Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén 0 s ig lassítson, gyorsulása -0,5 m/s! Ábrázolják az út idő, a sebesség idő és a gyorsulás idő grafikonokat 5 s - os léptékben! 7 pont Megoldás v = a t = 10 m/s-ra gyorsul fel a 0 s alatt, és ez alatt 100 m távolságra jut. Ugyanennyi ideig lassít, mely alatt szintén 100 m utat tesz meg. 300 m t megy az állandó 10 m/s os sebességgel, mely 30 s-ig tart. A mozgás összesen 70 s ig tart. Idő (s) út (m) 5 s ok (mint időegység) alatt megtett utak (m) A gyorsuló szakasz, páratlan számok szerint nő az út: s = a/.t gy Egyenletesen növekszik az út: s = v max t e. A gyorsuló tükörképe,lassuló szakasz: s = 400 m + v max.t l - a/.t l Mérési időpont (s) Mérési pont távolsága kiindulási helytől (m) 0 0 5 6,5 10 5 15 56,5 0 100 5 150 30 00 A két mérési pont közti különbség (m) Hosszegys ég 6,5 1 18,75 3 31,5 5 43,75 7
35 50 40 300 45 350 50 400 55 443,75 60 475 65 493,75 70 500 43,75 7 31,5 5 18,75 3 6,5 1 F.. Becsüljék meg a Nap Föld távolságot a következő égi jelenség felhasználásával!
a.) Az egyik legkorábbi értékelhető mérést a fénysebességre Ole Rømer dán fizikus végezte 1676-ban. Mérései szerint a Jupiterholdak 1000 s mal később jönnek elő a Jupiter árnyékából az előre számítotthoz képest az ábrán látható J helyzetben a a J 1 helyzethez viszonyítva. Megoldás: b) b.) Félholdat láthatunk az égen. Milyen szöget zárhat be a Földet és a Holdat összekötő egyenes és a Földet és a Napot összekötő egyenes egymással ebben az égi helyzetben? Rajzolja le a három égitest egymáshoz viszonyított helyzetét! 7 pont a) 1000 s alatt kell megtennie a fénynek a Föld pálya átmérőjének megfelelő távolságot. d = c.t = 3.10 8 m/s x 10 3 = 3.10 11 m = 300.10 9 m = 300.10 6 km A Föld Nap pálya sugara ennek a fele, vagyis 150 millió km. napközel (147 millió km) és naptávol (15 millió km) A szög majdnem derékszög. Szamoszi Arisztarkosz így határozta meg először a Nap Föld távolságot, igaz elég pontatlanul, a Hold Föld pálya távolság felhasználásával és a szög mérésével. F. 3. Alkalmazható-e a Jupiter holdakra Kepler 3. törvénye?
a.) Indokolja válaszát Newton megfelelő axiómáinak felhasználásával! b.) Ellenőrizze állítását a következő adatok segítségével! Jupiter legnagyobb holdjai, melyeket Galilei fedezett fel 1610-ben: Hold A Jupitertől való távolság keringési idő (óra) (ezer km) Io 4 43 Európa 670,9 86 Ganimédesz (nagyobb, mint 1070 17 a Merkúr) Callisto 1883 399 c.) Alkalmazható vajon a Föld körül keringő műholdak esetében is Kepler 3. törvénye? Válaszát indokolja! 7 pont 3 R Néhány T értéket kellet kiszámítani és egymással összevetni. pl. 4 3 /43 = 75151448/1849 = 40644,37 1070 3 /17 = 1504300/9584 = 41409 1883 3 /399 = 667653387 /15901 = 41938 kb. azonosak!!! Megoldás A különböző holdakkal és műholdakkal kapcsolatos példák kétféle módon is megoldhatók. A Newton féle gravitációs erőtörvény felhasználásával, vagy Kepler 3. törvényéből. Valójában Kepler 3. törvénye levezethető a mozgásegyenletből: v M. m m = γ R R az m tömeggel lehet egyszerűsíteni, továbbá a centripetális gyorsulást másképp felírni: γ. M Rϖ = R
4. π γ. M R = innen T R 3 R γ. M = = állandó x központi égitest tömege T 4. π A törvény tehát bármilyen égitest körül keringő holdakra, illetve csillag körül keringő bolygók esetében. Az állandó értéke csak a központi égitest tömegétől függ. F. 4. Homogénnek tekinthető, 50 V/m térerősségű elektromos mezőbe a térerősséggel 30 -os szögben 10 6 m/s nagyságú kezdősebességgel egy elektront lövünk be. a.) Hogyan, milyen pályán, fog mozogni az elektron? b.) Mekkora távolságot tesz meg, míg visszakerül a kiindulási nívófelületre? Megoldás 9 pont a.) A mozgás teljes mértékben analóg a ferde hajítással, tehát az elektron parabola pályán fog mozogni. b.) Gyorsulásának iránya a nívólapra merőleges lesz: a y = e.e/m = -8,78.10 1 m/s. A kezdeti sebesség x és y irányú komponensei: v 0x = v 0. sinα = 5.10 5 m/s, v 0y = v 0. cosα = 8,66.10 5 m/s. (A szög a függőlegeshez képest van megadva, ezért van mintegy fordítva a gravitációs ferde hajításban megszokotthoz képest, ahol a vízszinteshez képesti szöget szoktuk megadni.) x max = t összes. v 0. sinα, tehát a mozgás idejét kell még meghatároznunk. Ehhez a függőleges irányú mozgást használjuk fel. A legmesszebbi ponton, a parabola csúcsánál éppen 0 lesz a függőleges irányú sebesség. v y = 0 = v 0. cosα - a.t 1/ t 1/ = 8,66.10 5 /8,78.10 1 = 9,8.10-8 s a mozgás ideje a parabola csúcsának eléréséhez. Ennek kell a -szeresét venni, ami a t összes lesz. x max =. 9,8.10-8. 5.10 5 = 9,8.10 - m = 9,8 cm. Az elektron pályáját is meg lehet határozni: y = v 0y.t a.t / és x = t. v 0x ahonnan ki kell fejezni az időt és y hoz beírni. x(m) y(cm) 0 0 0,01 0,015564 0,0 0,07616 0,03 0,036156
0,04 0,041184 0,05 0,047 0,06 0,040704 0,07 0,035196 0,08 0,06176 0,09 0,013644 0,1 0,004 F. 5. Az Olimpián sportlövészet is van, melyhez jó reflexek kellenek, sokat kell gyakorolni és nem csak puskával. Nézzük a következő szituációt! A 10 méterre álló versenyző felé egy almát dobunk a vízszintessel 60 -os szöget bezáró, 0 m/s nagyságú sebességgel az edzésen. A versenyző az alma elindításának pillanatában, az alma eldobásával azonos magasságból lő ki egy nyílvesszőt, melynek kezdősebessége 41 m/s nagyságú. a.) Milyen irányban kell a versenyzőnek céloznia, hogy eltalálja az almát? b.) Hol lesz az alma, amikor a nyílvessző eltalálja? c.) Mekkora lesz a legnagyobb magasság és mely időpillanatban? d.) Rajzolja le a két test mozgását és a találkozás helyét! Vegyen 0,5 s-os időközöket az ábrázoláshoz! A légellenállástól tekintsünk el! 10 pont Megoldás a.) A találkozásnál az elmozdulások függőleges komponense ugyanakkora, hiszen azonos magasságból indultak. α = 60, az alma és β a keresett nyíl kezdősebességének a vízszintessel bezárt szöge. v A0.sinα.t g.t / = v Ny0.sinβ.t g.t /, innen az összevonások és egyszerűsítések után, ahonnan β = 5. Ilyen irányban kell célozni. b.) Az elmozdulások vízszintes komponenseinek összege a 10 m. Ezt felírva meg tudjuk határozni a találkozásig eltelt időt.
v A0.cosα.t + v Ny0.cosβ.t = 10 m, innen az idő t =,5 s nak adódik. Az alma vízszintes elmozdulása v A0.cosα.t = 5 m az alma függőleges elmozdulása v A0.sinα.t g.t / = 1 m Innen az elmozdulás Pythagoras tételével 7,7 m. d) Rajzolja le a két test mozgását és a találkozás helyét! Alma: v A0.sinα. g.t em = 0 0.sin60 = g.t em t em = 1,7 s, tehát már lefelé esik az alma. Nyíl v Ny0.sinβ.- g.t em = 0 41.sin5 = g.t em t em = 1,7 s, tehát már a nyíl is lefelé esik. Tehát mind a nyíl, mind az alma a hajítási parabola lefelé tartó ágában van. Alma x = 0.cos60.t = 10.t y = 0.sin60.t 5.t = 17,3.t 5.t idő (s) x (m) y (m) 0 0 0 0,5 5 7,4 1 10 1,3 1,5 15 14,8 0 14,6,5 5 1 0 38 0 0 57 0 0 76 0 0 95 0 0 10 0 Nyíl x = 41.cos5.t = 38.t y = 41.sin5.t 5.t = 17,3.t 5.t idő (s) 10 - x (m) y (m) 0 10 0 0,5 101 7,4 1 8 1,3
1,5 63 14,8 44 14,6,5 5 1 0 0 0 c) A maximális magasság mindkét esetben: y max = 15,3 m. bármelyik függőleges összefüggésből számolva, hiszen azok azonosak. Vegyük észre, hogy a függőleges irányú mozgás azonos, melynek így is kell lennie. Ha egy időpontban találkoznak, az azt jelenti, hogy a többi időpontban is együtt mozogtak a függőleges irányban.