Prosztatarák terjedésének matematikai leírása

Prosztatarák terjedésének matematikai leírása A PROBLÉMA BEMUTATÁSA Ismeretes, hogy a hámsejtek kóros elszaporodásából támadt rosszindulatú, környezetét pusztítva növekvő daganatot rákosnak, illetve a szervezetnek ebből adódó betegségét rákbetegségnek nevezzük. Az olyan személyt, aki rákban szenved, rákosnak mondjuk. A daganat terjedését fokozza a tumor-vírus, míg a tumor-szupresszor gén a daganat fejlődését gátolja. A melbourne-i Peter MacCallum Rákközpont szakemberei (kutatói) a közelmúltban újabb magyarázatot találtak arra, hogy a tumor-sejtek mozgása hogyan reagál a rákra. Ezek szerint az emberi szervezetben a nyirokerek kulcsszerepet játszanak a tumor-sejtek szállításában. Tágulásuk növeli a tumor-sejtek távolabbi helyre való eljutásának mértékét. Ugyanakkor kimutatták, hogy a gyulladáscsökkentő szerek (ilyen például az aszpirin) akadályozzák a rák terjedését. Az aszpirinhoz hasonló molekulák amiatt válnak hatásossá, hogy csökkentik a fontos nyirokerek tágulását, s ezáltal gátolják a tumor-sejtek távolabbi helyre való eljutásának esélyét. Az orvosok már régóta föltételezik, hogy a nem szteroid gyulladáscsökkentő szerek, mint amilyen az aszpirin is, segíthetnek megakadályozni a rák további terjedését; ám nem volt ismert, hogy valójában és ténylegesen milyen folyamatok állnak ennek hátterében. A kutatók által (a Cancer Cell című szakfolyóiratban) közzétett tanulmány szerint egy gén kapcsolja össze a tumornövekedést és a sejtszintű útvonalat. Ez a testben gyulladást és a nyirokerek tágulását okozza. Amikor a nyirokerek kitágulnak, a daganat kiszolgálásra irányuló kapacitásuk ( cselekvőképességük ) megnövekszik. Ezáltal a tumor-sejtek szállítása hatékonyabbá válik. Az aszpirin mivel a nyirokerek tágulását gátolja ezt a folyamatot lassítja le. A kutatók ettől a felismeréstől azt várják, hogy hamarosan olyan új és továbbfejlesztett gyógyszerek kidolgozásához fog vezetni, melyek jelentősen segítenek abban, hogy a szilárd tumorok például a mell- és prosztatadaganatok ne szóródjanak szét a szervezetben. (A jelenlegi tapasztalatok azt mutatják, hogy a napi rendszerességű aszpirinfogyasztás csökkenti 1

a vastagbél-, prosztata-, tüdő- és agydaganatok veszélyes arányát, ugyanakkor viszont a gyomrot megterheli!) Az orvostudomány előrehaladása javítja az élet minőségét, miközben növeli az átlagos életkort. Ebben a tanulmányban a matematika eszközeivel azt vizsgáljuk, meg, hogyan, miként írható le prosztatarák esetében a folyamat időbeni változása. Evégből megkonstruáljuk a jelenség lezajlásának azt a matematikai modelljét, amelynek segítségével egzakt módon követhetőbbé válik a betegség lefolyása. Az eljárás során mint látni fogjuk olyan alapvető fölismerésekre, következtetésekre jutunk, amelyek eredményesen és hatékonyan segíthetik a kór gyógyítóinak küzdelmes munkáját, miközben ezek összhangban vannak az eddigi tapasztalatokkal is ami a modell jóságát tükrözi. Bevett gyakorlat, hogy a rákosnak minősített sejtek szaporodását nem közvetlen, hanem közvetett módon, a PSA alakulásával jellemzik. E helyen mi is ezt tesszük. Más mutató választása más tárgyalásmódot igényelhet. Ez fordulhat elő, amikor például sztochasztikus folyamatok elméletén alapulva olyan megoldást keresünk, amely elősegíti a probléma mélyebb hátterének feltárását, megértését és leírását is. Ez az eljárás már jóval bonyolultabbnak bizonyul az általunk most választottnál. A PSA-ra való támaszkodás mellett szól, hogy viszonylag nem túl költséges a gyakoribb mérése, ami nem mellőzendő szempont. Nem lehetünk biztosak abban, hogy a bonyolultabb eljárás a gyakorlat számára lényegesen jobb és eredményesebb lenne. Ez végső fokon azt jelenti, hogy praktikus szempontokat is érvényesíteni kell, amikor a kóros sejtek burjánzásának következményeit akarjuk a gyógyítás céljából időben fölismerni. Ezúton is hálás köszönetet mondok Dr. Nagy Károlynak, a Dél-pesti Jahn Ferenc Kórház urológiai osztálya szakorvosának, aki a problémára ráirányította a figyelmem, miközben számos hasznos információval látott el, ami megkönnyítette számomra a matematikai modell megkonstruálását. Nem hagyható figyelmen kívül, hogy a Kórház urológiai osztályát Prof. Dr. Tenke Péter Ph.D., Med. habil. főorvos vezeti. Az osztály kiváló főorvosai és szakorvosai révén a rákbetegség kezelésében, gyógyításában elismerően előkelő helyet vívott ki magának hazánkban. 2

Ezzel a tanulmánnyal mint alkalmazott matematikus magam is szeretnék hozzájárulni munkásságuk teljesebbé tételéhez. Ez valójában akkor lenne számukra igazán hasznos, ha a benne foglaltakra számítógépes program készülne, amely körül egyre bővülő adatbázis szerveződne. Ezzel lehetővé válna, hogy szükség esetén a matematika és informatika eszközeinek fölhasználásával, segítségével, támogatásával hozhassák meg nem csekély felelősséggel járó döntéseiket. Mindez jelentős mértékben a betegek érdekeit is szolgálná, hiszen hazánkban mintegy 1800 beteg hal meg évente prosztatarákban, a világban pedig 3 percenként haláloznak el ugyanebben a betegségben. A PROBLÉMA MATEMATIKAI JELLEMZÉSE A rákos folyamat lefolyását különböző t időpontokban mért PSA értékek alakulásának követésével jellemezzük. Ezáltal a PSA-nak mint valószínűségi változónak a t időtől (folytonosan) függő sokaságát vizsgáljuk; vagyis azt sztochasztikus (véletlen) folyamatként kezeljük ami tehát időben lezajló véletlen folyamat. (Ilyen például a betegek EKG-görbéje is!) Megjegyezzük, hogy olyan esetben is beszélhetünk sztochasztikus folyamatról, amikor a folyamatot csak bizonyos diszkrét, t 0, t 1, t 2, időpontokban figyelhetjük meg, vagy amikor a folyamat eleve csak bizonyos diszkrét időpontokban van értelmezve. A probléma megválaszolásakor szemléletesen vertikálisnak nevezett tárgyalásmódot választunk. Ennek értelmében a t változót a vízszintes tengelyre mérjük föl, majd a t abszcisszához tartozó PSA ordináta véletlen ingadozásait vizsgáljuk. (A pontok összekötése véletlen törött-vonalat ábrázol!) Ebben a dolgozatban a daganatos folyamat várható értékét igyekszünk meghatározni, amely t-nek valamilyen függvénye. Ezáltal arra keressük a választ, hogy a sok szóba jöhető függvény közül számunkra melyik lesz a legmegfelelőbb; vagyis azt, amelyik jól közelítve, hűen tükrözi a mért értékek menetét, alakulását. Megkönnyíti feladatunkat, hogy tapasztalatok alapján már van némi fogalmunk és képünk arról, hogy az F(t)-vel jelölt várható értéknek hogyan, miként kell t-től függően alakulnia. Ezt a továbbiakban fel is fogjuk használni, anélkül, hogy minden esetben hivatkoznánk arra, miért gondoljuk ezt vagy azt, így vagy úgy. 3

A várható érték ismeretére azért van szükség, mert általa jutunk olyan adatokhoz, információkhoz, melyek a folyamat jövőbeni lefolyására nézve vagyis extrapolálva eligazítanak bennünket; a beavatkozás mikéntjére vonatkozóan hasznos szempontokkal, tanácsokkal szolgál, ami segíti a döntéshozatalt a kezelőorvosok számára. A tárgyalás során, ahol csak lehetett, kerültük a mélyebb matematikai ismeretekre való hivatkozást (ezekre szakorvosoknak nincs is szükségük), ugyanakkor ügyeltünk arra, hogy a kapott formulák precízek, pontosak legyenek. (Ez kell ahhoz is, hogy hibamentesen számítógépre programozhatók legyenek!) Természetesen a sztochasztikus folyamatok elméletére támaszkodva a problémakör más aspektusból is vizsgálható. Számos esetben a tárgyalásmód Markov-típusú folyamatokra vezethető vissza. Ekkor azt vizsgáljuk arra keressük a választ, hogy ha ismeretes a beteg állapota a t időpontban, akkor milyen véletlenszerű változáson megy át állapota a későbbi s időpontra. Ebben az esetben a négyváltozós feltételes eloszlásfüggvény (amelyben t < s) az átmenet-valószínűségeknek felel meg. (Belátható, hogy bizonyos Markov-folyamat esetében a rákos sejtek számának várható értéke exponenciálisan nő!) Ilyen aspektusból nézve, a leírtak csupán a probléma első megközelítésének tekinthetők. A FOLYAMAT MATEMATIKAI LEÍRÁSA A jelenség időbeni lefolyását jellemezze a PSA számszerű értékének alakulása. Években a t időt onnan mérjük (számítjuk), amikor a vizsgálat során először (első alkalommal) határoztunk meg PSA értéket. Ekkor t 0 =0; a beteg életkora h év a szövettani vizsgálatnak pedig nem kell feltétlenül carcinomát igazolnia. Legyen F(t) a t-től függő PSA folyamat várható értéke. Tekintsük a t 0 =0 környezetben F(t) Taylor-sorát. Tételezzük föl, hogy (1) Ft F0! t t.! Ha F(0)=b, F (0)=v, F (0)=a, ahol b, v, a ismeretlen állandók, akkor ez azt is jelenti, hogy F(t) a (2) ptbvt t másodfokú polinommal jól közelíthető t 0 környezetében; vagyis: F(t) p(t). 4

Mérjük a p(t) számszerű értékeit (amelyek hibával terheltek) a t 0, t 1,, t n időpontokban, ahol tehát megállapodásunk szerint t 0 =0. (Itt például t 1 =¼ negyedévet, t 2 =½ félévet jelöl. 1 ) A t-hez rendelten mért PSA értékek legyenek rendre p 0, p 1,, p n. (Ezek empirikus adatok!) A FELADAT: (t i, p i ) ismeretében (i=0, 1,,2,, n) az ismeretlen b, v, a állandók (paraméterek) értékeinek meghatározása, becslése azért, hogy általuk p(t) ismertté váljék, s így számolhassunk vele. Evégből a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk. (Ezáltal igyekszünk az állandók értékeit a megfigyelésekből a legjobban megközelíteni, a hibákat kiegyenlíteni.) Legyen (3) GGb,v,a p bvt t. Keressük a G minimumát, vagyis b, v, a azon értékeit, melyre (3) minimális. Ezt a (4) 0, 0, egyenletek alapján határozhatjuk meg. vagyis azaz vagyis vagyis (5) 0 2 p bvt t 1 0 p # $ (6) p t n1bv t t 0. & bv $ & $ 0. 2 p bvt t t 0 (7) p t b t v t t ( 0. 2 p bvt t & $ 0 ( b t v t t ) 0. Ha n>1, akkor belátható, hogy az (5), (6) és (7) alatti egyenletekből b, v, a legjobb értékei mindig egyértelműen határozhatók meg. 1 Ha t 0 -tól az időt napban fejezzük ki, akkor N nap t= N / 365 évnek fele meg. Ha N=90, akkor t= 90 / 365 = 0,246 1 / 4 év. Ha pedig t 0 -tól az időt hónapokban értjük, akkor H hónap t= H / 12 évnek felel meg. Ha H=3, akkor t= 3 / 12 = 1 / 4 év. 5

Legyen Nyilván # $ A p t A p t A 1B & $ t B t B ( C t C t C & $ ( ) D t D t D. B 1 =(n+1)c 0 ; C 1 =(n+1)d 0 ; B 2 =C 1 ; C 2 =D 1. A bevezetett jelölések figyelembevételével b-re, v-re és a-ra nézve a következő három lineáris egyenletünk van: A bvc D 0 A bb vc D 0 A bb vc D 0. Ezekből kell b, v, a értékeit meghatározni. Mivel ezért (8) ba vc D, A A vc D B vc D 0 A A vc D B vc D 0. Az utóbbi kettő rendezése után ezt kapjuk: Legyen A A B C B C vd B D 0 A A B C B C vd B D 0. α A A B β C B C α A A B β C B C Ekkor γ D B D γ D B D. α β vγ 0 α β vγ 0. Ennélfogva (az első egyenletből) 6

(9) v γ α. Az így nyert v-t helyettesítve a második egyenletbe ahonnan, ha n=2 α β γ α γ 0 (10) β 0 10 / 23/ γ 1 β γ /. A (10)-ből -t helyettesítve (9)-be (11) v 4γ β 0 10 / γ 1 β γ / α 5v 1. A (10) és (11) alapján a (8) alatti b már meghatározható: (12) ba 4γ 6 γ / C D 7 β 0 / 10 γ 1 β γ / α 5C β 0 / 10 γ 1 β γ / b 1. β 0 / 10 D A 0/ C γ 1 β γ β / A (10), (11) és (12) formulák fölhasználásával (számítógépre programozásával) megkapjuk a, v és b állandók empirikus adatok alapján becsült (keresett) értékét. Ezek pontossága függ n+1 nagyságától, a (t i, p i ) pontok elhelyezkedésétől és a mérés hibájától. A folyamat lezajlásának sebessége: (13) p8t 9# 9& vat. A folyamat lezajlásának gyorsulása: (14) p:t 9 # 9& a. A RÁK KIALAKULÁSÁNAK KEZDETI IDŐPONTJA Tételezzük föl, hogy a rákos daganat kialakulása a t 0 időpont előtt, a τ<t 0 időpontban kezdődött. Ha a kialakulás időpontjára vonatkozóan egy olyan τ időpontot tekintünk, amelyre nézve p(τ) c, akkor pτ c bvτ τ. Ebből 7

és így τ 1±< 11= (15) τ τ c 1< 11= minek folytán τ 1 (c) τ t 0. Nyilván τ 1 akkor lesz valós, ha v 2 2a(b-c), ahol (b-c) és a>0. A rákos állapot kialakulásának kezdetén a vizsgált beteg h- τ 1 h- τ éves volt. A c értékét (alsó korlátját) tapasztalati ismeretek alapján lehet és kell megválasztani, megadni. (A c értéke lehet például 4.) Már pusztán azzal is információhoz jutunk, ha kezdetben c=0 választással élünk. Ekkor a kialakulás időpontja h- τ 1 (0) és h életkor közé esik, föltéve, hogy c<b. Ez egyben azt is jelenti, hogy az itt tárgyalt folyamatban a rák megjelenése akkor veszi kezdetét, amikor a t 0 =0 időponthoz tartozó b-re nézve b>c és p(τ) c esetén a szövettani vizsgálat eredménye pozitív. Természetesen p(t) alakulását akkor is vizsgálhatjuk (követhetjük), ha a t 0 időpontban a szövettani vizsgálat eredménye negatív. (Ekkor τ>t 0.) Ilyen követést hasznos és érdemes is végezni, mert általa értékes információkat kapunk az adatbázis gazdagodása folytán; főleg > 0 ha tekintettel vagyunk az életkorra is, ami segíti a tisztánlátást. ILLUSZTRÁLÁS Tegyük föl, hogy a mérési adatok úgy alakulnak, hogy ezek alapján számolva az egyik (A) betegre nézve: b=5,6, v=1,5 és a=0,1; a másikra (B) nézve: b=5,6, v=0,8 és a=0,05. (A és B életkora lehet egyező, de különböző is!) Ekkor az A beteg esetében: 8 A B beteg esetében: p(t)=5,6+1,5t+, t2 p(t)=5,6+0,8t+,? t2 Ha t=0 p(0)=5,6 Ha t=0 p(0)=5,6 akkor t= 1 / 2 p( 1 / 2 )=6,4 t= 1 / 2 p( 1 / 2 )=6,0 t=1 p(1)=7,2 t=1) p(1)=6,4 t=10 p(10)=25,6 t=10 p(10)=16,1 t=15 p(15)=39,4 t=15 p(15)=23,2 t=20 p(20)=55,6 t=20 p(20)=31,6 Ha c=0 akkor

v 2-2ab=1,13 v 2-2ab=0,08 v 2ab 1,13 1,063 v 2ab 0,08 0,2828 így τ 1 (0)=-4,37 év így τ 1 (0)=-10,34 év. Lásd még az ábrát, amely jól mutatja (illusztrálja) a rákos betegséget jellemző PSA értékeinek időbeni alakulását. Hűen tükrözi a folyamat józanésszel elképzelt és elvárható viselkedését. (A görbék grafikonja számítógépes úton is elkészíthető!) 70 év körül 6-6,5 PSA tekinthető normálértéknek. Ez az érték 45 éves korban többnyire kevesebb, mint 3, esetleg 4. Az itteni és a később közölt adatok is a jelenlegi tapasztalatokat tükrözik. (Ezeket befolyásolják a környezeti tényezők és az étkezési szokások is például zsírban gazdag ételek fogyasztása, ami miatt idővel változáson mehetnek át!) 60 p(t) A 50 (b = 5,6, v = 1,5,a = 0,1) 40 30 B 20 (b = 5,6, v = 0,8,a = 0,05) 10 0 t d t d -15-10 -5 0 5 10 15 20 t25-10 Ábra Azt a t d időpontot, melyre nézve t 0 =0 időponthoz tartozó b értéke (PSA-ja) duplázódik (kétszeresére nő) a p(t d )=2b=b+vt d + t 9 egyenletből kapjuk. Innen (16) t 9 1 Az A esetben: t d =3,36; a B esetben: t d =5,91.. 9

Az A betegnél a t d időpontban a folyamat sebessége: v+at d =1,8; a B betegnél pedig: v+at d =1,1. Ezek a sebességi értékek is eligazítást adnak arra nézve, hogy a két eset közül melyik zajlik le agresszívebben. A továbbiakban t d értékét a PSA első duplázódási helyének nevezzük. A (16)-ra is tekintettel: (17) vat 9 v 2abv 9. Minél kisebb v+at d értéke, annál enyhébben terjed a rákos folyamat. Az első duplázási helyhez tartozó v d sebességek alakulására is gyűjthetők tapasztalati adatok, melyeknek útbaigazító jelleget tulajdoníthatunk. (A PSA növekedési sebessége normál esetben 0,15 ng/ml/év a középkorúaknál fiatalabbak esetén.) Mint láttuk, a vizsgálat elkezdése során t 0 -hoz hozzá van rendelve a beteg h életkora. Ha η h valószínűségi változó jelöli a vizsgált személy hátralévő élettartamát (ez a beteg elhalálozási időpontja t 0 -tól számítva), akkor a beteg összesen h+η h ideig él. Legyen M(η h ) az η h valószínűségi változó várható értéke. (Ez feltételes várható értéket jelent!) Az M(η h ) értéke h-tól függően az ország népességének egészségügyi statisztikai adataira támaszkodva határozható meg. (Ilyen táblázatokat az életbiztosításnál használnak!) Az M(η h )=m h ismeretében meghatározható a beteg várható elhalálozási ideje. Ha mindkét beteg életkora h=77 év, és m h =10 év, akkor t 0 -tól számított 10 év múlva (ekkor A és B is 87 éves) az A beteg PSA értéke p A (10)=25,6; a B beteg PSA értéke p B (10)=16,1; így nem valószínű, hogy rák miatt fognak meghalni. (Ilyenkor alkalmazzák a panaszmentes idős embereknél a lásd és figyelj taktikát!) REKURZÍV ÖSSZEFÜGGÉSEK Az n+1 számú (t i, p i ) (i=0, 1,,n) koordinátapont ismeretében # $ A, p t A, p t A, 1B, & $ t B, t ( C, t C, t & $ B, C, ( ) D, t D, t D,. Ezáltal α 1, β 1, γ 1 ; α 2, β 2, γ 2 n-től is függeni fog: α, A, A,B, β, C,B, C, α, A, A,B, β, C,B, C, 10

γ, D,B, D, γ, D,B, D,. Ha az n+1 számú pontot egy újabb (t n+1, p n+1 ) empirikus ponttal egészítjük ki, akkor n+2 ponttal számolunk. Ekkor A, A, # 2D/ A, A, p t A, A, p t B, 1 B, B, t B, B, t C, C, & 2D/ D, D, & 2D/ C, C, t ( C, C, t ( ) D, D, t D, D, t α, A, A,B, β, C,B, C, α, A, A,B, β, C,B, C, γ, D,B, D, γ, D,B, D,. Ezekkel a rekurzív összefüggésekkel számolhatunk minden egyes újabb időpontban mért PSA értékek ismeretében. Ezáltal mint látni fogjuk még pontosabbá válik p(t) meghatározása. AZ ÁLLANDÓK PONTOSABB BECSLÉSE Rekurziót alkalmazva n=3 (t i, p i ) (i=0,1,2) koordinátapont ismeretében számolva b, v, a számszerű értéke a becslés során legyen: b 1, v 1, a 1 ; 4 pont esetén: b 2, v 2, a 2 ; 5 pont esetén: b 3, v 3, a 3 ; és általában n számú pont esetén: b n-2, v n-2, a n-2 ; ahol n-2=k, n 3, k 1. (Figyelem! Az előállításnál ügyelni kell arra, hogy (10) folytán (10 * ) a 2 Ezek középértéke (átlaga): β 0 10 / γ 1 β γ /.) b E / F G E v E / F G E a E / F G E A k=1,2, indexhez tartozó b k, v k, a k számolt értékeit k=n-1 (n 2) választás mellett a (12), (11) és (10) formulák állítják elő. (Ezek szerint, ha n=2, k=1, b b ; ha n=3, k=2, b / ) 2 A b, v, a állandókra pontosabb becslést kapunk, ha a 2 Az ah-ban a k értékét a (10 * ) alapján kell meghatározni! 11

b b E bh vv E vh a a E ah választással élünk. Ekkor (18) ptb 1 v 1 t 23/ t. Ha a paraméterekre számolt adatok szórását s b, s v, s a jelöli, akkor (n 2) G s J LO/ K L1MN E s k G s J LO/ K L1MN E s k G s J LO/ K L1HN E s k A matematikai statisztikában a minta szórásának kiszámításánál az s b, s v, s a helyett az G s Q J LO/ K L1MN E1 s Q k G s Q J LO/ K L1MN E1 s Q k G s Q J LO/ K L1HN E1 s Q k ún. korrigált empirikus szórással számolnak. (Mi is ezt tesszük!) Természetesen az alkalmazás során szóba jöhetnek más matematikai módszerek is így például faktoranalízis, melyek erősen modell-függők lehetnek. KONFIDENCIAINTERVALLUM Valójában a b, v, a konstansok valószínűségi változók várható értékét jelölik. Föltehetően ezek jó közelítéssel normális eloszlásúak. Tekintsük ezek közül a gyorsulási paramétert. (A másik kettőre hasonlóak mondhatók!) Ha k mérést végzünk, akkor k-tól függően jó közelítéssel a értéke 2Φ(λ)-1 valószínűséggel az 12

(19) a E λ R S Q E >T > a E Eλ R S Q E határok közé (konfidenciaintervallum) esik, ahol λ 1 (20) Φλ U π e1w du. E Ha λ=1,96, akkor az esetek kb. 95-ában, ha λ=2,5758, akkor az esetek kb. 99-ában fogják a jelzett határok közre az ismeretlen a értéket. (Ez az eljárás vagyis konfidenciaintervallum megadása nemcsak akkor alkalmazható, amikor a állandó, hanem akkor is, amikor az a paraméter maga is valószínűségi változó, de eloszlását nem ismerjük!) Ha a mérés során p n+1 feltűnően (szemet szúróan) nagyobb, mint (21) pht b v t 2 t, akkor a folyamat fölgyorsulására gyanakodhatunk. Ez akkor következik be, ha (22) p Z p t 2σ Q n, ahol (23) σ Q n[ 2 $O\ # $1#& $. Ha p n+1 feltűnően kisebb, mint pht, akkor a folyamat lassulása állhat elő. Erre akkor gyanakodhatunk, ha p >pht 2σ Q n. Akár gyorsul, akár lassul a folyamat, új helyzet áll elő. Ekkor megváltozik az F(t) függvény alakja. Helyette gyorsuláskor a H(t), lassuláskor az L(t) várható értékkel kell számolni. H(t) alakulását egzakt módon talán nem is célszerű leírni, mert néhány újabb PSA érték és szövettani minta alapján radikális beavatkozás mellett kényszerülünk dönteni. Amikor viszont a beteg érdekében indokoltabbnak látszik gyógyszeres (vagy más, nem radikális) kezelés, akkor olyan L(t)-vel kell számolnunk, amely által a betegség csökkenő tendenciáját következtethetjük. Evégből fontos az ilyen tulajdonsággal rendelkező L(t) előállítása, mert a gyógymód t-szerinti alakulására kapunk hasznos információt, útbaigazítást, amivel segíthetjük a gyógyszerkutatás irányultságát is. (Ebben az esetben parabolikus regresszió helyett indokolt lehet hiperbolikus regressziót alkalmazni!) Ezáltal vizsgálható az is, hogy a PSA milyen feltételek mellett fogadható el megbízhatóan a rákos folyamat leírására. Ezt fontos szempontnak kell tekinteni! 13

AJÁNLÁS Az itt kapott (előállt) matematikai eredmények statisztikai módszereken alapuló becslések; akkor használhatók fel sikeresen és eredményesen az orvosi gyakorlatban, ha a feladatra adatbázist létrehozó és azt praktikusan kezelő számítógépprogram is készül, gondoskodva annak folyamatos és naprakész feltöltéséről. Célszerű lenne ezt a programot az egész országra kiterjedten hálózati formában működtetve egyetlen helyre telepíteni. A megvalósítását és működtetését kutatási-fejlesztési alapból és egyéb forrásokból kellene támogatni, finomítani. A matematika és informatika ezáltal és így szolgálhatja a hazai egészségügy színvonalának emelését, a rákkutatás tudományos és gyakorlati tevékenységének elősegítését. A tisztánlátás végett hangsúlyozni kell: a PSA megemelkedett koncentrációja még nem feltétlenül jellemez dülmirigyrákot. Továbbá ritka esetben (kis százalékban) normális PSA szint mellett is fordulhat elő prosztatarák! 4-10 közötti PSA értéket előidézhet például prosztatagyulladás (prostatitis), de lehet ez betegség nélkül is; úgy, hogy a daganat nem rákos. Ha a PSA értéke 10-nél nagyobb, akkor már van okunk prosztatarákra gyanakodni, bár még kb. 25 PSA koncentrációt előidézhet más betegség is. 25 fölötti töménység esetén már közel 100 a valószínűsége a prosztatarák előfordulásának; 100 vagy ennél is nagyobb értéknél pedig szinte biztos! Ha a szövettani vizsgálat eredménye pozitív, akkor teljesen bizonyos, hogy a PSA rákos folyamatot követ; hiszen ilyenről akkor beszélünk, ha azt igazoltnak találjuk. Ha nem vagyunk biztosak abban, hogy a PSA alakulása valóban rákos folyamatot jelez, akkor a diagnosztizálásba célszerű más addicionális PSA-t és egyéb faktorokat is bevonni. Ezeknek a tulajdonságát és szerepét alaposan föl kell tárni, meg kell ismerni, majd gondoskodni kell arról, hogy szükség esetén az adatbázisban is megjelenjenek. További diszkutálásokkal pedig elő kell segíteni, hogy minél eredményesebben (hatásosabban) és lehetőleg hatékonyabban is szolgálják rendeltetésüket a gyógyításban. El kell kezdeni a jóval költségesebb PCA 3 tesztre alapozott matematikai vizsgálatokat is. Tömeges szűrés bevezetésére pedig olcsóbb megoldást kell keresni. 14

Végső fokon olyan adatbázist kell (kellene) létrehozni, amely nemcsak a daganat felismerését, hanem kiterjedésének behatárolását is lehetővé teszi. Ez alapos és sokirányú szakorvosi, matematikusi, informatikai összefogást, összedolgozást igényel. Ezt a dolgozatot ehhez a munkához szántuk kiinduló alapnak, amit menet közben a tényekhez és tapasztalatokhoz hozzá kell igazítani! Dobó Andor Budapest, 2012. március 7. (okl. alkalmazott matematikus) 15