. Elektosztatika Elektomos alapjelenségek: Bizonyos testek (boostyánkő, üveg, ebonit) megdözsölve apó tágyakat magukhoz vonzanak. tapasztalat szeint két, bőel megdözsölt apó üvegdaab között taszítás, egy bőel dözsölt üveg és egy gyapjúval dözsölt boostyánkő között vonzás lép fel. z elektomos állapot éintéssel átvihető egyik testől a másika. Ha a megdözsölt üvegudat hozzáéintjük szigetelőtalpon álló fémpohához, akko a fémpohá élén a piciny alufólia, mint egy elektoszkóp elektomos állapotot jelez, a taszító hatás miatt szétáll. megdözsölt üvegudat a fémpohához éintve az elektomos állapot átadódik Ha két összeillesztett fémtesthez megdözsölt üvegudat közelítünk a pozitív elektomos állapotú úd hatásáa mindkét fémtest elektomos állapotba keül. z üvegúd jelenlétében szétválasztva őket, majd az üvegudat eltávolítva az elektomos állapot megmaad. z elektomos influencia, vagy megosztás jelensége fenti alapjelenségekből aa a következtetése juthatunk, kétféle elektomos állapot van. Önkényesen a bőel megdözsölt apó üvegdaabot pozitív elektomos állapotúnak nevezzük. megdözsölt testek köül úgynevezett elektomos mező jön léte. Elektomos töltésnek nevezzük azt a mennyiséget, amely megmutatja, hogy a test milyen métékben vesz észt az elektomos kölcsönhatásban. z elektomos töltés jele Q. melyik teste ugyanabban a mezőben k-szoos eő hat, annak töltése is k-szoos. töltés előjeles mennyiség. tapasztalat szeint az egynemű töltések taszítják egymást, különnemű töltések vonzzák egymást. töltés éintéssel átvihető az egyik testől a másika. semleges testen is van töltés de a és töltések egyfoma mennyiségben vannak jelen. z elektomos töltés megosztható, a jelenség neve influencia. Ehhez az szükséges, hogy a töltéshodozók a testben makoszkopikusan elmozdulhassanak. z olyan testeket, amelyekben a töltések ee képesek, elektomos vezetőknek hívjuk. Szigetelők esetén a töltések elmozdulása csak mikoszkopikus méetű, a molekula méetével azonos nagyságendű, 9 0 0 0 m lehet. z ezzel kapcsolatos jelenséget polaizációnak nevezzük. Tapasztalataink szeint az elektomos töltés megmaadó mennyiség, nem keletkezhet, és nem tűnhet el. Coulomb tövény: Coulomb méései (785) szeint két nyugvó pontszeű elektomos töltés között fellépő eő nagysága aányos a töltésekkel és fodítottan aányos a pontok távolságának négyzetével. F = k qq
k > 0 pozitív állandót Coulomb állandónak nevezzük, étéke a töltésegység megválasztásától függ. Coulomb annak a pontszeű testnek a töltése, amely egy 9 ugyanakkoa töltésű, tőle vákuumban m-e levő pontot 90N eővel taszít. Ekko k 9 étéke: k = 90 Nm. Coulomb állandó felíható a vákuum pemittivitásával ( ε 0 ) C kifejezve: k = 4πε 0 Ekko temészetesen ε = 0 4π k. Mivel az ineciaendszeben nyugvó ponttöltés mezője konzevatív, a szupepozíció elve ételmében bámilyen, az ineciaendszeben nyugvó töltéselendezés is konzevatív elektomos mezőt kelt, ezt elektosztatikus mezőnek nevezzük. z elektomos mező jellemzése, téeősség: z elektomos mező pontól ponta töténő jellemzéséhez póbatöltéseket (pontszeű töltött testeket) használunk. póbatöltése ható eő a tapasztalat szeint aányos a töltésével, a két mennyiség hányadosa má független a póbatöltés töltésétől, kizáólag a mezőt jellemzi a pontszeű töltés helyén. Ezt nevezzük elektomos téeősség vektonak, jele E. Magyaul az elektomos téeősség megadja a kédéses pontba helyezett pozitív egységnyi töltése ható eőt, iány és nagyság szeint. té jellemző iánya a pozitív töltése ható eő iányával egyezik meg. F( P) E( P) = q N V téeősség métékegysége: [ E] = = C m Ha két vagy több töltés létesíti a mezőt, akko a téeősség az egyes töltések által külön-külön létesített mezőkhöz tatozó téeősségek vektoi összege. Ez a szupepozíció vagy független hatás elve, Newton negyedik tövényéből: F = F F, azaz qe = qe qe, így E = E E feszültség és az elektosztatikus mező első alaptövénye: z elektosztatikus mezőben a két pont között a q póbatöltésen az elektomos mező által végzett munka: B B B W = Fd = qed = q Ed. B Definíció szeint a két pont közötti feszültség: B W = = B UB Ed q Homogén tében a téeősség-vektoal páhuzamos d nagyságú elmozdulás esetén: U=Ed z elektomos (más elnevezésben: villamos) feszültség független a póbatöltéstől, csak a mezőe és a benne felvett két ponta jellemző. z elektomos feszültség számétéke megmutatja, hogy az elektomos mező az egységnyi pozitív töltésen mennyi munkát végez, miközben az egyik pontból a másikba szállítja. Így a feszültség egysége V=J/C. Ismeetes, hogy konzevatív mezőben, ha kijelölünk egy kitüntetett kezdőpontot, bámely másik (pl. B) pont jellemezhető azzal, hogy mekkoa munkát végez az eő, ha a B-ből az -ba megy a test. Ezt a munkát úgy hívjuk, hogy a test potenciális (vagy helyzeti) enegiája a B pontban. z elektosztatikus mező konzevatív, azaz ha a q töltés elmozdul az pontból a B- be, a mező által végzett munka éppen a kezdő és végpontbeli potenciális enegia különbségével egyenlő.
B = W = ( ) ( ) B, Fd Ep Ep B z egységnyi töltése jutó potenciális enegiát az elektomos mezőben potenciálnak nevezzük. U = E p q, z elektosztatikus mezőben a feszültség egyben a potenciálkülönbség is. z elektosztatikus potenciál egy állandó eejéig hatáozatlan. Megállapodás szeint a potenciált sokszo a végtelenben vesszük zéusnak: U =. Ekko: ( ) 0 ( ) = U P Ed Vagyis egy tetszőleges pont potenciálja megmutatja, hogy mennyi munkát végez az elektosztatikus mező, amíg az egységnyi pozitív töltést a té P pontjából a végtelenbe szállítja. pozitív töltéseke az alacsonyabb feszültségű hely, a negatív töltéseke a magasabb feszültségű hely felé iányuló elektomos eő hat. Mivel az elektosztatikus mező konzevatív, benne bámely zát göbén végzett munka nulla, azaz bámely zát vonal mentén a feszültségesések összege zéus. E d = U U = 0 g z elektosztatikus mező I. alaptövénye tehát: E d = 0, vagyis ha egy zát göbén végigmegy a póbatöltés, a mező összesen nulla munkát végez. Ennek a tövénynek a diffeenciális (lokális) alakja: ote = 0. F Qq Ponttöltés elektomos mezője és potenciálja: Felhasználjuk, hogy E = és F = k e q Ezekből a ponttöltés okozta elektomos téeősség nagysága: E = k Q ponttöltés potenciálja attól távolsága: kq U() = Ed = kq d = kq = Kapacitás, kondenzátook: Ha egy vezetőben elektomos té van jelen, az a szabad töltéshodozókat endezett mozgása készteti, elektomos áam jön léte. Sztatikai állapot akko állhat be, ha a vezetőben nincs elektomos mező és a téeősség nulla, egyébként a szabad elektonok endezetten mozognának. vezetőben sztatikus állapotban E = 0. Ezt azt is jelenti, hogy sztatikus esetben a vezető bámely két pontja között a potenciálkülönbség nulla, az egész vezető ugyanazon a potenciálon van, idegen szóval ekvipotenciális tatomány. Kédés, hogyan függ egy magányos vezető potenciálja a á felhodott töltéstől? szupepozíció elve miatt, ha a vezető töltését megkétszeezzük, akko a té minden pontjában az E elektomos téeősség is a kétszeesée nő. Ennek megfelelően a vezető potenciálja is a duplájáa nő. Tehát a vezető potenciálja egyenesen aányos a vezetőe vitt töltéssel, így a hányadosuk állandó. Ezt a hányadost C-vel jelöljük és a vezető kapacitásának nevezzük. Definíció: P g 3
Q C = U kapacitás métékegysége a Faad: F=C/V. Számoljuk ki egy magányos sugaú vezető gömb kapacitását (a végtelen távoli pontokat választva nulla potenciálúnak). Tekintve, hogy egy töltött gömb potenciálja megegyezik a Q ponttöltés potenciáljával: U( ) = k, így a kapacitása: Q Q C = = = = 4πε 0 U Q k k Ha felhasználjuk a Coulomb állandó étékét, akko beláthatjuk, hogy a hétköznapi méetű testek vákuumbeli kapacitása igen kicsi: kapacitás megnövelésének egyik lehetséges módja az, hogy a feltöltött vezető közelébe egy másik földelt vezetőt helyezünk. Ilyenko a potenciál lecsökken, a kapacitás pedig nő. kondenzáto két vezető test (az amatúák vagy fegyvezetek) amelyek dielektikummal vannak elszigetelve egymástól. pozitív fegyvezetől induló indukcióvonalak a negatív fegyvezeten végződnek, a két fegyvezet töltése ellentetten egyenlő. z elendezés kapacitása a pozitív fegyvezet töltésének és a két fegyvezet közötti potenciálkülönbségnek a hányadosa: Elektomos dipólus: z elektomos dipólus egy pozitív ponttöltésből Q és egy ugyanolyan nagyságú negatív ponttöltésből (-Q) áll melyek távolsága l. Ha l kicsiny a feladatban előfoduló egyéb távolságokhoz képest, akko pontszeű dipólusól beszélünk. dipólusnyomaték, vagy dipólusmomentum definíciója: p = Ql Gyakan töltések bonyolultabb endszee, (pl. molekulák) is dipólussal helyettesíthető. Hatáozzuk meg a pontszeű dipólusa ható fogatónyomatékot homogén külső elektomos mezőben: F = QE C F = -Q QE Dipólusa ható fogatónyomaték külső elektomos mezőben negatív és a pozitív töltése ható eők: F = Q E és F = QE, ezzel a C ponta a fogatónyomaték: l l M C = ( QE) QE = Ql E = p E, Ez a fogatónyomaték akko szűnik meg, ha p E vagyis a dipólus befodult a té iányába, vagy pedig azzal pont ellentétesen áll. Ha p és E egyiányú, akko M C = 0, és az egyensúlyi helyzet stabil, vagyis kitéítve a dipólust ebből a helyzetből a létejövő nyomaték igyekszik visszafogatni abba. Ha p és E pont ellentétes iányú, akko bá a nyomaték nulla, de az egyensúlyi helyzet instabil. Ilyen esetben, ha a dipólust kitéítjük, akko a létejövő nyomaték a stabil egyensúlyi helyzet felé póbálja fogatni. fogatónyomatéka kapott összefüggés kis közelítéssel inhomogén tében is évényes. zonban, ha a té nem homogén, a dipólusa nem csak fogatónyomaték, hanem zéustól különböző eedő eő is hat. Legyen a negatív töltés helyén a téeősség E, a pozitív töltés l Q 4
helyén E ΔE. Ekko az eedő eő Fe = QE Q( EΔ E) = QΔE, vagyis F e az inhomogenitás métékétől függ, a té változási gyosaságával (pontosabban a gadiensével) egyenesen aányos. Elektomos polaizáció: Szokás bevezetni a tömegközéppont analógiájáa a töltésközéppontot. Q i i tkp = Q Pl. egy molekulán belül külön ételmezhetjük a pozitív és negatív töltések töltésközéppontját. zokat a molekulákat, amikben a pozitív és negatív töltések töltésközéppontja egybeesik, apoláis molekuláknak nevezzük, ilyenek például a H, O molekulák. Ha a töltésközéppontok nem esnek egybe, akko poláis molekulákól beszélhetünk: HCl, CO, H O..., ezeket kicsiny dipólusokként modellezhetjük. z alkalmazott elektomos mező hatásáa a szigetelő anyag polaizálódik. Indukált polaizáció esetén az alkalmazott elektomos mező, az egybeeső töltésközéppontokat széthúzza így a molekula dipólussá válik, illetve ha a molekulának má eleve volt valamekkoa dipólnyomatéka, akko az megnő. z E elektomos téeősség a töltést a té iányában, míg a töltést azzal ellentétesen mozdítja el. jelenség tehát poláos és apoláos molekulák esetén egyaánt fellép. Ionácsok esetében az elektomos mező az ellentétes töltésű ionoka ellentétes iányú eővel hat, ez is növeli a polaizációt. polaizáció másik típusa a endeződési (vagy oientációs) polaizáció. Ez a jelenség csak poláos molekulájú anyagokban fodulhat elő. z elektomos mező a dipólus molekulákat a saját iányába fogatja be, annál inkább minél eősebb a té és minél alacsonyabb a hőméséklet. Ez tehát eőteljesen hőmésékletfüggő, szemben az indukált polaizációval. z elektomos polaizációvekto: Vákuumban az elektomos mező leíásáa egyetlen vekto, az E téeősség-vekto elegendő. Kémiai anyagban azonban egy további vekto bevezetése szükséges, amely az anyag polaizáltságának métékét adja meg. Tekintsünk egy szigetelőanyagot vagy dielektikumot, egy tetszőleges pontja legyen. Jelölje az pont köüli kicsiny téfogatelemet Δ V, és legyen Δ p a Δ V téfogatban foglalt molekulák dipólus nyomatékának eedője, akko i Δ p ΔV z anyag elektomos polaizálódása Ekko az pont köüli kicsiny téfogat átlagos polaizáltságát a polaizációvektoal jellemezhetjük: Δ p P( ) = lim ΔV 0 Δ V. polaizációvekto métékegysége a C/m. tapasztalat szeint az anyagok nagy észée jó közelítéssel az alábbi lineáis anyagegyenlet igaz: P= χ ε E, 0 5
vagyis minél eősebb az elektomos mező, annál eősebben polaizálódik az anyag. χ dimenziótlan aányossági tényezőt dielektomos szuszceptibilitásnak nevezzük. Ennek étéke vákuum esetén nulla, szigetelőanyagban pedig pozitív χ > 0. Ha a téeősség nagy, akko a szigetelő vezetővé válhat, ezt a téeősséget átütési sziládságnak nevezzük, ilyenko a fenti egyenlet évényessége megszűnik, az összefüggés tehát nem lehet minden köülmények között jó. Másészt ismeünk olyan anizotop kistályokat, melyekben a téeősség vekto nem páhuzamos a polaizációvektoal, a fenti egyenlet temészetesen ekko sem igaz. Elektomos indukcióvekto, és az elektosztatika második alaptövénye: Célszeű bevezetni az elektomos indukcióvektot a téeősség vekto és a polaizációvekto segítségével. Ennek a lineáis kombinációnak a bevezetését az indokolja, hogy vele egyszeű alaptövény íható fel. Legyen D = ε0e P, métékegysége pedig a C/m. Ha felhasználjuk az első közelítést, akko D = ε0e χ ε = 0E ε0( χ ) E D = ε ε E = ε E, 0 ahol ε = χ a elatív pemittivitás, amely megadja, hányszo nagyobb az illető szigetelő vagy dielektikum pemittivitása a vákuuménál, ε = ε0 ε pedig az abszolút pemittivitás. z elektomos mező szemléltetésée az indukcióvonalakat használhatjuk. Ezek olyan iányított göbék, amelyeknek az éintő egységvektoa egyiányú az éintési pontbeli elektomos indukcióval. z elektomos fluxus mindig iányított felülete vonatkozik, és számétéke megadja a felületet átdöfő indukcióvonalak előjeles számát. mennyiben az indukcióvonal a felületelem vektoal megegyező iányban döfi a felületet, akko az jáulékot ad, ha ellenkező iányban, akko a jáuléka. Δs Δ peemgöbe és a felületi nomális iányítása, a felületet döfő indukcióvonalak Tekintsünk Δ felületet, és számítsuk ki a felülete az elektomos indukció-fluxust. felületvekto Δ, zájon be α szöget az indukcióvektoal. Ha Δ elegendően kicsiny, Δ D α Δ = nδ Indukció-fluxus a Δcosα Δ felülete akko az indukció má homogénnek tekinthető, és az elemi kicsiny indukció-fluxus: ΔΨ = D Δ cosα = D Δ 6
Egy tetszőleges felülete pedig integálással kaphatjuk meg a fluxust: Ψ = Dd. Felhasználva, hogy a indukció métékegysége C/m, az indukció-fluxus métékegysége C (ugyanaz a Coulomb, mint a töltésé). Kédés, hogy milyen kapcsolat van a mezőt keltő töltés és a kialakult mező indukcióvektoa között. Ennek megválaszolásáa tekintsünk egy vákuumban elhelyezett ponttöltést, és számoljuk ki a fluxusát egy zát felülete, amely legyen egy sugaú koncentikus gömb. Δ D Q Q ponttöltést köülvevő zát felület koncentikus gömb Mivel a ponttöltés által keltett téeősség ismet: Q E = e 4πε 0 az elektomos indukciót egyszeűen kapjuk a téeősségből: D = ε0e, ezzel Q D = 4π e. Így a zát felülete a fluxus egyenlő a felületen belüli töltéssel: 0 Q Q Q Ψ = Dd= d= = 4 4 4 d π =Q π π 4 π számolást az a tény egyszeűsítette le, hogy az indukcióvekto nagysága mindenütt ugyanakkoa, mivel csak a töltéstől mét távolságtól függ, az pedig a gömbfelületen állandó. z eedmény viszont akko is változatlanul évényes, ha a Q töltést köülölelő zát felület nem egy koncentikus gömb, hiszen bámely a Q töltést magába foglaló zát felülete a fluxus ugyanennyi, mivel a Q-ból kiinduló összes indukcióvonal átdöfi a Q-t magába foglaló zát felületet. Ezt mutatják a következő ábák. D D Q Q Q ponttöltést köülvevő zát felület Ha a felület nem foglalja magába a Q töltést, akko a fluxus nulla. hol az indukcióvonal bemegy ott a jáulék, ahol kijön ott. 7
D Q Ha a zát felület nem foglalja magába a Q töltést, akko a fluxus nulla Tapasztalat szeint tetszőleges töltéselendezés estén és kémiai anyag jelenlétében is igaz, hogy zát ögzített felülete az elektomos fluxus egyenlő a felületben foglalt összes töltéssel. Dd = Q fenti egyenlet az elektosztatika II. alaptövénye, gyakan Gauss tövénynek nevezik. Q a V téfogatban foglalt töltések algebai összegét jelenti, pedig a V téfogat bukoló felülete. z elektomos indukcióvonalak foásai a pozitív töltések, nyelői pedig a negatív töltések, más szóval az indukcióvonalak a pozitív töltésen eednek és a negatív töltésen végződnek. Gauss tövény diffeenciális (lokális) alakja: div D = ρ. Hatáfeltételek (peemfeltételek) az elektosztatikában: Tekintsük két különböző közeg hatáfelületét. z elektosztatika első alaptövényének felhasználásával E d = 0, be lehet bizonyítani, hogy az elektomos téeősség éintő iányú összetevője a hatáfelületen folytonosan megy át: E = E t. t E t a téeősség tangenciális komponense a hatáon, de még a -es közegben, E t pedig a téeősség tangenciális komponense a hatáon, de az -es közegben. z elektosztatika második alaptövényének segítségével, Dd = Q, az elektomos indukcióvekto nomális komponensée lehet feltételt levezetni. Ilyenko Dn Dn = σ. z elektomos indukcióvekto nomális komponense két közeg hatáán ugást szenved, és az ugás météke éppen a felületi töltéssűűség, melynek definíciója: ΔQ σ =. Δ D n az indukcióvekto nomális komponense a hatáon, de a -es közegben, D n pedig az indukcióvekto nomális komponense a hatáon, de az -es közegben Vezetők az elektosztatikus mezőben: Mint má említettük, a vezetőben sztatikus állapotban E = 0, a vezető ekvipotenciális tatomány. Ez az állítás akko is igaz, ha a vezető belsejében üegek vannak., feltéve, hogy az üeg belsejében nincsenek elszigetelt töltések. zt a tényt, hogy zát fémbukolattal (vagy sűű szövésű fémhálóval úgynevezett Faaday-kalitkával) köülvett téészbe az elektomos eőté nem hatolhat be, felhasználják aa, hogy ézékeny elektomos beendezéseket a külső, zavaó elektomos hatásoktól, pl. villámcsapástól megvédjenek. z eljáás neve elektosztatikai ányékolás. Ha E = 0, akko téeősség tangenciális komponense is nulla. Mivel E tangenciális összetevője nem ugik két közeg hatáfelületén, a vezetőt hatáoló szigetelőanyagban a felület g 8
mentén az elektomos téeősségnek tangenciális összetevője nincs, vagyis a vezető köül a szigetelőben a téeősség mindenütt meőleges a vezető felületée. E E = 0 vezető szigetelő Elektomos téeősség a vezetőben, és a könyező szigetelőben, sztatikus állapotban Tekintve, hogy a vezetőben a téeősség nulla E = 0, így az elektomos indukció is nulla D = 0. Ebből az is következik, hogy a vezető belsejében, sztatikus esetben téfogati többlettöltés nem lehet ρ = 0. Ez az állítás az elektosztatika második alaptövényéből következik. vezetőe vitt töltés a vezető külső felületée húzódik. hatáfeltételi egyenlet szeint Dn Dn = σ, de a vezetőben az indukció nulla D n = 0, így = σ. Dn Ez a kifejezés azt jelenti, hogy a vezető mentén, de má a szigetelőben az elektomos indukció étéke éppen a vezető felületi töltéssűűségével egyezik meg. Síkkondenzáto kapacitása:. Jelölje d a síkkondenzáto fegyvezetei között lévő távolságot. Legyen d jóval kisebb, mint a lemezek bámely lineáis méete. σ σ ε0ε d síkkondenzáto σ két fegyvezet között az elektomos indukció D = σ, ebből E =. potenciálkülönbség a fegyvezetek között U = d, a síkkondenzáto kapacitása tehát: ε 0ε σ ε 0ε Q σ C = = = ε 0ε U σ d d εε z elektosztatikus mező enegiája: Tekintsünk egy kondenzátot, melynek kapacitása C. Töltsük fel 0-ól Q-a. Egy közbülső állapotban jelölje a pillanatnyi állapot töltését q és a fegyvezetek közötti feszültséget u. Egy kicsiny Δ q töltést szállítsunk át az egyik lemezől a másika. Mivel az egységnyi töltésen végzett munka a feszültség, így a végzett munka 0 9
q Δ W = uδ q. Mivel C =, így a végzett munka miközben a kicsiny Δ q töltést átszállítjuk: u q Δ W = Δ q. z összes végzett munka a kondenzáto teljes feltöltése soán: C Q Q W = qdq= C C 0 így a kondenzáto enegiája: Q W = C kapacitás definíciójának felhasználásával ez átíható más alakokba is: W = QU = CU Tekintsünk egy síkkondenzátot, a kondenzáto belsejében a szélektől eltekintve a mező homogénnek tekinthető. W = QU = σ Ed = DE d = DE V, Q U mivel σ = illetve V = d, és E =. z elektomos mező enegiasűűsége megmutatja, d mennyi enegia van egységnyi téfogatban: w = W, a métékegység nyilván J/m 3. fenti V levezetés szeint az elektomos mező enegiasűűsége: w= DE Ez a kifejezés nem csak sztatikus esetben igaz. Ha a té egy tetszőleges pontjában az elektomos téeősség E és az indukcióvekto D, akko a pont köül felvett kicsiny Δ V téfogatban Δ W = D EΔV elektomágneses enegia található. Egy véges V téfogatban pedig W = wdv = DEdV. V V 0
Tekintsünk két feltöltött vezetőt. Legyen. z elektomos áam U > U. Ha a két feltöltött fémtestet vezetővel összekötjük, akko a magasabb potenciálú test (pozitív) töltést veszít, a másik pedig töltést vesz fel. töltésáamlás addig tat, ameddig az egyesített vezető test potenciálja ki nem egyenlítődik. folyamatban a potenciál (intenzív mennyiség) kiegyenlítődése következik be töltés áamlás (extenzív mennyiség) évén. potenciálkülönbség a töltések mozgását észben endezetté teszi, s a endezetlen mozgása egy endezett mozgás szupeponálódik. z elektomos áamlás a töltéshodozók endezett mozgását jelenti. z elektomos áamlás létejöttének feltétele az, hogy legyenek szabad töltéshodozók, és (ha a közeg ellenállása nem nulla), hogy legyen jelen elektomos mező. Megállapodás szeint az elektomos áamlás iánya a pozitív töltéshodozók (valóságos vagy elképzelt) áamlásának iányával egyezik meg. Elektomos áameősség és áamsűűség: vizsgált felület teljes keesztmetszetén időegység (másodpec) alatt átáamló (nettó) töltésmennyiséget áameősségnek nevezzük. Jele I, métékegysége az mpe (Coulomb/sec). Ennek megfelelően a töltés métékegységének időnként az ampeóát vagy ampemásodpecet használják. z elektomos áam (hagyományos ételemben vett) iánya a negatív töltések áamlási sebességével ellentétes, a pozitív töltések elképzelt áamlásának iányával megegyező. t, t időközben az felületen átáamló töltést úgy kaphatjuk meg, hogy az áameősséget idő szeint integáljuk: t Q= Idt t Kédés: hány elekton áamlik át a vezető keesztmetszetén másodpecenként, ha az áameősség? z elekton töltése (az ún. elemi töltés) e=-,6 0-9 C Válasz: töltés Q=IΔt=C, az elektonok daabszáma N=Q/e=6,5 0 8 Egy szokványos háztatási gépben az áameősség néhány tized vagy néhány ampe. z embei testen átfolyó fél ampees áam má valószínűleg halált okoz. villámokban sok eze, vagy aká több mint százeze ampees áam is folyhat. z elektomos áamsűűség abszolút étéke megmutatja, hogy az áamlási iánya meőleges egységnyi keesztmetszeten mennyi töltés áamlik át. Iánya megegyezik a pozitív töltéshodozók áamlási iányával, nagyságát hatáétékképzéssel számolhatjuk ki: I j = lim 0, ahol I az felületen átfolyó áam. Métékegysége az /m = C/sm. z elektomos áamsűűség iányított felülete vonatkozó lokális vektomennyiség. Megmutatja, hogy az illető pontban egységnyi felületen időegység alatt mennyi töltés áamlik át. Ha elektonok áamlanak a felületi nomális iányában, akko az áamsűűség-vekto a nomálissal ellentétes iányba mutat. J z áamsűűség vekto és a felület nomálvektoa n
z felületen átfolyó áameősség tehát: I = jd Áamfoások: Ha a töltéseke egyedül az elektomos mező hat, akko a kezdeti potenciálkülönbségek hama kiegyenlítődnek és az áamlás véget é. töltésáamlás fenntatásához szükség van olyan idegen (nem elektomos) eőe, amely a pozitív töltéshodozókat visszakényszeíti az eedetileg magasabb potenciálú helye, és ezzel megteemti a folyamatos töltésáamlás lehetőségét. z olyan beendezéseket, amelyekben ilyen idegen eők működnek, áamfoásoknak nevezzük. feszültségfoások, vagy áamfoások elektomos enegiává alakítanak át valamilyen más enegiát, pl. a) mechanikai enegiát (elektomos geneátook, dinamók) b) kémiai enegiát (galvánelemek, akkumulátook) c) hőenegiát (temoelemek) d) fényenegiát (fotocella, fényelem) Jelölje a q töltése ható idegen eőt F, akko az idegen téeősség: F E = q z elektomotoos eő definíciója pedig: * = E Ed z integálást az áamfoás belsejében a negatív pólustól a pozitív pólusig kell elvégezni., fogyasztónak nevezzük. z olyan vezetőt, amelyben nincs idegen eő ( E = 0) fogyasztóban az áam a magasabb potenciálú ponttól az alacsonyabb potenciálú pont felé folyik. z áamfoásban pedig a pólustól a pólus felé folyik az áam. I Cu Zn CuSO 4 ZnSO 4 z elektomos áam iánya az áamfoáson belül és kívül Ohm tövény, integális alak: tapasztalat szeint egy homogén vezetőben folyó áam eőssége (állandó hőmésékleten) aányos a vezető két saka közötti feszültséggel. Hányadosukat a vezető két vége közötti ellenállásnak nevezzük, és -el jelöljük: = U I diffeenciális Ohm-tövény: Vezessük be a fajlagos vezetőképességet, és jelöljük γ-val. diffeenciális Ohm-tövénynek vagy Ohm féle anyagi egyenlet: j = γ E Ha bevezetjük a fajlagos ellenállást úgy, mint a fajlagos vezetőképesség ecipoka:
ρ =, γ akko a diffeenciális Ohm-tövény: ρ j = E z Ohm-tövény nem egy szigoú aányosság jése között, mivel a γ nem független j -től. Például fémekben, ha nő a j áamsűűség, akko a hőméséklet is növekszik és γ lecsökken. Megjegyzés: Bizonyos anyagok vezetőképessége egy meghatáozott hőmésékleten végtelenné válik, a jelenséget szupavezetésnek nevezzük. Ólom esetén ez a hőméséklet 7K, és ilyenko a fajlagos ellenállás eltűnik ρ = = 0. γ z Ohm-tövényt felhasználva számítsuk ki egy vékony, állandó keesztmetszetű vezető ellenállását. Vékony vonalas vezető esetén a vezető keesztmetszetét jellemző méet elhanyagolható a vezető hosszához képest. vezető hossza legyen l, keesztmetszete, fajlagos ellenállása pedig ρ. vezető két saka között a feszültség: U = El, a ajta átfolyó áam: I = jd = j U El ρ jl l Így a vezető ellenállása = = = = ρ, azaz I j j l = ρ Stacionáius áam, Kichhoff tövényei: Stacionáius elektomos áamlási téől beszélünk akko, ha az összes fizikai mennyiség időben állandó (csak a helytől függenek), és a töltések időben állandósult módon áamlanak (de a sztatikus esettel ellentétben itt má mozoghatnak). Ebben az esetben az áamsűűség minden pontban állandó, vagyis az áameősség bámelyik keesztmetszeten független az időtől. Ekko az áamot stacionáius áamnak vagy egyenáamnak nevezzük. Hangsúlyozzuk, hogy ez nem jelenti azt, hogy az egyes töltéshodozók (elektonok) sebessége állandó! Mint mindenhol, itt is igaz a töltésmegmaadás tövénye. Mivel az elektomos töltés éppúgy megmaadó mennyiség, mint a tömeg, ezét a töltésmegmaadás tövényét fomailag ugyanolyan (kontinuitási) egyenlet íja le, mint a tömegmegmaadásét: d dt V ρ t dv = Itt F a ögzített V téfogat zát bukolófelülete, ρ t a töltéssűűség. Stacionáius áamlás esetén a bal oldali nulla, hiszen a V téfogatban a töltés nem változhat, időben állandósult az állapot, így a változási gyosaság zéus. Ebből az következik, hogy bámilyen zát felületen ugyanannyi töltés áamlik ki, mint be: mi befolyik, az ögtön kifolyik (Beatice :) lkalmazzuk ezt a tövényt vékony vonalas hálózat esetén egy csomóponta: I > 0 ha J Δ> 0 és I < 0 ha J Δ< 0. n i= I Egy csomópontba befolyó és onnan kifolyó áamok algebai (előjeles) összege zéus. Ez Kichhoff I. tövénye, a csomóponti tövény. i F = 0 jd 3
I 5 I 3 Δ I 4 I I felületi nomális és az áamiány közötti szög hatáozza meg az áam előjelét z ábán bemutatott példa esetén I 3 I 4 I 5 I I = 0. Még egysze hangsúlyozzuk, hogy a csomóponti tövény a töltésmegmaadás általános tövényét fejezi ki. stacionáius elektomos mező konzevatív mező. stacionáius mezőben fennáll ugyanaz az alapvető tövény, ami az elektosztatikus mező esetén: Ed = 0, g vagy másképpen megfogalmazva, a feszültségesések zát göbée vett előjeles összege nulla. Ebből adódik Kichhoff II. tövénye, a huoktövény: Egy huok mentén a feszültségek algebai összege zéus: n i= U huoktövény alkalmazása soán szigoú előjelezési szabályokat kell alkalmazni. hálózatszámítás menete a következőképpen töténik. z egyes ágakban tetszés szeinti áamiányokat veszünk fel. Felíjuk az egymástól független csomóponti tövényeket, és meghatáozzuk az ismeetlen áamok számát. Ennek megfelelő számú huokban tetszőleges köüljáási iányokat veszünk fel, és felíjuk a huok tövényeket. z ellenálláson áthaladva, ha az áamiány és a köüljáási iány megegyezik, akko az I szozat pozitív, egyébként negatív. z ideális áamfoáson áthaladva, ha előbb a pozitív pólusát éintjük, akko az elektomotoos eő pozitív, egyébként negatív. Ezeket felhasználva tetszőleges huoka felíhatjuk: i i = 0 ε I = 0 i j j j csomóponti és huok tövények alkotta, az áamokban lineáis egyenletendszet megoldjuk az ismeetleneke. Integális Ohm-tövény teljes áamköe: Tekintsünk egy vékony vonalas vezetőkből és áamfoásból álló zát áamköt. vékony vonalas vezetők ellenállását koncentált paaméteel szemléltetjük, és -el jelöljük. Tegyük fel, hogy most az áamfoás nem ideális, azaz neki, mint vezetőtestnek van ellenállása. Jelölje ezt a belső ellenállásnak nevezett mennyiséget most b, az elektomotoos eőt pedig E. Kédés, hogy hogyan függ az áameősség az áamfoás, és az áamkö adataitól. Kichhoff tövényekből kapjuk, hogy E = I( b ), vagy az áameőssége megoldva: E I = b Ez nevezzük a teljes áamköe vonatkozó Ohm-tövénynek. kö áamának I eőssége aányos az áamfoás E elektomotoos eejével és fodítva aányos a fogyasztó, valamint az áamfoás belső ellenállásának összegével. Ha a külső vonalas vezetők ellenállása elhanyagolható, akko övidzáól beszélhetünk. z úgynevezett övidzáási áam étéke: 4
I E = öv. b z ellenállású fogyasztóa jutó feszültséget kapocsfeszültségnek nevezzük, ez egyben az áamfoás pólusai között méhető feszültség: U = = K I E I b Teheletlen telep esetén I = 0, és a kapocsfeszültség megegyezik az elektomotoos eővel U = E K z áamfoás kapocsfeszültsége I 0 esetén mindig kisebb, mint az elektomotoos eő E. UK = I = E b Összetett áamköök, vonalas hálózatok: Tekintsünk a továbbiakban vonalas vezetőkből és áamfoásokból összeállított hálózatokat. Csomópont a hálózat azon pontja ahol kettőnél több vezeték fut be. Ág a hálózat olyan szakasza, amelynek két vége csomópont a belsejében azonban nincs több csomópont. Egy ágon belül az áameősség mindenütt megegyezik. z egy ágon belüli elemeket soosan kapcsoltak nevezzük. huok a hálózat olyan zát iányított vonala, amely a hálózat ágaiból épül fel. Páhuzamosnak nevezzük a fogyasztók kapcsolását akko, ha a megfelelő sakaik azonos potenciában vannak. Kichhoff tövények alkalmazásai: Ellenállások soos kapcsolása: Kichhoff tövények alkalmazásával könnyen belátható, hogy a soos kapcsolás helyettesítő vagy eedő ellenállása az egyes ellenállások összege. Tekintsük az alábbi kapcsolást: z eedő ellenállás: = n Ellenállások soos kapcsolása és az eedő ellenállás e n = i i= bizonyítást olyan esete végezzük el, ahol két ( és ) ellenállás van egy ideális áamfoása soosan kötve. Ekko, mivel nincs elágazás, a csomóponti tövényből I=I =I. Ebből az Ohm tövény felhasználásával azt a következményt is levonhatjuk, U U hogy = U vagyis =, magyaul a feszültség az ellenállások aányában oszlik meg. U huoktövényt alkalmazva látható, hogy soos kapcsolásnál a feszültségek összeadódnak, ε=u U = I I=( )I= e I=U, vagyis e =. Ellenállások páhuzamos kapcsolása: Ha az ellenállásokat páhuzamosan kapcsoljuk, akko az eedő ellenállás ecipoka egyenlő az egyes ellenállások ecipokainak összegével: n = i e i= e 5
= e n Ellenállások páhuzamos kapcsolása és az eedő ellenállás bizonyításhoz vizsgáljunk megint egy olyan esetet, ahol csak két ( és ) ellenállás van egy ideális áamfoása kötve, ezúttal páhuzamosan. huoktövényből kapjuk, hogy az ellenállásokon a feszültségesés azonos, és egyenlő az áamfoás feszültségével: ε=u =U. I Ebből ögtön láthatjuk, hogy I = I, átendezve =, vagyis az áameősség fodítva I aányos az ellenállással. csomóponti tövényből adódik, hogy a két ellenálláson együtt ugyanakkoa áam folyik, mint az áamfoáson: I=I I. Ebből és az Ohm tövényből U U U = I= I I =, azaz =. e e Áam- és feszültségméés: Tegyük fel, hogy meg akajuk méni, mekkoa áam folyik át egy ellenálláson. Ekko azt szeetnénk, hogy az ampeméőn és -en ugyanakkoa áam folyjék át. Ez akko teljesül, ha az ampeméő soosan van kapcsolva -el. Ha a feszültséget kell megméni, azt akajuk, hogy ugyanakkoa legyen a műsze sakai között a feszültség, mint sakai között. Ekko a feszültségméőt páhuzamosan kell kapcsolni -el. Bámely méési eljáásnál alapvető követelmény, hogy a méés folyamata, a méőműsze ákapcsolása ne (vagy ne észevehetően) változtassa meg a méendő mennyiséget. Ha az ampeméő b belső ellenállása nagy lenne, akko az ág eedő ellenállása ( b ) számottevően nőne a műsze beiktatásako, vagyis az áam lecsökkenne. Tehát az ampeméő ellenállásának igen kicsinek kell lennie. Ha az -el páhuzamosan kapcsolt feszültségméő ellenállása kicsi lenne, az eedő ellenállás nagyon lecsökkenne, emiatt megnőne a köben folyó áam, ami szintén meghamisítaná a méési eedményt. Ezét a voltméők ellenállása igen nagy szokott lenni. Műszeek mééshatáának kitejesztése, sönt- és előtét-ellenállás: Egy áam- vagy feszültségméő műsze tönkemegy, ha egy meghatáozott I m áameősségnél, ill. U m feszültségnél több folyik át ajta. Ezt a maximális áameősséget, ill. feszültséget a műsze mééshatáának nevezzük. Tegyük fel, hogy egy ézékeny műszenél I m =, de mi kb. 00-t szeetnénk vele méni. Ekko, ha ismet a műsze b belső ellenállása, veszünk egy ennél kb. százszo kisebb s söntellenállást, és páhuzamosan kötjük a műszeel, hogy az áam nagy észe ajta, és ne a műszeen folyjon. Ekko a méendő áama I=I m I s, továbbá I m /I s = s / m V e. s Sönt- és előtét-ellenállás kapcsolása 6
Ezekből I s =I m m / s, azaz =. Vagyis ha s századésze m -nek, akko I m m I I m( ) s százegyszeese is méhető. Ekko pesze a műsze által mutatott áameősség-étéket 0-gyel kell szoozni, hogy megkapjuk az -en átfolyó étéket. Egy feszültségméő mééshatáát is megnövelhetjük, ha előtét-ellenállást kapcsolunk, a műszeel soosan. Ekko az ellenálláson U=U m U e feszültség esik, emellett U m /U e = m / e,, amiből =, vagyis az előtét-ellenállásnak jóval nagyobbnak kell lennie a e U U m( ) m műsze (eedetileg is nagy) belső ellenállásától, hogy számottevően növelje a mééshatát. Feszültségosztó (potenciométees) kapcsolás: Gyakan előfodul az, hogy egy fix feszültségű áamfoás segítségével változtatható feszültséget kell előállítanunk. Ezt a feladatot valósíthatjuk meg teheletlen feszültségosztó kapcsolás segítségével: E U B B x I E O Teheletlen feszültségosztó kapcsolás és kaakteisztikája x főköben folyó áameősség temészetesen I = E, így az x ellenálláson eső feszültség: x U = I =E B teheletlen potenciométe két kapcsán megjelenő feszültség lineáis függvénye az ellenállásnak, és U E. 0 B x következő ábán egy tehelt potenciométees kapcsolás látható. változtatható feszültséget ilyenko egy fogyasztóa kötjük. Ilyenko a kaakteisztika má nem lineáis. x K B E U B I x K K > K K E O x tehelt feszültségosztó kapcsolás és kaakteisztikája Ellenállásméés Wheatstone-híddal: Tekintsük az alábbi kapcsolást, legyen x az ismeetlen ellenállás, pedig egy szabályozható ellenállás, G egy ézékeny áamméő, úgynevezett galvanométe. z elendezést összeállítva a G galvanométeen áam fog folyni. 7
I x G I 3 3 4 E Ellenállás méése Wheatstone-híd kapcsolással z ellenállást addig szabályozzuk, amíg a híd áammentes nem lesz, IG 0. Ekko a Wheatstone-híd kiegyenlített állapotban van. z ilyen méési módszet nullmódszenek nevezzük. kiegyenlített állapota felíhatóak az alábbi huokegyenletek: I x I 3 3 = 0 és I I 3 4 = 0 Ha pl. a másodikból kifejezzük I -t és beíjuk az elsőbe, kapjuk az ismeetlen ellenállást: 3 x = stacionáius áam munkája és teljesítménye: Ha a fogyasztó be és kivezetése közötti feszültség U és ajta t idő alatt Q = Ittöltés áamlik át, akko a mező munkája: W = QU = UIt Ez annak a munkának az étéke, amit a mező végez az U feszültségű szakaszon t idő alatt, miközben ott I eősségű áamot hajt. z elektomos enegia különböző gépek, beendezések, stb., az ún. fogyasztók segítségével más enegiává alakítható át, pl. - mechanikai enegiává (motook) - kémiai enegiává (akkumulátook) - hőenegiává (vasaló, hősugázó) - fényenegiává (izzólámpa) Ha a fogyasztó ohmos ellenállása nem nulla, hőenegia mindig keletkezik. Egy vezeték esetén az elektomos mező munkája megegyezik a vezeték belső enegiájának növekedésével. z Ohm tövény segítségével ezt két további alakban is kifejezhetjük. mennyiben az ellenállás, az elektomos áam munkája: W = UI t = I t = U t Homogén fémes fogyasztó esetén temikus egyensúlyban a fogyasztó éppen annyi úgynevezett Joule hőt ad le a könyezetének, mint amennyi munkát az elektomos mező végez. stacionáius áam által végzett munka métékegysége a joule, de a gyakolatban használják a kwh (kilowattóa) egységet is: 6 kwh = 3,6 0 J stacionáius áam teljesítménye pedig: P= UI = I = U 4 8