6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS A mérés célja: ismeredés a villamos elven möd ontathmérel; exponenciális folyamat idállandójána meghatározása. Elismerete: ellenállás hmérséletfüggése; ellenállás és feszültség mérése; érzéenység. Hmérsélet; hmér A hmérsélet a teste egyi állapothatározója. A hmérsélet a test olyan sajátossága, ami meghatározza, hogy a test termius egyensúlyban van-e más testeel. Ezen alapszi a hmérséletmérés techniai ivitele. A test hmérsélete a teste egyéb állapothatározóina valamilyen függvénye. Hmérsélet méréseor iválasztun egy testet azt hmérne nevezzü ; és iválasztju enne egy mérhet sajátosságát (pl. térfogat), és ölcsönösen egyértelm megfeleltetést hozun létre a sajátosság és a hmérsélet értéei özött. A hmérsélet mérési utasításána meghatározása három önényes tényezt tartalmaz: - a hmérént használt test, - a hmérsélet méréséhez felhasznált sajátosság, - a hmérséleti sála. Egy jó hmérne a hapacitása és a tehetetlensége icsi, és jól reproduálható. Az egyes hméret a övetezéppen csoportosíthatju: a.) a mérend testtel özvetlen érintezésbe nem erül hmér; b.) a mérend testtel özvetlen érintezésbe erül hmér (ontathmér), eze 1.) mechanius vagy.) villamos elven mödne. a.) A mérend testtel özvetlenül nem érintez hmér. Pirométere: A testbl emittált hmérséleti sugárzás hmérséletfüggésén alapuló hmér. b/1.) Mechanius elven möd ontathmér b/1/1.) Fémrudas hmér. Egy fémrúd lineáris htágulását használja fel. b/1/.) Bimetál. Két összeersített, ülönböz htágulású fémrétegbl áll. A hmérséletváltozás hatására a (gyaran spirális alaú) rendszerben hajlítófeszültség eletezi, ezt a feszültséget használju hmérséletmérésre. b/1/3.) Folyadétöltés üveghmér. A folyadéo (etanol, higany, pentán) térfogati htágulásán alapulna. Ilyene például a bels-sálás hmér, a bothmér (utóbbinál a sálát ívülrl arcoljá az üvegre), a hmérséletváltozáso nagy pontosságú (0,001 K) mérésére használható Becmann-hmér, valamint az eletromos berendezése (laboratóriumi termosztáto) vezérlésére használatos higanyos ontathmér. b/1/4.) Folyadényomásos rugós hmér. Egy merülcsbl, összeöt vezetébl, és egy rugalmas fém érzéeltartályból (Bourdon-cs) áll. Az egész rendszer folyadéal van töltve. Növev hmérséletnél n a folyadé nyomása, s ezt a nyomásváltozást használju fel. b/1/5.) Gznyomásos hmér. Hasonló az elz típushoz, de nincs teljesen megtöltve folyadéal. Itt a folyadé fölötti telített gz nyomásána hmérséletfüggését használju fel. b/1/6.) Gázhmér. A töéletes gáz állapotegyenlete szerint a onstans térfogatú gáz nyomása arányos a termodinamiai hmérsélettel. A héliumtöltés gázhmér jól megözelíti ezt a viseledést. b/.) Villamos elven möd ontathmér b//1.) Termoeleme. Ha ét ülönböz fémet fémesen összeérinteztetün, aor a ét fém özött eletromos potenciálülönbség (ontatpotenciál) lép fel. E ontatpotenciálo összege zárt vezethuroban zérus, amennyiben a csatlaozási ponto azonos hmérsélete. Ha viszont a csatlaozási ponto özött hmérséletülönbség van, aor a örben (általában egy nem zérus) termoeletromotoros er lép fel. Teintsü az 1. ábrán lév elrendezést: 1. ábra. A termoelem sémája 6. Hmérséletmérés / 1
A ét ülönböz (I. és II.) fém ét pontban (A, B) csatlaozi egymáshoz. A C és D szaadási ponto özött mérhet feszültség a termofeszültség. Ha a C és D özött zárju a ört, termoáram lép fel. A termofeszültség (ε) függ a ét fém anyagi minségétl és függ a csatlaozási ponto hmérséletétl: ε = f (T A,T B ) (1) Ez a függvény olyan, hogy T A = T B esetén ε = 0. Ha ez nem így lenne, aor a termoelem alalmas volna egy egyetlen htartályos hergép létrehozására, ami azonban a termodinamia II. ftétele szerint lehetetlen. Els özelítésben az f lineáris függvény, ε arányos a hmérséletülönbséggel: ε = a T AB, ahol T AB = T A T B. () A másodi özelítés esetén az f függvény T AB -ben vadratius tagot is tartalmaz: ε = a T AB + b (T AB ) (3) A sorfejtés együtthatói természetesen függene a T B referenciahmérsélettl. Rendszerint már a () lineáris ala is elég széles hmérsélet-tartományban igen jó özelítést ad. A termoeleme érzéenységét a W = ε T AB T A (4) ifejezéssel definiálju. Az érzéenység az elbb mondotta szerint széles tartományban független a hmérsélettl. Látható, hogy az érzéenység a () lineáris ala esetén: W = a (5) A termoeleme tehetetlensége icsi. Az 1. ábrán lév elrendezés egy leegyszersített, de lényegileg helyes épe a valóságos termoelemene. A valóságos termoelemeben rendszerint egy harmadi fém is van az áramörben (pl. a mérmszerben). Ha azonban enne a vezetdarabna a csatlaozási pontjai azonos hmérsélete, aor a járuléos ontatpotenciálo semlegesíti egymást. Ugyanezen oo miatt a termofeszültség változatlan marad, ha a fémes érintezést hegesztés helyett forrasztással hozzu létre. b//.) Ellenálláshmér. Az eletromos ellenállás függ a hmérsélettl. Az ellenállás hmérséleti oefficiense, β, egy arányossági tényez a relatív ellenállásváltozás és a hmérséletváltozás özött: R R 0 = β (T T 0 ). (5) Átrendezve, ha T 0 hmérséleten R 0 az ellenállás, aor T hmérséleten: R = R 0 + R = R 0 ( 1 + β (T T 0 ) ) (6) Az (5) arányosság persze csa özelítés: β valójában nem független a hmérsélettl. Ilyenor is beszélhetün viszont egy hfotartományon belül érvényes özepes β-ról. Az ellenálláshmér fémbl vagy félvezetbl észülne. A fém ellenálláshmér anyaga rendszerint Ni- vagy Pt-huzal. Szabvány szerint az ellenállásu 0 C-on 100 Ω. Tehetetlenségü viszonylag nagy. Félvezetbl észített ellenálláshmér (termisztor) esetén az ellenállás nemlineáris függvénye a hmérséletne, azaz a (6) összefüggés eor jóval szebb tartományban érvényes, mint a fémenél. Egy adott hmérséleten eor is definiálhatju az ellenálláshmér érzéenységét differenciálisan: β = 1 dr R dt A termisztoro érzéenysége soal nagyobb, tehetetlenségü soal isebb, mint a fém ellenálláshméré. (5a) 6. Hmérséletmérés /
A hmér tehetetlensége A hmér mindig a saját hmérséletüet méri. Amior hmért helyezün egy rendszerbe, amine a hmérséletét mérni szeretnén, aor egyrészt ezzel magát a rendszert is megzavarju, anna tulajdonságait, hmérséletét is megváltoztatju, mert a hmér más hmérsélet, mint a rendszer; másrészt a hmérne tehetetlenségénél fogva idre van szüsége ahhoz, hogy felvegye a rendszer hmérséletét. Mindét folyamat vizsgálatához a hmér és a rendszer hapacitását ell figyelembe vennün. A test hapacitásána az egységnyi hmérséletváltozáshoz szüséges hmennyiséget nevezzü: C = Q / T (7) Mivel a hcsere mértée függ a folyamat jellegétl, ezért ülönböz folyamatora a hapacitás értée ülönböz lehet: gázonál például ezért beszélün izochor, izobár, vagy egyéb itüntetett folyamattípusora vonatozó hapacitásról. Homogén test hapacitása arányos a test tömegével, m-mel: C = c m, (8) ahol c az anyag fajhje. A fajh függ a hmérsélettl. A hmérne használt test hapacitásána icsine ell lennie a rendszer hapacitásához épest, hogy a mérend hmérsélet rendszer állapota, hmérsélete evéssé változzon. A hmér is hapacitása azért is ívánatos, mert ez teszi lehetvé, hogy minél hamarabb a ívánt mértében megözelítse a hmér hmérsélete a rendszer hmérséletét. Ezt röviden úgy is ifejezhetjü, hogy az a ívánatos, minél isebb legyen a hmér tehetetlensége. A hmér tehetetlenségét az idállandóval ill. felezési idvel jellemezhetjü. Vizsgálju a övetez hátadási folyamatot: Legyen a térben ét -egymáshoz özel lév- T 1, ill. T hmérsélet felület, amelye özötti teret valamilyen özeg tölti i. Eor a özegben a háramsrség, J q (az egységnyi felületen átment hmennyiség) özelítleg arányos a T = T T 1 ülönbséggel: J q = α T (9) Az α együtthatót hátadási tényezne nevezzü. Ezen összefüggés alalmazásával határozzu meg, hogyan változi a (hmérént használt) test hmérsélete az idvel, ha hidegebb (vagy melegebb) özegbe erül. A probléma megoldása egyszer, ha teszün néhány egyszersít feltételt: - a test hapacitása (C) legyen a folyamat özben állandó; - a test hmérsélete a folyamat özben idben változi (T(t)), de a test egészére legyen azonos, ne függjön a helytl; - a özeg hmérsélete (T ) legyen a folyamat özben állandó érté; - a test és a özeg özötti hátadási tényez (α) legyen a folyamat özben állandó. Ilyen feltétele mellett a (testbl ifelé áramló) háram, I q (a test teljes felületén átment hmennyiség) (7) alapján: I q = dq dt = C d T, d t másrészt a háram ifejezhet a test A felületével és a J q háramsrséggel is (9) alapján: I q = J q A = α A (T - T ), ahol T a test (hmér) hmérsélete, T a özeg (rendszer) hmérsélete. A fentiebl apju a C d T d t melyne általános megoldása: = α A (T T ) differenciálegyenletet, (10) T(t) t T ( ) = T(0) T e, ahol τ = Ez a Newton-féle hátadási törvény. C α A (11) (11)-bl látható, hogy a hmérséletülönbség exponenciálisan csöen, és a t határesetben eltni: lim T(t) = T t 6. Hmérséletmérés / 3
Felmelegedési görbe Lehlési görbe A hmérsélet-iegyenlítdés sebességéne jellemzje a τ idállandó. Az idállandó az az idtartam, mely alatt a test és örnyezete özötti hmérséletülönbség a ezdetine "e"-ed részére csöen: T(τ) T = ( T(0) T ) / e. Az idállandó (más néven araterisztius id) annál nagyobb, minél nagyobb a test hapacitása (a tömeg és a fajh szorzata), minél isebb a hcserénél szóbajöhet felület és a hátadási tényez. Szoásos τ helyett a t 1/ felezési idt is használni, mely alatt a test és örnyezete özötti hmérsélet-ülönbség az eredeti felére csöen. Ezzel a (11) egyenlet t 1 / T(t) T = (T(0) T ) (13) t alaba írható. Belátható, hogy a felezési id és az idállandó özötti összefüggés t 1/ = τ ln () (1) Hasonlóéppen definiálható harmadolási, stb. id is. 1. Ellenállás-hmér tehetetlenségéne mérése Eszözö: - Pt ellenállás-hmér, - termosztált hmérsélet erámiacs hmérsélet-szabályozóval, - univerzális mszer ellenállásmérésre, - edény jeges vízzel, - stopperóra. A méréshez használt termosztát egy 4 V-os egyenirányított tápfeszültségrl mödtetett, házilag összeállított berendezés, ami egy sz cs belsejében termosztálja a hmérséletet. A termosztált hmérsélet értée egy potenciométerrel szabályozható. Feladat: A mérés ezdetén a termosztáto hmérséletét (T ) az otató már beállította, és az ellenálláshmér is felvetté a termosztát hmérséletét. A mérést pároban végzi a hallgató. Az adatoat a mérésvezet által iosztott táblázatba ell írni. - Elször mérjü meg az ellenálláshmér ellenállását a termosztátban az univerzális mszerrel. - Ezután vegyü fel az ellenálláshmér lehlési görbéjét a övetez módon: Tegyü át az ellenálláshmért a jeges vizes edénybe (T 1 ), és ugyanebben a pillanatban indítsu el a stoppert. Kezdetben 5 s-os, majd 10 s-os, majd egyre hosszabb idözönént mérjü meg az ellenállást (R(t)), mindaddig, míg az ellenállás értée már gyaorlatilag nem változi. A T 1 viszonyítási hmérséletne állandóna ell lennie a lehlési görbe felvétele során; ügyeljün arra, hogy elég jég legyen az edényben, és idnént everjü meg! 6. Hmérséletmérés / 4
- A lehlési görbe felvétele után tegyü vissza az ellenálláshmért a ftött erámiacsbe (eltte a hmért töröljü szárazra), és mérjü most meg a felmelegedési görbét. Kiértéelés: 1. Számolju i a mért ellenállás-értéebl (R(t)) a hmérséleteet (T(t)): A (6) éplet szerint R(t) = R 0 ( 1 + β ( T(t) T 0 ) ), ahol β = 0,00386 1/ C, T 0 = 0 C, és R 0 a jeges vízben mért ellenállás.. Grafionon ábrázolju a mért felmelegedési és lehlési görbét, azaz az id függvényében az ellenálláshmér hmérséletét! 3. Határozzu meg a hmér idállandóját: Elször számolju i a Τ hfoülönbségeet: a lehlési görbénél Τ = T(t) T 1, T 1 a jeges víz hmérsélete, vagyis T 1 = 0 C; a felmelegedési görbénél Τ = T T(t), T a termosztát hmérsélete (a mért ellenállásból tudju); Τ 0 a iindulási T érté, vagyis T 0 = T T 1. A (11) éplet átalaításával látható, hogy ln Τ az idne lineáris függvénye: ln Τ = ln Τ 0 t/τ. Ábrázolju ln Τ -t az id függvényében! A számítás lerövidítése céljából ehhez a grafionhoz csa a táblázatban megjelölt 5 célszeren iválasztott mérési pontot használju fel. A grafion pontjaihoz illesszün egyenest a legisebb négyzete módszerével, és ebbl számítsu i a hmér τ idállandóját, felmelegedésre és lehlésre is! Megjegyzés: mivel az ellenálláshmér hmérsélete és ellenállása lineárisan függene egymástól, az idállandó számítható özvetlenül a mért ellenállásoból is.. Termoelem érzéenységéne mérése Eszözö: - vas-onstantán ill. niel-rómniel termoelem, - termosztált hmérsélet erámiacs hmérsélet-szabályozóval, - univerzális mszer feszültségmérésre, - edény jeges vízzel. Feladat: A termoelem melegpontját tegyü a termosztátba, a hidegpontot a jeges vízbe. Négy ülönböz hmérséleten a négy termosztátban mérjü meg a termofeszültséget (ε) az univerzális mszerrel. Kiértéelés: Készítsün táblázatot: ε, Τ = T T h! T h a hidegpont hmérsélete (jeges víz, 0 C) T a termosztáto hmérsélete (az ellenálláshmérvel mért értéebl számolva az elz feladatban) Ábrázolju ε-t Τ függvényében! (alibrációs görbe) Illesszün egyenest a négy mérési ponthoz lineáris regresszióval és határozzu meg a termoelem érzéenységét! (Vigyázzun az illesztésnél, a tengelymetszet zérus!) Szorgalmi feladat: - Becsüljü meg a mérési hibáat és jelöljü be a grafionba is! - Illesszün parabolát a mérési pontohoz a legisebb négyzete módszerével, és határozzu meg a termoelem érzéenységét 0 C-nál! 6. Hmérséletmérés / 5
Kérdése, gyaorló feladato: Igaz-e, hogy* - ha egy hmért 0 ºC-os szobahmérséletrl 100 ºC-os vízbe raun, aor hamarabb éri el a 40 ºC-ot, mint aor, ha ugyanazt a hmért 80 ºC-os vízbe ranán? - ha egy hmért 0 ºC-os szobahmérséletrl 100 ºC-os vízbe raun, aor hamarabb éri el a 60 ºC-ot, mint ahogy elérné az 50 ºC-ot, ha 80 ºC-os vízbe ranán? - egy hmér gyorsabban melegszi, ha forró (100 ºC-os) vízbe tesszü, mint ha anna (szintén 100 ºC-os) gzébe? - lehlési görbe felvételeor ellenálláshmérvel negatív ellenállásoat mérün? - az idállandó az az id, amior az adott hmér leolvasási pontosságával elérjü a mérend hmérséletet? - az idállandó az az id, ami alatt a hmér hmérsélete az e-ed részére csöen? - a felezési id étszer aora, mint a negyedelési id? - ha egy termoelem hidegpontja 0 ºC-os jeges vízben van és a 3 ºC-os (szobahmérsélet) melegpontját betesszü a hidegpont mellé a vízbe, a termofeszültség zérushoz fog tartani? - termoelem feszültsége soha nem lehet negatív? *A válaszohoz indolást is érün! 1. Mennyi id alatt éri el a, ºC-os higanyos lázmér a beteg 39, ºC-os hmérséletét 0,1 ºC pontossággal, ha idállandója τ = 90 s?. Jeges vízbl forrásban lév vízbe tesszü a hmérnet. Fél perc múlva 50 ºC-ot mutat. Mennyit mutat újabb fél perc múlva? 3. Ellenálláshmér ellenállása 0 ºC-on 108,0 Ω, 5 ºC-on 110,0 Ω. Mennyi az ellenállása 45 ºC-on? 4. Termoelem hidegpontja jeges vízben van, meleg pontja a 3 ºC-os szobában. A mért termofeszültség eor 0,9 mv. Áttesszü a melegpontot egy 160 ºC-os termosztátba. Lehetséges-e, hogy 3 perc múlva 9,0 mv-ot mérün? 5. Egy lábasban 0 ºC-os tejet 0 ºC-os fzlapra téve aarun felforralni. A tejet folyamatosan everjü, hogy i ne fusson. A tej 1 perc múlva 43,5 ºC-os. Mennyi id alatt forr fel? 6. Egy ellenálláshmér ellenállását 0,1 Ω pontossággal tudju megmérni. Ismeretlen hmérsélet termosztátban 18,8 Ω-ot mérün. Mennyi a termosztát hmérsélete, és meora hibával tudju azt meghatározni, ha az ellenállás-hmér ellenállása 0 ºC-on R 0 = 100,0 Ω és a hmérséleti oefficiens α = 0,0036 1/ºC? (R 0 hibája elhanyagolható) 7. Forrásban lév vízbl jeges vízbe tesszü a hmérnet. 5 s múlva 80 ºC-ot mutat. a) Mennyi a hmér idállandója? b) Mior mutat a hmér 40 ºC-ot? Megoldott feladato: 1. Dolgozatírás lesz és Petie nagyon lázasna érzi magát. Anyuája odaadja nei a szobahmérsélet, 5 C-os hmért, de nagyon siet, és már 3 perc múlva megnézi. A lázmér eor 37,0 C-ot mutat. Ez csa hemeledés mondja, és már üldené is Petit az isolába. Petie viszont tudja, hogy a lázmér 1,5 perc idállandóval mér, megbecsüli, mennyi a láza és iszámítja, meddig ell várni, míg a lázmér a 0,1 C leolvasási hibán belül már a valóságos hmérséletét mutatja. Ezt elmagyarázza anyuájána és végülis nem ell isolába mennie. a) Mennyire lázas Petie? b) Mennyi id múlva mutatja a lázmér Petie valóságos hmérséletét a 0,1 C leolvasási hibán belül? 6. Hmérséletmérés / 6
Megoldás: a) Legyen Petie hmérsélete T P, és írju fel a Newton-törvényt: ( ) T 37 = T 5 e P b) 0, 1 ( 38, 9 5) P = e t 1, 5 3 1, 5, ebbl T P = 38,9 C., t = 7,4 perc.. Egy állandó T hmérsélet özegben lehl test hmérsélete a t 0 idpillanatban T 0 = 77 C, t 1 = t 0 + t idpillanatban T 1 = 65 C, t = t 0 + t idpillanatban T = 6 C. Mennyi T, és mennyi a hmér felezési ideje? Megoldás: t 1 ( 0 ) t T T = T T és T T ( T T ) = 0 t t1. Mivel t t1 = t t1, ezért T T T T 0 T1 T = T0 T 0 1, vagyis ( T T ) ( T T ) ( T T ) = T = 61 C, t 1/ = t /. 3. Egy hmér ötödölési ideje t 1/5 = 3 s, t = t 0 -ban T 0 = 75 C-ot, t 1 = (t 0 + 3) s-ban T 1 = 95 C-ot mutat. Mennyi T, a örnyezet hmérsélete? Megoldás: A Newton-féle lehlési törvényt felírva ( ) T T = T T 1 0 5 ( T ) t1 t 0 t1 5, behelyettesítve 3 95 T = 75 5 3, amibl T = 100 C. 6. Hmérséletmérés / 7