3. Fejeze Deforás jele 3.. Bevezeés z Eleroechia I. és a jele jegyze eddigi részeibe idvégig olya jeleel (árao, feszülsége alálozu, aelye iszá sziusz vagy osziusz függvéye segíségével auláyozhaó. Ezzel a felevéssel erészeese idealizálu az áraöröbe fellépő jeleségee. Ehhez épes az eloszó hálózaoba e feléleül isza sziuszos vagy osziuszos árao folya, hae orzío ú. deforás jele figyelheő eg. orzulás so éyezőe ulajdoíhaó, hogy egy ado áraörbe éppe ie öszöheő a orzulás az figyelese ell egvizsgáli. Például orzulás idézhee elő a agyeljesíéyű fogyaszó, a e-lieáris áraöri elee, raszforáoro, egyeiráyíó sb. eyibe a ialaul jel periodius és haroius, a jel alaja az alap freveciájú jel felharoius sziusz és osziusz függvéyeie lieáris obiációjaé írhaju le. 3.. Néháy példa deforás jelre z alábbi ábráo, 3. a, b, c és d, éháy egyszerűe előállíhaó deforás jele uau be. Midegyi ábrá egy ado apliúdójú alapfreveciájú sziusz jel és valailye ás apliúdójú sziusz vagy osziusz felharoius (öbbszörös freveciájú lieáris obiációjá szelélejü. 3..a ábrá az alapfreveciájú sziusz jelhez ( egy észeres freveciájú ( sziusz jele adu, elye eredéyeé a (3-al jelze deforás jele yerjü. 3. a. ábra
3..b ábrá az alapfreveciájú sziusz jelhez ( egy hároszoros freveciájú ( sziusz jele adu, elye eredéyeé a (3-al jelze deforás jele yerjü. 3. b. ábra 3..c ábrá az alapfreveciájú sziusz jelhez ( egy észeres freveciájú ( osziusz jele adu, elye eredéyeé a (3-al jelze deforás jele yerjü. 3. c. ábra
3..d ábrá az alapfreveciájú sziusz jelhez ( egy hároszoros freveciájú ( osziusz jele adu, elye eredéyeé a (3-al jelze deforás jele yerjü. 3. d. ábra Megjegyezzü, hogy a deforás jeleél agyo so esebe figyelheü eg szieriáa, aelye agyérébe segísége yújaa a jele aeaiai leírásáál. Ezere os éháy példá elíü a feiebe szelélee jele eseébe, ajd a ovábbi alpooba iérü eze szieriá részlees auláyozására, aeaiai leírására is. i-szierius egy függvéy a periódus özepére voaozava, ha f ( f (3. i pl. a 3..b és d ábráo láhaó deforás jele. periódus özepére voaozava szierius, de fordío előjelű fél periódussal redelező jel eseébe f ( f ( (3. i pl. a 3..a és b ábráo láhaó deforás jele. 3.3. Deforás jele leírása. Fourier-sorfejés ódszere. 3.3.. Fourier-sor Maeaiai auláyoból iser éy, hogy egy periodius f ( függvéy, elye periódusa ν π, Fourier sorba fejheő a öveező alaba: 3
f ( ( a si b cos (3.3 ahol a és b álladó az freveciájú felharoiuso apliúdói, pedig a függvéy álladó opoese. Ezee az együhaóa a öveezőéppe haározhaju eg. eyiség eghaározásához iegrálju a 3.3 összefüggés egy periódus időarara voaozóa. f ( d d ( a si d b cos d (3.4 Mivel a sziusz és osziusz függvéye periódusra voaozao iegráljai ullával egyelő a 3.4 összefüggésből a öveezőéppe száíhaó i f ( d. (3.5 z a álladó eghaározásához a 3.3 összefüggés beszorozzu vel, ajd iegrálju egy eljes periódusra voaozava. b f ( si d ( cos ( si d si d ( a si d si - (3.6 Figyelebe véve, hogy si ( cos és ( cos ( si ( si, ajd behelyeesíve a 3.6 összefüggésbe, ide olya iegrál érée ulla ahol a sziusz vagy osziusz függvéye (freveciáól függeleül eljes periódusra voaozao iegráljai szerepele, az a eyisége az alábbi összefüggéssel száíhaju i a f ( si d (3.7 z előzőhöz hasoló godolaeee öveve és száíásoa végezve a b eyisége a 3.4 összefüggés cos -vel szorozva ajd eljes periódusra iegrálva apju eg az alábbi forába b f ( cos d (3.8 4
3.3.. Fourier-sor összevo alaja Fourier-sora haszálaos az összevo forája is, ely a 3.9 összefüggéseel adhaó eg. f ( si( vagy (3.9 f ( B cos( γ Egyszerű forába adhaó eg a apcsola a 3.3 és a 3.9 összefüggéssel ado felírásódo özö, ha a öveező jelölésee végezzü: a cos és b si (a 3.9 összefüggés első egyeleére voaozóa. Ee egfelelőe az összevo felírásba egjeleő eyiségee eghaározhaju, i: b a b és g (3. a 3.3.3. oplex Fourier-sor öbbször elíés eü ár, és a vázi-sacioárius ára leírásáál haszálu is, hogy oplex eyisége bevezeésével so esebe egyszerűbb száíáso újá érheü el eredéy boyolul áraörö eseébe. z előzőél opaabb forá eredéyez az, ha a Fourier-sor oplex alaba adju eg. Ehhez a 3.3 összefüggésbe egjeleő sziusz és osziusz függvéyee írju á a ei egfelelő oplex alaba (3.. j j j j e e e e si és cos (3. j Behelyeesíjü a 3. összefüggésee a 3.3 Fourier-sorba, ajd csoporosíju az expoeciális ago szeri és apju az alábbi összefüggés: j b ja j b ja f ( e e (3. Bevezejü a öveező jelölésee, b ja b ja c és c (3.3 elye segíségével a 3. összefüggés az alábbi alaba írhaó fel 5
e j f ( j j [ c e c e ] c e j. (3.4 c álladóa eghaározhaju ha a 3.4 összefüggés egszorozzu -vel és egy eljes periódusra iegrálju. c j f ( e d. (3.5 3.4. Periodius függvéyebe egfigyelheő Jellegzees szieria esee árgyalása. 3.4.. periódus özepéhez viszoyíva szierius függvéy. Ebbe az esebe a egfigyelheő szieria a 3.6 aeaiai összefüggéssel fejezheő i. Ilye ípusú függvéy ua be a 3. ábra, elye felüeü a szieria észleléséhez szüséges voaozaási pooa. f ( f (3.6 3. ábra Haszálju a ovábbiaba a Fourier-sor összevo alajá. f ( si( (3.7 6
Írju á a 3.6 összefüggés úgy, hogy vegyü figyelebe a 3.7-el ado függvéyalao. Eredéyé a 3.8 egyelősége apju. si( si (3.8 Figyelebe véve, hogy π és elvégezve a űveleee a 3.8 összefüggés 3.9 forára hozhaó, aely érvéyes bárilye éréére. ( π si( si. (3.9 Mivel az egyele idé oldalá azoos előjellel szerepel, érée lehe ulláól ülöböző is. z egyele ovábbi agjai illeőe é esee ülöbözeü eg. Ha páros, vagyis alaú, si ( si ( π, így az egyelőség eljesül abba az esebe is ha. Ha viszo párala, vagyis alaú, si [( ] ( si [( ( π ] ai az jelei, b. hogy az egyelőség csa abba az esebe áll fe, ha (ez az is jelei, hogy a és Összegzéséppe, a Fourier-sor a öveező forába írhaó fel ( f ( si z ilye ípusú függvéyee páros függvéyee evezzü.. (3. 3.4.. periódus özepéhez viszoyíva ai-szierius függvéy. Ebbe az esebe a egfigyelheő szieria a 3.6 aeaiai összefüggéssel fejezheő i. Ilye ípusú függvéy ua be a 3.3 ábra, elye felüeü a szieria észleléséhez szüséges voaozaási pooa. f ( f (3. 7
3.3 ábra Haszálju a ovábbiaba a Fourier-sor összevo alajá. f ( si( (3. Írju á a 3. összefüggés úgy, hogy vegyü figyelebe a 3.-el ado függvéyalao. Eredéyé a 3.3 egyelősége apju. si( si (3.3 Figyelebe véve, hogy π és elvégezve a űveleee a 3.3 összefüggés 3.4 forára hozhaó, aely érvéyes bárilye éréére. ( π si( si. (3.4 Mivel az egyele é oldalá ülöböző előjellel szerepel, ahhoz, hogy az egyelőség ebből a szepoból feálljo érée ulla ell legye. z egyele ovábbi agjai illeőe é esee ülöbözeü eg. Ha páros, vagyis alaú, si ( si ( π, így az egyelőség csa aor eljesül ha ( a és b. Ha viszo párala, vagyis alaú, si [( ] ( si [( ( π ] ai az jelei, hogy az egyelőség fe áll abba az esebe is ha Összegzéséppe, a Fourier-sor a öveező forába írhaó fel f ( si [( ]. (3.5 z ilye ípusú függvéyee párala függvéyee evezzü. 8
3.4.3. z f(f(- szieria. Ebbe az esebe a egfigyelheő szieria a 3.6 aeaiai összefüggéssel fejezheő i. Ilye ípusú függvéy ua be a 3.4 ábra, elye felüeü a szieria észleléséhez szüséges voaozaási pooa. f ( f ( (3.6 3.4 ábra Haszálju a ovábbiaba a Fourier-sor összevo alajá. ( a si b f ( cos (3.7 Figyelebe véve a 3.6 szieria-feléel és hogy egyelősége írhaju fel π a öveező ( a si b cos [ a si( π b cos( π ] aely a száíáso elvégzése uá 3.8 alara hozhaó ( a si b cos ( a si b cos (3.8 Mivel az egyele idé oldalá azoos előjellel szerepel, érée lehe ulláól ülöböző is. Mivel a sziusz függvéy párala, a osziusz pedig páros, a 3.8 összefüggés abba az esebe érvéyes ha a. Fourier-sor ebbe az esebe a 3.9 alaba írhaó fel. 9
3.4.4. z f( - f(- szieria. f ( b cos (3.9 Ebbe az esebe a egfigyelheő szieria a 3.3 aeaiai összefüggéssel fejezheő i. Ilye ípusú függvéy ua be a 3.5 ábra, elye felüeü a szieria észleléséhez szüséges voaozaási pooa. f ( f ( (3.3 3.5 ábra Haszálju a ovábbiaba a Fourier-sor összevo alajá. ( a si b f ( cos (3.3 Figyelebe véve a 3.3 szieria-feléel és hogy egyelősége írhaju fel π a öveező ( a si b cos [ a si( π b cos( π ] aely a száíáso elvégzése uá 3.3 alara hozhaó ( a si b cos ( a si b cos (3.3
Mivel az egyele é oldalá ülöböző előjellel szerepel, ahhoz, hogy az egyelőség ebből a szepoból feálljo, érée ulla ell legye.. Mivel a sziusz függvéy párala, a osziusz pedig páros, a 3.3 összefüggés abba az esebe érvéyes ha b. Fourier-sor ebbe az esebe a 3.33 alaba írhaó fel. 3.5. Néháy egyszerű jelala Fourier-sorfejése 3.5.. Négyszögjel f ( a si (3.33 Defiiálju a égyszögjele az alábbi ódo, elye a 3.6 ábra szeléle., (3.34, < 3.6 ábra hogy az ábrá is szeléleü, éféle szieriá fedezheü fel az égyszögjelbe. Megalálhaó az f ( f ( / és az f ( f (
szieriaele. Ee egfelelőe a 3.3 álal defiiál álaláos Fourier-sor helye egy soal egyszerűbb Fourier-sor felírására va leheőség. Mi az a 3.4. alpoba láu, az f ( f ( / szieria az jelei, hogy a égyszögjel párala függvéy (ehá a b és, az f ( f ( pedig az, hogy csa sziuszos ago szerepele az összegzésbe (ehá b, így a Fourier-sor a 3.35 összefüggéssel adhaó eg. [( ] f ( a si (3.35 szieriaelee felfedezése ehá egyszerűsíi a ovábbi uáa, hisze csa egy iegrálás ell elvégezü és eghaározhaju az a álladóa (3.36. a a f [( ]d ( si (3.36 Elvégezzü a száíásoa. [( ] ( si d si d si [ ] [( ] d si [( ] cos d 4 ( ( ( ( π 4 cos ( ( apo eredéy behelyeesíjü a 3.35 egyelebe és egapju a égyszögjel Fourier-sorá egadó ifejezés, 4 f ( si[ ( ] (3.37 π ( aely ifejve a öveező alao veszi fel 4 f ( si 3 si 5 si 7 si 9... π 3 5 7 9 (3.38 z alábbi ábráo szelélejü, hogy ié válozi a özelíő Fouriersorral száío függvéy alaja, ha egyre agyobb száú felharoius haszálu a özelíésbe. Fourier-sor első é agjá véve figyelebe a 3.7 ábra szerii özelíő görbé apu.
3.7 ábra Fourier-sor első égy agjá véve figyelebe a 3.8 ábra szerii özelíő görbé apu. 3.8 ábra Fourier-sor első égy agjá véve figyelebe a 3.9 ábra szerii özelíő görbé apu. Köveve az ábráo felüee deforás jelee, láhaju, hogy ié ad a feiebe száol Fourier-sor egyre jobb egözelíés a égyszögjelre. 3.9 ábrá felüeü a égyszögjele is, hogy ez szebeűőbb legye. 3
4 3.9 ábra 3.5.. Fűrészfogjel Defiiálju a fűrészfogjele az alábbi ódo, elye a 3. ábra szeléle. < D D, 4 3 4, 4 4 (3.39 3. ábra
b hogy az ábrá is szeléleü, éféle szieriá fedezheü fel a fűrészfogjelbe. Megalálhaó az f ( f ( / és az f ( f ( szieriaele. Ee egfelelőe a 3.3 álal defiiál álaláos Fourier-sor helye egy soal egyszerűbb Fourier-sor felírására va leheőség. Mi az a 3.4. alpoba láu, az f ( f ( / szieria az jelei, hogy a fűrészfogjel párala függvéy (ehá a b és, az f ( f ( pedig az, hogy csa osziuszos ago szerepele az összegzésbe (ehá a, így a Fourier-sor a 3.4 összefüggéssel adhaó eg. [( ] f ( b cos (3.4 szieriaelee felfedezése ehá egyszerűsíi a ovábbi uáa, hisze csa egy iegrálás ell elvégezü és eghaározhaju az b álladóa (3.4. b f [( ]d ( cos (3.4 Elvégezzü a száíásoa. 4D ( 3 cos d cos 4 4 [ ] [( ] d (3.4 fei egyelebe elvégezve a űveleee ulajdoéppe égy iegrál szerepel. Száísu i ezee az iegráloa. z első a parciális iegrálás ódszerével száíhaju i (3.43. '( v( d u( v( u u( v' ( d (3.43 Vezessü be a öveező jelölésee u' ( cos és v (. cos [( ] ( [( ] si si si d [( ] ( [( ] [( ] ( si d si [( ] ( [( ] ( cos d [( ] [( ] 3.4 iegrál ásodi agja [( ] 5
4 cos [( ] [( ] ( si d. 4 3.4 iegrál ásodi agja ugyaazzal az éréel redelezi, i az első agja, a egyedi pedig az előző száíással egegyező ódo száolhaó i, érée ulla. Behelyeesíjü a száol iegráloa a 3.4 összefüggésbe és apju az alábbi eredéy. 8D 4 8D b π (3.44 eg. [( ] [( ] Ee egfelelőe a fűrészfogjel Fourier-sora a 3.45 összefüggéssel adhaó 8D f ( π ( cos [( ] (3.45 z alábbi ábráo szelélejü, hogy ié válozi a özelíő Fouriersorral száío függvéy alaja, ha egyre agyobb száú felharoius haszálu a özelíésbe. 3. ábrá a fűrészfogjele ívül egfigyelheő az elsőredű és a ásodredű egözelíés. Szebeűi rögö, hogy a ásodredű felharoius figyelebevéele ár egész jó özelíés ad. 3. ábra 6
3. ábrá a haradredű és -ed redű flharóiusoal bezárólag száío egözelíésee veü figyelebe. I ár az uóbbi szie eljese fedésbe va a özelíe fűrészfogjellel. 3. ábra 3.6. Ne-sziuszos eyisége effeív érée e-sziuszos eyisége effeív éréé az eddigi auláyoból jól iser ódo a 3.46 iegrállal haározzu eg. F f ( d. (3.46 fei összefüggésbe az f( függvéy egadhaju a 3.3 vagy 3.9 alaba is, a ovábbi száíásaiba a 3.9 alao fogju haszáli. f ( si( (3.47 Behelyeesíjü a 3.47 álal defiiál függvéy a 3.46 összefüggésbe és elvégezzü a száíásoa 7
8 ( d d f F si( si( d si( si( si( d d d d si( si( ( si si(. Mivel d si( d ( cos ( si d d és ( [ ] ( [ ] ( ( [ ] ( ( [ ] cos cos cos cos si( si( d d d végeredéyé egy e-sziuszos eyiség effeív éréére apju, hogy egyelő. Y Y F (3.48
Vezessü be a öveező jelölésee: Y és Y ai e ás i az -ed redű felharoius effeív érée. Ezeel a jelöléseel a 3.48 összefüggés végeredéybe a 3.49 alao öli fel Y F Y vagy F Y Y (3.49 3.7. Ne-sziuszos függvéyere jellező eyisége e-sziuszos függvéye jellezésére az alábbiaba éháy eyisége vezeü be. Legye az alábbiaba f ( ide esebe egy esziuszos periodius függvéy. 3.7.. súcséyező függvéy csúcséyezője ( v e ás, i a függvéy axiális éréée és az effeív éréée (Y háyadosa, vagyis Yax Yax v Y (3.5 Y Y 3.7.. Foraéyező függvéy foraéyezője ( az alábbi egyeleel va defiiálva, f Y Y f (3.5 f ( d f ( d ahol a 3.3 ábráa egfelelőe, az a pillaa, aior a függvéy érée ulla és a öveező pillaaba ár a függvéy poziív övevő éréel redelezi. Y 9
3.3 ábra 3.7.3. Deforációs éyező deforációs éyező az alábbi összefüggéssel defiiálhaó Yd d (3.5 Y Y ahol Y d az ú. deforációs aradé, elye defiíciója Y d Y Y3.... 3.7.4. Elleállás, eercs és odezáor haása e-sziuszos jelre eyibe egy áraörbe egy ado ára folyi, a ülöböző áraöri eleeről e bizos, hogy ugyaolya forájú (időbeli lefuású feszülsége érü. Ez erészeese fordíva is igaz, ha egy ado periodius feszülsége apcsolu ülöböző áraöri eleere elye alaja u( si(, (3.53 ás és ás időbeli lefuású áraoa aphau, elye feléelezzü az i( I si ( α (3.54 alaúa. z alábbiaba ez uóbbira adu példáa. eisü az egyszerűség edvéér egy olya özépérée ulla, vagyis. 3.7.4.. Elleállás
Legye a feszülség deforációs éyezője u (3.55 d és. Kapcsolju ez a feszülsége egy elleállás saraira és haározzu eg a ialauló árao. Ehhez egyszerűe felírju az Oh-örvéy i ( u( R alaba. apo ára i( I si( I R és I I. ialauló ára deforációs éyezője d I i d u I R R, ahol (3.56 ai az jelei, hogy az elleállás e válozaja eg a jel időbeli lefuásá, ehá e orzíja a jele. 3.7.4.. eercs Kapcsolju os a periodius feszülsége egy ideális L iduiviású eercs saraira. lérejövő feszülsége aaliiusa az di u L (3.57 d összefüggés iegrálásával száíhaju i i ud si( cos( d L L L (3.58 π si L 3.58 összefüggésből egállapíhaju, hogy az ára felharoiusaia apliúdói az I L összefüggéssel, effeív éréei az I L összefüggéseel adhaó eg, íg a eercs álal előidéze fázisülöbség (3.54
szeri α π. végele Fourier-sor eive, esebe a agasabb redű felharoiuso apliúdója li L I. (3.59 z ára deforációs éyezője i d u d L L I I < (3.6 ehá a eercs eseébe az ára deforációs éyezője isebb, i a feszülség deforációs éyezője, a eercs isiíja a feszülségbe jeleező deforálságo. 3.7.4.3. Kodezáor Kapcsolju os a periodius feszülsége egy ideális apaciású odezáor saraira. lérejövő feszülsége aaliiusa az id u (3.6 összefüggés deriválásával száíhaju i cos( si( d d d du i si π (3.6 3.58 összefüggésből egállapíhaju, hogy az ára felharoiusaia apliúdói az I összefüggéssel, effeív éréei az I összefüggéseel adhaó eg, íg a eercs álal előidéze fázisülöbség (3.54 szeri α π. végele Fourier-sor eive, esebe a agasabb redű felharoiuso apliúdója li I. (3.59 z ára deforációs éyezője i d u d I I > (3.6
ehá a odezáor eseébe az ára deforációs éyezője agyobb, i a feszülség deforációs éyezője, a odezáor felerősíi a feszülségbe jeleező deforálságo. 3.8. Grafius ódszer a Fourier-sor felharóius apliúdóia eghaározására. grafius ódszer leheősége ad arra, hogy egy érésből szárazó esziuszos jel eseé eghaározhassu bizoyos véges özelíésbe a jel Fouriersoráa agjai. Ehhez a 3.4 ábrá vegyü szeügyre. periodius jel egy ado szaaszá (periódus, fél periódus feloszju egyelő részere, így az iegrálás összegzéseel helyeesíjü. Eseübe a jel egy periódusyi részé oszju fel p száú elei aroáyra. száíáso elvégzése uá a 3.6 összefüggésee írhaju fel a fei álladó eghaározására. p f ( p, a p π f ( si és b p p p π f ( cos (3.6 p p 3.4 ábra 3