ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS

ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS Dr. Soumelidis Alexandros 2019.03.13. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG

DC motor szabályozás Kiindulási alap: a DC motor dinamikus modellje a motor kapocsfeszültsége és forgási körfrekvenciája közti átviteli függvény Ω s = k m 2 R r μ m + k 1 m 1 + J V rr r + L r μ m 2 R r μ m + k s + J r L r r 2 m R r μ m + k s2 m s W ω s = k m 2 R r μ m + k 1 m 1 + J rr r + L r μ m 2 R r μ m + k s + J r L r 2 m R r μ m + k s2 m W ω = G 1 1 + bs + as 2 2

DC motor szabályozás Fordulatszám szabályozás ω s + C v r W ω (s) ω 3

DC motor szabályozás Szervo szabályozás cél: a kimeneti tengely valamilyen szögbe állítása, szög tartása / követése Áttétel és szögmérés (példa) α s + v C r ω W ω (s) K g 1 s α 4

Rendszerek összekapcsolása X(s) W 1 (s) W 2 (s) W(s) Y(s) Soros kapcsolás W s = W 1 s W 2 s W 1 s W 2 s = W 2 s W 1 s X(s) W 1 (s) W 2 (s) W(s) + + kommutatív művelet Párhuzamos kapcsolás Y(s) W s = W 1 s +W 2 s kommutatív művelet a szorzással disztributivitás 5

Rendszerek összekapcsolása W(s) X(s) W 1 (s) Y(s) + - Visszacsatolás Y s = W 1 s X s W 2 s Y s Y s 1 + W 1 s W 2 s = W 1 s X s W 2 (s) W s = X s Y s = W 1 s 1 + W 1 s W 2 s X(s) W 2 (s) W 1 (s) Y(s) + W(s) Y s = W 1 s W 1 s X s Y s - Y s 1 + W 1 s W 2 s = W 1 s X s W s = W 1 s W 2 s 1 + W 1 s W 2 s 6

DC motor fordulatszám-szabályozás Arányos szabályozás: konstans C erősítés ω s + C v r W ω (s) ω W ω s 1 = G 1 + bs + as 2 W c s = CW 1 ω s CG 1 + CW ω s = 1 + bs + as 2 = 1 1 + 1 + bs + as 2 CG W c s = CG 1 + CG 1 1 + b a s + 1 + CG 1 + CG s2 CG 1 + CG + bs + as 2 G 1 statikus erősítési hiba lép fel Megváltozott vágási körfrekvencia és csillapítás pólusok eltolódnak. 7

Arányos fordulatszám-szabályozás W c s = W c s = k C m 2 R r μ m + k m k 1 + C m 2 R r μ m + k m Ck m R r μ m + k m 2 +Ck m J r R r + L r μ m 2 R 1 + r μ m + k m k 1 + C m 2 R r μ m + k m 1 + J rr r + L r μ m R r μ m + k m 2 +Ck m s + 1 J r L r 2 R s + r μ m + k m k 1 + C m 2 R r μ m + k m 1 s 2 J r R r R r μ m + k m 2 +Ck m s 2 G = k m R r μ m + k m 2 G = Ck m R r μ m + k 2 m +Ck m a = J r R r R r μ m + k m 2 a = J r R r R r μ m + k 2 m +Ck m b = J rr r + L r μ m R r μ m + k m 2 b = J rr r + L r μ m R r μ m + k m 2 +Ck m 8

Arányos fordulatszám-szabályozás Szabályozó tervezés: C erősítés meghatározása Kritériumok: Stabilitás Statikus hiba legyen minél kisebb A beállás legyen minél gyorsabb Túllövés, periodikus/aperiodikus beállás (ténye, mértéke) Az alkalmazás dönti el, hogy túllövés, periodicitás megengedhető-e, illetve milyen mértékű lehet. A fenti kritériumok maximális mértékben egyszerre általában nem teljesíthetők, kompromisszumos megoldást kell választanunk. 9

Arányos fordulatszám-szabályozás Stabilitás, beállási tulajdonságok: fázistartalék Stabilitás fennáll, ha a rendszer fázistolása kisebb, mint 180 mindenütt, ahol a körerősítés nagyobb, mint 1 (0 bb). Fázistartalék: A fázis eltérése 180 -tól azon a ponton, ahol a körerősítés egyenlő 1-gyel (0 bb). Minél kisebb a fázistartalék, annál jobban közelít a rendszer a stabilitás határához, a rendszernek annál nagyobb túllövése van, illetve a periodikus beállás amplitúdója annál nagyobb (annál nagyobb lengéseket végez). 10

Arányos fordulatszám-szabályozás A fázistartalék túllövés összefüggés másodrendű aluláteresztő stabil rendszerre (táblázatos forma): Fázistartalék Túllövés % 75 0.008 70 1.4 65 4.7 60 8.7 55 13.3 Másodrendű rendszerre analitikus összefüggésekkel pontosan számítható. Fázistartalék (FT) Phase Margin (PM, PHM) Felfutási idő: ugrásjel gerjesztésre a végérték 10 és 90 %-ának elérése közt eltelt idő, a következőkben T UP. 11

Arányos fordulatszám-szabályozás Statikus hiba: G = 1 CG 1 + CG G < 1 1-től való eltérés: a statikus hiba G 1 = 1 + CG CG statikus körerősítés CG CG körerősítés minél nagyobb, a statikus hiba annál kisebb, és G = 0 ha CG C növelése rontja a stabilitást csökkenti a fázistartalékot. 12

A motor nyílthurkú átvitele Pólus-zérus térkép Bode-diagramm 13

A motor nyílthurkú átvitele Impulzusválasz (súlyfüggvény) Egységugrás válasz (átmeneti függvény) 14

Arányos fordulatszám-szabályozás C = 0.01 G = 0.869 Eredeti rendszer pólusai Zárt rendszer pólusai 15

Arányos fordulatszám-szabályozás C = 0.01 G = 0.869 16

Egy gyakori szabályozó típus: PID PID szabályozó Arányos (Proporcionális), Integráló, Differenciáló y t d = A x t + T D dt x t + 1 t x τ d T I τ P arányos erősítés T D differenciálási időállandó T I integrálási időállandó Átviteli függvény W PID s = A 1 + T D s + 1 T I s PI szabályozó W PI s = A 1 + 1 T I s = A T I 1 + T I s s (folytonos idejű szabályozók) 23

DC motor PI fordulatszám-szabályozás PI szabályozás W C s = W PI s W ω s 1 + W PI s W ω s = A 1 + T I s T I s 1 + A 1 + T Is T I s G 1 + bs + as 2 G 1 + bs + as 2 W C s = AG 1 + T I s 1 + bs + as 2 T I s + AG 1 + T I s W C s = 1 + 1 + AG AG 1 + T I s T Is + b AG T Is 2 + a AG T Is 3 Gain = 1 statikus erősítési hiba nincs Harmadrendű rendszer Van zérusa is 24

DC motor PI fordulatszám-szabályozás PI szabályozás W ω s = G p 1 p 2 s p 1 s p 2 W C s = W PI s W ω s 1 + W PI s W ω s = W C s = W ω s alternatív felírási módja: p 1, p 1 a rendszer pólusai s p 1 A 1 + T I s T I s 1 + A 1 + T Is T I s p 1 p 2 AG 1 + T I s s p 2 T I s + p 1 p 2 AG 1 + T I s p 1 p 2 G s p 1 s p 2 p 1 p 2 G s p 1 s p 2 W C s = W C s = s p 1 s p 2 p 1 p 2 AG 1 + T I s T I s + AG 1 + T I s AG 1 + T I s 1 s p 1 1 s p 2 T I s + AG 1 + T I s 25

DC motor PI fordulatszám-szabályozás PI szabályozás W C s = AG 1 + T I s 1 s p 1 1 s p 2 T I s + AG 1 + T I s Válasszuk meg T I -t olyan módon, hogy egyszerűsíteni lehessen a 1 + T I s tényezővel. Ez teljesül, ha a pólusok valósak és azaz 1 + T I s = 1 s p 1 vagy 1 + T I s = 1 s p 2 T I = 1 p 1 vagy T I = 1 p 2 26

DC motor PI fordulatszám-szabályozás W C s = AG 1 + T I s 1 s p 1 1 s p 2 T I s + AG 1 + T I s és legyen T I = 1 p 1 W C s = AG 1 s p 1 1 s p 1 1 s p 2 T I s + AG 1 s p 1 = AG 1 s p 2 T I s + AG W C s = 1 1 + T I AG s T I p 2 AG s2 W C s = 1 1 + T I AG s T I p 1 AG s2 A zárthurkú rendszer másodrendű, pólusai könnyen kiszámíthatók. 27

DC motor PI fordulatszám-szabályozás Az eljárás neve: pólus-zérus törlés (pole-zero cancellation). A másik pólusra elvégezve hasonló eredményt kapunk, azaz p 1, p 2 pólusokra sorra W C s = 1 1 + T I AG s T W C s = I p 2 AG s2 1 1 + T I AG s T I p 1 AG s2 Melyik pólusra célszerű alkalmazni az eljárást? A szabályozás egyik követelménye a gyors beállás. Ennek érdekében jó stratégia a leglassúbb pólus törlése. 28

DC motor PI fordulatszám-szabályozás A beállási idő és a pólus helyének összefüggése: Elsőrendű stabil rendszer (valós pólus) W s = 1 1 + Ts p = 1 T T időállandó v t = 1 e t T egységugrásra adott válasz Minél nagyobb T időállandó, a beállás annál lassúbb. p pólus abszolút értéke minél kisebb, a beállás annál lassúbb. p pólus minél közelebb van az origóhoz (az imaginárius tengelyhez), a beállás annál lassúbb. 29

DC motor PI fordulatszám-szabályozás W ω s = G p 1 p 2 s p 1 s p 2 W ω s = G 1 1 + bs + as 2 G = a = k m R r μ m + k m 2 J r R r R r μ m + k m 2 b = J rr r + L r μ m R r μ m + k m 2 > 0 as 2 + bs + 1 = 0 p 1,2 = b ± b2 4a 2a p 1 = b b2 4a < 0 2a p 2 = b b2 4a < 0 2a b 2 > 4a valós pólusok b b 2 4a > 0 b 2 > b 2 4a 0 > 4a p 1 < p 2 p 1 > p 2 p 2 pólus közelebb van az origóhoz (az imaginárius tengelyhez), p 2 a lassú pólus. 30

DC motor PI fordulatszám-szabályozás A pólus-zérus törléssel egyszerűsített visszacsatolt rendszerben egy szabad paraméter marad: az A arányos erősítési tényező. A meghatározása azonos elvek alapján, mint az arányos szabályozás esetén: A kívánt beállási jelleg (túllövés, periodicitás) alapján megfelelő fázistartalék beállítása. Nem kell foglalkoznunk a statikus hibával: A szabályozó integráló jellege miatt (1-es típusú rendszer) a statikus hiba 0. 31

DC motor PI fordulatszám-szabályozás Példa: abs p 1 = 2.575 lassú pólus abs p 2 = 97.425 T I = 1 abs p 1 0.38835 s T I = 388.35 ms (beállítás) A = 0.015 (ad-hoc beállítás) Eredeti rendszer pólusai Zárt rendszer zérusai Zárt rendszer pólusai Szabályozó pólusai Szabályozó zérusai 32

DC motor PI fordulatszám-szabályozás 33

DC motor PI fordulatszám-szabályozás T I = 388.35 ms A = 0.035 Eredeti rendszer pólusai Zárt rendszer zérusai Zárt rendszer pólusai Szabályozó pólusai Szabályozó zérusai 34

DC motor PI fordulatszám-szabályozás T I = 388.35 ms A = 0.15 Eredeti rendszer pólusai Zárt rendszer zérusai Zárt rendszer pólusai Szabályozó pólusai Szabályozó zérusai 36

PID szabályozás digitális megvalósítása y t = A x t + T D dx t dt + 1 t x τ dτ T I Diszkretizálás y k = A x k + T D x k x k 1 T k + T T I x j j= T D T = τ D T T I = 1 τ I y k = A x k + τ D x k x k 1 + 1 τ I x j k j= Diszkrét PID szabályozó 38

PID szabályozás digitális megvalósítása y k = A x k + τ D x k x k 1 + 1 τ I x j k j= k 1 Rekurzív forma y k 1 = A x k 1 + τ D x k 1 x k 2 + 1 τ I x j j= y k y k 1 = A x k + x k 1 + τ D x k 2x k 1 + x k 2 + x k τ I y k = y k 1 + A 1 + τ D + 1 τ I x k + x k 1 1 + 2τ D x k 1 + τ D x k 2 Rekurzív PI szabályozó y k = y k 1 + A 1 + 1 τ I x k x k 1 39

PID szabályozás digitális megvalósítása PI szabályozó realizálása y k = y k 1 + A 1 + 1 τ I x k x k 1 A jelen időponthoz tartozó számított irányító jel Az irányító jel előző mintavételi időponthoz tartozó értéke Az ellenőrző jel jelen időponthoz tartozó értéke alapjel és mért kimeneti jel különbsége Az előző mintavételi időponthoz tartozó ellenőrző jel érték Numerikus értékek a mérés elvégzésével rendelkezésre állnak, a számítás minden ciklusban elvégezhető. 40

PID szabályozás digitális megvalósítása Realizálási problémák Windup jelenség az integrátor kimenete extrém nagy értékeket vehet fel, amelyek nem adhatók ki kimeneti jelként. Megoldás: Ha a kimeneti jel telítődik, a változások nem jutnak érvényre a visszacsatolt szabályozási kör felszakad. Felismerni a windup jelenséget. Korlátozni az integrátor kimenetének nagy értékre kerülését. A szabályozási kör felszakadását megakadályozni, pl. egy akár gyengébb minőségű proporcionális szabályozás alkalmazásából, amely kivezeti a kört a telítődésből. Speciális anti-windup megoldások alkalmazása (l. a szakirodalomban). 41

DC motor fordulatszám-szabályozás További fordulatszám-szabályozási módszerek: Optimális szabályozások: lineáris kvadratikus szabályozás (LQ). Robusztus szabályozások: figyelembe veszik a paraméter-bizonytalanságokat. Nemlineáris szabályozások: figyelembe veszik a motor nemlineáris tulajdonságait (súrlódás, egyenetlenségek, játék, a vas nemlineáris mágnesezési tulajdonságai). A motor nemlineáris viselkedéséből eredő problémák: a gyakorlati példákon keresztül láthatjuk. 42

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Dr. Soumelidis Alexandros email: soumelidis@mail.bme.hu BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT TANANYAG