M7. Ha a ( 30 ) képletben elvégezzük az a = b = r helyettesítést, úgy előáll az egyenes körkúp zárt alakú palástfelszín - képlete: ( 34 )
8 Források: [ 1 ] https://de.wikipedia.org/wiki/schiefer_ellipsenkegel [ 2 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Budapest, 1963. Sződliget, 2015. 11. 13. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár