Oktatási Hivatal A 2018/2019. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny els forduló FIZIKA I. kategória Javítási-értékelési útmutató A versenyz k gyelmét felhívjuk arra, hogy áttekinthet en és olvashatóan dolgozzanak. Amennyiben áttekinthetetlen és olvashatatlan részek vannak a dolgozatban, azok az értékelés szempontjából gyelmen kívül maradnak. 1. feladat Egy vízszintes, vékony lemezen két kis méret lyuk van egymástól d = 2 m távolságra. Az ábrán látható módon a bal oldali lyuktól d/2 távolságra a lemez felületér l egy kicsiny, rugalmas golyót ferdén eldobunk. Mekkora α szög alatt és mekkora v 0 sebességgel hajítsuk el a golyót, ha azt szeretnénk, hogy a golyó a közelebbi lyukon átesve, majd a lemez alatt h = 3d/2 mélyen lév súrlódásmentes k padlóról pillanatszer en és abszolút rugalmasan ütközve a másik lyukon áthaladjon? (A golyó mozgásának leírásakor a légellenállástól is eltekinthetünk.) d/2 d 3d/2 I. Megoldás A talajról való rugalmas ütközést követ en a golyó sebességének vízszintes komponense változatlan marad, a függ leges komponense pedig ellentettjére változik. Ezért ahhoz, hogy a golyó a második lyukon is áthaladjon, az ütközési pont a két lyuk közötti lemezrész felez mer legesén kell elhelyezkedjen. OKTV 2018/2019 1 1. forduló
v 0 α d d 2 h=3 d 2 d 2 Jelölje t a k padlóval való ütközésig eltelt id t. Rögzítsük az x y koordináta-rendszer origóját az eldobás helyéhez. Az ütközésig a golyó x irányban d utat tesz meg: Ez id alatt az y irányú elmozdulás: d = v 0 cos α t. (1) 3 2 d = v 0 sin α t g 2 t2. (2) Mivel az els lyuk d/2 távolságra helyezkedik el az eldobás helyét l, ezért amíg a golyó idáig elérkezik t/2 id telik el. Ebben a pillanatban a golyó ismét a lemez síkjában van: A (3) egyenletb l Ezt felhasználva (2)-ben ahonnan Fejezzük ki (1)-b l t-t: Ezt megszorozva (4)-gyel 0 = v 0 sin α t 2 g t 2 2 4. (3) t = 4v 0 sin α. (4) g 3 2 d = gt2 4 gt2 2, t = t = Felhasználva a t-re kapott (5) eredményt 6d g. (5) d v 0 cos α. (6) t 2 = 4d tg α. g tg α = 3 2 α 56,3. A kezdeti sebességet pedig például (6)-ból kaphatjuk meg, ha t helyére beírjuk az (5) kifejezést: gd gd 13gd v 0 = 6 cos 2 α = 1 + tg 2 α = 3,3 m/s. 6 24 OKTV 2018/2019 2 1. forduló
II. Megoldás Legyen az eldobástól a tet pontig eltelt id t 1. Ekkor a tet ponttól az ütközésig tartó id 3t 1, mert a vízszintes elmozdulás háromszoros. (Felhasználtuk, hogy az ütközés a d távolság felénél lesz.) Ha az id háromszoros, akkor a h 2 süllyedés a h 1 emelkedési magasság kilencszerese lesz. Ebb l következik, hogy 8 9 h 2 = 8h 1 = h = 3 m, h 1 = h 8 = 3 8 m. Az elindítás pillanatában a kezd sebesség vízszintes összetev je v x, amivel a tet pontig tartó vízszintes elmozdulást így írhatjuk fel: v x t 1 = d 4 = 1 2 m. A kezd sebesség függ leges összetev je legyen v y, így az indítástól a tet pontig a függ leges átlagsebesség v y /2. Az emelkedési magasságra ezt írhatjuk fel: v y 2 t 1 = h 1 = h 8 = 3 8 m. A fenti két egyenletet egymással elosztva kapjuk, hogy tg α = v y v x = h d = 3 2 α 56,3. A kezd sebesség pedig így kapható meg: v 0 = v 2 x + v 2 y = 1 t 1 d 2 16 + h2 16 = d2 + h 2 4t 1 = d2 + h 2 4 2h1 g = d2 + h 2 h 2 g 3,3 m/s. 2. feladat Két, egyenként m = 0,25 kg tömeg, kis méret acélgolyó l = 60 cm hosszú, nyújthatatlan fonállal van összekötve. A két golyót úgy tartjuk, hogy a feszültségmentes fonál vízszintes egyenes legyen. Egy adott pillanatban a két golyót egyszerre, lökésmentesen elengedjük. h = 1,8 m esés után az egyik golyó egy kiálló merev k párkányba ütközik. Az ütközés abszolút rugalmas és pillanatszer. a) Mekkora er feszíti a fonalat az ütközés pillanatától? b) Milyen mélyen van a talaj a k párkánytól, ha a vele ütköz golyó 1 és 3/4 fordulat után a fonál függ leges helyzetében éri el a talajt? c) Mekkora ebben a pillanatban a két golyó talajhoz viszonyított sebessége? A közegellenállás elhanyagolható. OKTV 2018/2019 3 1. forduló
Megoldás a) A két golyó az ütközésig szabadeséssel teszi meg a h szintkülönbséget, mindkét golyó sebessége az ütközést megel z pillanatban v = 2gh = 5,9 m s. Közvetlenül az ütközés után a bal oldali golyó megtartja eredeti sebességét, miközben az ütköz golyó sebessége ellentettjére vált. Ezért a rendszer tömegközéppontjának sebessége (az ütést l) pillanatszer en zérusra változik, majd zérus kezd sebességr l ismét szabadon esik g gyorsulással. A tömegközéppont rendszeréb l nézve az ütközés után azonban egy állandó szögsebesség, egyenletes körmozgás kezd dik, amely fenntartásához a fonál megfeszüléséb l származó er szükséges (1. ábra). Ennek nagysága: F = m v2 r = mv2 l 2 = m 2v2 l = 29,4 N. tkp 1. ábra b) Az ütköz golyó mozgása egyrészt a tömegközéppont gyorsuló süllyedéséb l, másrészt a tömegközéppont körüli forgásból tev dik össze. Az ütközés utáni h süllyedést pályájának függ leges egyenesre es vetülete adja. A golyó mozgásának szögsebessége ω = v r = 2v l 19,8 1 s. Az ütköz golyó süllyedése tehát a tömegközéppont süllyedéséb l és az elfordulás függ leges vetületéb l tev dik össze. A forgás periódusideje: T = 2π ω = 0,32 s. OKTV 2018/2019 4 1. forduló
A talajra érkezésig eltelt id 1,75T. A talaj és a k párkány közötti távolság a tömegközéppont által ez id alatt megtett út és a fonál hosszának fele, hiszen ebben a pillanatban a k párkánnyal ütköz golyó éppen a tömegközéppont alatt helyezkedik el: h = 1 2 g (1,75 T )2 + l 2 = 1,81 m. c) Az alsó golyó leérkezési sebességének függ leges összetev je azonos a tömegközéppont sebességével, a vízszintes összetev je a tömegközépponti rendszerbeli forgás kerületi sebességével, így: ( ) 2 l v alsó = (g 1,75T ) 2 + 2 ω = 8,1 m s. A fels golyó sebességének nagysága ugyanekkora, de balra lefelé mutat az ábrán látható módon. v=rω v tkp v fels tkp v tkp v=rω v tkp 2. ábra v alsó Megjegyzés: A párkánnyal ütköz golyó pályáját a 3. ábra mutatja: Az ütköz golyó pályája 0 0,05 s 0,1 s 0,15 s 0,2 s 0,25 s 0,3 s 3,5 s 1 fordulat 0,4 s h 0,45 s 0,5 s 0,5498 s 1,75 fordulat (A szögelfordulás 0,05 s-onként 57,3 o.) 3. ábra OKTV 2018/2019 5 1. forduló
3. feladat Egy héliummal töltött id járási kutatóléggömböt a tengerszintr l indítanak el. A léggömböt úgy méretezik, hogy amikor eléri a végleges emelkedési magasságát, akkor a kifeszült léggömb belsejében lév nyomás hozzávet legesen a küls légnyomással egyezzen meg. A tengerszinten a léggömb térfogata a kifeszült állapotbeli térfogat 10%-a. a) Milyen magasra emelkedik a léggömb, ha durva közelítésként feltesszük, hogy a teljes emelkedési tartományban 250 K-es h mérséklet uralkodik? b) Mekkora hasznos terhet tud feljuttatni a kifeszült állapotában 1000 m 3 -es léggömb, ha a léggömb köpenyének és kosarának együttes tömege 51,6 kg? Útmutatás: A tengerszinten 101 kpa a nyomás, ami a magasság függvényében 5,5 kmenként felez dik. A hélium moláris tömege 4 g/mol, a leveg moláris tömege 29 g/mol. Megoldás a) Ha a léggömbben lév hélium izotermikusan 10-szeresére tágul, akkor a benne lév nyomás tizedére csökken. Mivel a légnyomás 5,5 km-enként felez dik, így a z végleges emelkedési magasságot a következ képpen számíthatjuk ki: amib l p = p 0 10 = p 02 z 5,5 km, lg 0,1 = z 5,5 km lg 2, z = 5,5 km 1 18,3 km. lg 2 b) A leveg és a hélium s r ségét a tengerszinten így számíthatjuk ki: pv = nrt = m M RT, ϱ = m V = pm RT, amib l a leveg s r ségére 1,41 kg/m 3, míg a héliumra 0,194 kg/m 3 adódik. A maximális magasság elérésekor a leveg s r sége is, és a hélium s r sége is tizedére csökken. A maximális magasságban a felhajtóer megegyezik a léggömb súlyával: mg = ϱ lev 10 V g, m = ϱ lev V = 141 kg, 10 amibe beleszámítottuk a hélium és a léggömb köpenyének, illetve kosarának a súlyát is. A hélium tömege 19,4 kg, a köpeny és a kosár tömege 51,6 kg, tehát a hasznos teher 70 kg. 4. feladat Vízszintes síkban, egymástól 2a = 30 cm távolságra van két rögzített, Q = 2 10 7 C töltés, pontszer nek tekinthet test. Egy kicsiny, m = 1,2 g tömeg, ( Q) töltés gyöngyszem az ábrán látható, rögzített, vékony, merev, vízszintes síkú, hajlított szigetel szálon súrlódásmentesen tud csúszni. A szál egy egyenes szakaszból és egy a sugarú, háromnegyed körívb l áll. A kör középpontja az egyik töltés. Az egyenes szakasz a két pozitív töltés felez mer legesére illeszkedik, és a két töltés felez pontjánál csatlakozik a körívhez. A pozitív töltésekt l 2a távolságban, álló helyzetben lév gyöngyöt elengedjük. OKTV 2018/2019 6 1. forduló
a) Mekkora lesz a gyöngy legnagyobb sebessége a szigetel szálon? b) Mekkora lesz a gyöngy legkisebb sebessége a köríven? c) Semlegesítjük valamennyi testet, és a gyöngyöt két egyforma, nyújtatlanul a hosszúságú gumiszállal kapcsoljuk a másik két rögzített testhez. Mekkora legyen a gumiszál rugalmassági állandója (direkciós ereje), hogy a gyöngy legnagyobb sebessége megegyezzen az a) esetbeli maximális sebességgel? Mekkora lesz a gyöngy legkisebb sebessége? Megoldás a) A gyöngy mozgási energiájának és elektromos potenciális energiájának összege a mozgás során állandó: E = 1 ( ) 2 mv2 + kq2 kq2, r 1 r 2 ahol r 1, illetve r 2 a gyöngy rögzített töltésekt l mért távolsága. A sebesség tehát akkor maximális, ha a potenciális energia minimális. Ez r 1 = r 2 = a esetén következik be. (Ezt abból is láthatjuk, hogy az ered er a két töltés felez pontjának eléréséig a sebességgel egyirányú, majd azt követ en a pályamenti összetev a sebességgel ellentétes.) ( ) 2 kq2 = 1 ( ) 2a 2 mv2 + 2 kq2, a vagyis amib l 1 2 mv2 = kq2 a, 2k v = Q ma = 2 m s. b) A gyöngy sebessége akkor minimális, ha a potenciális energia maximális. Ez r 1 = 3a és r 2 = a esetén következik be. (Ezt onnan is láthatjuk, hogy eddig a pontig a gyöngyre ható érint irányú er a sebességgel ellentétes. Az említett pontban az érint irányú er OKTV 2018/2019 7 1. forduló
nullává válik, majd továbbhaladva a sebességgel azonos irányba mutat. Feltettük, hogy a gyöngy eljut eddig a pontig.) Legyen a minimális sebesség u. ( 2 kq2 2a ) = 1 ( ) 2 mu2 + kq2 3a kq2, a tehát és így 1 2 mu2 = kq2 3a 2k u = Q 3ma = v = 1,15 m 3 s. Megjegyzés: A gyöngy akkor érné el az a) pontban szerepl maximális sebességet újra, ha a körív teljes kör lenne, tehát a gyöngy újra eljutna a két töltés felez pontjába. c) A mozgási energia és a rugalmas energiák összegének E = 1 2 mv2 + 1 2 Dx2 1 + 1 2 Dx2 2 állandósága miatt a sebesség maximális, ha a két gumiszál energiájának összege minimális. A kifejezésben x 1 és x 2 az egyes gumiszálak megnyúlása. Ez x 1 = x 2 = 0 esetén következik be, tehát 2 1 2 Da2 = 1 2 mv2, mivel kezdetben a megnyúlás x = a. Ebb l D = mv2 2a 2 = kq2 a 3 = 0,107 N m. A sebesség minimális, ha a két gumiszál energiájának összege maximális. Kezdetben az összes energia Da 2 volt. A köríven haladva az egyik gumiszál energiája nulla, a másiké maximális, ha a két gumiszál egybeesik, ekkor a másik gumi megnyúlása 2a, energiája D(2a) 2 /2 = 2Da 2 > Da 2, ami nem lehetséges. Ebb l az következik, hogy a gyöngy már korábban megáll, tehát a minimális sebesség ebben az esetben nulla. OKTV 2018/2019 8 1. forduló
Értékelési útmutató 1. feladat Annak észrevétele, hogy a talajon hová kell érkeznie a golyónak, 2. feladat hogy végbemenjen a folyamat: A függ leges és vízszintes mozgásvetületek függetlenségének felismerése és felhasználása: A kezd sebesség nagyságának meghatározása bármely módszerrel: Az indítás irányának meghatározása: Összesen: Az ütközéskori sebesség meghatározása: Annak észrevétele, hogy az ütközés pillanatában a tömegközéppont egy pillanatra megáll: A zuhanó golyók közötti fonáler meghatározása: A golyópár szögsebességének meghatározása: A keresett talaj-k párkány távolság és a mozgás paraméterei közötti kapcsolat meghatározása: A keresett talaj-k párkány távolság numerikus értékének helyes megadása: A két golyó pillanatnyi sebességének megadása a kérdéses pillanatban: Összesen: 6 pont 6 pont 20 pont 1 pont 3 pont 20 pont 3. feladat a) Elméleti számítás: 8 pont Numerikus eredmény: b) Gáztörvény felírása: Er egyensúly felírása: Numerikus eredmény: Összesen: 20 pont OKTV 2018/2019 9 1. forduló
4. feladat a) Sebesség maximumának feltétele: Energiaegyenlet helyes felírása: 3 pont Sebesség maximumának kiszámítása: b) Sebesség minimumának feltétele: Energiaegyenlet helyes felírása: 3 pont Sebesség minimumának kiszámítása: c) Sebesség maximumának feltétele: 1 pont Energiaegyenlet helyes felírása: Rugalmassági állandó kiszámítása: 1 pont Sebesség minimumának feltétele: 1 pont Sebesség minimumának megadása: 1 pont Összesen: 20 pont A megoldásban vázoltaktól eltér számításokra, amelyek elvileg helyesek és helyes végeredményre vezetnek, az alkérdésekre adható teljes pontszám jár. OKTV 2018/2019 10 1. forduló