Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások

Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások BBTE, Magyar Matematika es Informatika Intézet

Tegezek Meghatározás Egy Q tegez egy irányított multigráf (két csomópont között több irányított él is lehet, illetve hurkok létezése is megengedett). Példa

Utak a tegezben Meghatározás Legyen Q egy tegez és a, b csomópontok. Egy l 1 hosszúságú út a-ból b-be egy olyan (a α 1,α 2,...,α l b) élsorozat, ahol minden α i élre igaz, hogy az α i nyíl eleje egybeesik az α i+1 nyíl végével. Minden a csomóponthoz hozzárendelünk egy l = 0 hosszúságú utat, a triviális vagy stacionárius utat.

Tegez útalgebrája Meghatározás A Q tegez kq útalgebrája egy olyan k-algebra, ahol a k-vektortérnek a bázisát az (a α 1,α 2,...,α l b), l 0 utak alkotják és ahol két bázisvektor szorzata a megfelel utak összetevését jelenti. Vagyis az (a α 1,α 2,...,α l b) és (c β 1,β 2,...,β k d) utak szorzata (a α 1,α 2,...,α l b)(c β 1,β 2,...,β l d) = = δ bc (a α 1,α 2,...,α l,β 1,β 2,...,β k d) (ahol δ bc a Kronecker-delta).

Tegez reprezentációja Meghatározás Legyen Q egy véges tegez. A Q k-lineáris reprezentációja (vagy csak egyszer en reprezentációja) a következ t jelenti: (1) Q minden egyes a csomópontjához egy M a k-vektortért rendelünk. (2) Minden egyes α : a b élhez egy megfelel ϕ α : M a M b k-lineáris függvényt rendelünk.

A Kronecker-tegez és a Kronecker-algebra Meghatározás A Kronecker-tegez: Meghatározás. A Kronecker-algebra izomorf a Kronecker-tegez útalgebrájával. [ ] k 0 A Kronecker-algebrának k 2 alakú elemei vannak, vagyis k ( ) v 0 2 2-es alakú mátrixok, ahol v,w k, (u 1, u 2 ) w (u 1, u 2 ) k 2. A szorzás a következ módon történik: ( d 0 (u 1, u 2 ) c )( f 0 (v 1, v 2 ) e ) ( = df 0 (u 1 f + v 1 c, u 2 f + v 2 c) ce ).

A Kronecker-modulus Meghatározás A Kronecker-modulus egy véges dimenziós jobboldali modulus a Kronecker-algebra fölött. Minden M Kronecker-modulust azonosíthatunk a Kronecker-tegeznek egy ( X 1 X 2 ϕ 2 ϕ 1 ) reprezentációjával. Itt X 1 és X 2 véges dimenziós k-vektorterek és ϕ 1, ϕ 2 k-lineáris függvények, amiknek felírhatjuk a mátrixszát a kanonikus bázisban. A reprezentációból a Kronecker-modulust a következ módon kapjuk vissza: a vektortér M = X 1 X 2, a jobboldali csoporthatás pedig : M A M, ahol ( (x 1, x 2 ) λ 0 (u 1, u 2 ) µ ) = (x 1 λ + ϕ 1 (x 2 )u 1 + ϕ 1 (x 2 )u 2, x 2 µ).

Felbonthatatlan Kronecker-modulusok A felbonthatatlan Kronecker-modulusok három családba sorolhatók: 1 a preprojektívek, 2 a regulárisok, 3 a preinjektívek. A Kronecker-modulusok kategóriájának jelölése: mod-kk.

Felbonthatatlan Kronecker-modulusok Preinjektív Preprojektív dualitás egységmátrix n-ed rendű Jordan-blokk (0 sajátértékkel) Reguláris és (ha a test algebrailag zárt)

Kronecker-modulusok felbontása Tétel (Krull-Schmidt) Minden in M mod-kk Kronecker-modulus a következ módon bontható fel egyedi módon (izomorzmus erejéig): ahol: M = (P c1 P cn ) ( p P 1 R p (µ (p) )) (I d1 I dm ), k 1 (c 1,...,c n ) véges, nemnegatív egész számokból álló növekv sorozat, 2 µ (p) = (µ 1,..., µ t ) partíció, ahol p P 1 k R p (µ (p) ) = R p (µ 1 ) R p (µ t ), (vagy p k { }) és 3 (d 1,...,d m ) véges, nemnegatív egész számokból álló csökken sorozat. Meghatározás Az el bbi (1), (2), (3) pontoknál felsorolt egész számokat nevezzük az M modulus Kronecker-invariánsainak. Ezek az invariánsok (izomorzmus erejéig) meghatározzák az M Kronecker-modulust.

Hom(X, Y ) Hom(R, P) = Hom(I, P) = Hom(I, R) = 0. P R I P R I

P P I I Kronecker-modulusok Tétel (Szántó Cs.) Legyen P := P d1... P dn és P := P c1... P cm, ahol 0 c 1... c m és 0 d 1... d n. Akkor P P ci 1 <d j (d j + 1) (c i + 1) +... + (c m + 1) minden i {1,...,m}-re. (c 0 = 1 és az üres összeg értéke 0).

P P I I Kronecker-modulusok A következ multiplikatív jelölést használva: P = (a 0 P 0 )... (a n P n )... P = (b 0 P 0 )... (b n P n )... azt kapjuk, hogy P P akkor és csak akkor, ha a 0 + 2a 1 +... + (n + 1)a n b 0 + 2b 1 +... + (n + 1)b n 2a 1 +... + (n + 1)a n 2b 1 +... + (n + 1)b n... (n + 1)a n (n + 1)b n.

I I Kronecker-modulusok Tétel (Szántó Cs., Szöll si I.) Legyenek d 1... d n > 0 és c 1... c m > 0 csökken sorozatok. I d1... I dn di 0 I c1... I cm ci 0 d c és d i +... + d n cj d i c j minden i = {1,...,n}-re (az üres összeg értéke 0).

I I Kronecker-modulusok A következ multiplikatív jelölést használva: I = (a 0 I 0 )... (a n I n )..., I = (b 0 I 0 )... (b n I n )... azt kapjuk, hogy I I akkor és csak akkor, ha a 0 b 0 a 1 b 1 a 1 + 2a 2 b 1 + 2b 2... a 1 + 2a 2 +... + na n b 1 + 2b 2 +... + nb n.

Rövid egzakt sorok [M] - az M mod-kk izomorzmusosztálya. Tétel (Szántó Cs.) Legyenek I i és I j felbonthatatlan preinjektív Kronecker-modulusok. Akkor és csak akkor létezik egy 0 I j I I i 0 rövid egzakt sor, ha { {[Ii I j ]} i j 1 [I ] {[I j I i ],[I j 1 I i+1 ],...,[I j [ j i 2 ] I. i+[ j i 2 ]]} i j < 1 Tétel (Szántó Cs.) Legyenek P i és P j felbonthatatlan preprojektív Kronecker-modulusok. Akkor és csak akkor létezik egy 0 P j P P i 0 rövid egzakt sor, ha { {[Pi P j ]} i j 1 [P] {[P j P i ],[P j+1 P i 1 ],...,[P j+[ i j 2 ] P. i [ i j 2 ]]} i j > 1

Rövid egzakt sorok Tétel (Szántó Cs., Szöll si I.) Legyenek a 1...a p 0, b 1 b n 0 és c 1 c r 0 csökken sorozatok. Akkor és csak akkor létezik egy 0 I b 1 I b n I c 1 I c r I a 1 I a p 0 alakú rövid egzakt sor, ha r = n + p, β : {1,...,n} {1,...,n + p}, α : {1,...,p} {1,...,n + p} szigorúan növekv függvények úgy, hogy Imα Imβ = /0 és m i j 0, 1 i n, 1 j p úgy, hogy l {1,...,n + p}-re teljesül a következ összefüggés: b i β (i)<α(j) m i, j where i = β 1 (l) l Imβ 1 j p c l = a j + β (i)<α(j) m i, j where j = α 1 (l) l Imα. 1 i n

Rövid egzakt sorok Példa 0 I 9 I 6 I 4 I 7 I 5 I 5 I 4 I 4 I 4 I 2 I 1 I 7 I 3 I 2 I 1 I 0 0.

Rövid egzakt sorok Tétel (Szöll si I.) Legyenek a 1...a p 0, b 1 b n 0, c 1 c r 0 csökken sorozatok és B j = {l {0,...,n} l k=1 b k + j k=1 a k l+j k=1 c k} minden 1 j p-re. Akkor és csak akkor létezik egy 0 I b 1 I b n I I a 1 I a p 0 alakú rövid egzakt sor, ha [I ] = [I c 1 I c r ], r = p + n, r i=1 c i = p i=1 a i + n i=1 b i, B j /0, a j c αj és b i c βi minden 1 j p és 1 i n értérke, ahol α j = { minb 1 + 1 j = 1 max{α j 1 + 1,minB j + j} 1 < j p és β i = { min{l {1,...,r} l α j,1 j p} i = 1 min{l {β i 1 + 1,...,r} l α j,1 j p} 1 < i n.

Rövid egzakt sorok Megjegyzés: Lineáris idej algoritmussal eldönthet, hogy egy adott középs tag megfelel-e a tételben szerepl követelményeknek.

Rövid egzakt sorok 9 9 6 6 4 4 7 7 3 3 2 2 1 1 0 0 0 7 10 12 13 13 9 16 19 21 22 22 15 22 25 27 28 28 19 26 29 31 32 32 0 7 5 5 4 4 4 2 1 7 12 17 21 25 29 31 32

Rövid egzakt sorok 7 3 2 1 0 9 6 4 0 7 10 12 13 13 9 16 19 21 22 22 15 22 25 27 28 28 19 26 29 31 32 32 0 7 5 5 4 4 4 2 1 7 12 17 21 25 29 31 32

Rövid egzakt sorok 7 3 2 1 0 9 6 4 0 7 10 12 13 13 9 16 19 21 22 22 15 22 25 27 28 28 19 26 29 31 32 32 7 5 5 4 4 4 2 1 0 7 12 17 21 25 29 31 32

Az algoritmus Algorithm 1: IsPreinjectiveExt(I, I, I ) input output: if : Preinjective Kronecker modules I, I and I, where I = I b 1 I bn, I = I a 1 Iam I = I c 1 Icp and m,n,p > 0. { True if I is a midde term in Ext 1 (I,I ). False otherwise m+n p then return False S a,s b,s c 0; j,i 1; for t 1 to p do S c S c + c t ; if j m and a j c t and S a + S b + a j S c then S a S a + a j ; j j + 1; if else if i n and b i c t and S a + S b + b i S c then S b S b + b i ; i i + 1; else return False; S a + S b S c then return False; else return True;

Az összes középs tag generálása Az összes középs tag (b vítés) generálására backtracking algoritmust használhatunk. A megoldástér az s szám r hosszúságú partícióinak halmaza, vagyis a megoldást c 1 c r 0 alakú sorozatok közt keressük, ahol r = p + n és r k=1 c k = s = p j=1 a j + n i=1 b i. Az el bbi tétel (explicit verzióját) használva kisz rhet k a nem megfelel sorozatok. Legrosszabb eset: generáljuk ki az összes középs tagot a 0 mi 0 I I n 0 rövid egzakt sorban, ahol m n. Ebben az esetben a lehetséges tagok száma P(n) 1 4n 3 eπ 2n 3 (Hardy-Ramanujan-képlet).

Az összes középs tag generálása Példa Izomorzmus erejéig összesen 18 különböz Kronecker-modulus szerepelhet középs tagként egy 0 I 5 I 3 I 3 I 2 I 1 I I 4 I 3 I 1 I 0 0 alakú rövid egzakt sorban: I 5 I 4 I 3 I 3 I 3 I 2 I 1 I 1 I 0, I 5 I 4 I 3 I 3 I 3 I 1 I 1 I 1 I 1, I 5 I 4 I 3 I 3 I 2 I 2 I 2 I 1 I 0, I 5 I 4 I 3 I 3 I 2 I 2 I 1 I 1 I 1, I 5 I 4 I 3 I 2 I 2 I 2 I 2 I 1 I 1, I 4 I 4 I 4 I 3 I 3 I 2 I 1 I 1 I 0, I 4 I 4 I 4 I 3 I 3 I 1 I 1 I 1 I 1, I 4 I 4 I 4 I 3 I 2 I 2 I 2 I 1 I 0, I 4 I 4 I 4 I 3 I 2 I 2 I 1 I 1 I 1, I 4 I 4 I 4 I 2 I 2 I 2 I 2 I 1 I 1, I 4 I 4 I 3 I 3 I 3 I 2 I 2 I 1 I 0, I 4 I 4 I 3 I 3 I 3 I 2 I 1 I 1 I 1, I 4 I 4 I 3 I 3 I 2 I 2 I 2 I 1 I 1, I 4 I 4 I 3 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 1, I 4 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 2 I 1 I 0, I 4 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 1 I 1 I 1, I 4 I 3 I 3 I 3 I 3 I 2 I 2 I 1 I 1, I 4 I 3 I 3 I 3 I 2 I 2 I 2 I 2 I 1.

Az összes középs tag generálása Példa 1 A 0 I 26 I 12 I 10 I 8 I 4 I I 19 I 15 I 8 I 4 I 1 I 1 0 rövid egzakt sorban a lehetséges középs tagok száma 102501 (2 másodperc). 2 A 0 I 20 I 19 I 18 I 10 I 8 I 3 I 2 I 2 I I 16 I 11 I 7 I 6 I 3 I 1 I 1 I 0 0 rövid egzakt sorban a lehetséges középs tagok száma 3322698 (2 perc).

Legáltalánosabb eset Tétel Az a 1,...,a n, c 1,...,c n N, c 1 c n 0, n 2 feltételek mellett [I c1 I cn ] {[I a1 ]} {[I an ]} akkor és csak akkor, ha σ S n permutáció és m i j 0 egészek, 1 j < i n úgy, hogy l {1,...,n} c l = a σ(l) + n i=σ(l)+1 és teljesülnek a következ k: (i) m i j > 0 = σ 1 (i) < σ 1 (j) (ii) a j a i = σ 1 (i) > σ 1 (j). σ(l) 1 mσ(l) i m σ(l) j, j=1

Legáltalánosabb eset (példa) 5 2 6 9 1 2 3

Rövid egzakt sorok ekvivalenciája Tétel (Szöll si I.) Legyenek q > n > 0, d 1 d q 0, c 1 c q n 0 és 0 a 1 a n sorozatok, I = I c 1 I c q n és I = I d 1 I d q. Akkor és csak akkor létezik a 0 P a 1 P a n I I 0 alakú rövid egzakt sor, ha létezik egy 0 I (+d) I (+d) I d (a 1+1) I d (an+1) 0 rövid egzakt sor, ahol a n + 1 d N és I (+d) := I c 1+d I cq n+d, I (+d) := I d 1+d I dq +d.

Rövid egzakt sorok ekvivalenciája Példa 0 I 12 I 9 I 8 I 6 I 6 I 5 I 5 I 5 I 4 I 4 I 3 I 2 I 1 I 0 0 12 9 8 6 6 5 5 5 4 4 3 2 1 0

Rövid egzakt sorok ekvivalenciája Példa Létezik a 0 P 0 P 1 P 2 P 3 I 8 I 5 I 4 I 2 I 2 I 1 I 1 I 1 I 0 I 0 0 rövid egzakt sor, mert felírható a következ : 0 I 12 I 9 I 8 I 6 I 6 I 5 I 5 I 5 I 4 I 4 I 3 I 2 I 1 I 0 0.

Rövid egzakt sorok ekvivalenciája Tétel (Szöll si I.) Legyen k egy algebrailag zárt test, 0 a 1 a n növekv sorozat, P,P és P = P a 1 P a n preprojektív, I,I és I = I an a1 I a n a n 1 I 0 preinjektív, illetve R,R reguláris modulusok mod- kk-ban. Akkor és csak akkor létezik egy 0 P a 1 P a n P R I P R I 0 alakú rövid egzakt sor, ha létezik a 0 P R I (+d) P R R I (+d) I an a1 I a n a n 1 I 0 0, rövid egzakt sor, ahol a n + 1 d N és R mod- kk úgy, hogy Hom(R,R ) = 0 és dimr = (( I I + n)d,( I I + n)d). Egy dimm = (a,b) dimenziójú M mod-kk Kronecker-modulus defektusa M = b a.

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Lineáris mátrixnyalábok Meghatározás Egy A + λ B M m,n (k[λ]) alakú mátrixot lineáris mátrixnyalábnak nevezünk (vagy csak egyszer en mátrixnyalábnak). Meghatározás Két A + λ B, A + λ B M m,n (k[λ]) mátrixnyaláb szigorúan ekvivalens, ha léteznek a konstans, nemszinguláris P M m (k) és Q M n (k) mátrixok úgy, hogy A + λ B = P(A + λ B)Q. A szigorú ekvivalenciát A + λ B A + λ B jelöli.

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Résznyalábok Meghatározás Egy A + λ B mátrixnyaláb akkor és csak akkor résznyalábja A + λ B-nek ha léteznek a A 12 + λ B 12, A 21 + λ B 21, A 22 + λ B 22 nyalábok úgy, hogy ( A A + λ B + λ B ) A 12 + λ B 12. A 21 + λ B 21 A 22 + λ B 22 Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a kisebbik mátrixnyaláb kiegészíthet a nagyobbikban. Sorkiegészítésr l beszélünk, ha az A 12, B 12, A 22, B 22 mátrixokat elhagyjuk, és oszlopkiegészítésr l, ha az A 21, B 21, A 22, B 22 mátrixokat hagyjuk el.

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Nyitott kérdés Nyitott kérdés Ha A + λ B, A + λ B mátrixnyalábok C felett, adjuk meg a klasszikus Kronecker-invariánsok függvényében a szükséges és elégséges numerikus feltételrendszerét annak, hogy az A + λ B résznyalábja legyen A + λ B-nek. Szerkesszük meg az A 12 + λ B 12, A 21 + λ B 21, A 22 + λ B 22 kiegészítéseket is.

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben kanonikus alakja Minden mátrixnyaláb szigorúan ekvivalens egy kanonikus blokkdiagonális alakkal, amit a következ klasszikus Kronecker-invariánsokkal jellemezhetünk: 1 sor-minimális indexek 2 oszlop-minimális indexek 3 véges és végtelen elemi osztók

Kronecker-modulusok A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Mátrixnyaláb Kronecker-modulus Mátrixnyaláb Mátrixpár A Kronecker-tegez reprezentációja A + λ B M m,n (k[λ]) A, B M m,n (k) k m k n A B

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben mint Kronecker-modulusok Sor-minimális indexek Oszlop-minimális indexek Véges és végtelen elemi osztók Felírható a mátrixnyaláb a kanonikus alakban Klasszikus Kroneckerinvariánsok Kroneckerinvariánsok A (c 1,...,c n ) növekv sorozat A (d 1,...,d n ) csökken sorozat A µ (p), p k és λ nemnulla partíciók Meghatározzák a Kronecker-modulust (izomorzmus erejéig) A modulus típusa preprojektív preinjektív reguláris

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Egy mátrixnyaláb kanonikus alakban: A + λ B = A megfelel Kronecker-modulus: 0 0 λ 1 λ 1 0 0 λ 1 λ 0 1 λ 0 1 1 λ 0 0 1 λ 0 0 1 λ 1 0 λ λ+2 1 0 λ+2 (P 0 P 0 P 2 ) (R 0 (2) R 2 (2) R (3)) (I 2 I 1 I 0 )

Kronecker-modulusok A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben mint Kronecker-modulusok Kronecker-modulusok A + λ B M m,n (k[λ]) M A,B : k m A B k n. A + λ B A + λ B M A,B = MA,B A + λ B résznyalábja A + λ B-nek M A,B részfaktora M A,B-nek Meghatározás M A,B részfaktora M A,B-nek, ha létezik egy N modulus úgy, hogy M A,B N M A,B vagy (ekvivalens módon) ha létezik L úgy, hogy M A,B L M A,B.

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben A résznyaláb-probléma moduláris megközelítése Ötlet: Tanulmányozzuk a Kronecker-modulusok közt felírható rövid egzakt sorokat Jellemezzük a lehetséges középs tagokat explicit numerikus feltételekkel Szerkesszük meg az összeköt modulust (egy olyan L modulust, amire teljesül: M A,B L M A,B)

I I I Kronecker-modulusok A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Tétel (Szántó Cs., Szöll si I.) Legyenek I = a n I n a 0 I 0 és I = c n I n c 0 I 0 (n 1 1) preinjektív Kronecker-modulusok. I akkor és csak akkor részfaktora I -nek (vagyis L úgy, hogy I L I ) ha b 1 1 2 ( n ) n (i + 1)c i (i + 1)b i i=1 i=2 és b 0 a 0, ahol n i=0 (i + 1)c i n i=1 (i + 1)b i k = 0 n i=1 ia i n i=2 ib i k = 1 b k = ( ) n. i =k min ia i n i =k+1 ib i, n i =k (i+1)c i n i =k+1 (i+1)b i k k+1 2 k < n min(a n,c n ) k = n

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa A + λ B = λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 λ 1 M 10,14 (C[λ]) M A,B = I 3 I 3 I 3 I 1

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa A + λ B = 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ 1 λ 1 0 0 λ 1 λ 1 M 8,12(C[λ]). M A,B = I 5 I 2 I 1 I 0

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa L 1 + λ L 2 = 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 λ 1 0 0 λ 1 λ 1 0 0 λ 1 λ 1 M 8,14(C[λ]). L = I 3 I 2 I 2 I 1 I 0 I 0

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa D 2 (A + λ B)C = 0 λ 1 0 0 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 0 0 λ 1 0 0 1 0 0 0 0 λ 1 0 0 λ 0 0 0 0 λ 1 0 0 λ 1 0 0 0 0 λ 1 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 λ 0 0 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ( A = + λ B ) A 12 + λ B 12 A 21 + λ B 21 A 22 + λ B 22 =

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa A 12 + λ B 12 = 0 0 0 0 1 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 0 0, A 21 + λ B 21 = ( ) 0 0 0 0 1 0 λ 0 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 A 22 + λ B 22 = ( 0 0 0 0 )

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa D 2 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Példa Példa C = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Ellenpélda...

A résznyaláb-probléma teljes megoldása egy sajátos esetben Alkalmazások A résznyaláb-problémának mérnöki alkalmazásai vannak: Kontrollelméletben (lineáris dinamikai rendszerek) Fizikában (áramkörök tervezése, bizonyos folyamatok modellezése, stb.) Az A λ I sajátérték-probléma általánosítása