Hpotézselmélet Iformatka Tudomáyok Doktor Iskola Statsztka próbák I. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása Statsztka próbák II. Dötés eljárást dolgozuk k aak eldötésére, hogy a ullhpotézs gaz-e. Ha úgy kell döteük, hogy a ullhpotézs em gaz, automatkusa az alteratív hpotézst fogjuk elfogad. A dötésükhöz szgfkaca sztet foguk redel, amvel jellemezzük, hogy a ullhpotézsük mellett dötés mlye erős. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 3
Statsztka próbák III. Paraméteres esetbe: 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 4 Statsztka próbák IV. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 5 Statsztka próbák V. Elfogadás tartomáy: Krtkus tartomáy: Dötés: 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 6
Statsztka hba Valóság H 0 IGAZ Dötés H IGAZ H 0 -at Elfogad - juk HELYES DÖNTÉS MÁSODFAJÚ HIBA H -et Fogadjuk el ELSŐFAJÚ HIBA HELYES DÖNTÉS 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 7 Statsztka próbák VI. Elsőfajú hbavalószíűség: Másodfajú hbavalószíűség: Akkor követjük el, ha gaz a ullhpotézs, Akkor követjük el, ha elfogadjuk de a mtrealzácó mégs a krtkus a ullhpotézst, holott valójába tartomáyba esk, és a dötésük em gaz. Értéke ehezebbe elutasító! Az elsőfajú hbavalószíűség, állapítható meg. amt m állítuk be! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 8 A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése Eloszlás a ullhpotézs mellett A valód eloszlás p Az első fajú hbava-, lószíűség. Általába 5-0%-ra választjuk (m 0 ) (m) Másodfajú hbavalószíűség 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 9 3
A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése Eloszlás a ullhpotézs A valód eloszlás mellett p Az elsőfajú hbavalószíűség (ksebbre választva) (m 0 ) (m) A másodfajú hbavalószíűség (ő) 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 0 A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése Az eloszlás a ullhpotézs mellett A valód eloszlás p Az elsőfajú hbavalószíűség (még ksebbre választva) (m 0 ) (m) A másodfajú hbavalószíűség (tovább ő) 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése A helyzet javul, ha a mtaelemszámot öveljük, hsze a két sűrűségfüggvéy szórása ksebb lesz, azaz távolodak egymástól! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 4
A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése Az eloszlás a ullhpotézs mellett (még agyobb mta alapjá) A valód eloszlás (még agyobb mta alapjá) p Az elsőfajú hbavalószíűség (m 0 ) (m) A másodfajú hbavalószíűség 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 3 A statsztka hbavalószíűségek szemléltetése Az eloszlás a ullhpotézs mellett (még az előzőél s agyobb mta alapjá) p A valód eloszlás (még az előzőél s agyobb mta alapjá) Az elsőfajú hbavalószíűség (m 0 ) (m) A másodfajú hbavalószíűség 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 4 Statsztka próbák VII. A próba erőfüggvéye A próba ereje A próba torzítatlasága (Ha a ullhpotézs em áll fe, akkor agyobb valószíűséggel utasítjuk el, mt amkor feáll!) 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 5 5
Statsztka próbák VIII. A próba kozsztecája Az egyeletese legjobb próba 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 6 Neyma-Pearso fudametáls lemma Feltételek: 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 7 Neyma-Pearso fudametáls lemma Állítás: A tétel arról szól, hogya lehet adott mtaelemszámú mta eseté rögzített elsőfajú hbavalószíűséghez a lehető legksebb másodfajú hbavalószíűségű próbát megkostruál 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 8 6
Bzoyítás: Neyma-Pearso fudametáls lemma 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 9 Bzoyítás: Neyma-Pearso fudametáls lemma 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 0 Bzoyítás: Neyma-Pearso fudametáls lemma 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 7
Bzoyítás: Neyma-Pearso fudametáls lemma 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása Ste-lemma 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 3 Bzoyítás: Ste-lemma 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 4 8
Bzoyítás: Ste-lemma 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 5 Bzoyítás: Ste-lemma 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 6 Bzoyítás: Ste-lemma 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 7 9
Paraméteres próbák egymtás u-próba kétmtás u-próba egymtás t-próba kétmtás t- próba függetle mtás összetartozó mtás Welch-próba egyszerű csoportosítás (oe-way ANOVA) F-próba Bartlett-teszt A próbákba az a közös, hogy az elemzett mta eloszlása ormálst követ. A ullhpotézst éppe a ormáls eloszlás paraméterevel kapcsolatosa fogalmazzuk meg. Várható érték a paraméter A szórás a paraméter 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 8 DÖNTÉS: H 0 Egymtás u-próba Feltétel: a ormáls eloszlású mtáak smerjük a szórását. P H : A mta várhatóértéke m m 0 0 upróba N 0 P( N(0,) u ) u krt próba u krt 0 (0,) N (0,) u P u N (0,) u ( ukrt ) ( ukrt ) ( ukrt ) krt krt H 0 krt ( u krt ) 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 9 Egymtás u-próba Az elsőfajú hba valószíűsége: Az elsőfajú hbavalószíűség éppe az szgfkaca-szt! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 30 0
Egymtás u-próba A másodfajú hbavalószíűség: Ugyas most: 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 3 Az u-próba erőfüggvéye: Egymtás u-próba Az u-próba tulajdosága: a próba torzítatla és kozsztes! Ráadásul egyeletese legjobb próba s! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 3 Bzoyítás: A kozszteca bzoyítása. Egymtás u-próba 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 33
A torzítatlaság bzoyítása. Egymtás u-próba 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 34 A torzítatlaság bzoyítása. Egymtás u-próba 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 35 Egymtás u-próba Megjegyzés: A gyakorlatba akkor s alkalmazzák az u- próbát, amkor a mta em ormáls eloszlású, de a mtaelemszám agy. Az alkalmazás jogosságát a cetráls határeloszlás-tétellel lehet dokol. Ugyas a próbastatsztka ormáls eloszlású lesz aszmptotkusa, mvel a CHT szert a mtaátlag már közel ormáls eloszlású! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 36
A kétmtás u-próba Adottak az X, X,..., X és az Y, Y,..., Ym egymástól függetle statsztka mták. A mták függetle ormáls eloszlásúak, a szórásak smertek. H 0:, H:. X N(, ), Y m N(, ) m X Y N (, m ) m 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 37 A kétmtás u-próba Ha feltesszük, hogy a ull-hpotézs gaz, akkor X Ym N(0, ). X Ym N (0, ) m m DÖNTÉS: X Ym m u H 0 -t elfogadjuk 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 38 H t Egymtás t-próba H : A mta várható értéke m 0 m t 0 0 próba * s P krt DÖNTÉS: ( t t ) t próba t krt 0 H 0 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 39 3
Kétmtás t-próba (függetle mták) : A mták várható értéke egyelőek H 0 A mták szórása egyelőekek tektedők. Külöbe em alkalmazható a próba. Eek ym m m H 0 t elleőrzése próba F-próbával. t m * * s m s t, P krt próba t y, m ( t m t ) DÖNTÉS: krt H 0 m 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 40 Kétmtás t-próba (összetartozó mták) X, Y, X, Y,..., X, Y X N,, Y N, H 0 H DÖNTÉS: : A mták várható értéke egyelőek y 0 t próba t * * s, s y, P( t tkrt ) t próba t statsztka mta krt H 0 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 4 A Welch-próba I. Ha az F-próbát el kell vetük, em alkalmazható a két függetle mtás t-próba a két mta várható értéke egyezéséek elleőrzésére. Erre az esetre dolgozta k Welch a most smertetedő robusztus próbát: X,X,,X N( X, X ) és Y,Y, Y m N( Y, Y ) egymástól függetle ormáls eloszlású statsztka mták, X és Y em smert. H : X Y, H:. 0 X Y 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 4 4
5 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 43 A Welch-próba II. Megmutatható, hogy a ullhpotézs feállása eseté a m s s Y X W m y m m,,, próbastatsztka közelítőleg Studet-eloszlású [f] (egészrész f) szabadságfokkal, ahol s m s m s c c m c f m y m y,,,, ) ( 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 44 F-próba X,X,,X N( X, X ) és Y,Y, Y m N( Y, Y ) egymástól függetle ormáls eloszlású statsztka mták, X és Y em smert.. :, : 0 Y X Y X H H Ha feltesszük, hogy a ull-hpotézs gaz, akkor gaz lesz, hogy,, *, * m m y F s s 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 45 Bartlett-próba Adott p ormáls eloszlású mta, amk függetleek egymástól. Az a ulhpotézsük, hogy a mták szórása em külöbözek egymástól: A szórások külöbözők : : 0 H p H A próbastatsztka most: p s f z f c B log log.306 ahol f p f f f p f p c 3 p s f f z Megmutatható, hogy ha H 0 feáll, akkor B eloszlása p- szabadságfokú - eloszlást (Chégyzet) követ.
Egyszeres osztályozás (Oe-way ANOVA) Az HA 0 egyes mtarealzácót : A változók csoportok várható várható egy tördelő értéke értéke változó azoosak külöbségére értéke szert kofdeca tervallum kettőél több szerkeszthető. csoportra osztjuk. A külöbség A módszer valód a értéke függetle a beállított Hmtás : Va t-próba valószíűséggel két olya kterjesztése változó, ebbe melyek kettőél az tervallumba várható agyobb értéke esetre. esk. külöbözek A próbastatsztka Fsher-féle F-próba eloszlása a ullhpotézs feállása H eseté 0 : A változók F-eloszlású. varacá egyelőek A Bartlett-Bo-próba próbastatsztka eloszlása a ullhpotézs feállása Heseté 0 : A kettőél F-eloszlású. több Az változó F-próba varacá kterjesztése. egyelőek Levee-próba Ez em paraméteres próba! Ncs előzetes feltevés a Hváltozók 0 : A kettőél ormaltására több változó voatkozóa! varacá egyelőek 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 46 Csoportátlagok: t v ( v ) ( j v ) ( t ) ( j t ) t j v j m ( m ) ( j m ) m j v m ( t ) ( v ) j j ( j m ) t Q total j j j Q k t Egyszeres osztályozás Négyzetösszegek: ( t) v m ( ) v ( ) m Q t t t v v v m m m b ( ( ) ( ) j ) ( ( ) j ( ) ) ( ( ) j ( ) ) j j j 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 47 Egyszeres osztályozás Q total Q k Q b H0 H Q k 3 Q b 3 F-eloszlású (, -3) ( m) ( t) Q b m t t 3 m v Studet (-3) 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 48 6
Nemparaméteres próbák Ha az alapsokaság (a statsztka mta) eloszlását em tektjük eleve smertek, akkor emparaméteres próbákról beszélük. Ilyekor tehát az előzetes feltevések agyo általáosak, de természetesek; pl. feltesszük, hogy a mta eloszlása folytoos, vagy feltesszük, hogy a szórás véges, stb. Mvel kevesebb feltételt követelük meg kduláskor (a pror feltevések), a következtetések levoásához agyobb elemszámú mtákra lesz szükségük, mt a paraméteres próbák eseté. A próbastatsztkák eloszlását csak aszmptotkusa smerjük. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 49 Nemparaméteres próbák területe ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT H 0 : Az elemzett változó eloszlása megegyezk a hpotetkussal -próba, egymtás Kolmogorov-Szmrov, P-P grafko FÜGGETLENSÉVIZSGÁLAT H 0 : Az elemzett változók függetleek -próba, omáls változókra, ordáls változókra HOMOGENITÁSVIZSGÁLAT H 0 : Az elemzett változók eloszlása azoos -próba, kétmtás Kolmogorov-Szmrov, Wlcoo, McNemar, Kruskal-Walls, Fredma 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 50 Nemparaméteres próbák -próbák Kolmogorov-Szmrov próbák Ma.Whtey-próba Kruskal-Walls próba Wlcoo próba Fredma próba Levee-próba 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 5 7
-próbák Eze a tulajdoságo alapulak a -égyzet próbák! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 5 -próbák: tszta lleszkedés vzsgálat X X,...,, F 0 ( ) X statsztka mta a mta hpotetkus eloszlásfüggvéye Elleőrz akarjuk azt a feltevést, hogy a mta elmélet eloszlásfüggvéye éppe ez a függvéy: H : P( X t) F0 ( ) H P( X t) F ( ) 0 t : 0 t 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 53 -próbák: tszta lleszkedés vzsgálat Adjuk meg a mta értékkészletéek egy tetszőleges r dszjukt tervallumból álló felosztását: I k a a a r * * * * a a, ( k,,..., r), a a k, k 0, r Ha a ullhpotézs gaz, akkor, p k P( X I k ) F0 ( ak ) F0 ( ak ). 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 54 8
-próbák: tszta lleszkedés vzsgálat A k X ( ) I ( k,,..., r) k az Ak k teljes eseméyredszer eseméy bekövetkezéseek a gyakorsága T,..., ~ Pol, p, p,..., p, r Tehát, ha a ullhpotézs gaz: r k pk T ( X, X,..., X ) r ( ). p k k r 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 55 -próbák: tszta lleszkedés vzsgálat K a krtkus érték: P( r K ) Dötés: a ullhpotézst akkor fogadjuk el az szgfkaca-szete, ha T K Az elsőfajú hbavalószíűség most csak aszmptotkusa lesz. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 56 -próbák: becsléses lleszkedés vzsgálat X,...,, X X statsztka mta F () a mta hpotetkus eloszlásfüggvéye Az eloszlásfüggvéy most k db paramétertől függ, amek értékét em smerjük! Elleőrz akarjuk azt a feltevést, hogy a mta elmélet eloszlásfüggvéye éppe ez a függvéy: H0: P( X t) F t H : 0 P ( X t) F t 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 57 9
-próbák: becsléses lleszkedés vzsgálat Első lépésbe tektjük a k db paraméter kozsztes becsléset a mtából: ~ T,,...,,,,..., k Másodk lépésbe az eloszlásfüggvéy képletébe behelyettesítjük a becsléseket: F0 ( t) F~ ( t) Harmadk lépésbe végrehajtuk egy tszta lleszkedésvzsgálat tesztet a mtá, azzal a külöbséggel, hogy a szabadág fokot csökketjük a paraméterek számával: r --k 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 58 -próbák: függetleségvzsgálat 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 59 -próbák: függetleségvzsgálat 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 60 0
-próbák: függetleségvzsgálat Ha a ullhpotézs gaz, a próbastatsztka eloszlása 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 6 -próbák: homogetásvzsgálat Ha a ullhpotézs gaz, azaz a két mtáak ugyaaz az eloszlásfüggvéye: 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 6 Egymtás Kolmogorov-Szmrov próba H 0 : A mta eloszlásfüggvéye F( ) Most s lleszkedésvzsgálatról va szó! t próba sup F IR emp ( ) F( ) F emp k ( ) ahol * * k ; vagy k k # Ha a ullhpotézs gaz, a próbastatsztka aszmptotkusa Kolmogorov-eloszlást DÖNTÉS t követ. próba t A krtkus krt H értéket ez alapjá 0 az eloszlás alapjá határozzuk meg a szgfkaca szthez. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 63
Egymtás Kolmogorov-Szmrov próba Az emprkus eloszlásfüggvéy és az elmélet eloszlásfüggvéy átfedése 00 elemű mta eseté: 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 64 A Kolmogorov eloszlás 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 65 Kétmtás Kolmogorov-Szmrov próba H 0 t : Most A mták homogetásvzsgálatról eloszlásfüggvéye va szó! azoos m sup F t t ( ) G H DÖNTÉS próba krt 0 ( ) Ha próba a ullhpotézs gaz, a próbastatsztka emp most emp s aszmptotkusa Kolmogorov-eloszlást IR követ. A krtkus értéket ez alapjá az eloszlás alapjá határozzuk meg a szgfkaca szthez. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 66
Két függetle mta homogetásáak vzsgálata Ma-Whtey próbával Egy X mta adatat két részre osztjuk egy Y csoportképző változó segítségével. Megvzsgáljuk, hogy a két mta azoos eloszlásfüggvéyhez tartozk-e. Pl. azoos eloszlást követ-e a GDP eloszlása a lat-amerka és a kelet-európa országok esetébe? 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 67 Két függetle mta homogetásáak vzsgálata Ma-Whtey próbával Tektsük az,,..., és y, y,..., y m mtákat! Legye N=+m. A két mta "összefésüléséből" képezzük a redezett mtát! z * * * z z N R r, R y N r a két mtához tartozó ragszámösszegek 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 68 Két függetle mta homogetásáak vzsgálata Ma-Whtey próbával Abba az esetbe, ha, m elég agy, az R X eloszlása aszmptotkusa ormáls lesz ( N ) paraméterekkel, így és R m( N ) stadard ormáls eloszlású! Ks mták eseté a Ma-Whtey táblázatot haszáljuk. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 69 3
Több függetle mta együttes homogetásvzsgálata Kruskal-Walls próbával Elleőrz szereték azt a ullhpotézst, hogy p függetle mta ugyaabból az eloszlásból származk-e, vagys a mtákak közös-e az eloszlásfüggvéyük. Pl. A gépkocsk fogyasztása azoos eloszlást követ-e a gyártás hely szert? A dolgozó fzetések azoosak-e a mukabeosztásokba? a gdp eloszlása azoos-e az egyes földrészeke? 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 70 Több függetle mta együttes homogetásvzsgálata Kruskal-Walls próbával A p függetle mtát egy Y tördelő változó segítségével fogjuk előállíta. Az egyes mtákhoz az X változó azo esete tartozak majd, amelykél az Y azoos értéket vesz fel. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 7 Több függetle mta együttes homogetásvzsgálata Kruskal-Walls próbával Egy X változó esetet egy Y tördelő változó segítségével p részre csoportosítuk. X folytoos változó Y dszkrét (kategóra) változó, csoportképző változó () () (,,..., ) () () (,,..., ) ( p) ( p) ( p),,..., p,,, a p rész-mta N az adatmátr összes esetszáma N p 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 7 4
Több függetle mta együttes homogetásvzsgálata Kruskal-Walls próbával z * * * z z N jelöl az X mta redezett realzáltját r,,..., r r r az első például azt adja meg, hogy az mta ragszáma első mta első eleme a teljes redezett mtába a háyadk r, r,..., r helye áll! a másodk mta ragszáma r, r,..., N N r N p p a p-edk mta ragszáma R r r r, R r r r,, R p r r N p N a megfelelő ragszámösszegek 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 73 Több függetle mta együttes homogetásvzsgálata Kruskal-Walls próbával Megmutatható, hogy a mták homogetásáak feltételezése mellett a p H N( N ) j R j j 3( N ) redstatsztka aszmptotkusa p - szabadságfokú -eloszlást követ. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 74 Két összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Wlcoo próbával Nullhpotézs: az adatmátr X és Y változója azoos eloszlásfüggvéyhez tartozk-e?, y,, y,...,, y az X,Y változópár adatsora d y, d y,..., d y a dfferecák sora d s sg d, s sg d,..., s sg d d az előjelek sora a d, a d,..., a d az abszolút eltérések sora 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 75 5
Két összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Wlcoo próbával (0 ) a * a * a * az abszolút eltérések redezett mtája r, r,..., r az a, a,..., a abszolút eltérések ragszáma R r s 0 R r s 0 a poztív dfferecák ragszám-összege a egatív dfferecák ragszám-összege R R R r 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 76 Két összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Wlcoo próbával Ezutá a Wlcoo-táblázatból adott >0 elsőfajú hba megválasztás utá kolvassuk a megfelelő krtkus értékeket, és a ullhpotézst akkor fogadjuk el, ha R + a két krtkus érték közé esk. Pl. =0,0 eseté =6-hoz a <R+ <0 relácóak kell feálla. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 77 Két összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Wlcoo próbával Ha az mta elemszám agy (több mt 5), akkor megmutatható, hogy R + közel ormáls eloszlású lesz ( ) ( )( ) ER, és 4 σ R 4 paraméterekkel. R Ilyekor a ullhpotézs eldötéséhez az u relácó teljesülését kell elleőrz, ahol u 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 78 6
Több összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Fredma próbával Összese p változó azoos eloszláshoz tartozását elleőrzzük. () () X () () () () ( p) ( p) ( p) az adatmátr Pl. a külöböző dőpotokba vett súlyok azoos eloszlásúak-e. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 79 Több összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Fredma próbával Készítsük el az adatmátr mde soráak ragszámat: () r () r () r () r () r () r ( p) r ( p) r ( p) r () r p azt a ragszámot jelet, hogy () háyadk legksebb elem az adatmátr első sorába. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 80 Több összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Fredma próbával () () R r, j j () () R r,..., j j ( p) ( p) R r j j az egyes oszlopokhoz tartozó ragszám-összegek. Ha a homogetás feltétele (a ullhpotézs) gaz, p ( j) F R 3( p ) p( p ) j ragstatsztka aszmptotkusa p- szabadságfokú -eloszlást követ. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 8 7
Több összetartozó mta homogetásáak elleőrzése Fredma próbával Ha az mta elemszám kcs, akkor a Fredma-táblázatot haszáljuk. Abba az esetbe, ha a homogetást el kellett vet, akkor az összes (,j) párokra voatkozó kétdmezós mtáko egyekét elleőrzzük a homogetás feállását, pl. Wlcoo próbával. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 8 Szekvecáls próbák Felmerül a kérdés, hogy em lehete olya próbát szerkeszte, am az első és másodk hbavalószíűség összegét mmalzálja? Wald Ábrahám (90-950) olya szekvecáls eljárást dolgozott k, amely adott hbavalószíűségek mellett mmalzálja a szükséges mtaelemek várható számát Eek a módszerek akkor va agy jeletősége, amkor a mtavétel költséges, mert a vzsgált termék rocsolásával jár. Ilye pl. a lőszervzsgálat, zzó élettartam-vzsgálat, élelmszer összetétel-elemzés, stb. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 83 Szekvecáls próbák Két paraméter közül szereték választa: 0, Jelölje a két paraméterhez tartozó sűrűségfüggvéyeket: f 0 ( ), f ( ) A felállított hpotézs a valód paraméterre voatkozk: H : 0 0, H : 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 84 8
Szekvecáls próbák Legye X, X,..., X,... egy végtele hosszú statsztka mta. f V f 0 ( X ),,,... ( X ) Eek alapjá szekvecáls dötésük (=,, ) a következő:. Ha V A. Ha V B 3. Ha A V B akkor elfogadjuk a ullhpotézst és megálluk; akkor elfogadjuk az alteratívhpotézst és megálluk; akkor tovább mtát veszük. A, B 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 85 Wald-Wolforwtz tétel Az összes olya (szekvecáls és em szekvecáls) dötés eljárás közül, amelyek első- és másodfajú hbavalószíűsége em agyobbak mt lletve és a szükséges N (véletle) mtaelemszám várható értéke mdkét hpotézs feállása eseté véges, a fet eljárás mmalzálja E t. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 86 Példa -próbával lleszkedésvzsgálatra A World 95 állomáyba elleőrzzük, hogy az országok egyeletese vaak-e szétosztva az egyes gazdaság régókba! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 87 9
Példa -próbával lleszkedésvzsgálatra 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 88 Példa -próbával lleszkedésvzsgálatra Az országok eloszlása a régókba egyeletesek tekthető! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 89 Példa -próbával függetleségvzsgálatra Függetle-e a kor a fogyasztás meységétől? 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 90 30
Példa -próbával függetleségvzsgálatra 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 9 Példa -próbával függetleségvzsgálatra 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 9 Példa -próbával függetleségvzsgálatra 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 93 3
Példa -próbával függetleségvzsgálatra A jeletős szgfkaca-szt arra utal, hogy a függetleséget feltételező ullhpotézs gaz! A páces korától em függ a fogyás meysége! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 94 Példa -próbával függetleségvzsgálatra Függetle-e a vérzsírcsökkeés (trglcerd) a fogyasztás meységétől? 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 95 Példa -próbával függetleségvzsgálatra A jeletős szgfkaca-szt arra utal, hogy a függetleséget feltételező ullhpotézs gaz! A vérzsírtartalom em függ a fogyás meységétől! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 96 3
Példa egymtás Kolmogorov-Szmrov próbára Normáls eloszlást követ-e a fogyás? 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 97 Példa egymtás Kolmogorov-Szmrov próbára 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 98 Példa egymtás Kolmogorov-Szmrov próbára Jeletős agyságú a szgfkaca szt, el kell hogy fogadjuk a ullhpotézst! A fogyás jól lleszkedk a ormáls eloszláshoz! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 99 33
Példa kétmtás Kolmogorov-Szmrov próbára Elleőrzzük, hogy a kezdet súly azoos eloszlású-e a végsúllyal! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 00 Példa kétmtás Kolmogorov-Szmrov próbára 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 0 Példa kétmtás Kolmogorov-Szmrov próbára A súlyeloszlások homogetása feáll! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 0 34
Példa Ma-Whtey próbára Azoos eloszlást követ-e a GDP eloszlása a latamerka és a kelet-európa országok esetébe? A world 95 adatmátrba most X a gdp_cap, az Y csoportképző változó pedg a rego. 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 03 Példa Ma-Whtey próbára 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 04 Példa Ma-Whtey próbára Kelet-Európába magasabbak a GDP értékek! A próba em fogadható el! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 05 35
Példa Kruskal-Walls próba alkalmazására Elleőrzzük, hogy a world 95 állomáyba a férfak és a ők várható élettartama azoos eloszlást követek-e a külöböző éghajlat vszoyok között! A lfeepm, lfeepf változók vaak az X szerepébe, A clmate változó lesz az Y tördelő változó. Az uralkodó klma szert fogjuk csoportosíta a lfeepm és lfeepf értéket! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 06 Példa Kruskal-Walls próba alkalmazására X Y 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 07 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 08 36
Példa Kruskal-Walls próba alkalmazására Alacsoyak a szgfkaca sztek, azaz az életkorok máskét alakulak más klmatkus régókba! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 09 Példa a Wlcoo próba alkalmazására Elleőrzzük, hogy a detstudy állomáyba a kezdetsúly és végsúly azoos eloszlást követek-e! A vzsgált összetartozó változók 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 0 Példa a Wlcoo próba alkalmazására 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 37
Példa a Wlcoo próba alkalmazására Mdegyk dffereca egatív volt, vagys md a 6 páces fogyott! Természetese a szgfkaca szt eek megfelelőe 0! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása Példa a Fredma próba alkalmazására Elleőrzzük, hogy a detstudy állomáyba a külöböző dőpotokba mért testsúlyok azoos eloszlást követek-e! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 3 Példa a Fredma próba alkalmazására 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 4 38
Példa a Fredma próba alkalmazására a súlyok ragszáma csökkeő tredet mutatak A ullhpotézst elutasítjuk 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 5 Párokét Wlcoo-próbák Az összes párosítást beállítjuk! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 6 Egyk párál sem fogadható el a homogetás! 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 7 39
A fotosabb emparaméteres próbák áttektő táblázata 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 8 A fotosabb emparaméteres próbák áttektő táblázata 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 9 A fotosabb emparaméteres próbák áttektő táblázata 0.0.. Dr Ketskeméty László előadása 0 40