Chasles tételéről. Előkészítés

Hasonló dokumentumok
Egy kinematikai feladat

Érdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon

Síkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya

Egy mozgástani feladat

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

További adalékok a merőleges axonometriához

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

Érdekes geometriai számítások 10.

Kerék gördüléséről. A feladat

Egy kinematikai feladathoz

A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről

Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról

A kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról

Ellipszissel kapcsolatos képletekről

Egy másik érdekes feladat. A feladat

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

A kerekes kútról. A kerekes kút régi víznyerő szerkezet; egy gyakori változata látható az 1. ábrán.

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

Egy érdekes statikai - geometriai feladat

A kardáncsukló kinematikája I. A szögelfordulások közti kapcsolat skaláris levezetése

A Lenz - vektorról. Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra.

A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához

A főtengelyproblémához

A lengőfűrészelésről

A véges forgatás vektoráról

t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész

A térbeli mozgás leírásához

A magától becsukódó ajtó működéséről

Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát.

Egy érdekes statikai feladat. Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladattal.

Egymásra támaszkodó rudak

A felcsapódó kavicsról. Az interneten találtuk az alábbi, a hajítás témakörébe tartozó érdekes feladatot 1. ábra.

Egy geometriai szélsőérték - feladat

Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )

Fénypont a falon Feladat

A hordófelület síkmetszeteiről

Vonatablakon át. A szabadvezeték alakjának leírása. 1. ábra

Egy újabb térmértani feladat. Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra.

A csavarvonal axonometrikus képéről

Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész

Egy nyíllövéses feladat

Végein függesztett rúd egyensúlyi helyzete. Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó.

Egy variátor - feladat. Az [ 1 ] feladatgyűjteményben találtuk az alábbi feladatot. Most ezt dolgozzuk fel. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

A csavart oszlop előállításáról

Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya

Tető - feladat. Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladatot és végeredményeit ld. 1. ábra.

Ellipszis átszelése. 1. ábra

Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! A födém és a fal síkját tekintsük egy - egy koordinátasíknak, így a létra tömegközéppontjának koordinátái: ( 2 )

Az eltérő hajlású szarufák és a taréjszelemen kapcsolatáról 1. rész. Eltérő keresztmetszet - magasságú szarufák esete

Fiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához

1. ábra forrása:

A manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: of_gambrel-roofed_building.

Az elforgatott ellipszisbe írható legnagyobb területű téglalapról

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról

A ferde tartó megoszló terheléseiről

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Az ötszög keresztmetszetű élszarufa kis elmozdulásainak számításáról

Két naszád legkisebb távolsága. Az [ 1 ] gyűjteményben találtuk az alábbi feladatot és egy megoldását: 1. ábra.

Forgatónyomaték mérése I.

Egy ismerős fizika - feladatról. Az interneten találtuk az [ 1 ] könyvet, benne egy ismerős fizika - feladattal 1. ábra.

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra

Kerekes kút 4.: A zuhanó vödör fékezéséről. A feladat. A megoldás

Élesmenetű csavar egyensúlya másként

A gúla ~ projekthez 1. rész

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 1.(a) Rugalmas hullámok. Utolsó módosítás: szeptember 28. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

A merőleges axonometria néhány régi - új összefüggéséről

A törési lécről és a törési lépcsőről

T s 2 képezve a. cos q s 0; 2. Kötélstatika I. A síkbeli kötelek egyensúlyi egyenleteiről és azok néhány alkalmazásáról

w u R. x 2 x w w u 2 u y y l ; x d y r ; x 2 x d d y r ; l 2 r 2 2 x w 2 x d w 2 u 2 d 2 2 u y ; x w u y l ; l r 2 x w 2 x d R d 2 u y ;

Lövés csúzlival. Egy csúzli k merevségű gumival készült. Adjuk meg az ebből kilőtt m tömegű lövedék sebességét, ha a csúzlit L - re húztuk ki!

1. ábra forrása: [ 1 ]

Fa rudak forgatása II.

A Kepler - problémáról. Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó.

Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással

A K É T V É G É N A L Á T Á M A S Z T O T T T A R T Ó S T A T I K A I V IZS-

KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS

A Cassini - görbékről

Ellipszis perspektivikus képe 2. rész

Rönk kiemelése a vízből

Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész

Egy sajátos ábrázolási feladatról

Az éjszakai rovarok repüléséről

Poncelet egy tételéről

Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat

Robotika. Kinematika. Magyar Attila

A ferde szabadforgácsolásról, ill. a csúszóforgácsolásról ismét

Egy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere. Az egyenletek felírása

Egy érdekes mechanikai feladat

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

Csúcsívek rajzolása. Kezdjük egy általános csúcsív rajzolásával! Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

A gúla ~ projekthez 2. rész

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

Átírás:

1 Chasles tételéről A minap megint találtunk valami érdekeset az interneten. Az [ 1 ] tankönyvet, illetve an - nak fejezetenként felrakott egyetemi internetes változatát. Utóbbi 20. fejezetében volt az, ami megragadta figyelmünket [ 2 ]. Előkészítés Chasles kinematikai tételével a merev test kinematikájának tanulmányozásakor találkoz - hattunk. Erről ezt olvashatjuk [ 3 ] - ban: a merev test legáltalánosabb elmozdulása csavarmozgással egyenértékű ( Chasles tétele, 1830 ). Ez előtt bemutatja / igazolja, hogy a merev test bármilyen elmozdulása egy transzlációból és egy rotációból tehető össze. Csavarmozgásról akkor beszélünk, ha a transzláció ( a párhuzamos eltolás ) v sebesség - vektora és a rotáció ( forgás ) ω szösebességvektora párhuzamos vektorok 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 4 ] Itt azt látjuk, hogy a merev test a pillanatnyi S - S csavartengely körüli csavarmozgást végez, melynek következtében egy a tengelytől r A távolságra található A pontjának sebessége így alakul: ( 1 ) ahol v S a tengellyel párhuzamos transzláció sebessége, w A pedig a tengely körül ω szög - sebességgel végzett forgás sebessége. A sebességek nagyságára írható, hogy ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )

2 ahol p a csavarmozgás paramétere. Ez már előző tanulmányainkból ismerős mennyiség. ( Ehhez ld. pl. A csavarvonalról és a csavarmenetről című korábbi dolgozatunkat is! ) Az 1. ábrán δ A - val jelölt szögre pedig ( 2 ) és ( 3 ) - mal is: ( 5 ) Ha a test csavarmozgást végez, akkor minden, nem a csavartengelyen fekvő pontja csavarvonalon mozog, ha csak egyetlen pillanatra is. Ez egy térbeli mozgás. Ha a test síkmozgást végez, akkor a test minden pontja egy meghatározott síkkal párhuza - mosan mozog [ 3 ]. Ez a mozgás is felbontható egy a síkban végzett transzlációra, vala - mint egy a síkra merőleges tengely körüli rotációra. Azonban még az is bizonyítható, hogy A merev test bármilyen elmozdulása a síkban egy rotációval egyenértékű, amelynek tengelye a síkra merőleges [ 3 ]. Jelen dolgozatunk valódi témája annak a tételnek az [ 1 ] és [ 2 ] szerinti bizonyítása, hogy a merev test síkbeli elmozdulása egy transzláció és egy rotáció összegeként adódik, a test bármely pontjában. A hivatkozott szakirodalom az előbb kimondott tételt is Chasles téte - lének nevezi. Ez teljesen helyénvaló, ha figyelembe vesszük, hogy a térbeli csavarmoz - gásból úgy lesz síkbeli forgás, hogy elhagyjuk a forgás síkjára merőleges transzláció - összetevőt. Mivel pedig az előbb idéztük [ 3 ] - ból, hogy a merev test bármely síkbeli elmozdulása egy rotációval egyenértékű, azaz egy síkbeli transzláció és rotáció egy másik rotációval egyenértékű, így visszafelé gondolkodva a síkbeli elmozdulás transzlációra és rotációra való felbontása is adja magát. Amitől ez számunkra mégis érdekes, az maga az igazolás módja, melyet korábban még nem láttunk máshol. Most ez következik. Kifejtés A következőkben ismertetjük az [ 1 ] és [ 2 ] - ben talált levezetést, amelyben igazolják a tételt, miszerint egy merev test bármely síkbeli elmozdulása megadható tömegközéppontja transzláció - jának és a tömégközéppontja körüli rotációjának az összegeként. Ehhez először tekintsük a 2. ábrát! Itt azt szemléltetik, hogy a merev testet két részével, az m 1 és m 2 tömegű, pontszerűnek vett összetevőjével helyettesítik. A két tömeget egy tömeg nélkülinek tekintett merev rúddal kötik össze. A felvett k. r. - ben a két tömegpont helyvektora r 1 és r 2. Az egész test cm ( center of mass ) tömegközéppontjának helyvektora R cm. Utóbbinak képlete a Mechanika tanítása szerint ld. [ 3 ]! :

3 2. ábra forrása: [ 2 ] ( 6 ) A két ponttömeg egymáshoz képesti helyzetét megadó vektor: ( 7 ) Ez az m 2 felől az m 1 felé mutat, a 2. ábra szerint. Most tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra forrása: [ 2 ] Itt azt látjuk, hogy bevezettük a rendszer cm tömegközéppontjából az alkotó tömegek tömegközéppontjába mutató r cm,1 és r cm,2 pozíció - vektorokat. A 2. és a 3. ábra szerint: ( 8 )

4 hasonlóan: ( 9 ) Most ( 6 ) és ( 8 ) szerint: tehát: ( 10 ) ahol bevezettük a ( 11 ) rövidítő jelölést. Teljesen hasonlóan: tehát: ( 12) A ( 10 ) és ( 12 ) képletekből kapjuk, hogy innen pedig: Ezután ( 7 ) és ( 10 ) - zel: ( 13 ) ( 14 ) ( 15 ) majd ( 7 ) és ( 12 ) - vel: ( 16 ) Differenciálással ( 15 ) és ( 16 ) - ból kapjuk, hogy ( 17 )

5 Összefoglaló jelöléssel, ( 8 ) és ( 9 ) alapján: ( 18 ) differenciálva: ( 19 ) Itt a cm tömegközéppont ( infinitezimális transzlációs ) elmozdulása, pedig az i - edik tömegpont ( infinitezimális rotációs ) elmozdulása a cm tömegközépponthoz képest. Az 1 és 2 tömegpontok elmozdulásai azon kényszer hatása alatt állnak, miszerint a tömegpontok egymástól mért távolsága állandó, hiszen egy merev testről, illetve annak helyettesítő részeiről van szó. E távolság ( 7 ) - tel: ( 20 ) ennek négyzete: ( 21 ) differenciálva: azaz: ( 22 ) Más alakban, ( 7 ) - tel: ( 23 ) Minthogy így ( 23 ) - nál két eset lehetséges: 1.) eset: ( 24 ) 2.) eset: ( 25 ) 1. eset: a tömegközéppont transzlációja / haladó elmozdulása Most ( 24 ) - ből, ( 19 ) és ( 26 ) - tal is: ( 26 ) Ezután ( 17 ), ( 24 ) és ( 26 ) - tel: ( 27 )

6 Majd megint ( 19 ) - cel és ( 27 ) - tel, valamint a tömegközéppont v cm sebességével: ( 28 ) A ( 28 ) egyenletsor azt fejezi ki, hogy az egész merev test ugyanazt az elmozdulást végzi, így a tömegközéppontja is; ez a transzláció / haladó elmozdulás esete. 2. eset: rotáció / forgás a tömegközéppont körül Most ( 23 ) és ( 25 ) - ből ( 29) Megint ( 23 ) - mal és ( 17 ) - tel: innen: ( 30 ) hasonlóan: ( 31 ) ( 30 ) és ( 31 ) szerint az összekötő rúd végein az elmozdulások merőlegesek a rúd tengelyére. A ( 30 ) és ( 31 ) összefüggést szemlélteti a 4. ábra. De még ennél többet is; ugyanis eszerint: 4. ábra forrása: [ 2 ]

7 ( 32 ) ( 33 ) valamint, hogy ( 34 ) Az utóbbi három egyenlettel a rúdvégi elmozdulások rotációs elmozdulások, melyek nagysága arányos az elemi szögelfordulással: ( 35 ) Most ( 17 ) és ( 32 ) - vel: ( 36 ) majd ( 17 ) és ( 33 ) - mal:. ( 37 ) Ezután ( 14 ), ( 36 ) és ( 37 ) - tel: vagyis: ( 38 ) ami egyezik a 4. ábra szemlélete alapján kapott ( 34 ) - gyel. Az ω szögsebességvektorral írható, hogy 4. ábra : ( 35 * ) ahol az elemi forgás - / elfordulás - vektor v. ö.: [ 3 ]! A 4. ábra esetében az ábra síkjára merőleges és befelé irányul, a jobbmenetű csavar - szabály szerint. Látjuk, hogy a 2. esetben az i - edik objektum = rotációs elmozdulása eltér a tömegközéppont elmozdulásától.

8 Összegzés ( 19 ), ( 27 ), ( 28 ), ( 35 * ) - gal, a felső indexekkel a megfelelő esetre utalva: tehát: ( 39 ) vagyis az i - edik objektum elmozdulása összetehető az egész test tömegközéppontjának ( 28 ) szerinti transzlációs, valamint a tömegközéppont körüli, ( 35 *) szerinti rotációs elmozdulásából. Ez az, amit igazolni kellett. Megjegyzések: M1. Az interneten is fellelhető források Michel Chasles más, nem mechanikai, hanem geometriai tételéről is beszélnek. Ehhez ld. pl.: [ 5 ]! M2. [ 1 ] és [ 2 ] - ben némiképp eltérő úton járnak a szerzők. M3. A szakirodalomban korábban látott idevágó bizonyítások geometriai természetűek, nem pedig analitikai jellegűek; ld. pl.: [ 3 ]! Ezért is szántuk ezt a HD - t az [ 1 ] - és [ 2 ] - beli lelemény tanulmányozásának. M4. Ebben a dolgozatban nem igazoltunk minden állítást. Némely esetben a szakiroda - lomban található bizonyításokra utaltunk, máskor pedig az általános mechanikai alap - ismeretekre támaszkodtunk. Érdekes, hogy [ 1 ] - ben a bizonyítást csak megjegyzésként csatolták, mintegy kikacsintva az Olvasóra ld. 5. ábra! 5. ábra forrása: [ 1 ]

9 Nem így az internetre feltett MIT ( Massachusetts Institute of Technology ) - jegyzetben, melynek a 20. fejezete [ 2 ]; itt a bizonyítást Függelékben közölték, valamivel részleteseb - ben és másként, mint [ 1 ] - ben. M5. Ami némiképpen meglepő lehet a fenti bizonyításban, az pl. az, hogy a test tömeg - középpontját, illetve az ezen áthaladó forgástengelyt kitüntették a vizsgálat során, más tengelyekhez képest. Ennek az lehet a magyarázata, hogy az eredeti merev testet bár - hogyan is osztjuk gondolatban két részre, a tömegközéppont mindig ugyanaz lesz. Ami nem lesz mindig ugyanaz, az a két rész - tömegközéppontot összekötő, a test tömeg - középpontján áthaladó rúd térbeli helyzete; ennek megfelelően a tömegközépponton az összekötő rúdra merőlegesen átmenő forgástengely helyzete is függ a test két részre osztá - sának konkrét módjától. Források: [ 1 ] Daniel Kleppner ~ Robert Kolenkow: An Introduction to Mechanics 2. kiadás, Cambridge University Press, 2014., 280 ~ 282. o. [ 2 ] http://web.mit.edu/8.01t/www/materials/modules/chapter20.pdf [ 3 ] Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972., 115. o, 198. o. [ 4 ] Martin Grübler: Lehrbuch der Technischen Mechanik Erster Band: Bewegungslehre Berlin, Verlag von Julius Springer, 1921., 108. o. [ 5 ] https://en.wikipedia.org/wiki/michel_chasles Sződliget, 2016. augusztus 5. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár