1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni harmadik másodpercben.. Igazoljuk, hogy egy anyagi pont sebessége nem függ a helyzetvektor kezdőpontjának a megválasztásától. 3. Mutassuk meg, hogy az r = a cos ωt) i + a sin ωt) j a, ωállandó) helyzetvektorú anyagi pont pályája egy kör. Határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását és igazoljuk, hogy v a = 0. 4. Igazoljuk, hogy a repülőtér felett h magasságban, a sugarú körpályán, v állandó nagyságú sebességgel mozgó helikopter r helyzetvektora a t idő függvényében, kifejezhető a következő formában r = a cos vt a i + sin vt ) a j + h k. Határozzuk meg a helikopter sebességvektorát illetve gyorsulásvektorát. 5. Egy anyagi pont helyzetvektora r = a[cos ωt) i + sin ωt) j] + bt k, ahol a, b és ω állandók. Rajzoljuk meg a pont pályáját és határozzuk meg a pont sebesség- és gyorsulásvektorát. 6. Egy anyagi pont helyzetvektora r = a[cos ωt) sin Ωt) i + sin ωt) sin Ωt) j + cos Ωt) k], ahol a, ω, Ω valós állandók. Igazoljuk, hogy a pont v = a Ω + ω sin Ωt) nagyságú sebességgel egy a sugarú gömb felszínén mozog. Mutassuk meg, hogy a sebesség mértéke a legkisebb a gömb legalsó illetve legfelső pontjaiban a pólusokban) és legnagyobb az egyenlítőn a pólusokat összekötő tengelyre merőleges főkörön). 7. Egy mozgó anyagi pont helyzetvektora r = a cos ωt) i + b sin ωt) j, ahol a, b és ω valós állandók. Mutassuk meg, hogy: a) a pont pályájának az egyenlete x a + y b = 1; b) a gyorsulásvektor mindig az origó felé mutat; 1
c) t+τ r d r = ωabτ k. Mit jelent ez az egyenlőség kinematikai szempontból? t 8. Ismerve egy anyagi pont sebességét és gyorsulását, igazoljuk, hogy a pálya görbületi sugara kiszámítható az R = v3 v a képlettel. 9. Ha egy adott pillanatban ismert az M anyagi pont sebesség- és gyorsulásvektora, szerkeszzük meg a pálya görbületi középpontját. 10. Határozzuk meg a sebesség- és gyorsulásvektorok vetületeit a következő görbevonalú koordináta-rendszerekben: a) gömbkoordinátákban; b) hengerkoordinátákban; c) polárkoordinátákban. 1 d r dt M: a) v r = ṙ, v θ = r θ, v ϕ = r sin θ ϕ, a r = r r θ r sin θ ϕ, a θ = r θ ) r sin θ ϕ, a ϕ = 1 d r sin θ dt r sin θ ϕ ), b) v r = ṙ, v θ = r θ, v z = ż, a r = r r θ, a θ = ṙ θ + r θ, a z = z, b) v r = ṙ, v θ = r θ, a r = r r θ, a θ = ṙ θ + r θ. 11. Egy M anyagi pont az y px = 0 egyenletű parabolán mozog oly módon, hogy az origóra vonatkoztatott sebesség-hodográf megegyezik az adott parabolával. Határozzuk meg: a) a mozgásegyenleteket, a sebesség és gyorsulás nagyságát, ha tudjuk, hogy a t = 0 időpontban az M pont az M 0 p, p) pozícióban van; b) a sebesség- és gyorsulásvektorok végpontjának mértani helyét! M: a) x = 1 pe4t, y = pe t, v = pe t 1 + e 4t, a = 4pe t 1 + e 4t ; b) 5Y = 18pX, 17η = 50pξ egyenletű parabolák. 1. Egy anyagi pont az R sugarú gömbfelületen mozog úgy, hogy a sebességvektor és a gömb hosszúsági körei mindig állandó mértékű α szöget zárnak be. Határozzuk meg az anyagi pont pályáját. 13. Az M anyagi pont az x = Rθ sin θ), y = R1 cos θ) egyenletű cikloison mozog oly módon, hogy a gyorsulás normális komponensének végpontja mindvégig az Ox tengelyen van. A kezdeti időpontban az M pont az origóban van. a) Fejezzük ki θ-t az idő függvényében és szerkesszük meg geometriai úton az érintőleges és normális gyorsulásvektorokat!
b) Legyen Oz az Oxy síkra merőleges tengely. Az M ponton átmenő, Oz-vel párhuzamos egyenesen felvesszük a z pozitív szintű P pontot. Határozzuk meg z-t az idő függvényében oly módon, hogy a P pont R állandó sebességű egyenletes mozgást végezzen. A kezdeti időpontban a P pont az Oxy síkban van. A P pont gyorsulásvektora az Oxy síkot egy H pontban metszi. Határozzuk meg a H pont mértani helyét! M: a. θ t) = t, b. z = 4r sin t, a keresett mértani hely az X = Rθ + 3 sin θ), Y = R1 + 3 cos θ) egyenletű ciklois. 14. Egy M anyagi pont úgy mozog a síkban, hogy sebességének hossza a helyzetvektor hosszának n 1)-edik hatványával arányos, az arányossági tényező k) és felületi sebessége állandó. Fejezzük ki a pont gyorsulásának nagyságát a helyzetvektor hosszának függvényében és határozzuk meg a pályáját! M: a = n 1)k r n 3, r n C = k cos nθ θ 0), ahol C a felületi állandó. 15. Az M anyagi pont egy olyan körkúpon mozog, amelynek tengelye az Oz egyenes, az origóban elhelyezkedő csúcsánál lévő szög mértéke α. Határozzuk meg a pont mozgásegyenleteit és a sebesség-hodográfot tudva azt, hogy a pont v sebessége valamint az Oxy síkra eső vetületének felületi sebessége állandó C)! v t sin α+c M: r = v sin α, θ = 1 sin α arctg v t sin α C, míg a hodográf az O középpontú v sugarú gombön elhelyezkedő görbe. 16. Az R sugarú körön mozog pont gyorsulásának nagysága a állandó. Határozzuk meg a sebesség-hodográfot és vizsgáljuk meg, hogy a pont bejárja-e az egész kört. M: A hodográf a ρ = ar sin ϕ poláris egyenletű lemniszkáta. A pont csak egy negyed körívet fut be. 10. 17. Egy anyagi pont polárkoordinátái az idő függvényében az r = e t és θ = t összefüggések alapján változnak. Határozzuk meg a sebességvektor és gyorsulásvektor radiális és tranzverzális komponenseit. M: v r = e t, v θ = e t, a r = e t 1, a θ = e t. 18. Egy anyagi pont v állandó sebességgel mozog az r = a 1 + cos θ) egyenletű kardioidon. Igazoljuk, hogy a pont szögsebessége v a sec θ, és határozzuk meg a gyorsulásvektor normálisra eső vetületét. 19. Egy anyagi pont egyenesvonalú mozgást végez. Tudva azt, hogy a gyorsulás arányos a sebességgel, határozzuk meg a pont sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t = 0, x 0 = 0 és v 0 > 0. M: v = v 0 e kt, x = v 0 e kt 1 k. 3
0. Egy anyagi pont egyenesvonalú mozgást végez. Tudva azt, hogy a gyorsulás arányos a sebesség négyzetével, határozzuk meg a pont sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t = 0, x 0 = 0 és v 0 > 0. M: v = v 0 1 v 0 kt, x = 1 k ln 1 v 0kt. 1. Egy anyagi pont egyenesvonalú mozgást végez. Tudva azt, hogy a gyorsulás fordítottan arányos a sebesség négyzetével, határozzuk meg a pont sebességét és mozgásegyenletét, ha kezdetben t = 0, x 0 = 0 és v 0 > 0. M: v = kt + v 0, x = q kt+v 0 ) 3 v 0 3k.. Egy repülőgép gyorsulása, 5 m/s. Milyen hosszú kifutópálya szükséges ahhoz, hogy egyenletesen felgyorsuljon a felszáláshoz szükséges 00 km/h sebességre? 3. Egy repülő egyenesvonalú egyenletes mozgását az x B = ut + x 0, y B = y 0 egyenletek írják le. A t = 0 időpontban az O 0, 0) pontból egy hőrakétát indítnak, hogy kilőjék a repülőt. Tudva azt, hogy a rakéta állandó v sebességgel mindig a célpont felé tart, határozzuk meg a rakéta mozgásegyenleteit és a pályaegyenletet. 4. Egy hajó állandó 1 km/h sebességgel észak felé halad és pontosan 1:00 órakor halad el egy világítótorony mellett. Egy másik hajó állandó 16 km/h sebességgel kelet felé halad és pontosan 1:50-kor halad el ugyanazon világítótorony mellett. Melyik időpontban a legkisebb a távolság a két hajó között? Határozzuk meg ennek a távolságnak a hosszát. M: 1:3. 5. Egy hajó az A kikötőből indul és állandó 3 km/h sebességgel nyugat felé halad. Egy órára rá az A kikötőtől 160 km távolságra, délre fekvő B repülőtérről egy repülő indul, hogy utolérje a hajót. Tudva azt, hogy a repülő sebessége 360 km/h, határozzuk meg a repülési irányt és hajó helyzetét amikor repülő beéri a hajót. 6. Egy anyagi pont az xoy síkban mozog, az 1, ) koordinátájú pontból indulva. Tudva azt, hogy sebességvetor összetevői v x = 4t 3 +4t és v y = 4t, határozzuk meg a pálya Descartes-féle egyenletét. M: x = t + 1 ), y = t + 1 ), y = 4x. 7. Az M anyagi pont egy síkgörbén úgy mozog, hogy sebességének az Ox tengelyre eső vetülete egyenlő egy c állandóval. Igazoljuk, hogy gyorsulásának nagysága megadható az a = v3 c R képlettel. Ahol v a pont sebességének nagysága, R pedig a görbületi sugár. 8. Egy anyagi pont az y = px p > 0) egyenletű parabolán v állandó nagyságú sebességgel mozog. Határozzuk meg a pont gyorsulását amikor az a parabola csúcsában található. 4
9. Egy anyagi pont az x +y = 1 egyenletű körön mozog egységnyi nagyságú gyorsulással. Abban a pillanatban, amikor a pont az abszcissza tengelyen található az 1, 0) helyzetben, gyorsulása a kör középpontja felé mutat. Igazoljuk, hogy az adott feltételek mellett a pont mozgása egyenletes, vagy gyorsulásának komponensei a x = cos 3θ, ay = sin 3θ, ahol θ a pont poláris szöge. 30. Egy anyagi pont az Oxy síkban mozog, a koordináta-rendszer kezdőpontjából indulva. Tudva azt, hogy a sebesség nagysága v állandó, iránya pedig az Ox tengellyel θ = λt összefüggés szerint változó hajlásszöget zár be λállandó), határozzuk meg: a) a pont mozgástörvényeit; b) a pont pályáját; c) azokat az időpontokat, amikor a pont áthalad az Oy tengelyen; d) a pont gyorsulását! M: a) x t) = v λ sin λt, y t) = v λ cos λt,b) x + y λ) v = v λ) kör y = t + 1 ), c) t k = kπ λ, k N, d) a = λv. 31. Egy vonat v = 7 km/h sebességgel közeledik az állomáshoz. Ekközben t = 5s ideig tartó hangjelet bocsát ki. Menyi ideig hallja a hangot az állomás előtt álló vasutas? A hang sebessége c = 30 m/s. 3. Egy fecske valamilyen különleges szembetegség folytán minden tárgyat a helyes iránytól jobbra lát 30 0 -kal. Most a fecskefészektől 100 méterre van és 10 m/s-os sebességgel repül. Odatalál-e a fecske a fészkéhez? Ha igen, akkor mennyi idő alatt és mennyi utat tesz meg a fészekig? 5