A lengőfűrészelésről Az [ 1 ] tankönyvben ezt írják a lengőfűrészről, működéséről, használatáról: A lengőfűrész árkolásra, csaprések készítésére alkalmazott, 150 00 mm átmérőjű, 3 4 mm vastag, sűrű fogazású fűrészlapból és befogótárcsákból álló szerszám A vízszintes síkból kibillentett fűrészlap forgó és lengő mozgása következtében saját vastagságánál szélesebb rést mar ki A B résszélesség a lap síkjának a vízszintessel bezárt φ szögétől függően változik ( 90 ábra ) 1 ábra A fűrészlap hajlásszöge a szorítótárcsákon levő skáláról leolvasható ( 91 ábra ) ábra A B résszélesség értéke a hajlásszög és a fűrész - átmérő ismeretében a következő képlettel számítható: B = D sin ( mm ), ( 1 )
ahol B a résszélesség ( mm ); D a szerszám élkörátmérője ( mm ); φ a fűrészlap hajlásszöge Eddig az idézet Ezt korábban is olvastuk már Viszont felmerültek egyéb kérdések is, melyekre még nem tudjuk a választ Az egyik ilyen maga az elnevezés: milyen lengésről van szó, hogyan áll ez elő, és mit eredményez Most ennek járunk utána Ehhez tekintsük a 3 ábrát is! 3 ábra Itt az átmérője körül α szögben elfordított körtárcsa elöl - és felülnézeti képét látjuk A lengés kérdését itt úgy vizsgáljuk, hogy nem a ferde tárcsát forgatjuk el
3 ϑ = ω t ( ) szöggel a z tengely körül, hanem a tárcsát állva hagyva mi magunk forgunk visszafelé ϑ szöggel, miközben figyeljük, hogy a tárcsa jobb oldali széle mennyire fordul el a kezdő helyzetéhez képest Ez a két eljárás ugyanazt eredményezi A 3 ábrán a ϑ szög 30, 60 és 90 fokos értékeihez tartozó tárcsaszél - helyzeteket szerkesztettük meg A szerkesztés eredményeként megállapíthatjuk, hogy a tárcsa megfigyelt jobb oldali széle az idő függvényében egy köríven piros vonal mozog Eszerint helyénvaló az 1 ábrán a horony aljának íves rajza A körív menti mozgás létezését számítással is igazoljuk, az alábbiak szerint A felülnézeti ( kék ) ellipszis polárkoordinátás kifejezése ennek levezetését az Olvasó megtalálhatja egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Az ellipszis két körrel történő szerkesztéséhez az alábbi: 1 ρ( ) =, cos sin + a b ahol a pólus az ellipszis O középpontja, és a φ polárszöget az ellipszis nagytengelyétől mérjük Minthogy itt éppen ellenkezőleg, a kistengelytől mérjük a ϑ szöget, ezért a = 90 ϑ ( 4 ) ( 3 ) helyettesítéssel ( 3 ) - ból kapjuk a rádiusz - vektor [ ] kifejezésére, hogy 1 ρ( ϑ ) = sin ϑ cos ϑ ( 5 ) + a b Most alkalmazva, hogy az ellipszis tengely - szakaszai a =, b = cos α, ( 6 ) ( 5 ) és ( 6 ) - tal: 1 ρ( ϑ ) = = sin ϑ cos ϑ cos ϑ + sin ϑ + cos α cos α Most a szerkesztést követve bevezetjük az alábbi újabb változókat: y ' = ρ, z ' = ρ cos ϑ tg α ( 7 ) ( 8 )
4 Azt várjuk, hogy az összetartozó ( y, z ) koordináták a körív egy pontjának koordinátái Ennek igazolására ( 8 ) - cal: y ' + z ' = ρ + ρ cos ϑ tg α = ρ 1+ cos ϑ tg α, y ' + z ' = ρ 1+ cos ϑ tg α ( 9 ) Majd ( 7 ) és ( 9 ) - cel: y ' + z ' = ρ ( 1+ cos ϑ tg α ) = ( 1+ cos ϑ tg α ) = cos ϑ sin ϑ + cos α cos α = ( 1+ cos ϑ tg α ) = cos α sin ϑ + cos ϑ = ( cos α + cos ϑ sin α), cos α sin ϑ + cos ϑ y ' + z ' = ( cos α + cos ϑ sin α) cos α sin ϑ + cos ϑ ( 10 ) észletszámítás: cos α sin ϑ + cos ϑ = cos α 1 cos ϑ + cos ϑ = cos α + cos ϑ 1 cos α = = α + ϑ α cos cos sin, cos α sin ϑ+ cos ϑ = cos α + cos ϑ sin α, ( 11 ) így ( 10 ) és ( 11 ) - gyel kapjuk, hogy y ' + z ' =, ( 1 ) ami valóban egy O középpontú, sugarú kör egyenlete Ezután megvizsgáljuk a tárcsa lengésének időfüggvényét; ehhez felírjuk a z = z ( t ) kifejezést Most ( 7 ) és ( 8 / ) - vel: tgα cos ϑ z ' = ; cos ϑ ( 13 ) sin ϑ + cos α
5 észletszámítás: cos ϑ cos ϑ 1 sin ϑ + = 1 cos ϑ + = 1+ cos ϑ 1 = cos α cos α cos α 1 cos α sin α = 1+ cos ϑ = 1+ cos ϑ = cos α cos α = 1+ tg α cos ϑ, cos ϑ sin ϑ + = 1+ tg α cos ϑ cos α Majd ( 13 ) és ( 14 ) - gyel: tgα cos ϑ z '( ϑ ) = ; 1+ tg α cos ϑ végül ( ) és ( 15 ) - tel: tgα cos( ω t) z '( t) = 1+ tg α cos ω t ( 14 ) ( 15 ) ( 16 ) Ez a tárcsa megfigyelt jobb széle függőleges lengésének időfüggvénye 55 z', y' ( cm ) f(x)=0/3*cos(x)/(sqrt(1+16/9*cos(x)*cos(x))) f(x)=sqrt(5-sqr(0/3*cos(x)/(sqrt(1+16/9*cos(x)*cos(x))))) 5 45 4 35 3 5 15 1 05 t ( s ) π/10 π/5 3π/10 π/5 π/ 3π/5 7π/10 4π/5 9π/10 π 11π/10 6π/5 13π/10 7π/5 3π/ 8π/5 17π/10 9π/5 19π/10 π 1π/10-05 -1-15 - -5-3 -35-4 4 ábra
6 A 4 ábrán ábrázoltuk a ( 16 ) függvényt a 3 ábrának megfelelő = 5 cm, tgα = 4 / 3, ω = 1 1/ s ( A ) adatokkal piros görbe Látjuk, hogy ez nem egy egyszerű koszinusz - görbe A teljesség kedvéért felírjuk a forgó tárcsa jobb széle vízszintes elmozdulásának idő - függvényét is ( 1 ) - ből: y '( t) = z ' ( t), ( 17 ) ahol z ( t ) a ( 16 ) képlet szerinti Ennek grafikonja a 4 ábrán a kék görbe Most vizsgáljuk meg a térbeli helyzeti és sebességi viszonyokat! A tárcsa egy tetszőleges fog - pontjának koordinátáit az elforgatás előtti és utáni helyzetekben az 5 ábra alapján állapítjuk meg Itt S 0 a tárcsa síkja, annak kezdő helyzetében Az elforgatás előtti x 0 y 0 z 0 koordináta - rendszer megfelel a 3 ábra xyz koordináta - rendszerének Az elforgatás utáni xyz koordináta - rendszert itt már nem tüntettük fel 5 ábra
7 Az 5 ábra szerint: X (, ϑ ) = ρ( ) cos + ϑ, Y (, ϑ ) = ρ( ) sin + ϑ, Z (, ϑ ) = ρ( ) sin tg α ( 18 ) A ( 18 ) képletsor azt írja le, hogy a tárcsa egy adott fog - pontja a térben egy víz - szintes síkú körön mozog, a függőleges tengelyű forgás során Emlékeztetőül: a φ polárszöget az ellipszis nagytengelyétől mérjük Az ellipszis rádiusza ( 3 ) és ( 6 ) szerint: ρ( ) = ( 19 ) Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel: cos ( + ϑ) X (, ϑ ) =, 1+ ( tgα sin ) sin ( + ϑ) Y (, ϑ ) =, 1 + ( tg α sin ) tgα sin Z (, ϑ ) = 1+ ( tgα sin ) ( 0 ) Ellenőrzésül: X + Y + Z = cos ( + ϑ ) + sin ( + ϑ ) + ( tgα sin ) = = 1 + ( tgα sin ) =, X + Y + Z =, ( 1 ) ahogyan azt vártuk is Majd ( ) és ( 0 ) - szal:
8 cos ( + ω t) X (, ϑ ) =, 1+ ( tgα sin ) sin ( + ω t) Y (, ϑ ) =, 1 + ( tg α sin ) tgα sin Z(, ϑ ) = 1+ ( tgα sin ) ( ) A fog - pont sebességének X, Y, Z tengely menti skaláris komponensei: dx sin ( + ω t) vx, = = ω, dt 1+ ( tgα sin ) dy cos ( + ω t) vy, = = ω, dt 1 + ( tg α sin ) dz vz, = = 0 dt ( 3 ) A sebesség négyzete: v = v + v + v = X, Y, Z, ( ω) ( ω) ( t) ( t) = sin + ω + cos + ω + 0 = = = ρ ω v = ρ ω,, innen ( 19 ) - cel: v = ρ ω = ω ( 4 )
9 Megjegyzések: M1 A mozgást leíró ( ) képletsor birtokában visszatérhetünk a lengések egy másfajta leírásához Ehhez vegyük az (, ) 0 X ϑ ( 5 ) helyettesítést! Ez azt jelenti, hogy az X = 0 egyenlettel jellemzett YZ síkban kívánjuk vizsgálni a mozgás lefolyását Most ( / 1 ) és ( 5 ) - tel: cos( + ω t) = 0 + ω t = 90, ( 6 / 1 ) innen: = 90 ω t ( 6 ) A ( 6 ) képlet egyenértékű ( ) és ( 4 ) - gyel Most ( / ) és ( 6 ) - tal: Y ( X = 0) = ; 1+ tgα cos( ω t) ( 7 ) Bevezetve az Y ( X = 0) y '( t) ( 8 ) jelölést, ( 7 ) és ( 8 ) - cal adódik, hogy y '( t) = 1+ tgα cos( ω t) ( 9 ) Majd ( / 3 ) és ( 6 ) - tal: tgα cos( ω t) Z ( X = 0) = ; 1+ tgα cos( ω t) ( 30 ) bevezetve a Z ( X = 0) = z '( t) ( 31 ) jelölést, ( 30 ) és ( 31 ) - gyel: ( t) tgα cos ω z '( t) = 1+ tgα cos( ω t) ( 3 )
10 Látjuk, hogy ( 3 ) megegyezik ( 16 ) - tal Most ( 9 ) és ( 3 ) - vel: y '( t) + z '( t) = { 1+ tgα cos ( ω t ) } =, 1+ tgα cos( ω t) y '( t) + z '( t) =, ( 33 ) ami egy O középpontú, sugarú kör egyenlete ( 33 ) - ból: y '( t) = ± z '( t) ; ( 34 ) itt a + előjelet véve rögzítjük a +X tengely menti értékeket, amivel egyezésre jutunk ( 17 ) - tel Így beláthatjuk ( 17 ) és ( 9 ) egyezését is Ne feledkezzünk el a X tengely menti, ( 9 ) és ( 3 ) - nek megfelelő függvények - ről sem! Ezekhez úgy jutunk, hogy ( 6 / 1 ) helyett például a ( t) cos + ω = 0 + ω t = 90 ( 6 / ) összefüggésből indulunk ki Ennek továbbvitelét már az Olvasóra bízzuk Ezzel ismét megmutattuk, hogy mit érthetünk lengés alatt, vagyis hogy a lengőfűrész mitől lengő M A függőleges tengely körül forgó ferde tárcsa mozgását úgy is tekinthetjük, mint két összetevő forgás eredőjét 6 ábra Ehhez az ω szögsebesség - vektort felbontjuk egy a ferde tárcsa síkjára merőleges, ω = ω cos α nagyságú, valamint egy a ferde tárcsa síkjába eső, ω = ω sin α nagyságú összetevőre Az ezeknek megfelelő v és v összetevő vektorok eredője a vízszintes síkban lévő v sebességvektor 6 ábra
11 M3 A lengőfűrész fogai nem egyforma sebességgel mozognak; ( 4 ) alapján: v v,max,min = ρmax ω = ω, = ρmin ω = cos α ω ; a legnagyobb sebességkülönbség: v = v,max v,min = ω ( 1 cos α ) ( 35 ) Minthogy a gyakorlatban a tárcsa ferdesége kicsi, ezért a sebességingadozás ( 35 ) szerint nem jelentős nagyságú M4 A forgó tengelyre ferdén felerősített tárcsa a csapágyakban többlet támaszerőket ébreszt, melyek nem igazán kedvezőek gépészeti, illetve szilárdságtani szempontból Ettől azonban még ma is használják ezt a technológiát, főleg ha nincs marógép, de van körfűrészgép Ezzel kapcsolatban utalunk a forgó részek kiegyensúlyozásával foglal - kozó korábbi dolgozatainkra is Lásd például: A rögzített tengely körül forgó testek kiegyensúlyozottságáról - kezdőknek című írásunkat! M5 Meglepő, hogy egy ennyire egyszerű megoldással mint amilyen a tárcsa síkjá - nak ferdére állítása ilyen, az eredeti feladatain túlmutató felhasználást találnak egy forgácsoló szerszámnak Ügyes! M6 Sajnos nem értjük, hogy miért nem találkoztunk eddig egy a fentihez hasonló elemzéssel Talán azért, mert ezt úgyis mindenki tudja? Nem valószínű eméljük, ez az írás is segít a hiány pótlásában Irodalom: [ 1 ] Nagy József: Asztalos szakmai ismeret 7 kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1997 [ ] I N Bronstejn ~ K A Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, több kiadásban Sződliget, 013 április 17 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár