DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK Matematikai Intézet horvath-szovati.erika@emk.nme.hu ÖSSZEFOGLALÓ. A matematika oktatás modernizálása a felsőoktatásban nagon időszerű. A matematikai jelölésrendszer elsajátítása, a matematikai gondolkodásmód kialakítása és a problémamegoldó készség fejlesztése a legfontosabb cél. ABSTRACT. The modernization of mathematics teaching in higher education is ver timel. The notation used in mathematics to learn, develop problem-solving skills and the development of mathematical thinking is the most important goal.. Bevezetés Egre több felsőoktatási intézmén oktatóiban merül fel az a gondolat, hog az egetemi hallgatókat nem lehet a hagomános módszerekkel tanítani. A - évvel ezelőtt használt oktatási módszerek (a tételek, bizonítások vizsgán történő szigorú számonkérése, szóbeli vizsgáztatás, stb.) válságban vannak. Sokszor szembesülünk a régi módszerek negatív következméneivel. Ilen például az, hog a diákokban kialakult tudás nem valódi, hanem látszólagos, azaz nem megérteni próbálják az anagot, hanem csupán értés nélkül memorizálni, és a későbbiekben az ismereteket nem képesek önállóan alkalmazni. Egre többen értünk eget abban, hog oktatás-módszertani megújulásra van szükség a felsőoktatásban. A mesterképzés a mai formájában a 9/-es tanévben indult, a Nugatmagarországi Egetem EMK és SKK karain az alkalmazott matematika tárg oktatását a második évtől, a /-es tanévtől kezdve vettem át nugdíjba vonult kollégáktól. A tantárgi program kidolgozása elődeim munkája, de jelenlegi tantárgfelelősként az oktatás módszertanát és a vizsgáztatás rendszerét véleménem szerint a mai kor elvárásaihoz jobban igazodva megváltoztattam. Ebben a cikkben az azóta összegűjtött tapasztalataimat szeretném összegezni.. A matematikai oktatás során felmerülő általános problémák Az MSc-s hallgatók matematikai alapismeretei más egetemek oktatóinak véleméne alapján is sok esetben hiánosak. Ennek többféle oka lehet. Egrészt a mesterképzés hallgatói sokféle főiskolai, egetemi előélettel rendelkeznek, emiatt a BSc képzésben nem teljesen uganazt a tananagot és nem uganakkora óraszámban tanulták. Másrészt a BSc- MSc rendszer különbözeti vizsgákkal ugan, de meglehetősen nag átjárhatóságot biztosít az eges szakok között. Például körnezetmérnöki MSc szakon találkozhatunk olan hallgatóval is, aki a BSc diplomáját földrajz vag biológia tanári szakon szerezte, emiatt az alapképzésben sokkal kevesebb matematikát tanult, mint a mérnökhallgatók. A matematikai
36 Horváth-Szováti Erika hiánosságok eg másik oka az, hog az utóbbi - évben a felsőoktatás bemeneti oldalát nézve két nag változást történt: tömegessé vált a felsőoktatás (ez a folamat már a 9-es években megindult), illetve a 4/5-ös tanévben bevezették a kétszintű érettségit. Az általunk jelenleg oktatott hallgatók közül kevesen érettségiztek emelt szinten valamilen tárgból, matematikából pedig szinte senki sem. Az Oktatási Hivatal honlapján közzétett prezentációkat (. ábra) elemezve egértelműen látszik, hog a kétszintű érettségi bevezetésétől függetlenül matematikából minden évben gengébb eredmének születnek a többi tárghoz viszonítva. Tehát a kétszintű érettségi bevezetése látszólag nem okozott változást. Az azonban észrevehető, hog a kétszintű érettségi középszinten az elégségesek relatív gakoriságát kissé növelte és közepesekét csökkentette, továbbá kevesebb a jeles, mint a kétszintű érettségi bevezetése előtt volt. Az utolsó öt év adatai alapján azt mondhatjuk, hog napjainkban a diákok kb. 7%-a legfeljebb közepes osztálzatot szerez a középszintű érettségin, és a mi egetemünkre jelentkezők legnagobb része feltehetőleg közéjük tartozik. Jegeloszlás összes tárg -3 (átlag) Jegeloszlás összes tárg középszint -5 3% 3% % % % % % 3 4 5 % 3 4 5 4% 3% % Jegeloszlás matematika -3 (átlag) 5% 4% 3% % Jegeloszlás matematika középszint -5 % % % 3 4 5 % 3 4 5. ábra. Az érettségi jegek eloszlása a kétszintű érettségi bevezetése előtt és -5-ben Az elégségesek számának emelkedése különösen elgondolkodtató, mert a középszintű matematika érettségi jegek nem uganazt a tartalmat tükrözik, mint a korábbiak. A középszintű matematika érettségiből kikerültek a bizonítások és a komplex feladatok. Ez azért sajnálatos, mert meggőződésem szerint a matematikaoktatás egik célja eg speciális gondolkodásmód kialakítása, a logika fejlesztése. Több mint éves érettségi elnöki tapasztalattal rendelkezem a középszintű érettségiken. Ennek során lehetőségem van a legkülönfélébb középiskolák matematika szakos tanárainak véleménét megismerni. Legtöbben egetértenek abban, hog a bizonítások, illetve a viszonlag komplexebb feladatok hiána megváltoztatta a matematika középszinten történő oktatását. Gakorlatilag a szaktanárokon múlik, hog bizonításokat, gondolkodásra serkentő, összetettebb feladatokat milen mértékben tanítanak, illetve milen (általában elemi) szinten kérik ezeket számon.
Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége 37 Tehát az alapképzésekbe belépő hallgatók valószínűleg nem rendelkeznek olan fokú problémafelismerő, problémamegoldó készségekkel, mint elődeik. Összefoglalva: a matematikaoktatásnak, sőt az egész felsőoktatásnak valamilen oktatásmódszertani megújulásra van szüksége, mivel úg tűnik egrészt az eddigi módszerekkel látszólagos tudást szereztek a hallgatók, másrészt elmaradás tapasztalható a korábban megszokott gondolkodásmódban, problémamegoldó készségekben. A megújulás azt jelenti, hog a korábbi tematikákat át kell tekintenünk például abból a szempontból, hog. mi a kimeneti követelmén (kiket képzünk),. mi a matematika oktatásának célja, 3. milen matematikai tudásbázisra építhetünk, 4. amit tanítani próbálunk, az mennire áll közel a gakorlati élethez, 5. mit és milen mélségben oktassunk, 6. hogan vélekednek a hallgatók a matematikaoktatásról. 3. Az alkalmazott matematika oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása a NME EMK és SKK Karain MSc képzésben 3.. A matematika oktatás célja A felsőfokú matematikai műveltség manapság egre szélesebb körben hasznosítható. A szerteágazó matematikai alkalmazások szükségessé teszik, hog a mérnökhallgatók azok is, akik nem műszaki, hanem agrár, vag egéb szakterületre készülnek olan matematikai alapműveltségre tegenek szert, amelnek segítségével a későbbi pálájuk során előforduló matematikai problémákat megértik, és egedül, vag kisebb segítséggel meg tudják oldani. Fontos célunk az alapos, alkalmazható, művelhető matematika tudomán átadása. Szeretnénk a hallgatókkal megismertetni a matematika jelölésrendszerét, a felsőbb matematika eszköztárát, a leggakrabban előforduló gakorlati módszereket a különböző témakörökben (eg- és többváltozós függvéntan, lineáris algebra, valószínűségszámítás és statisztika). A piac a végzett hallgatóktól azt várja el, hog olan szakemberek legenek, akik. felismerik a vizsgálandó probléma esetleges matematikai vonatkozásait,. azt le tudják fordítani a matematika nelvezetére, 3. ki tudják választani (esetleg segítséggel) a megoldáshoz szükséges matematikai módszert, 4. azt végre tudják hajtani (vag ha a megoldásban segítséget kérnek, akkor a megoldás menetét legalább vázlatosan képesek megérteni), 5. a kapott megoldást tudják értelmezni, 6. az eredméneket vissza tudják fordítani a szakterületük nelvezetére, 7. más területeken is jó problémamegoldó képességgel rendelkeznek (ez a matematika tanulás eg fontos pozitív hozadéka). A hallgatóknak az egetem felé iránuló két legfőbb elvárása az, hog. a megszerzett tudás a gakorlatban alkalmazható legen, és. a vizsgát sikeresen teljesítsék. A hallgatók első elvárásának nagon nehéz megfelelnünk, mert a matematikának az ő szakterületükön történő gakorlati alkalmazhatóságát sajnos sokszor megkérdőjelezik. Nem látják be, hog a matematikai gondolkodásmód kialakulása a problémamegoldó készséget más területeken is javítja. Ezt mi, oktatók a matematikai tájékozatlanságukkal, a tárg iránti
38 Horváth-Szováti Erika legtöbbször a kudarcokból fakadó ellenérzéseikkel magarázzuk. A hallgatók, mint vevők jogosan várnak el a tanulással, a tananaggal, mint termékkel kapcsolatos minden segítséget, azaz szolgáltatást. Ebben a felfogásban az oktató szerepe megváltozik. Az oktató közvetítő szerepet tölt be a hallgatók és a piac között. Meg kell találnia az elmélet és a gakorlat heles aránát, meg kell tudnia határozni tudománterületének azon elemeit, illetve ezen elemek olan formáit, amelek a gakorlatban leginkább hasznosíthatók. Az oktatás tárgának, formájának és mélségének dilemmái nem csak a matematikaoktatás sajátosságai. Valószínűleg ezekkel a problémákkal bármel tantárg, illetetve tantárgcsoport szembekerült, vag szembe fog kerülni. Azonban látható, hog ha bármel tantárg esetében változtatást vezetünk be, az kihathat más tantárgak oktatására is, ezért amikor a matematikaoktatás átalakításáról beszélünk, arról is beszélnünk kell, hog a többi tantárg oktatását miként alakítsuk át. Nilvánvalóan ezeknek a kérdéseknek a megoldásához az eges szakmacsoportok jelenleg még eseti jellegű párbeszéde is szükséges. 3.. Az alkalmazott matematika oktatásának sokszínűsége MSc képzésben alkalmazott matematika tárgból mind a két karon folik oktatás, a tananagban, az óraszámokban, valamint a követelménrendszerben eltérések vannak (. és. táblázat). Van képzés nappali és levelező tagozaton is, szintén nagon eltérő óraszámokban. Érdekesség, hog a könnűipari mérnöki képzést az Óbudai Egetem és a Nugatmagarországi Egetem közösen végzi. A hallgatók az első évben döntően Sopronban, a második évben Budapesten tanulnak. Az alaptárgak oktatása Sopronban, a szakmai tárgak oktatása Budapesten történik. A papírfeldolgozó szakirán hallgatói a szakmai tárgak jelentős részét is Sopronban hallgatják. A hallgatói létszámok egetemünkön az MSc képzésekben nagon kicsik, az egetem honlapján érdeklődők is olvashatják, hog kis létszámú évfolamainkon több idő jut Önre, személes kapcsolata lehet az oktatóival. A. ábrán látható az utolsó öt tanévben (/- től 4/5-ig) a hallgatók összlétszáma a három fő képzési területen (eg tanévre összegezve az adott szakiránban, a két szemeszterben összesen oktatott nappali és levelező tagozatos hallgatók számát). kar kód szakirán képzés SKK EMK FFNMAT N,N FFLMAT L, L FKNMAT N,N FKLMAT L,L EG67-CAA N,N EG67-CAA L,L faipari mérnök, ipari terméktervező mérnök faipari mérnök, ipari terméktervező mérnök óraszám (ea+gak) vizsga évközi jeg kredit nappali heti + v 6 levelező félévi + v 6 könnűipari mérnök nappali heti + v 6 könnűipari mérnök levelező félévi 5+ v 6 körnezetmérnök, körnezettudománi szak körnezetmérnök, körnezettudománi szak nappali heti + é 3 levelező félévi 6+3 é 3. táblázat. Az alkalmazott matematika tantárg óraszámai az eges képzésekben
Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége 39 hét SKK ea+gak/hét EMK ea+ gak/hét. Differenciálegenlettel megoldható szöveges u.a. feladatok (uganaz, kevésbé részletesen). Állandó egütthatós másodrendű lineáris differenciálegenlet megoldása u.a. (konstasnsvariálás és próbafüggvén módszere) 3. Differenciálegenletek megoldása sorbafejtéssel u.a. 4. Többváltozós függvének (kiemelten a három és több változós függvének) u.a. 5. Lokális szélsőérték (Hesse-féle mátrix), feltételes szélsőérték u.a. 6. Abszolút szélsőérték u.a. Zártheli az -6. hét anagából. Zártheli az -6. hét anagából. 7. Kétváltozós függvének integrálása (BSc anag Két- és háromváltozós függvének ismétlése, új anag: nem origó középpontú integrálása (BSc anag ismétlése, új körrel kapcsolatos tartománok) anag: hengerkoordináták) 8. 9. Kétváltozós függvének integrálásának foltatása (poláregenletekkel felírható tartománok, ellipszis tartomán) Háromváltozós függvének integrálása (BSc anag ismétlése, új anag: hengerkoordináták) Az integrálás alkalmazásai (térfogat, tömeg, tömegközéppont, felszín) Vektor-skalár függvének (csavarvonal), vektor-vektor függvének, divergencia, rotáció, gradiens, nabla operátor, Laplace operátor, vonalintegrál Statisztikai alapfogalmak ismétlése, a döntéselmélet alapjai. Háromváltozós függvének integrálásának foltatása (ellipszoid tartomán). Az integrálás alkalmazásai (térfogat, tömeg, tömegközéppont, felszín) Regressziószámítás Vektor-skalár függvének (csavarvonal. egenletének felírása), vektor-vektor függvének, divergencia, rotáció, gradiens, Varianciaanalízis nabla operátor, Laplace operátor, vonalintegrál 3. Zártheli a 7-. hét anagából Zártheli a 7-. hét anagából 4. Pótló (javító) zártheli Pótló (javító) zártheli. táblázat. Az alkalmazott matematika tananag heti lebontásban 5 4 3 46 39 3 4 6 7 7 5 6 7 9 7 8 / / /3 3/4 4/5 faipari mérnök és ipari terméktervező mérnök könnűipari mérnök körnezetmérnök és körnezettudomán szakos. ábra. Az MSc képzésben alkalmazott matematikát hallgatók száma az eges tanévekben
4 Horváth-Szováti Erika 3.3. Az alkalmazott matematika oktatás módszertanának és a vizsgáztatás rendszerének modernizálása Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának során a cél a matematika jelölésrendszerének heles használata, és az alkalmazást helezzük előtérbe a mél matematikai háttérösszefüggések megértése helett. Az előadásanagokból PPT készült, amelen az alapvető tételek, illetve a témákhoz kapcsolódó feladatok és nagszámú házi feladat szerepel végeredménnel. Ezt a hallgatók a félév első óráján megkapják, íg óra alatt csak a feladatok megoldásának menetét kell a tábláról leírni. A hiánzók is pontosan tudják, hog mi a heti tananag. Nem kell memorizálni képleteket, a zárthelik és a vizsga során használható képletgűjtemén. A körnezetmérnök és körnezettudomán szakos levelezős hallgatók kivételével minden hallgató a félév során két zárthelit ír. A kivételt képző levelezős kurzus számára három konzultáció van (mindegik konzultáción előadás és gakorlat). Az első tanévekben eg pótalkalom beillesztésével lehetőségem volt két zártheli íratására, ez azonban nilván csak a hallgatók beleegezésével volt lehetséges. Egre gakrabban előfordul, hog munkaheli kötöttségekre, utazással kapcsolatos anagi terhekre és egéb dolgokra hivatkozva a pótalkalmat nem szavazza meg a csoport, ilenkor egetlen összevont zárthelit írnak a harmadik alkalommal. Ez sajnos jóval nagobb sikertelenséggel zárul, mint amikor két részletben történt a készülés és a számonkérés. Az alkalmazott matematika az SKK hallgatói számára vizsgaköteles tantárg, az EMK hallgatói pedig a két zártheli pontszámának összegéből kialakított félévközi jeget kapnak. Az SKK hallgatói a zárthelik átlagának minimum 4%-os teljesítése esetén rövid vizsga lehetőségével élhetnek, akik pedig a zárthelik során nem érik el ezt a szintet, hosszú vizsgát írnak. Ennek során az elégséges feltétele mind a gakorlati, mind az elméleti rész minimum 4%-os teljesítése. A rövid vizsga 6 perces feladatsora két részből áll: I. Teszt (3 pont) és II. Kiegészítendő kérdések ( pont) (3-4. ábra). Az I. részben db tesztkérdés van (heles válasz 3 pont, nincs válasz pont, hibás válasz - pont), ezek a feladatmegoldásoknak csak eg-eg részlépésére, az ok-okozati kapcsolatokra kérdeznek rá. A II. rész 5 db 4 pontos, röviden megválaszolható kérdésből áll (példaadás, képlethasználat, vag eg-két lépéssel können megoldható feladat). A rövid vizsgán is minimum 4%-ot kell elérni az elégségeshez. A tapasztalat azt mutatja, hog az ilen stílusú feladatsorra nem lehet magolással készülni, a hallgatók rákénszerülnek a tananag megértésére. Olan nag feladatbankot állítottam össze, hog a kérdések ismétlődése szinte kizárt. Meglepő módon az ilen típusú vizsga előbb-utóbb azoknak is sikerül, akik nagon genge alapokkal, viszont kellő szorgalommal rendelkeznek. A végső osztálzat legtöbbször elégséges vag közepes, de néha eg-eg ebből kiemelkedő (jó vag ritkán jeles osztálzatra vizsgázó) hallgatóval is találkozom. A hallgatók kb. 3%-a sajnos nem tudja az első tárgfelvétel során teljesíteni a követelméneket, íg többször felveszi a tárgat. Ez leginkább azokkal fordul elő, akik nem kellő hangsúlt fektetnek a tananag megértésére. Érdekes kérdés, hog a nem nappali tagozatos képzésekbe a fenti módszertan átvihető-e. Itt a kevesebb kontaktóra miatt lehetséges, hog a nappali tagozattal szemben arántalanul megnehezül a tananag elsajátítása. A levelezős tananag a nappalis anag szűkített változata, néha tartalmaz kisebb, önállóan feldolgozandó részeket is, természetesen részletes kiadott anag alapján. Véleménem szerint megengedhető, hog levelező képzésen kicsit más felépítést kövessünk, de nem szabad megfeledkezni arról, hog ez a nappali és levelező képzés közötti átjárhatóságot veszélezteti. Igaz ugan, hog szinte soha nem találkozunk levelező képzésről nappalira történő átjelentkezéssel, inkább fordítva fordul elő.
Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége 4. Válasszuk ki azt a differenciálegenletet, amel homogén részének általános megoldása c sin x + c cos x, c,c R : x A) " ( x) ' ( x) = e B) " ( x) ( x) = sin x C) " ( x) + ' ( x) = x D) " ( x) + ( x) = x ' ( x ) tag egütthatója: A) 4 x. Az = ( x ) e ; ( ) = B) x 3. A z = + 3 grafikon alakja differenciálegenlet sorbafejtéssel történő megoldásakor a harmadfokú C) 4 4 A) eg forgásparaboloid, melnek csúcspontja C (,, 3) B) eg forgásparaboloid, melnek az x síkban lévő metszete eg r = 6 sugarú kör C) eg forgáskúp, melnek csúcspontja C(,, 3) D) eg forgáskúp, melnek az x síkban lévő metszete eg r = 6 sugarú kör x 4. Az f ( x,,z) = 8x + + z függvén Hesse-mátrixának hiánzó elemei: H( x,,z) A) A =, B =, C = B) A = 8, B =, C = 3 3 C) A =, B =, C = D) A = 8, B =, C = 3 3 5. Integráljuk az f ( x,, z) függvént a V ( x,,z) integrálás felírása melik esetben heles? π π A) f ( r,u,v ) r π π C) f ( r,u,v ) r + 6. Az f ( x, ) x 3 sin u du dvdr sin u dv dudr 3 { R x + + z ;, z } D) egik sem heles 3 x = A 8 B C = véges térrészen. Az π π B) f ( r,u,v ) r π π π D) f ( r,u,v ) r π sinu du dvdr sinu dv dudr = függvén T tartomán feletti felületének felszíne a következő integrálással számítható ki: A) 4x + 3 + dt B) x + dt T T C) 4 x + 3 + dt D) egik sem heles T 7. Adott v( x,,z ) = ( z,x, ) és r( t ) ( t, - 3t, t ) ; t [ ;] =. Ekkor a vektor-vektor függvén vektor-skalár függvén mentén képzett vonalintegrálja: A) B) C) D) egik sem heles 8. Adott eg f ( r) vektormező (vektor-vektor függvén). Ekkor nem létezik A) div rot f ( r ) B) grad div f ( r ) C) rot div f ( r ) D) ( r );r ( ) f skaláris szorzat 3. ábra. Példák tesztkérdésekre
4 Horváth-Szováti Erika. Adjunk példát olan állandó egütthatós, másodrendű lineáris inhomogén differenciálegenletre, melnek x x homogén általános megoldása c e + cxe, c,c R, és zavaró függvéne sin x : f x,,z = ln x z függvén értelmezési tartománát! Hol helezkednek el ezek. Adja meg az ( ) a pontok a térben?... 3. Ha az f ( x,, z) függvénnek (,, z ) ( x,, ) -ban <,D >,D, akkor f ( x,, z) függvénnek ( x,, ) x stacionárius pontja és a Hesse-féle mátrix sarokdeterminánsai z D 3 = z -ban.. 4. Eg hasáb egik csúcsa a koordináta-rendszer origójában van, az ebből a csúcsból kiinduló élek pedig a tengelek pozitív felére illeszkednek. Az x tengelre illeszkedő éle 3, az -ra illeszkedő 4, a z-re illeszkedő s x,,z = x z (az eredmént 3 4 5 egségni hosszúságú. Számítsuk ki a tömegét, ha sűrűségfüggvéne: ( ) elég hatván alakban megadni)! 5. Adott v( x,, z ) = ( z, x, ) és r( t ) ( t, 3t -, t - ) ; t [ ;] =. Ekkor a vektor-vektor függvén vektor-skalár függvén mentén képzett vonalintegrálja (a végeredmént is számítsuk ki): 6. Az f ( x, ) x + 3 = függvén T tartomán feletti felületének felszínét az F =...dt kettős integrállal számíthatjuk ki. T 3 =, akkor div rot rot v( x,,z) = 7. Ha v( x,,z ) ( + xz )i xj + x z k 4. ábra. Példák kiegészítendő kérdésekre 4. Összefoglaló A matematika oktatás modernizálása időszerű, már megtettük a kezdeti lépéseket. Egetemünk hallgatóinak MSc képzésében elsősorban az alkalmazásra kell törekedni és nem kell a mél matematikai háttérösszefüggéseket megtanítani (azok a megértésükhöz szükséges komol alapismeretek hiánában úgis a levegőben lógnak ). Nem kell értés nélkül memorizáltatni képleteket, eljárások lépéseit, hiszen ezek a későbbiekben, a gakorlati életben is mindig können hozzáférhetők lesznek. A legfontosabb cél a felsőbb matematika jelölésrendszerének megismertetése, a matematikai gondolkodásmód kialakítása és a problémamegoldó készség fejlesztése. Irodalomjegzék [] http://www.oktatas.hu/kozneveles/erettsegi/prezentaciok_tanulmanok [] http://www.nme.hu