3D Számítógépes Geometra II. 3. Szabadformáú felületek llesztése és smítása http://cg.t.bme.h/portal/3dgeo https://www.k.bme.h/kepzes/targyak/viiiav16 Dr. Várady Tamás Dr. Sal Péter BME Vllamosmérnök és Informatka Kar Irányítástechnka és Informatka Tanszék 1
Tartalom Felületllesztés B-splne-okkal alkalmazás területek köetelmények a megoldandó egyenletrendszer smétlés Szép far görbék és felületek globáls smító elárások energa ntegrálok lokáls kontrollpont optmalzálás Paraméterezés gyenge kontrollpontok A labelng technka 3D-s számítógépes geometra
Felületllesztés 1 Cél: általános topológáú háromszögháló tartományok közelítése parametrks felületekkel Dgtáls alakzatrekonstrkcó: szegmentált tartományok felületmodell 3D-s számítógépes geometra 3
Felületllesztés em szabányos felületreprezentácók konerzóa szabányos URBS formátmra; export különböző CAD/CAM alkalmazásokhoz Példa általános topológáú görbeháló alapú modellezése; n-oldalú felületek sszaágott trmmelt felületek 3D-s számítógépes geometra
Köetelmények 1 Pontosság előírt toleranca Egyenletes görbületeloszlás mnd a tartomány belseében mnd azon kíül A kontrollpontok száma legyen relatíe alacsony A kontrollpontok elrendezése lehetőleg köesse az alaksaátosságokat A felület kteredése konex brok legyen a lehető legksebb A parametrzácó megálasztása alapető kérdés!!! 3D-s számítógépes geometra 5
Köetelmények Természetes orentácó Sma kteresztés 3D-s számítógépes geometra 6
7 Approxmácó - B-splne felületek Approxmácó B-splne felületekkel 1 Lneárs egyenletrendszer adott pontok paraméterezéssel: B-splne felület n+1 x m+1 smeretlen kontrollponttal: M >> egyenlet táolságfüggény mnden adatpontra négyzetes táolság függény: mnmalzálás: l m k d l k kl l n k m l k kl... ; 1 ; c c c P c P ; } { M P ; } { ; ; } { m l n k kl l n k m l k kl c c c S M M lsq F c P S P c c k F k M k lsq 1... c P c c
Approxmácó B-splne felületekkel mátrx alakban: mn [ M lsq [ ][ c] [ P] ][ c] [ b] [ ] T [ ][ c] [ ] T [ P] ahol T T [ ] [ ] [ ] [ b] [ ] [ P]. M lsq a megoldás: [ c] [ M Smító ntegrál: lsq ] 1 [ b] F smooth c c S S S mnmalzálás: F comp c F lsq c F smooth c d d [ c] [ M lsq M smooth ] 1 [ b] smítás súly helyes beállítása krtks lehet Approxmácó - B-splne felületek 8
9 Approxmácó - B-splne felületek Approxmácó B-splne felületekkel 3 Hbabecslés: Paraméterkorrekcó: Általános problémák: kezdet paraméterezés n-oldalú szabálytalan ponttartományra nagyon sok lehetőség an elentősen befolyásola a felületmnőséget cos d d d d s s s n P R n s P n s P s P s s s s n M k k 1 P s s R s s n d
Szép far görbék és felületek nncs egyértelmű matematka defnícó... far: a görbületeloszlás egyenletes és a lehető legkeesebb monoton szakaszból áll kerülendő: felesleges nflexók erős görbület szélsőértékek lapos szakaszok 1. globáls elárás: ponthalmaz llesztése smaságot optmalzáló tagokkal. lokáls elárás: kontrollpontok pozcóának optmalzálása Smaság mértékek 1
Smaság mértékek Energa-mnmalzálás farng mnőségmérő ntegrálok: a tökéletlenséget büntetk A smaság fontos: pl. megelenítésnél anyagtladonságok megmnkálás stb. Kobbelt Membrán energa: a felület legyen kcs s da mn. r r dd Rgalmas lap energa thn plate: ne legyen nagy a görbület s da mn. 1 r r r Smaság mértékek dd Mnmáls görbület arácó: ne áltozzon gyorsan a görbület s 1 k 1 k da mn. 11
Kontrollpontok optmalzálása 1 Harmadfokú B-splne - C folytonos: r t tt r t ttt r t tt r t ttt t t t t smaság mérték - a görbületáltozások összege: t t lokáls optmalzálás a csomóértékeknél: a folytonosság grás csökkentése csomótörlés módosított görbe két szegmens közelítése eggyel ú súlyfüggények ú tartópontok csomóbeszúrás görbe nem áltozk csomótörlés - nem egyértelmű; legegyszerűbb ha csak egy kontrollpont áltozk r t ttt r t ttt Csomótörlés Kontrollpontok optmalzálása 1
Kontrollpontok optmalzálása csomóbeszúrás polárs koordnáták segítségéel lásd B-splne feezet csomótörlés: azonos logka sszafele aítandó kontrollpontok sorba állítása a folytonosság grások alapán: harmadfokú B-splne esetén: három csomóbel grás összege kontrollpont aítás prortás sor módosítása P13 P1 P1 P old 13 P P new 13 P444 P134 P344 P34 [1[ ]34444] [134444] Kontrollpontok optmalzálása 13
Kontrollpontok optmalzálása 3 Általánosítás felületekre a csomók által alkotott rács pontaban a smaság mérték: r r r r a aítandó kontrollpontokat sorba rendezzük és optmalzálk Kontrollpontok optmalzálása 14
Kontrollpontok optmalzálása 4 Grafks ndkátorok síkmetszetek G 1 átlaggörbület térkép G Gass görbület térkép G fényonalak sophotes G - a fény beesés szögét mtata a normálektorhoz szonyíta dszkrétzált csíkok - nagyon érzékeny felület ellemző Kontrollpontok optmalzálása 15
Felületek paraméterezése 1 P S Alapköetelmény: a ó llesztés feltétele legegyszerűbb - proekcó az LSQ síkra referenca felület - tág tolerancáal közelítő felület amely paraméterezhető hengerfelület alacsony fokszámú Bézer felület érényes parametrzácó: leképzett háromszögek nem torzlnak és nem fordlnak át Felosztás problémák Paraméterezés 16
Felületek paraméterezése P S Általános megoldás: síkbaterítés flattenng agy mesh-parametrzaton agyon komplex kérdés lásd: Vatks Márton előadása!!! 3D modell Háromszögháló Lykak és konká részek ktöltése D parametrzácó Paraméterezés 17
Gyenge kontrollpontok 1 Vágott tartományok llesztése lykak konká részek különböző részletgazdaság egyenlőtlen csomóeloszlás gyenge kontroll pont - a bázsfüggény csak nagyon ks súlyokat hoz be a mnmalzálás egyenletbe ezen pontok pozícóa ks mértékben meghatározott nem kíánatos hllámzás Gyenge kontrollpont Gyenge kontrollpontok Erős kontrollpont 18
Gyenge kontrollpontok Megoldás: gyenge kontrollpontok kényszerezése kontrollpontok lekötése smító függények alkalmazása mesterséges adatpontok generálása Gyenge kontrollpontok 19
Gyenge kontrollpontok Megoldás: gyenge kontrollpontok kényszerezése kontrollpontok lekötése smító függények alkalmazása mesterséges adatpontok generálása Gyenge kontrollpontok
Labelng Cél: az smeretlen felület orentálása Tenzor szorzat felületek négyoldalú domén Labelng az n-oldalú tartomány határgörbének és az llesztendő felület határgörbének összerendelése nteraktí agy atomatks orth East Soth West Unlabeled trm görbe Több határgörbének s lehet gyanolyan labele em kell az összes labelnek szerepelne Labelng 1
Labelng -példa 1 Labelng
Labelng példa Labelng 3
A labelng work-flow Labelng 4