JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe jelöli a hibákat, hiáyokat stb. A feladatok mellett található téglalapok közül az elsőbe a feladatra adható potszám va, a javító által adott potszám a mellette levő téglalapba kerül. Kifogástala megoldás eseté elég a megfelelő maximális potszám beírása a téglalapokba. Hiáyos/hibás megoldás eseté kérjük, hogy az egyes részpotszámokat is írja rá a dolgozatra. Tartalmi kérések: Egyes feladatokál több megoldás potozását is megadtuk. Ameyibe azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg eze megoldásokak az útmutató egyes részleteivel egyeértékű részeit és eek alapjá potozzo. A potozási útmutató potjai tovább bothatók. Az adható potszámok azoba csak egész potok lehetek. Nyilvávalóa helyes godolatmeet és végeredméy eseté maximális potszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóba szereplőél kevésbé részletezett. Ha a megoldásba számolási hiba, potatlaság va, akkor csak arra a részre em jár pot, ahol a tauló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredméyel helyes godolatmeet alapjá tovább dolgozik, akkor a következő részpotszámokat meg kell adi. Elvi hiba eseté, egy godolati egysége belül a formálisa helyes matematikai lépésekre sem jár pot. Ha azoba az elhibázott részt egy újabb részkérdés követi, és a tauló az elvi hibával kapott rossz eredméyel mit kiiduló adattal helyese számol tovább, akkor erre a részre kapja meg a maximális potot. Egy feladatra adott megoldások közül csak egy (a magasabb potszámú) értékelhető. A megoldásokért jutalompot (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális potszámot meghaladó pot) em adható. Az olya részszámításokért, részlépésekért em jár potlevoás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó téylegese em haszál fel. Ha a potozási útmutató a feladat elleőrzéséért potot ad, akkor az csak abba az esetbe adható meg, ha a vizsgázó valamilye formába írásba rögzíti az elleőrzés téyét. (Itt mide elvileg helyes módszer elfogadható.) A feladatsor II. részébe kitűzött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló égyzetbe megjelölte aak a feladatak a sorszámát, melyek értékelése em fog beszámítai az összpotszámába. Eek megfelelőe a megjelölt feladatra esetlegese adott megoldást em is kell javítai, csak a többi feladatot. Ha eze előírások alapjá a javító számára em derül ki egyértelműe, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését em kéri, akkor a em értékeledő feladat automatikusa a kitűzött sorred szeriti legutolsó feladat lesz. 73
I. 1. 4 3/ 4 x 14 x + 96 = 0 pot 8 4 x - 56 x + 96 = 0 pot A hatváyozás azoosságaiak alkalmazásáért. x 7 x + 1 = 0 Másodfokú egyelet redezett alakjához való eljutásért. x = 4 vagy x = 3 pot A másodfokú egyelet megoldásáért. x 1 = Az egyik gyökért. x = log 3 1,585 A másik gyökért (közelítő érték élkül A kapott gyökök kielégítik az egyeletet, mivel ekvivales átalakításokat hajtottuk végre. Az x 1 eleme az adott itervallumak, ez tehát megoldás. Az x em eleme az itervallumak. Összese: 1 pot is). Az elleőrzésért, ill. aak megállapításáért, hogy a kapott gyökök valóba megoldások. Ha csak egy gyököt talált meg, de azt elleőrzi, akkor is jár a pot.. 3 pot A síkmetszet ábrájá szerepelie kell az ismert (r; h) és ismeretle (d; x) szakaszokak, a derékszögű háromszögek. h = 4,8 cm = 48 mm Átváltásért. D = r = 56 mm r = D/ = 8 A sugár kiszámításáért. x = h r = 0 pot A befogó kiszámításáért. (d/) = r x pot Pitagorasz-tétel felírásáért. (d/) = 8 0 Behelyettesítésért. d/ = 19,596 d = 39,19 39, A lyuk átmérője 39, mm. Mértékegységgel ellátott eredméyért. Összese: 1 pot 74
3. y 1 y= x x -1 1 x -1 y = x x = x, ha x > 0 y = x x = x, ha x < 0 A grafiko A grafiko megrajzolásáért összese 3 pot jár, az átalakítás leírása élkül is. Az értékkészlet: R. Az értékkészlet helyes megállapításáért. A függvéy az értelmezési tartomáyo A mootoitás helyes leírásáért. szigorúa mooto ő. Szélsőértéke ics. A szélsőérték vizsgálatáért. Összese: 6 pot 75
y = si x + cos x + sixcosx y = six + 1 pot A trigoometrikus átalakításért. Grafiko: pot A grafiko helyes felrajzolásáért. Akármilye módo jut a helyes grafikohoz, összese 4 pot. Az értékkészlet: [0;] Az értékkészlet helyes megállapításáért. A függvéy szigorúa mooto ő: [-π/4 + kπ ; π/4 + kπ], k Z szigorúa mooto csökke: [π/4 + kπ ; 3/4π + kπ] A mootoitás helyes leírásáért. A fv. max. helyei: x = π/4 + kπ, miimumhelyei: x = 3/4π + kπ A szélsőértékek helyéért. A miimum értéke 0, a maximumé. A szélsőértékek értékéért. Összese: 8 pot 4. 1. megoldás: A =14; N =15; F = 11 potosa két yelvet taulók = 6 Ha a midhárom yelvet tauló diákok száma x, akkor: A + N + F potosa két yelvet taulók x = 30 5 pot 5 pot A feladat adataiak helyes elképzeléséért (pl. Vediagramo feltütetett számok). A kérdezett számosság meghatározásához alkalmas összefüggés felírásáért (em feltétleül egyelettel). 14 + 15 + 11 6 x = 30 Helyes umerikus egyelet. x = Helyes umerikus eredméyért. tehát diák taulja midhárom yelvet. Helyes szöveges válaszért. Összese: 13 pot 76
. megoldás: 30 diák midegyike részt vesz egy yelvórá, ez 30 óra. 6-a két yelvet is taulak, ez +6 óra, azaz eddig 36 yelvóra (a diákok óráit számolv. Összese 40 yelvóra va, hiáyzik tehát még 4 óra, ami abból adódik, hogy vaak, akik 3 órá is részt veszek. pot 3 pot 3 pot pot Nyilvá ember eseté adódik +4 óra, ha a midegyikük még - órá jele va. pot Tehát tauló taul 3 yelvet. Összese: 13 pot Megjegyzés: Szisztematikus próbálgatással, kísérletezéssel yert helyes eredméyért, ha azt elleőrzi is, de em bizoyítja, hogy más megoldás em lehetséges, 8 pot adható. II. Az alábbi öt feladat (5. 9.) közül a taulóak tetszés szerit választott égyet kellett megoldai és égyet kell értékeli! 5. A futóövéy havi övekedéséek hosszúságai mértai sorozatot alkotak, amelyek első tagja a 1 = 100, a háyadosa q = 4/5 = 0,8. A mértai sorozat felismeréséért, az a 1 és a q meghatározásáért 3 pot jár A 1. havi övekedés a mértai sorozat 1. tagja: a 1 = a 1 q 0 = 100 0,8 0 = 1,15 A 1. hóapba 1,15 cm-t fog ői A övekedések összege túl kell, hogy lépje a 400 cm-t. Összese: 5 pot S S = a 1 q 1 q 1 0,8 1 = 100 400 0,8 1 1 0,8 4 0, Redezve: 0,8 0, log 0,8 0, 77
lg 0, 7,1 lg 0, 8 Tehát a 8. hóapba éri el a 400 cm-es hosszt. Az meghatározásáért 4 pot jár. Összese: 7 pot c) Az előző pothoz hasolóa: q 1 0,8 1 S = a1 = 100 600 q 1 0,8 1 pot Redezve: 0,8 0, Ez viszot em lehetséges, azaz a 600 cm-es Az elletmodás felismeréséért 4 pot hosszúságot már em éri el a övéy. jár. Összese: 4 pot 6. 1 3 4 5 6 7 1 6 8 17 7 1 0 3 pot Ezt a 3 potot botai kell, ha va hibás válasz is. Az adható potszám: a jó válaszok feléek egészrésze. Összese: 3 pot Számtai közép: 1 1+ 6 + 3 8 + 4 17 + 5 7 + 6 1+ 7 0 100 Értéke:,66 Mediá: 3, pot Idoklás élkül is elfogadható. hisze az 50. és az 51. család is 3 gyermekes a gyermekszám szeriti sorba redezéskor. Módusz: 3, mert ez a leggyakoribb érték. pot Idoklás élkül is elfogadható. Összese: 6 pot c) 9 családba va legfeljebb 4 gyermek. pot A jó esetbe közülük kell kiválasztai kettőt: 9 Az összes esetbe 100 családból kell kiválasztai kettőt: 100. A keresett esély e kettő háyadosa: 9 9 91 = = 0, 8457 100 100 99 pot Tehát erre az esély kb. 84,6%. Összese: 7 pot 78
7. Rajz 3 pot A geometriai modell helyes elképzeléséért. ABT derékszögű háromszögbe: m tg30 = m 3 3 m = m m = 3 1 0, 73 A magasság meghatározásáért 3 pot adható. Két hasoló háromszögből (ABC és DBE): m x = x 0,73 x = x m AC 0,73 x = 4 3 0,54 A égyzet oldala 0,54 méter. Összese: 10 pot Az AB oldalegyees iráyszöge 30, tehát 3 meredeksége. 3 Az A pot segítségével felírva az egyees egyeletét: y = 3 6 3 x + 3 3 ( y = 0,58x + 0,85) A BC oldalegyees iráyszöge 135, így meredeksége 1. A C pot segítségével felírva az egyelete: y = x + 6 A két egyees metszéspotja adja a B csúcs koordiátáit: B ( 5 3; 1+ 3) pot B (3,7;,73) Összese: 6 pot 79
8. 1 8 4 8 4 4 + 1 = ( 1) ( 1) = Kiemelés 4 8 = ( 1) ( 1) = Szorzattá alakítás 4 4 = ( 1) ( 1) ( + 1)= ( 4 1) ( + 1) ( + 1 ) ( + 1)= = ( 4 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) 4 Egyik téyező szorzattá alakítása Másik téyező szorzattá alakítása 51 = 9 1 8 4 + 1 = 4 ( 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) Összese: 5 pot = Mivel páratla, ezért mide téyező páros, így a szorzat biztosa osztható 7 -el. Az 1 és az + 1 szomszédos páros számok, tehát az egyik 4-gyel is osztható. Tehát a szorzat összességébe osztható 9 -el. Összese: 4 pot c) A 7 73 = 511téglalap felbotható 511 égyzetre. Az 51 potot csak úgy lehet elhelyezi 511 égyzetbe, hogy legalább egy égyzetbe va pot. pot pot Egy égyzetbe két pot között a legagyobb távolság az átló: a 1, 414. Ha a =1, akkor két pot távolsága biztosa kisebb, mit 1,4. Ekkor aak a két potak a távolsága, amelyik egy égyzetbe esik kisebb mit 1,4, így már 1,5.él is kisebb. Összese: 7 pot 80
9. Rajz 3 pot A feladat helyes értelmezéséért Az eltűés pillaatába a hajó csúcsát (H) a megfigyelővel összekötő egyees a földgömb éritője, az éritési pot L. A Föld középpotját jelöljük O-val. OLH háromszög derékszögű, melyek egyik befogója r, átfogója pedig r + 4. Az LH befogó Pitagorasz-tétellel kiszámolva: LH ( r + 4) = 637834 6378 300 = r LH = 17 497 Az LH érték meghatározásáért pot jár. Tekitettel arra, hogy a HOL szög ige kicsi, az LH távolság jó közelítéssel megegyezik az LF ívhosszal, a megtett út tehát kb. 17,5 km. (Eél potosabb eredméyt ics értelme adi, hisze a hullámokat, a légköri viszoyokat, a Föld em tökéletes gömb voltát em vettük figyelembe.) Összese: 6 pot 1. megoldás: Egy óra alatt elfogy y = 1,4 + 0,005v toa üzemayag. t óra alatt: M toa fogy el, ezért M M t = = y 1,4 + 0,005 v 81
s = v t, ezért a hajó által megtett út: M v s = 1,4 + 0,005 v Azt kell tudi, hogy ez az út mekkora v eseté lesz a legagyobb, tehát a függvéy maximumát keressük. A tört értéke akkor a legagyobb, ha a evező a legkisebb, hisze a számláló kostas. M A kifejezést átalakítva: s = 1,4 + 0,005v v A evező a középértékek közötti evezetes egyelőtleség alapjá: 1,4 + 0,005v v 1,4 0,005v v pot Akkor áll fe az egyelőség, ha a jobboldal álladó, ekkor a tört értéke miimális: 1,4 = 0,005v v Ahoa: 1,4 v = = 80 0,005 v = 16,73 Tehát a hajó sebessége 16,73 mérföld/óra. Összese: 10 pot. megoldás: Egy óra alatt elfogy y = 1,4 + 0,005v toa üzemayag. t óra alatt: M toa fogy el, ezért t = M y M = 1,4 + 0,005 v s = v t, ezért a hajó által megtett út: M v s = 1,4 + 0,005 v Azt kell tudi, hogy ez az út mekkora v eseté lesz a legagyobb, tehát a függvéy maximumát keressük. A szélsőérték meghatározásához deriváljuk a függvéyt: M ( 1,4 + 0,005v ) Mv 0,01v s' = 3 pot 1,4 + 0,005v ( ) 8
Redezve: 1,4 0,005v s' = M ( 1,4 + 0,005v ) Szélsőérték ott lehet, ahol a derivált ulla: 1,4 0,005v = 0 v = 80 v = 16,73 (mérföld/ór Eze a helye az eredeti függvéyek maximuma va, ha a derivált pozitívból egatívba vált előjelet. Ez teljesül, mert a deriváltba a evező pozitív, a számláló pedig a változó pozitív értékeiél szigorúa mooto csökke. Összese: 10 pot 83