Lieáris egyeetredszere Adott z ábbi ieáris egyeetredszer: b b b meye mátrios j övetező: A b H z A -ed redű égyzetes mátri reguáris rgj, i deta, or feti egyeetredszer egyérteműe megodhtó, meyre étfée umerius módszer étezi: Diret ejárás, mey z egyeetredszert eemi átításo oy r hozz, ho megodáso özveteü eovshtó Iterációs ejárás, mey dott ezdeti értéebő iiduv özeítő megodáso oy soroztát dj, mey megodásához overgá A Mtb progrmb h meg v dv z A és b mátri, megodást utsításs számítju i =A\b Diret ejáráso Guss eimiáció Az egyeetredszert eemi átításo soro fecseréése, egy sor szorzás uátó üöböző számm, egyi sor hozzádás egy mási sorhoz úgyevezett épcsős egyeetredszer jár hozzu feső háromszögmátri: U c, ho r U r r r r r Az ejárás - eimiációs épésbe törtéi H eeező esetbe sort cseréü, z A együtthtómátri i-edi sorábó ivoju z eső sor i -szeresét i,,,, Vgy mátri b:
szorozzu A-t - mátrisz i mjd z eső sort vátoztu hgyv z ejárást foyttju többi sorr Az evives átításobó dódó és megodás ugy z, meyet visszfeé hdv r c -bő heyettesítésse mid megphtu: i i ii ii i r c r, i=-, -,, Péd Hjtsu végre z dott egyeetredszere Guss-eimiciot! 8 5 Megodás Egyeete megodásor bevett gyort, hogy midét odo zoos műveeteet végzü Az iduó eimiációs tábázt övetező ú ibővített együtthtó mátri: B A 5 8 * Ahhoz, hogy z eső oszopb főátó tti eeme etűjee, z eső épésbe *-t szorozzu - mátrisz: / / B A / / 5 8 5 5 5 95 5 5 95 ** Már cs hrmdi sor másodi eemét e uává vátoztti, ehhez szorozzu **-et - mátrisz:
/5 B A /5 5 5 5 95 5 5 95 5 5 5 95 8 5 Ie zt pju, hogy 8 5, visszheyettesítésse pedig z dódi, hogy 5 5* 95, * 5 Háromszög-ftorizáció LU-febotás Az LU ftorizációs módszer evezethető Guss módszerbő, ugyis h Guss módszerbe ismert szorzó e segítségéve megszeresztjü z eemi sóháromszög mátriot: or A A ho A iterációb, Guss módszerre geerát mátri A = A Tehát A A U ho U A Az mátri egyszerű szerezetée öszöhetőe öye iszámíthtó z iverze:
és igzohtó, hogy L *** vgyis ***-bő A = LU Péd: Htározzu meg z A mátri LU-febotását 5 A Megodás: Kidogozott péd: >> A=[ ; -; - -;6-6 -5 6] A =
- - - 6-6 -5 6 >> P=[ ; ; ; ] % A P permutáció mátri fecseréi z eső és - edi sort P = >> A=P*A A = 6-6 -5 6 - - - >> =[ ;-/ ;-/ ; ] = - -666 >> A=*A A = 6-6 -5 6 666 5 666 - -666 -
>> =[ ; ; 666/666 ; -/666 ] = - >> A=*A A = 6-6 -5 6 666 5 666 - - 9999 999-9999 -59999-999 999 >> =[ ; ; ; 59999/9999 ] = >> A=*A A = 6-6 -5 6 666 5 666 - - 9999 999-9999 56 - Visszheyettesítés >> =-/56 = -
>> =-9999-999*/9999 = >> =--5*-666*/666 = >> =6-*+6*+5*/6 = -5 Péd Hjtsu végre z dott egyeetredszere Guss-eimiciot! 5 5 ; ; ; Megodás: Az iduó eimiációs tábázt övetező ú ibővített együtthtó mátri: 5 6 5 65 85 6 69 65 6 Ie zt pju, hogy 8 6 8 9 8 5 5 65 565 886 65 699 5888
5888 visszheyettesítésse pedig z dódi, hogy 699 6 88889 6565 88889 ; 88889 Az eőző ejárásbó dódi, hogy mide reguáris mátrir mzhtó z úgyevezett háromszög-, vgy LU-ftorizáció: PA=LU, ho U r r r r r r és L, Feső i só háromszögmátri upper i ower trigur mtri, P pedig egy oy permutációs mátri, meye mide soráb és mide oszopáb potos egy eem, többi mid P írj e z A sorcseréit Defiíció: Permutáció mátri NN - es : A permutáció mátri fecseréi z i - edi és j - edi sort Megjegyzés: P ij em sziguáris, és beáthtó, hogy P P Ee segítségéve egyeetredszer megodását három épésbe írhtju e: PA LU : A háromszög-ftorizáció végrehjtás Ly Pb : Az y meghtáozás U y : Az megodás meghtározás visszfeé heyettesítésse ij ij
H ieáris egyeetredszer megodásáá Ab ibővített együtthtó mátrir Gussgoritmust mzzu, z L só háromszögmátriot em hszáju L-t htásos mzhtju or, mior egyszerre több oy ieáris egyeetredszert e megodu, meyee ugyz z A együtthtó mátri, de b jobb od üöböző vetoro Egy A mátri febotás Mtb progrmm: [L,U]=uA y = L\b; = U\y; [L,U,P]=uA y = L\P*b; = U\z; ho P mátri permutációs mátri, ie: PA=LU Péd: >> A = [ 6 ; 5 5; ]; >> b = [ 6]'; >> [L,U] = ua; >> y = L\b; >> = U\y = -9 8966-69 Péd: >> A=[ -; 9 -;- - ]; >> [L,U,P]=uA L = -5 5 -
U = 9-5 55 P = Choesy FELBONTÁ H z A mátri szimmetrius és pozitív defiit, or z LU febotás A U T U T U L b étezi, tehát ho L só háromszögmátri, meye digoáis eemei pozitív számo em fetéte egyese Az iye febotást Choesy febotás hívju Choesy goritmus: A tárgyt goritmuso z L mátriot eemrő-eemre számojá i övetező épete pjá: L főátóbei eemeit így számoju: ii i ii i L főátó tti eemeit i j pedig így: Az goritmus: H A mátri: ji ij i i j i, j ii
Péd: Áítsu eő z 6 A 5 55 5 55 5 55 5 99 mátri Choesy-febotását! Megodás: Mive A mátri szimmetrius, febotás megvósíthtó Choesy goritmus segítségéve A eresett L mátri tehát mátri esz Choesy febotás Mtbb A Mtbb övetező épésee odhtju meg Choesy febotás pjá: >> A = [ ; ; ]; >> b = [9 8 9] ;
>> R = choa R = 5 88 9 >> = R\y = Iterációs ejáráso Teitsü A b Teitsü z A M N febotást, eor M N b M Nb dódi, mey ieáris egyeetredszere eseté ieáris iteráció fogozu, meye átáb feírhtó Teitsü z M N M b A D L U
febotást, ho L só háromszög mátri, D digoáis mátri, U feső háromszög mátri A Mtb progrmb h meg v dv z A és b mátri, febotást övetező utsításs számítju i: >> U = triua, >> L = tria,- >> D = digdiga Jcobi-ejárás Botsu fe A-t övetező módo: M D N L U Így tetszőeges -bó iiduv épezhetjü özeítő megodáso soroztát Koordiátáét írv: D LU D b Tegyü fe, hogy z egyeetredszer együtthtó mátriáb főátóbei eeme midegyie uátó üöböző Eor z i-edi sorb z i ismeretet ifejezhetjü, mibő övetező iterációs formu dódi z iterációs ide: b i=,,, i i i ii i ii =,,, ;, ezdeti értée,, Ezt z ejárást tejesépés ejárás is evezi,, mert z új + vetor vmeyi ompoesét vetor ompoeseibő számítju A Jcobi-ejárás tetszőeges ezdeti vetor eseté or overgá, h: m i i i ii oszopösszeg-fetéte vgy m i i i i ii sorösszeg-fetéte tejesü
Péd: Legye Amzzu z A = b ieáris egyeetredszerre Jcobi-iterációt! Megodás Láthtó, hogy z A mátri em átós domiás ii ij, j i j ji Redezzü át z egyeetredszerüet övetező r: 9 5 9 5 Láthtó, hogy z együtthtó mátri digoáis domiás, így z ejárás overges esz Ie Jcobi-iteráció: 9 5 5 9 Iduju e z ezdővetorbó,,, Iteráció 9 85, 9, 5 5 5556, 9 Iteráció ii ij
9 859,, 5 5 69, 9 8 8 8 6865 6 Jcobi-iteráció Mtbb A övetező függvéy megdott A mátriú, b jobb odú ieáris egyeetredszer és ezdeti érté megodását áítj eő Jcobi-iterációv miter számú épésbe fuctio = Jcobi_itA,b,, miter D = digdiga; T = D-A; for = :miter = D\T*+b =; ed Az iterációt úgy is evégezhetjü, hogy or is ájo e, h ét egymást övető iteráció már eég öze v egymáshoz fuctio = Jcobi_it_toA,b,,miter,to D = digdiga; T = D - A; for = :miter = D\T*+b; reerr = orm-;
if reerr < to bre; ed = ed = ed Guss-iede-ejárás Botsu fe A-t övetező módo: M D L N U Így tetszőeges -bó iiduv épezhetjü özeítő megodáso soroztát Koordiátáét írv: D L U D L b Ez z ejárás yib tér e z eőzőtő, hogy z új + z i-edi ompoes iszámításához már ebbe z iterációs épésbe yert értéeet is fehszáju, és cs z i-é gyobb ompoese esetébe hszáju i-é gyobb ompoesei értéét Az eső ompoest Jcobi ejáráss htározzu meg Formáis: b i=,,, i i i i i ii ii i ii =,,, ;, ezdeti értée,, Ezt egyeéti épése módszerée is evezi, z eőző ejárásá vmive gyorsbb overgá Péd: Legye
Amzzu z A = b ieáris egyeetredszerre Guss-iede ejárást! Megodás Láthtó, hogy z A mátri em átós domiás ii ij, j i j ji Redezzü át z egyeetredszerüet övetező r: 9 5 9 5 Láthtó, hogy z együtthtó mátri digoáis domiás, így z ejárás overges esz Ie Guss-eide iteráció:,,, ii ij 9 85, 699, 5 5 558, 9 9 5, 6886, 5 5, 9 6 6 6 6865 6 Azz Guss-eide itertív ejárás gyorsbb overgá mit Jcobi-iterációt
Guss-eide-iteráció Mtbb Az A mátri L és U összetevőjée z eőáításához hszáhtju tri, triu függvéyeet Midettő meghgyj A főátóbei eemeit is A övetező függvéy megdott A mátriú, b jobb odú ieáris egyeetredszer és ezdeti érté megodását áítj eő Guss-eide iterciov miter számú épésbe fuctio = Guss_eide_itA,b,,miter LD = tria; % LU = L + D U = LD - A; for i = :miter = LD\U*+b; ed Az iterációt úgy is evégezhetjü, hogy or is ájo e, h ét egymást övető iteráció már eég öze v egymáshoz fuctio = Guss_eide_it_toA,b,,miter,to LD = tria; % LU = L + D U = LD - A; for = :miter = LD\U*+b; reerr = orm-; if reerr < to ed bre; = ed Kidogozott péd: Végezzü e egy-egy épést Jcobi- és Guss-eide-iteráció z = [; ;; ] vetorró iduv
egyeetredszerre! Megodás : Jcobi-iteráció: + = 6 + + = 5 + = + 8 = 5 + 5 5 5 Iduju e z Iteráció Iteráció Iteráció 5 5 8 8 8 =,,, T ezdővetorbó = 6,,, 85 =, 59, 85, 885 = 96, 5, 9, 9 T 5 = 989,,, =, 9998, 9998, 9998 A potos gyöö z =,,, vetor eemei Guss-eide-iteráció: + 5 5 5 5 5 8 8 8 Iduju e z =,,, ezdővetorbó Iteráció 6
6 5 6 5 98 8 8 8 = 8 + 85 = 889 = 6,, 98, 889 98 Iteráció Iteráció,,, 98 = 96, 5, 9, 9 5,,,