1 Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya Az [ 1 ] példatárban találtunk egy érdekes feladatot, melynek egy változatát vizsgáljuk meg itt. A feladat Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Az egymástól t vízszintes távolságra lévő A és B pontokban csuklósan rögzített AC és BC súlyos, prizmatikus rudak a C pontban függőleges, sima felületeikkel egymásnak támasz - kodnak. Az AC rúd súlya G 1, a BC rúdé G 2 nagyságú. Határozzuk meg a rudak α, β haj - lásszögét, egyensúly esetén! A megoldás Ehhez tekintsük a 2. ábrát! 2. ábra
2 Itt a két részre bontott szerkezetet láthatjuk, a reá ható erőkkel. A szerkezet alapvető geometriai összefüggései: Az AC = 1 jelű rúd nyomatéki egyensúlyi egyenlete: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) A BC = 2 jelű rúd nyomatéki egyensúlyi egyenlete: ( 5 ) Most az akció - reakció elve szerint: így ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal: ( 6 ) ( 7 ) Most írjuk fel a súlyerők kifejezéseit! A feladat kiírása szerint a rudak A 1 és A 2 kereszt - metszeti területe a hosszuk mentén változatlan, állandó értékű; így a súlyerők a rudak hosszának felében található S 1 és S 2 súlypontokban hatónak vehetők, nagyságuk pedig: ( 8 ) hasonlóképpen: ( 9 ) Utóbbi képletekben M a tömeg, g a nehézségi gyorsulás nagysága, V a térfogat, ρ a sű - rűség. Most térjünk vissza a geometriai összefüggésekhez! ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) - ból: ( 10 ) ( 11 ) Képezve ezek hányadosát:. ( 12 )
3 Majd ( 7 ) - ből: ( 13 ) ezután ( 12 ) és ( 13 ) szerint: ( 14 ) átalakításokkal: ( 15 ) innen pedig: ( 16 ) Most ( 11 ) - gyel: ( 17 ) Majd ( 8 ) és ( 9 ) szerint: ( 18 ) így ( 17 ) és ( 18 ) - cal: ( 19 ) most ( 15 ) és ( 19 ) - cel:
4 ( 20 ) ( 21 ) Eredményeinket összefoglalva, ( 16 ) és ( 21 ) - gyel, majd ( 8 ), ( 9 ) - cel is: ( 22 ) ( 23 ) Feladatunk kiírása az alábbi is lehet: Adott: Keresett: Megjegyzések: M1. A ( 7 ) eredmény [ 1 ] - ben is megtalálható. M2. Kíváncsiak lettünk arra, hogy hol helyezkedik el a G 1 és G 2 erők G eredőjének a hatásvonala. Meghatározásához tekintsük a 3. ábrát is! A G eredő hatásvonalának az A csuklótól mért távolsága: e. Nyomatéki egyenlettel: 3. ábra
5 ( 24 ) tekintettel arra, hogy ( 24 ) és ( 25 ) - tel kapjuk, hogy ( 25 ) ( 26 ) Most a koszinuszok kifejezése az l - ekkel ( 9 ), ( 15 ) és ( 20 ) szerint: ( 27 ) Majd ( 26 ) és ( 27 ) - tel: egyszerűsítve: rendezve: végül: ( 28 ) Még egy kicsit alakítva, ( 7 ) - tel is: ( 29 ) Innen rögtön leolvasható, hogy G 1 = G 2 esetén α = β és e = t / 2, a szemlélettel egyezően. A ( 28 ) összefüggés egyszerűbben is megkapható: képezzük a szerkezetre ható G = G 1 + G 2 külső aktív erőnek, valamint a reakcióerőknek az A pontra vett nyomaték - összegét, mely egyensúly estén zérus: ( 28 / 1) Ez a fenti hosszabb számítás ellenőrzésére is szolgál, mert abban felhasználtunk több összetett kifejezést is, melyeket könnyen el lehet téveszteni. A ( 28 ) képletre vezető számítás egyenértékűségi, a ( 28 / 1 ) - re vezető pedig egyensúlyi kijelentésen alapul.
6 M3. Meglepőnek tűnhető eredményekre jutunk a ( 27 ) és ( 28 ) szerinti ( * ) képletek alkalmazásával: ( 30 ) Ennek geometriai jelentését a 4. ábrán mutatjuk meg. 4. ábra Eszerint: az egymásnak támaszkodó rudak G eredő súlyereje a C támaszkodási ponton megy át egyensúly esetén. Ekkor a C pontra felírt nyomatéki egyenlettel: fenti eredmény adódik. Látjuk, hogy a 3. ábrát a 4. ábra pontosítja. M4. Az 5. ábrán a csatlakozó gerendavégek levágása látható. 5. ábra
7 Itt egy lehetséges megoldást mutatunk be, melyre fennáll, hogy ( 30 ) ahol m 1 és m 2 az 1 és 2 jelű gerenda keresztmetszetének magassági mérete. Látható, hogy α β esetén m 1 m 2. M5. Ez a feladat, illetve ennek eredményei nem azt jelentik, hogy ezek alapján kellene tetőszerkezetet tervezni vagy kivitelezni. Ez egy gondolati játék, melynek lehetnek hasz - nosítható elemei. Forrás: [ 1 ] Hajdu Endre: Statikai példatár NYME, FMK, Kézirat, Sopron, 2007. Sződliget, 2018. 12. 09. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár