Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2018. tavasz
Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 2. Ciklikus csoportok Tétel Végtelen ciklikus csoport izomorf Z additív csoportjával, n elemű ciklikus csoport izomorf Z n additív csoportjával. Bizonyítás Legyen (G; ) ciklikus csoport e egységelemmel, G = g = {g n n Z}. Az f : Z G, f (n) = g n leképezés szürjektív (Miért?) és homomorfizmus is, hiszen: f (n + m) = g n+m = g n g m = f (n)f (m). Ha injektív is, akkor izomorfizmus, így (Z; +) = (G; ). Különben i, j Z, i > j : g i = g j, amiből g i j = e, vagyis van olyan m Z +, amire g m = e. Legyen d Z + a legkisebb ilyen. Ekkor e, g, g 2,..., g d 1 mind különbözőek (Miért?), és i j (d) esetén: g i = g j+kd = g j (g d ) k = g j e k = g j, így G-nek d eleme van. (Vagyis f injektív, ha G végtelen.) Tehát f szürjektív, művelettartó, és minden mod d maradékosztályon konstans.
Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 3. Ciklikus csoportok Biz.folyt. Legyen f : Z d G a következőképp definiálva: f (a) := f (a). Ekkor f szürjektív, ebből kifolyólag injektív is, hiszen Z d -nek és G-nek ugyanannyi eleme van (Miért?), továbbá homomorfizmus: f (a + b) = f (a + b) = f (a + b) = f (a)f (b) = f (a) f (b). Következmény Ciklikus csoport kommutatív.
Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 4. Rend A (G; ) csoport rendje végtelen, ha G végtelen, különben pedig az elemeinek a száma. A g G elem rendje az a legkisebb pozitív egész d, amire g d = e, ha van ilyen, különben végtelen. Példa (Q ; ) rendje végtelen, 1 rendje 2; (E 8 ; ) rendje 8, i rendje 4; (Z 6 ; +) rendje 6, 2 rendje 3. Észrevétel Véges rendű elem rendje megegyezik az általa generált részcsoport rendjével.
Csoportok Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 5. Ciklikus csoportok Tétel Ciklikus csoport részcsoportja ciklikus. Bizonyítás Legyen adott a (G; ) ciklikus csoport az e egységelemmel és a g generátorral, továbbá a H részcsoport. Ha H = {e}, akkor H = e. Ha H {e}, akkor létezik g-nek pozitív egész kitevős hatványa, ami eleme H-nak (Miért?). Legyen d a legkisebb pozitív egész, amire g d H. Mivel H részcsoport, ezért g d H. Megmutatjuk, hogy H tetszőleges g m eleme előáll g d hatványaként: osszuk el maradékosan m-et d-vel: m = qd + r (0 r < d), így: g r = g m qd = g m (g d ) q H. d minimalitása miatt r = 0, ezért g m = (g d ) q, vagyis H g d. Azt kaptuk, hogy H = g d.
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 6. A G = (ϕ, E, V ) hármast (irányítatlan) gráfnak nevezzük, ha E, V halmazok, V, V E = és ϕ: E {{v, v } v, v V }. E-t az élek halmazának, V -t a csúcsok (pontok) halmazának és ϕ-t az illeszkedési leképezésnek nevezzük. A ϕ leképezés E minden egyes eleméhez egy V -beli rendezetlen párt rendel. Elnevezés v ϕ(e) esetén e illeszkedik v-re, illetve v végpontja e-nek. Megjegyzés Az illeszkedési leképezés meghatározza az I E V illeszkedési relációt: (e, v) I v ϕ(e).
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 7. Ha E és V is véges halmazok, akkor a gráfot véges gráfnak nevezzük, egyébként végtelen gráfnak. E = esetén üres gráfról beszélünk. Megjegyzés Az informatikában elsősorban a véges gráfok játszanak szerepet, így a továbbiakban mi is véges gráfokkal foglalkozunk. Ha egy él egyetlen csúcsra illeszkedik, azt hurokélnek nevezzük. Ha e e esetén ϕ(e) = ϕ(e ), akkor e és e párhuzamos élek. Ha egy gráfban nincs sem hurokél, sem párhuzamos élek, akkor azt egyszerű gráfnak nevezzük.
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 8. Az e e élek szomszédosak, ha van olyan v V, amelyre v ϕ(e) és v ϕ(e ) egyszerre teljesül. A v v csúcsok szomszédosak, ha van olyan e E, amelyre v ϕ(e) és v ϕ(e) egyszerre teljesül. A v csúcs fokszámán (vagy fokán) a rá illeszkedő élek számát értjük, a hurokéleket kétszer számolva. Jelölése: d(v) vagy deg(v). Ha d(v) = 0, akkor v-t izolált csúcsnak nevezzük. Ha egy gráf minden csúcsának a foka n, akkor azt n-reguláris gráfnak hívjuk. Egy gráfot regulárisnak nevezünk, ha valamely n-re n-reguláris.
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 9. Példa V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } ϕ = {(e 1, {v 1, v 2 }), (e 2, {v 1, v 2 }), (e 3, {v 1, v 4 }), (e 4, {v 3, v 4 }), (e 5, {v 4 })}
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 10. A fokszámösszeg Álĺıtás A G = (ϕ, E, V ) gráfra d(v) = 2 E. v V Bizonyítás Élszám szerinti teljes indukció: E = 0 esetén mindkét oldal 0. Tfh. E = n esetén igaz az álĺıtás. Ha adott egy gráf, amelynek n + 1 éle van, akkor annak egy élét elhagyva egy n élű gráfot kapunk. Erre teljesül az álĺıtás az indukciós feltevés miatt. Az elhagyott élt újra hozzávéve a gráfhoz az egyenlőség mindkét oldala 2-vel nő.
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 11. A G = (ϕ, E, V ) és G = (ϕ, E, V ) gráfok izomorfak, ha léteznek f : E E és g : V V bijektív leképezések, hogy minden e E-re és v V -re e pontosan akkor illeszkedik v-re, ha f (e) illeszkedik g(v)-re. Példa v 1 w 1 e 1 e 5 c 1 c 5 v 2 v 5 w 2 c 2 c 4 w 5 e 2 e 3 e 4 v 3 v 4 w 3 w 4 c 3 Megfelelő f és g bijekciók: f = {(e 1, c 5 ), (e 2, c 2 ), (e 3, c 3 ), (e 4, c 4 ), (e 5, c 1 )} g = {(v 1, w 1 ), (v 2, w 4 ), (v 3, w 2 ), (v 4, w 5 ), (v 5, w 3 )}
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 12. Példa Ha egy egyszerű gráfban bármely két különböző csúcs szomszédos, akkor teljes gráfról beszélünk. Teljes gráfok esetén, ha a csúcsok halmazai között létezik bijektív leképezés, akkor a két teljes gráf a csúcsok és élek elnevezésétől eltekintve megegyezik. Ebben az értelemben beszélünk bármely n Z + esetén az n csúcsú teljes gráfról. Megjegyzés Az n csúcsú teljes gráfnak ( n 2) = n(n 1)/2 éle van, és Kn -nel jelöljük.
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 13. További példák A C n ciklus csúcsai egy szabályos n-szög csúcspontjai, és pontosan a szomszédos csúcspontoknak megfelelő csúcsok szomszédosak. A P n ösvény C n+1 -ből valamely él törlésével adódik. Az S n csillagban egy szabályos n-szög csúcspontjainak és középpontjának megfelelő csúcsok közül a középpontnak megfelelő csúcs szomszédos az összes többivel. Példák K 4 C 4 P 3 S 4
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 14. A G = (ϕ, E, V ) gráfot páros gráfnak nevezzük, ha V -nek létezik V és V diszjunkt halmazokra való felbontása úgy, hogy minden él egyik végpontja V -nek, másik végpontja pedig V -nek eleme. Azt az egyszerű páros gráfot, amelyben V = m, V = n és minden V -beli csúcs minden V -beli csúccsal szomszédos, K m,n -nel jelöljük. Példa K 3,3
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 15. A G = (ϕ, E, V ) gráfot a G = (ϕ, E, V ) gráf részgráfjának nevezzük, ha E E, V V és ϕ ϕ. Ekkor G-t a G szupergráfjának hívjuk. Ha E pontosan azokat az éleket tartalmazza, melyek végpontjai V -ben vannak, akkor G -t a V által meghatározott feszített (vagy teĺıtett) részgráfnak nevezzük. Példa v 1 v 1 v 1 e 1 e 5 e 5 e 1 e 5 v 2 v 5 e 3 e 2 e 4 v 3 G v 4 v 2 v 3 e3 G 1 v 5 v 2 v 3 e 2 e 3 G 2 v 5 G-nek G 1 részgráfja, de nem feszített részgráfja, míg G 2 feszített részgráfja.
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 16. Ha G = (ϕ, E, V ) részgráfja a G = (ϕ, E, V ) gráfnak, akkor a G -nek a G-re vonatkozó komplementerén a (ϕ E\E, E \ E, V ) gráfot értjük. Példa e 1 v 1 e 5 v 1 e 1 v 1 v 2 v 5 e e 3 2 e4 v 3 G v 4 v 2 v 3 G 1 v 5 v 2 v 5 e 5 e 3 e 2 e 4 v 3 G2 v 4 G 2 a G 1 gráf G-re vonatkozó komplementere. Megjegyzés Ha G egyszerű gráf, és külön nem mondjuk, akkor a V -beli csúcspontokkal rendelkező teljes gráfra vonatkozó komplementert értjük G komplementere alatt.
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 17. Ha G = (ϕ, E, V ) egy gráf, és E E, akkor a G-ből az E élhalmaz törlésével kapott gráfon a G = (ϕ E\E, E \ E, V ) részgráfot értjük. Ha G = (ϕ, E, V ) egy gráf, és V V, akkor legyen E az összes olyan élek halmaza, amelyek illeszkednek valamely V -beli csúcsra. A G-ből a V csúcshalmaz törlésével kapott gráfon a G = (ϕ E\E, E \ E, V \ V ) részgráfot értjük.
Gráfelmélet Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 18. Legyen G = (ϕ, E, V ) egy gráf. A v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., v n 1, e n, v n sorozatot sétának nevezzük v 0 -ból v n -be, ha v j V 0 j n, e k E 1 k n, ϕ(e m ) = {v m 1, v m } 1 m n. A séta hossza a benne szereplő élek száma (n). Ha v 0 = v n, akkor zárt sétáról beszélünk, különben nyílt sétáról.