11. Előadás Gradiens törésmutatójú közeg II. A következőkben két különleges, gradiens törésmutatójú lencsével fogunk foglalkozni, az úgynevezett Luneburg-féle lencsékkel. Annak is két típusával: a Maxwell-féle halszem lencsével és a Standard-Luneburg lencsével. Mindkét lencse tökéletesen gömb alakú és törésmutatójuk gömbszimmetrikusan változik az alábbi képletek szerint: Maxwell-féle halszem lencse: Luneburg-féle lencse n = n0 r n = n r 0 1+ R R Ahol n 0 konstans törésmutató, R a gömb sugara, r pedig a középponttól mért távolság. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 1
Maxwell-féle halszem lencse Elsőként nézzük a Maxwell-féle lencsét. Ennek különlegessége, hogy a lencse felületén egy pontból induló széttartó sugarakat a túlsó felületen ugyanabba a pontba képezi le, szemben a kiinduló ponttal. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt http://en.wikipedia.org/wiki/luneburg_lens
Maxwell-féle halszem lencse A TracePro egyéni tulajdonságszerkesztőjében a Gradiens-törésmutató megadásánál, új törésmutató definiálásánál ki is választhatjuk ezt a típust és a megfelelő értékekkel könnyen be is állíthatjuk a lencsénknek. (InitialI i i lwavelength-nél ne felejtsük megadni, milyen hullámhosszon kívánjuk használni ) TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 3
Maxwell-féle halszem lencse A következőkben készítsünk el a TracePro-ban b egy ilyen lencsét: Először is definiáljunk egy gömböt (Insert / Primitive Solid [Sphere]), p melynek sugara legyen 5 mm és a középpontja legyen Z irányban 15 mm-en a tengelyen. (X = 0; Y = 0) / Érdemes átlátszóvá tenni a gömböt a Properties menüben, hogy lássuk a sugármeneteket / Ezután definiáljuk az n 0 illetve a gradiens törésmutatót. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 4
Maxwell-féle halszem lencse Az n 0 törésmutatónktatónk legyenen 546,1 nm-re n 0 =! A gradiens törésmutatót pedig úgy definiáljuk, hogy a típusa legyen Maxwell s Fisheye Lens az Initial wavelength legyen 546,1 nm. A táblázatban az nr1 értékét adjuk meg úgy, hogy az ekvivalens legyen a definiált gömbünk sugarával. Ha ezzel megvagyunk és mentettük a tulajdonságokat, alkalmazzuk őket a lencsén úgy, hogy a gradiens törésmutató esetében a törésmutató origója legyen a gömb geometriai középpontja, Z normálvektora 1, és a felfelé mutató vektor Y = 1 legyen. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 5
Maxwell-féle halszem lencse Definiáljunk két alapértelmezett hullám- hosszú (546,1 nm) sugárforrást a Z = 10 mm pontba, egyiket fordítsuk el +15, másikat -15 -al az X tengely körül. Ha elvégezzük a sugárkövetést, már láthatjuk is, hogy a lencse tökéletesen a kiindulóponttal szemben lévő pontba vezette a két sugarat. Próbáljuk ki a szögek változtatásával is (Nem muszáj egyenlőnek lenniük) TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 6
Megvalósítás más módszerrel Keressünk olyan Axial-Radial típusú gradiens törésmutatójú közeget, melynek radiális törésmutató profilja ekvivalens a Maxwell-féle halszem lencséével. Ehhez a Maxwell-féle lencse n 0 n = r 1+ R törésmutatóját fejtsük Taylor-sorba R = 5 mm, és n 0 = paraméterek mellett! A Sorfejtés eredménye: n(r) = n0 1. rendig:. rendig: n1( r) := n0 0, 08 r n ( r ) := n0 0, 08 r + 3, 10 3 r 4 + ( ) n0 r n0 4 r 4 n0 + 6 r 6 + + Or 8 R R R 3. rendig: n3( r) := n0 0, 08 r + 3, 10 3 r 4 1, 8 10 4 r 6 TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 7
Megvalósítás más módszerrel Ábrázolva az egzakt (n), és a különböző rendű Taylor-polinomos közelítéseket (n1, n, n3) nr () 1.5 n1() r n() r 1 n3() r 0.5 0 0 0 4 0 r 5 Látható, hogy még harmad rendig sem tekinthető kimondottan jó közelítésnek. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 8
Megvalósítás más módszerrel TraceProban illesszünk be egy (a gömbbel megegyező) 5 mm sugarú hengert úgy, hogy a henger alapja nézzen felénk. (Y-Z) Törésmutatójának adjuk meg az n 0 = es értéket, gradiens törésmutatójának pedig definiáljunk egy új törésmutatót Axial-Radial típusban. Az egyes koefficienseket a sorfejtésnek megfelelően adjuk meg: TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 9
Megvalósítás más módszerrel Rendeljük hozzá az így definiált törésmutatót a hengerünkhöz, úgy, hogy a gradiens törésmutató origója legyen a hengerünk geometriai középpontja. Ezután nincs más dolgunk, mint két sugárforrást definiálni a henger palástján az optikai tengellyel 5 illetve -5 -os szöget bezárólag. Maxwell Henger TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 10
Megvalósítás más módszerrel Csak jó közelítéssel kaptuk meg a várt eredményt. Ennek oka a (Taylor- soros) közelítés tökéletlensége. Tehát célravezetőbb a beépített törésmutató típust alkalmazni már csak az egyszerűség kedvéért is. A piros színnel jelölt nyalábok a Maxwell lencsén, míg a feketék a kézzel megadott törésmutatójú hengeren haladnak át. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 11
Standard-Luneburg lencse A Standard-Luneburg lencse tulajdonsága, hogy speciális törésmutatójának köszönhetően a lencse felületéről induló széttartó sugarakat a lencsét elhagyván egymással párhuzamossá teszi. A lencsére érkező egymással párhuzamos sugarakat pedig a lencse túlsó felületén egy pontba fókuszálja. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt http://en.wikipedia.org/wiki/luneburg_lens 1
Standard-Luneburg lencse Készítsünk Standard-Luneburg lencsét! A gömb sugara legyen most is 5 mm és ismét 15 mm-re legyen a geometriai középpontja Z irányban az origótól. (többi koordináta zérus) Az n 0 törésmutató legyen n 0 = 1 546,1 nm-re. Definiáljuk a gradiens törésmutatót úgy, hogy típusa a Luneburg lens legyen, Initial wavelength pedig 546,1 nm. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 13
Standard-Luneburg lencse Alkalmazzuk a törésmutatókat a gömbön! A gradiens törésmutató origója legyen ezúttal is a gömb geometriai középpontja (Z = 15) Végül definiáljunk két sugárforrást 546,1 nm-es hullámhosszal és Z = 10mmkezdőponttal. X körül forgassuk el egyiket +35 -al, másikat -35 -al al. Végezzünk sugárkövetést. Láthatjuk, hogy a széttartó nyalábokat lencse párhuzamossá tette. A források szögeit változtatva láthatjuk, hogy különböző szögeknél is párhuzamosak lesznek a nyalábok. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 14
Megvalósítás más módszerrel A Maxwell-féle halszemlencsénél már tárgyaltuk, hogy közelítő módszerrel is lehetséges ilyesfajta törésmutatót megadni egy optikai elemnek. Most vizsgáljuk meg a Standard-Luneburg lencsét, melynek törésmutatója: szerint változik. n = r n0 R Taylor sorba fejtésnél R = 5 mm, és n 0 = 1 értékeket feltételezzünk. Sorba fejtés után az alábbit kapjuk: A Sorfejtés eredménye: n(r) = 1. rendig: n1() r := n0 0, 014 r 1 1 1 + r + 4 R 1 1 11 1 r 4 1 + r 6 + Or 8 3 R 4 18 R 6 ( ). rendig: ( ) r 4 n() r := n0 0, 014 r 7, 071 10 5 3. rendig: n3 r ( ) 4 r ( ) n0 0 014 r 7, 071 10 5 7 6 :=, 7, 071 10 r TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 15
Megvalósítás más módszerrel Ábrázolva az egzakt (n), és a különböző rendű Taylor-polinomos közelítéseket (n1, n, n3) 1.5 nr () 14 1.4 n1() r n() r n3() r 1. 1 1 0 4 0 r 5 Látható, hogy a harmad renddel már igen jónak tekinthető közelítés. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 16
Megvalósítás más módszerrel Ismét illesszük be a Maxwell lencsénél használt hengert, melynek törésmutatóját most 1 nek válasszuk. A gradiens törésmutató definiálásnál figyeljünk oda, hogy az egyes koefficienseket, a megfelelő r-ekhez írjuk (ne a z függő rubrikákba!): TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 17
Megvalósítás más módszerrel Az egzakt (beépített) lencse és az azzal kvázi ekvivalens közelítés sugárkövetéses eredményét láthatjuk. A sugárforrások áf á definiálásánál iálá á most is +5 illetve -5 -os szögben indulnak a sugarak. A Maxwell-féle halszemlencse esetéhez képest sokkal jobb egyezést kapunk az egzakt és az azt közelítő törésmutatójú Luneburg közegbeli terjedés közt. Ennek oka, Henger hogy ez esetben a 4 tagú Taylorpolinomos közelítés sokkal pontosabb volt. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 18
Közeg, melyben a fény pályája kör Szimuláljuk a fényterjedést n n0 = x 1 r törésmutatójú közegben! Elméleti megfontolással belátható, hogy a sugár pályája ilyen közegben KÖR! A levezetést most mellőzzük. A szimuláció ió során legyen n 0 = 1.5 (546,1 nm), r = 10! Készítsünk egy planparalell lemezt! Szélessége X irányban legyen 5 mm, Y irányban 1 mm és Z irányban 0 mm. Középpontjaik X koordinátái legyen,5, Y pedig 0, Ebből helyezzünk egymás fölé összesen 3 azonos darabot! TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 19
Közeg, melyben a fény pályája kör A programban nem áll módunkban ilyen típusú törésmutató t tó változást á t megadni, ezért fejtsük Taylor-sorba a függvényt z =0körül! n ( z) = n( 0) + α z + α z + α z 3 K A Taylor-koefficiensek rendre a következők:. α α α 1 = 0151 1, 3 = 0, 0151 = 0, 00151 3 TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 0
Közeg, melyben a fény pályája kör A bal oldali ábrán az egzakt törésmutató és közelítései, a jobb oldalin az egzakt értéktől való eltérések é láthatók. tók Megállapíthatjuk, tj hogy a harmad rendű polinom már kellő pontosságú közelítést ad. 1.95. 1.9 n_elm( x) 1.8 n1( x) n ( x ) n3( x) n4( x) 1.7 1.6 Δn1( x) Δn( x) Δn3( x) Δn4( x) 0.15 0.1 0.05 1.5 1.5 1.4 0 0.5 1 1.5.5 3 0 0 0 0.5 1 1.5.5 3 0 x 3 0 x 3 TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 1
Közeg, melyben a fény pályája kör Az egymás alá helyezett planparalell l ll lemezeknek k úgy adjuk meg a kapott koefficiensek alapján a gradiens törésmutatót, hogy a legfelsőnél csak az első koefficienst, a középsőnél az első kettő koefficienst és a legalsónál mind a hármat megadjuk. Figyeljünk oda, hogy az egyes koefficienseket, a megfelelő z függő rubrikákba írjuk (ne az r függő rubrikákba!) Mindhárom lemezre bocsássunk egy-egy sugarat úgy, hogy Z koor- dinátájuk 0, X koordinátájuk -1, Y koordinátájuk pedig az egyes lemezek középpontja legyen. Mindhárom forrásból induló sugarakhoz más-más színt rendeljünk és ezt állítsuk is be az Analysis / Ray Colors menüben. TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt
Közeg, melyben a fény pályája áj kör Az eredményt az alábbi képen láthatjuk: TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 3
Közeg, melyben a fény pályája áj kör Az fénysugár pályája és a simulókör TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 4
Közeg, melyben a fény pályája áj kör Láthatjuk, hogy a másod- és harmad-rendig megadott törésmutatójú anyagokban a nyalábok szinte ugyanúgy haladtak, illetve közel ugyanabban a szögben hagyták el a lemezeket. A táblázatokban azonban megfigyelhetjük, hogy még így is van minimális különbség: Kettő koefficiensig megadott törésmutatójú közeg Három koefficiensig megadott törésmutatójú közeg TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 5
Mit ismertünk meg? - A Luneburg-féle és a Maxwell Fish-eye lencse típúsú közegekben történő fényterjedés analízise, szimulációja. n0 - Demonstráltuk, hogy a n = függvénnyel megadható x 1 r törésmutatójú közegben a fénysugár pályája kör. Következik: k - Rezonátorok TÁMOP-4.1.1.C-1/1/KONV-01-0005 projekt 6