BME Építészmérnöki Kar Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék EGYENSÚLY ÉS MORFOLÓGIA: SKÁLÁK SZÉTVÁLÁSA KAVICSOK GEOMETRIÁJÁBAN TDK dolgozat 2009 Készítette: Szabó Tímea (V. évfolyam) Konzulensek: Dr. Domokos Gábor Dr. Sipos András Árpád
Tartalomjegyzék 1) A dolgozat témája és célja. 3 2) Egyensúlyi osztályozás. 5 3) Kézi kísérletek.. 8 4) Falkák.. 9 5) Kísérleti eredmények.. 15 6) Összefoglalás. 20 Irodalomjegyzék... 22 Melléklet 23 2
1) A dolgozat témája és célja Az itt bemutatni kívánt TDK munka egy 2007 elején megkezdett tanszéki kutatómunka része. Ezen kutatómunka keretében már több publikáció született, többek között két TDK dolgozat is [1.][2.], melyekkel a 2007 ill. 2008 őszi Kari TDK Konferencián és a 2009 tavaszán megrendezett OTDK Konferencián vettem részt. Az említett TDK dolgozatokban bemutattam, hogy kutatómunkánk témája kavicsok geometriájának és kopási folyamatainak a vizsgálata. Láthattuk, hogy ez a téma a geológia tudományában egy régóta kutatott terület, hiszen a kavicsok alakja fontos információkat hordozhat azok geológiai múltjáról. A kavicsok alak szerinti osztályozása hasznos eszköz a fáciesek elkülönítésében, ezáltal utalva az adott kavicspopuláció történetére, lerakódási környezetére és a kavicsokat ért kopási folyamatokra. Noha a kavicsok alak szerinti osztályozásával kapcsolatos szakirodalom igen bőséges (két összefoglaló jellegű cikk a témában: [3.][4.]), a jelenleg használatos, hosszmérésen alapuló klasszikus osztályozási rendszerek [5.][6.][7.] sok bizonytalanságot hordoznak magukban. A korábbi TDK dolgozatokban egy új osztályozási rendszert mutattunk be, amely nem hosszmérésen, hanem a testek statikai egyensúlyainak a számán és típusán alapul. Áttekintettük az új, egyensúlyi osztályozás elméleti hátterét, bemutattuk az osztályozás gyakorlati alkalmazhatóságát és az addig elvégzett statisztikus jellegű kísérletek eredményét. Vizsgáltuk az egyensúlyi osztályozás és a geológia egyik klasszikus, hosszmérésen alapuló osztályozási rendszere közötti kapcsolatot, melyből kiderült, az új osztályozás egyszerűsített változatában tartalmazza mindazt az információt, amit a vizsgált klasszikus osztályozás. Ugyanakkor, az egyensúlyokat számbavevő osztályozás további információval is szolgálhat, melyet a hosszmérésen alapuló rendszerekből már nem lehet kinyerni, így az új osztályozási rendszer fontos és érdekes eredményeket tartogathat még számunkra. Mielőtt azonban az új osztályozást geológiai szempontból céltudatos mintagyűjtések során használnánk, az egyik legfontosabb feladat, hogy a 3
rendszer gyakorlatban való használhatóságát és megbízhatóságát verifikáljuk. A kavicsokkal való sok kísérletezés ugyanis egy érdekes fizikai jelenségre, de egyúttal egy igen komoly problémára hívta fel a figyelmet: érdes, nem teljesen sima tárgyak, például kavicsok felszínén az egyensúlyi pontok gyakran egymás közvetlen közelében jelennek meg, így a kísérletek során nehéz eldönteni, hogy egy adott kis környezetben pontosan hány egyensúlyt látunk. A gondos kísérletező sok lokális egyensúlyi pontot fedezhet fel egymás közvetlen közelében a kavics felszínén, ugyanakkor ezek a közeli lokális egyensúlyok megfelelő skálán nézve egy falkává, egyetlen globális egyensúllyá állnak össze. A korábbi kutatómunkánk azt mutatta meg, hogy a kavicsok globális egyensúlyainak megszámlálása hasznos eszköz lehet a geológiában, hiszen a globális egyensúlyok alapján való osztályozás jól jellemzi a kavicsok alakját. A közeli lokális egyensúlyok létezésének problémája azonban komoly kételyeket támaszt a kézi osztályozás megbízhatóságát illetően: el tudja-e a kísérletező objektíven dönteni, hogy mely lokális egyensúlyok tartoznak egybe és alkotnak egy falkát? Képes-e mindig azonos hunyorítással, a globális egyensúlyok skáláján megszámolni az egyensúlyokat? Jelen van-e az eredményekben a kísérletező bizonytalansága? Végső soron ezek a kérdések így foglalhatóak össze: jól különválik-e a lokális és globális egyensúlyok skálája, vagyis a lokális egyensúlyok viszonylag közel, a globális egyensúlyok pedig viszonylag távol találhatóak egymástól? Jelen TDK dolgozat erre a kérdéskörre fókuszál. A fent említett kérdések megválaszolásának érdekében ez a munka több eszközt is felhasznál. Hogy a problémakört tisztán lássuk, egyrészt szükséges, hogy a közeli lokális egyensúlyok alkotta falkák elméleti hátterét felkutassuk és röviden bemutassuk. Másrészt, a falka-jelenség kísérletekben való szerepének tisztázásához jó néhány új kavicsminta gyűjtése és feldolgozása szükséges. Harmadrészt, a kísérleti eredmények értelmezéséhez, igazolásához egy alkalmasan megkonstruált, számítógéppel szimulált véletlen kísérletet használunk. Mielőtt azonban falka-jelenséggel megismerkednénk és az említett kérdéskörre választ kapnánk, szükséges a testek statikai egyensúlyának fogalmát tisztáznunk és a korábbi TDK munkákban már bemutatott egyensúlyi osztályozást röviden újra áttekintenünk. 4
2) Egyensúlyi osztályozás A homogén, merev, konvex testek geometriája leírható az R skalármezővel, ahol R jelöli a test tömegközéppontjától (G) a test felületéig mérhető távolságot (1. ábra). Ebben a rendszerben a testek egyensúlyi helyzetei R stacionárius pontjainak feleltethetők meg. 1. ábra: az egyensúlyok típusai a) síkbeli, 2D testeknek tipikusan kétféle egyensúlya lehet: stabil (S) és instabil (U). Közöttük az összefüggés: S=U. b) térbeli, 3D testeknek tipikusan háromféle egyensúlya lehet: stabil (S), instabil (U) és nyereg (H). Közöttük az összefüggés: S+U-H=2. 5
Egy síkbeli, 2D testnek tipikusan kétféle egyensúlyi helyzete lehet: stabil és instabil, ezek számát rendre jelölje S és U. A stabil egyensúlyi helyzet R lokális minimuma, az instabil helyzet R lokális maximuma. Az 1.a) ábra az ellipszis esetét mutatja be, ahol S=U=2. Belátható, hogy a síkbeli esetben a stabil és instabil egyensúlyi helyzetek száma mindig megegyezik, vagyis S=U. Így a 2D testek az egyensúlyok száma alapján egyszerűen osztályozhatók: az {i} osztály tartalmazza az összes olyan testet, aminek S=i stabil (vagy instabil) egyensúlyi helyzete van. Bizonyítható, hogy az {1} osztályban nem létezik test [8.], a {2} osztályra az ellipszis példáját láthattuk, egy szabályos n oldalú sokszög pedig példa az {n} osztályra. A térbeli testeknek tipikusan háromféle egyensúlyi helyzete lehet: stabil egyensúlyi helyzet (R lokális minimuma), instabil egyensúlyi helyzet (R maximuma) és nyeregpont, ezek számát rendre jelölje S, U és H. Az 1.b) ábra a kocka esetét mutatja be, itt S=6, U=8, H=12. A térbeli testek esetén a különböző típusú egyensúlyi helyzetek száma között a Poincaré-Hopf tétel teremt kapcsolatot, ez alapján a gömb topológiájú testekre az S+U-H=2 összefüggés áll fenn. Az összefüggés felhasználásával a térbeli, merev, konvex testeket osztályozhatjuk egyensúlyi helyzeteik száma és típusa alapján [9.]: az {i,j} osztály tartalmazza az összes olyan testet, amelynek S=i stabil és U=j instabil egyensúlyi helyzete van. Az osztályozáshoz tehát elegendő a stabil és instabil egyensúlyi helyzetek számát tudnunk, ebből a nyeregpontok száma már kiszámítható. A 2. ábra az egyensúlyi osztályokat mutatja be néhány jellegzetes testen keresztül. 6
2. ábra: egyensúlyi osztályok - néhány jellegzetes példa A táblázatban a sorok (i) jelölik a stabil egyensúlyi helyzetek számát, az oszlopok (j) az instabil egyensúlyi helyzetek számát. Néhány kiragadott test leírása: az {1,1} osztályban látható test a Gömböc [10.], a {2,2} osztály példája egy háromtengelyű ellipszoid. A {4,4} osztályban találjuk a tetraédert, a {6,8} osztályban a kockát, a {8,6} osztályban az oktaédert. 7
3) Kézi kísérletek Ha az egyensúlyi pontok jól elkülönülnek a kavicson, akkor az egyensúlyok egyszerű kézi kísérletek során megszámlálhatóak, vagyis a kavics egyensúlyi osztálya kézi vizsgálattal megállapítható. A testek felületi pontjai tipikusan nem-egyensúlyi pontok. Ha a kavicsot egy ilyen pontban tesszük le egy vízszintes felületre, akkor az mindig egy bizonyos irányba kezd el gördülni és végül mindig a stabil egyensúlyi helyzetébe érkezik. A stabil pontok felismerése könnyű: ha a stabil egyensúlyi helyzetből a kavicsot egy kicsit ellökjük, bármely irányba löktük is meg, az végül mindig visszatér ugyanoda. Az egyensúlyi helyzetek másik két típusát, az instabil egyensúlyi pontokat és a nyeregpontokat sem nehéz felismerni, megkülönböztetésük lapos kavicsokon a legegyszerűbb feladat: ebben az esetben az instabil és nyeregpontok a lapos kavics legnagyobb metszete mentén helyezkednek el. Ha a kavicsot megtámasztjuk ezen metszetre merőlegesen, akkor csak a legnagyobb metszet síkjában tud gördülni a kerülete mentén (3. ábra). A nyeregpont a kerület mentén az éleken, stabil egyensúlyként jelentkezik. A kerület mentén ez egy lokális minimumpont (3.a) ábra). A kavics a nyeregpontján állva nemcsak oldalirányban stabil (hiszen ebben az irányban megtámasztottuk), hanem hosszirányban is, vagyis a kerület mentén kicsit továbblökve a kavics visszagördül a nyeregpontba. Az instabil helyzet a kerület mentén a csúcsoknál, instabil egyensúlyként jelentkezik. A kerület mentén ez egy lokális maximumpont (3.b) ábra). A kavics most csak oldalirányban stabil (amely irányban megtámasztottuk), hosszirányban instabil, vagyis a kerület mentén kicsit továbblökve a kavics elgördül. Emlékeztetőül, a kavics osztályozásához elegendő a stabil és instabil egyensúlyi helyzetek megszámlálása, a nyeregpontok száma már kiszámítható e két adatból az S+U-H=2 összefüggés alapján (vagy pedig használhatjuk a nyeregpontok számát az osztályozás ellenőrzéseként is). 8
3. ábra: nyereg típusú (a) és instabil (b) egyensúlyi helyzetek A lapos kavicsot oldalirányban megtámasztva a nyeregpontok (a) a kerület mentén az éleken, stabil egyensúlyként jelentkeznek, az instabil pontok (b) pedig a kerület mentén a csúcsokon találhatóak 4) Falkák Amint azt már az 1) fejezetben említettük, előfordulhat, hogy egy gondos kísérletező olyan kavicsra bukkan, ahol az egyensúlyi pontok nem különülnek el ilyen jól a kavics felszínén, hanem egymás közvetlen közelében több lokális egyensúlyt is találunk. Ezek a lokális egyensúlyok megfelelő hunyorítással, megfelelő skálán nézve közelségük miatt egyetlen egyensúlynak látszanak, vagyis a mikroszkopikus léptékű egyensúlyok egy falkába tömörülnek (4.ábra). Egy ilyen lokális egyensúlyokból álló falkát nevezzünk globális egyensúlynak. Noha az egy 9
falkán belüli lokális egyensúlyok pontos számának meghatározása kézi kísérletek során megbízhatatlan eredményre vezetne, mint már említettük, az új osztályozás gyakorlati használhatósága szempontjából ez az információ nem is szükséges. A globális egyensúlyok számának objektív meghatározása viszont annál inkább fontos feladat, hiszen korábbi kutatómunkánk megmutatta, hogy a globális egyensúlyok alapján való osztályozás hasznos eszköz lehet a geológiában. Az 1) fejezetben azonban már láthattuk, hogy az egymáshoz közeli egyensúlyok létezése komoly kételyeket támaszt azzal kapcsolatban, hogy kísérletező valóban el tudja-e a objektíven dönteni, hogy mely lokális egyensúlyok alkotnak egy falkát, vagyis képes-e mindig a globális egyensúlyok skáláján megszámolni az egyensúlyokat. Ha a kavicsok geometriájában jól különválik a lokális és globális egyensúlyok skálája, vagyis a lokális egyensúlyok viszonylag közel, a globális egyensúlyok pedig viszonylag távol találhatóak egymástól, akkor a kísérletező könnyű helyzetben van, a globális egyensúlyok száma objektíven meghatározható. Ha azonban a két egyensúlyi skála összemosódik, akkor a kísérletező bizonytalansága szerepet kap a kézi osztályozás során. 4. ábra: falkák megfigyelése kavicsokon: öt egymáshoz közeli stabil egyensúly egy-egy kavicson 10
A következőkben ezért azt a kérdést vizsgáljuk majd, hogy mennyire jól válik külön a lokális és globális egyensúlyok skálája, megítélhető-e objektíven a globális egyensúlyok száma. Mielőtt azonban erre a kérdéskörre választ adnánk, fontos, hogy a falkák elméleti hátterét röviden áttekintsük és a falkák fogalmát objektívvé tegyük, vagyis definíciót adjunk arra nézve, hogy mely lokális egyensúlyok tartoznak egybe és melyek azok, melyeket önálló globális egyensúlyként kell értelmeznünk. A falka-jelenség tágabb elméleti hátterét vizsgálva mindenképp érdemes megemlítenünk a konvex geometria területén dolgozó matematikus, Zamfirescu eredményét [11.]. Zamfirescu tétele szerint a tipikus konvex halmazoknak végtelenül sok egyensúlyi pontja van. Mivel tudjuk, hogy egy tipikus 3D konvex test pontjainak a döntő többsége nem lehet egyensúlyi pont, így Zamfirescu tétele azt sugallja, hogy az egyensúlyi pontok egymás közelében kis tartományokban, vagyis falkákban helyezkednek el. Ugyan a hivatkozott eredmény nem tér ki a konvex halmazok metrikus jellemzőire, vagyis nem vizsgálja az egyensúlyi helyzetek térbeli elhelyezkedését, az egyensúlyok falkákba tömörülése mégis ésszerű következtetésnek tűnik. Noha a tipikus konvex halmazokat nem könnyű vizualizálni és komplexitásuk jóval meghaladja a kavicsok geometriájának komplexitását, Zamfirescu eredménye mégis nagyon érdekes következtetésre vezet a kavicsokra nézve. A következőkben a kavicsokat modellezve a konvex halmazok tág fogalmánál jóval szűkebb részterületen, konvex poliédereken, illetve konvex poligonokon vizsgáljuk majd az egyensúlyi helyzetek térbeli elhelyezkedését. A falka-jelenség tulajdonképpen annak következménye, hogy a kavics felszíne nem teljesen sima. A statikai egyensúlyok vizsgálata közben a kavics a konvex burkán gördül (5. ábra). A konvex burok a jól lekopott kavicsok esetén finom osztásával nagyon jól közelíti a kavics valódi alakját, vagyis az egyensúlyok szempontjából vizsgálható a test konvex burka mint poliéder. A kavicsok poliéderekkel történő modellezése tehát egy természetes feltételezés és magyarázatot adhat a kavicsok fizikai viselkedésére. 11
5. ábra: kavicsok konvex burka a) kettészelt kavics keresztmetszete b) a keresztmetszet felnagyított részlete és a konvex burok rajza c) a b) ábra felnagyított részlete a konvex burok részletesebb rajzával Ha az 1.a) ábra 2D ellipszisére gondolunk, annak 4 jól elkülöníthető (2 stabil és 2 instabil) egyensúlyi pontja van, az egyensúlyok közvetlen közelében nem látunk további egyensúlyokat. Ugyanakkor, ha az ellipszist egy poligonnal közelítjük, azaz ha az ellipszist diszkretizáljuk, akkor jellemzően megnő az egyensúlyok száma (6. ábra). Noha a lokális egyensúlyok száma nagyobb lesz, ezek az egyensúlyok (leszámítva a körhöz nagyon közeli eseteket) a kerület mentén nem egyenletesen helyezkednek el, hanem az 1.a) ábra ellipszisének eredeti 4 egyensúlyának közelében (6.a) és 6.b) ábra). A lokális egyensúlyok tehát jól elkülöníthető falkákban jelennek meg, és minden egyes falka a maga lokális egyensúlyaival egy-egy globális egyensúlyt hoz létre. Mindez arra utal, hogy a körhöz közeli esetek kivételével a globális és lokális egyensúlyok skálája jól szétválik, a falkák jól elkülönülnek, a lokális egyensúlyok viszonylag közel, a globális egyensúlyok viszonylag távol helyezkednek el egymástól. Ez azt is jelenti, hogy a kísérletek során a globális egyensúlyok megszámlálása ebben az esetben megbízhatóan elvégezhető. A 6.c) és 6.d) ábrán ugyanakkor azt is láthatjuk, hogy a körhöz közeli esetekben a falkák elkülönítése nem olyan egyértelmű feladat, minél inkább közeledünk a körhöz, a lokális egyensúlyok annál inkább terjednek szét a kerület mentén, a falkák objektív definiálása annál nehezebb. 12
6. ábra: a falka jelenség vizsgálata poligonokon Különböző laposságú véletlenszerűen diszkretizált ellipszisek egyensúlyai, a piros + jelöli a stabil egyensúlyokat, a kék + az instabil egyensúlyokat. A poligon oldalszáma 100, r a laposságot jellemző szám, értéke az ellipszis nagy- és kistengelyének hányadosa. Az a) és b) ábrán a falkák jól definiálhatóak, a globális és lokális egyensúlyok skálája jól szétválik. Minél inkább közeledünk a körhöz (ha r 1), a lokális egyensúlyok annál jobban szétterjednek az ellipszisen, és a falkák elkülönítése annál nehezebb. Az objektivitás érdekében vezessünk be egy falka-definíciót, ami alapján egyértelműen eldönthető, hogy mely lokális egyensúlyok tartoznak egy falkába. (Az itt leírt definíció a 2D esetre, poligonokra vonatkozik, de általánosítható a definíció poliéderekre is). 13
A 7. ábra egy poligon egyensúlyait mutatja, piros pont jelöli a stabil, kék az instabil egyensúlyokat. Üres kör jelöli azokat a csúcsokat, amelyeken nem találunk egyensúlyt, ezen csúcsok neve legyen osztópont. Terítsük ki a poligont egy egyenesre, továbbra is megjelölve az egyensúlyi pontokat. Tekintsünk egy egymás után következő k darab egyensúlyi pontból álló sorozatot (az egymás utániság azt jelenti, hogy az egyensúlyok sorozatát nem szakítja meg osztópont). A sorozat hosszát jelölje D, a D szakasz középpontja legyen K. R min jelölje a K pontból a sorozaton kívüli első D egyensúlyi pontig mérhető legkisebb távolságot. Vezessük be a 2R min paramétert, amely paraméter szemléletesen azt jellemzi, hogy a vizsgált egyensúlyi pontok mennyire tömörülnek egy helyre, mennyire jól szeparálódik el a többi egyensúlytól a feltételezett falka. Minél inkább elkülönül a kerület mentén a feltételezett falka, a μ értéke annál kisebb. Egy adott μ 0 (0<μ 0 <1) érték mellett a vizsgált egyensúlyi pontsorozatot akkor tekintjük falkának, ha μ<μ 0. Ha egy vizsgált sorozat falkának bizonyult, akkor azt egyetlen egyensúlyi ponttal helyettesítjük, vagyis egy globális egyensúlynak tekintjük. 7. ábra: a falkák definíciója Az ábra egy poligont és annak egy egyenesre kiterített változatát ábrázolja. Piros pont jelöli a stabil, kék az instabil egyensúlyokat. D a feltételezett falka hossza, a D szakasz középpontja K. R min a K pontból a feltételezett falkán kívüli első egyensúlyi pontig mérhető legkisebb távolság. 14
Ez a falka definíció szemléletesen azt jelenti, hogy ha μ 0 =0, akkor minden lokális egyensúlyt külön-külön veszünk számba, vagyis minden lokális egyensúly egyben globális egyensúly is. Ahogy μ 0 1, úgy egyre inkább egybemossuk a falkákat, ilyen szempontból a μ 0 egyfajta hunyorítási paraméternek is tekinthető, amely a kísérletek szempontjából azt jellemzi, hogy a kísérletező milyen gondossággal kereste meg az egyensúlyi pontokat, milyen skálán vizsgálta az egyensúlyokat. 5) Kísérleti eredmények Mint az az előző fejezetben láthattuk, a körhöz közeli esetek kivételével a lokális és globális egyensúlyok skálája jól szétválik a kavicsok geometriájában. Ugyanakkor, azt is láthattuk, hogy a körhöz közeledve a falkák elkülönítése egyre nehezebb, a skálák összemosódnak, a kísérletező egyre bizonytalanabbul tud dönteni a globális egyensúlyok pontos számáról. Ha ez a tendencia valóban igaz, akkor a falka-jelenség hatásai meg kell, hogy jelenjenek a kísérleti adatokban, a körhöz (3D-ben gömbhöz) közeli kavicsok esetén a kísérletező bizonytalansága egyre nagyobb szerephez kell, hogy jusson. Annak érdekében, hogy a kísérletező bizonytalanságát és a falka-jelenséget tetten érhessük a kísérleti adatokban, az elmúlt évben jó néhány kavicsmintát gyűjtöttünk, így ebben a fejezetben a kavicsokkal elvégzett új kísérletek eredményeit fogjuk bemutatni, melyek mint majd látni fogjuk valóban szorosan kapcsolódnak a falka-jelenséghez. Az eredmények értelmezéséhez és igazolásához számítógéppel generált véletlen kísérletet is használunk majd, ezáltal jobban rávilágítva az eredmények mögött rejlő fizikai jelenségekre. Az elmúlt egy évben 20, egyenként 50 db kavicsot tartalmazó mintát gyűjtöttünk, a legtöbb minta tengerpartokról származik (a kavicsminták részletes adatait a Melléklet tartalmazza). Ezeket a mintákat osztályoztuk az egyensúlyi osztályok alapján (vagyis meghatároztuk a stabil és instabil egyensúlyok számát), valamint megmértük a kavics három fő befoglaló méretét is (szélesség, hosszúság, magasság). Ez utóbbit precízebben 15
fogalmazva: a kavics alakját közelítőleg egy három-tengelyű ellipszoidnak feltételezve, megmértük a három főtengely nagyságát (a>b>c). Ezek után kiszámoltuk a c/a, b/a, és c/b tengelyarányokat. Szemléletesen fogalmazva, a b/a tengelyarány a kavics hosszúkásságát, a c/b arány pedig a kavics laposságát jellemzi. Ez a két mennyiség egyébként az ún. Zingg osztályozás [5.] alapja, ami a geológiában a leggyakrabban használt osztályozási rendszer. A kapott adatokat minden 50 db-os mintában kiátlagoltuk, tehát a kövekező kísérleti eredmények átlagértékekre vonatkoznak. Legelső érdekes eredményként azt kaptuk, hogy a b/a tengelyarány átlaga gyakorlatilag változatlan a különböző geológiai helyszínek között az általunk megvizsgált mintákban (b/a ~0.77 körüli érték, lásd a részletes adatokat a Mellékletben). Másképp fogalmazva, átlagértékeket tekintve a kavicsok hosszúkássága a különböző helyszíneken hasonló. Ennek a nagyon érdekes eredménynek a magyarázata a kopási folyamatban keresendő. A kopás mechanikájának megértése jelen munkán túlmutat, de a kopási folyamatok modellezése az egész kutatási témán belül egy nagyon fontos és nyitott kérdés. Mivel a b/a arány gyakorlatilag állandó, a c/b arány mellett tulajdonképpen a c/a tengelyarány is a kavicsok laposságát jellemzi. A 8.ábra a c/b és c/a tengelyarányokat (pontosabban ezek átlagértékeit) szemlélteti a stabil egyensúlyok számának függvényében. A diagram egy meglepően szoros összefüggést (R 2 ~0.86) mutat a stabil egyensúlyok száma és a kavicsok lapossága között: laposabb kavicsokon jellemzően kevesebb egyensúlyt találunk. A diagram egy további érdekes hipotézist is sejtet: ha feltételezzük, hogy a minták trendvonaltól való eltérései csak véletlenszerűek, vagyis a kavicsminták a bemutatott trendvonalon létezhetnek, akkor ebből az következik, hogy a minták időben csak a trendvonal mentén tudnak mozogni, vagyis a kavicsminták a kopási folyamat közben e vonal mentén vándorolhatnak. Annak megállapítása, hogy a vonal mentén a kavicsminták jellemzően merre vándorolnak, illetve mi az a hatás, ami az egyik vagy a másik irányba tereli azokat, egyelőre nyitott kérdés, amelyhez a válasz szintén a kopási folyamatok megértésén és modellezésén keresztül vezet. 16
8. ábra: E(S) laposság összefüggés A diagram szoros korrelációt mutat a stabil egyensúlyok száma és a kavicsok lapossága között. E(S) a stabil egyensúlyok számának átlagértékét jelöli. A kísérleti adatokban a laposságot a c/a és c/b tengelyarányok átlagértékei jellemzik (lila és zöld adatsor). A kék adatsor és trendvonal számítógéppel generált véletlen kísérlet eredménye (a szövegben lásd később). Noha a számítógépes szimuláció síkbeli testekkel modellezi a kavicsokat, a modell mégis jellegében nagyon jól közelíti a kísérleti eredményeket. A 9. ábra egy hasonlóan erős összefüggést mutat a kísérleti adatokban. A diagram a stabil egyensúlyok számának átlaga (várható értéke) és a stabil egyensúlyok számának szórása között, illetve ehhez hasonlóan, az instabil egyensúlyok számának átlaga (várható értéke) és az instabil egyensúlyok számának szórása közötti erős kapcsolatot szemlélteti. A stabil és instabil egyensúlyok esetén gyakorlatilag azonos összefüggést kapunk: minél nagyobb az egyensúlyok száma, az egyensúlyok számának szórása annál nagyobb. 17
2,5 szimuláció kísérleti adatok: S 2 kísérleti adatok: U σ(s),σ(u) 1,5 1 0,5 σ(s) = 1,0204(E(S)-2) 0,4596 R 2 = 0,9654 σ(u) = 0,9362(E(U)-2) 0,5345 R 2 = 0,9375 σ(s) = 0,9727(E(S)-2) 0,4858 R 2 = 0,9588 0 0 1 2 3 4 5 E(S)-2, E(U)-2 9. ábra: E(S) σ(s) és E(U) σ(u) összefüggés A diagram igen szoros korrelációt (R 2 ~0.96) mutat az egyensúlyok átlagos száma és az egyensúlyok számának szórása között. A számítógéppel generált véletlen kísérletek (a szövegben lásd később) igen jól visszaadják a kísérleti eredményeket. A 2D szimuláció futtatása során μ 0 várható értéke és szórása: E(μ 0 )=0,20 és σ(μ 0 )=0,10 volt. Vajon milyen fizikai jelenségek húzódnak meg e két diagram szoros összefüggései mögött? A 6. ábrán már megfigyelhettük, hogy minél közelebb áll egy test alakja a körhöz, annál több egyensúlyt látunk, ezzel együtt a falkák száma is megnő. Ez azért van így, mert a körhöz közeli testeken sokkal könnyebb új egyensúlyt létesíteni, úgy is fogalmazhatunk: ezek a testek sokkal érzékenyebbek. Az E(S)-laposság összefüggést (8. ábra) alapvetően ez a jelenség magyarázza. Ugyanakkor, a körhöz közeli testek érzékenysége a kulcs az E(S) σ(s) (és E(U) σ(u)) összefüggések (9. ábra) megértéséhez is: a lapos testek kevéssé érzékenyek, az egyensúlyok számát egy-egy külső behatás nehezebben változtatja meg, így az egyensúlyok, a falkák számában csak kis szórás jellemző. A körhöz közeledve ez az érzékenység nő, a kavicsok az egyensúlyok átlagos száma 18
körül jobban szóródnak. Ugyanakkor (s talán ez számunkra a legérdekesebb) a körhöz közeli testeknél nemcsak a kavics érzékenysége okoz nagy szórást az egyensúlyok számában, hanem az a tény is, hogy a kísérletező egyre bizonytalanabbul tudja eldönteni, mely egyensúlyok tartoznak egy falkába, s melyek nem. A 6.c) és 6.d) ábrán is láthattuk, hogy a körhöz közeledve a falkák definiálása egyre bizonytalanabb, a globális és lokális egyensúlyok skálája közti különbség egyre inkább elmosódik, a kísérletező bizonytalanabbul tud dönteni a globális egyensúlyok számát illetően. Ez a diagram tehát egyértelműen kimutatja a falka-jelenség hatását a kísérletekben. Hogy a kísérleti eredmények fenti magyarázatát igazoljuk, egy olyan véletlen kísérletet gondoltunk ki, amely alkalmas arra, hogy értelmezze az adatok mögött rejlő fizikai jelenségeket. A véletlen kísérlet során számítógép segítségével generált, különböző laposságú (2D) poligonokon vizsgáltuk az egyensúlyok számát, figyelembe véve a falka-jelenséget is, azaz a globális egyensúlyok számát a 4) fejezetben definiált μ0 hunyorítási paraméter függvényében állapítottuk meg. A kísérlet véletlenszerűsége két forrásból fakadt: egyrészt, a 100 oldalú poligonokat különböző laposságú ellipszisek random diszkretizálásával hoztuk létre, vagyis a poligon csúcspontjait az ellipszis kerülete mentén az egyenletes eloszlású 0, 2 központi szög 100 véletlenszerűen kisorsolt értéke határozta meg (hasonlóan a 6. ábrához). Másrészt, a falkákat objektíven definiáló μ0 paramétert is véletlen változóként kezeltük (normális eloszlással), azaz értékét egy meghatározott átlagérték körül szóródni hagytuk. Annak érdekében, hogy statisztikailag kiértékelhető eredményt kapjunk, minden egyes laposság értékhez 100 db poligont generáltunk, ahol egy-egy poligon tehát egy-egy random csúcskiosztásnak és egy-egy random μ0 értéknek felelt meg. A laposság egy meghatározott minimális és maximális értéke között (r értéke 1.1-től 3.5-ig terjedt) összesen 150 laposság érték mellett generáltunk testeket, vagyis a fenti diagramokon a szimuláció adathalmazai összesen 150 100 poligon adatai alapján készültek. Noha a 3 dimenziós valóság modellezésére egy 2 dimenziós véletlen kísérletet használtunk, 8. és 9. ábrán láthattuk, hogy a számítógépes szimuláció jellegében nagyon jól visszaadja a kísérleti eredményeket, az 19
eredmények alapján a 3D kísérleti adatok egyszerű 2D modellel való közelítése elfogadhatónak tűnik. A szimuláció bemenő paramétereinek alkalmas megválasztásával igen szép egyezést kaptunk a kísérleti adatokkal. Mik voltak ezek a bemenő paraméterek? A szimuláció futtatása során E(μ 0 )=0,20 és σ(μ 0 )=0,10 várható érték és szórás mellett kaptuk a legjobb egyezést a kísérleti adatokkal. A program a globális egyensúlyok számát μ 0 függvényében számolta ki, vagyis figyelembe vette a falkajelenséget. Azonban fontos hangsúlyozni, hogy az E(S) σ(s) diagrammal való legjobb egyezést úgy kaptuk, hogy μ 0 -t a futtatás során valószínűségi változóként kezeltük, vagyis szóródni engedtük az értékét. Mint már említettük, a μ 0 egyfajta hunyorítási paraméternek is tekinthető, amely azt jellemzi, hogy a kísérletező milyen skálán vizsgálta az egyensúlyokat, így a μ 0 szóródása a kísérletező bizonytalanságát szimulálja. A futtatás tehát lényegében megmutatta, hogy a kísérleti adatokban jelen van a kísérletező bizonytalansága a körhöz közeli testek vizsgálatakor, ahol a globális és lokális egyensúlyok skálájának összemosódása miatt nehéz objektíven eldönteni, mely egyensúlyok alkotnak egy falkát. A számítógép segítségével generált véletlen kísérlet tehát igazolta a falka-jelenség hatását a valódi kavicsokon végzett kísérletek eredményeiben. Érdemes azt is megemlítenünk, hogy noha a kigondolt véletlen kísérlet meglehetősen egyszerű volt, ez egy egyszerű modell mégis mindkét diagramot tekintve meglepően szép egyezést adott a kísérleti eredményekkel összevetve. 6) Összefoglalás Ebben a dolgozatban a kavicsok morfológiájával és egyensúlyi osztályozásával kapcsolatos kutatási téma új eredményeit mutattuk be, rávilágítva arra a fontos problémára és ugyanakkor érdekes jelenségre, hogy a kavicsok felszínén a lokális egyensúlyi pontok tipikusan nem izoláltan helyezkednek el, hanem egymás közvetlen közelében, falkákat alkotva. Kiderült, hogy a közeli lokális egyensúlyok létezésének problémája komoly kételyeket támaszthat a kézi osztályozás megbízhatóságát illetően, így ez a probléma az új osztályozási rendszer Achilles-sarkának tekinthető és mindenképpen alapos vizsgálatot kíván. Az általunk javasolt új osztályozás ugyanis csak akkor válhat hasznos mindennapi eszközzé a 20
geológiában, ha megmutatható, hogy az esetek jó részében a kísérletező valóban objektíven el tudja dönteni, hogy mely lokális egyensúlyok alkotnak egy falkát, vagyis ha a globális egyensúlyok számát egyértelműen el lehet dönteni kézi kísérletek során. A 4) fejezetben bemutattuk, hogy a körhöz közeli esetek kivételével jól különválik a lokális és globális egyensúlyok skálája a kavicsok geometriájában, vagyis a lokális egyensúlyok viszonylag közel, a globális egyensúlyok pedig viszonylag távol találhatóak egymástól, így a kísérletek során a kavicsok egyensúlyi osztálya objektíven megállapítható a globális egyensúlyok számbavétele alapján. Ugyanakkor, azt is láthattuk, hogy körhöz közeli alakok esetén a falkák definiálása egyre bizonytalanabb, a globális és lokális egyensúlyok skálája közti különbség egyre inkább elmosódik, így a kísérletező egyre bizonytalanabbul tudja elkülöníteni a globális és lokális egyensúlyok skáláját. Amint azt az 5) fejezetben láthattuk, ez a jelenség a kísérleti adatokban is megjelenik. Bemutattuk, hogy kavicsok egyensúlyi helyzeteinek a száma döntően a laposságtól függ, a körhöz (3D-ben gömbhöz) közeli kavicsokon szignifikánsan több egyensúlyt találunk. Ugyanakkor, az egyensúlyi helyzetek száma és szórása között is igen szoros korrelációt tapasztaltunk, vagyis a több egyensúlyi helyzettel rendelkező (gömbhöz közelibb) kavicsok között nagyobb az egyensúlyok számának szóródása. Ez az eredmény két jelenségnek tudható be: egyrészt a gömbhöz közeli kavicsok érzékenyebbek a külső behatásokkal (koptatással) szemben, másrészt a gömbhöz közeledve a kísérletező bizonytalansága is egyre nő az osztályozás során, mivel a falkák elkülönítése egyre nehezebb. Végül, ezen fontos és érdekes kísérleti eredményeket számítógép segítségével szimulált véletlen kísérlettel igyekeztünk igazolni. A véletlen modell egyértelműen rámutatott arra, hogy a kísérletező bizonytalansága miként függ a kavics morfológiájától. Noha a 3 dimenziós valóság modellezésére egy egyszerű 2 dimenziós modellt használtunk, ez az egyszerű modell mégis jól megfogta a kísérleti adatok mögött rejlő jelenségeket, hiszen a szimuláció bemenő paramétereinek alkalmas megválasztásával igen szép egyezést kaptunk a kísérleti adatokkal összevetve. 21
Irodalomjegyzék [1.] SZABÓ, T., 2007, Merev testek egyensúlyi helyzetei: kavicsok geometriája, TDK dolgozat, Kari TDK Konferencia [2.] SZABÓ, T., 2008, Kavicsok geometriája klasszikus és új osztályozási rendszerek, TDK dolgozat, Kari TDK Konferencia és OTDK Konferencia, Fizika, Földtudományok és Matematika Szekció [3.] BLOTT, S. and PYE, K. Particle shape: a review and new methods of characterization and classification. Sedimentology, 55, p. 31 63 [4.] ILLENBERGER, W., 1991, Pebble shape (and size!) J. of Sedimentary Research, 61 (5), p. 756. [5.] ZINGG, T., 1935, Beitrag zur Schotteranalyse, Schweizer Miner. Petrog. Mitt., 15, p. 39-140 [6.] SNEED, E. AND FOLK, R.L., 1958, Pebbles in the lower Colorado River, Texas, a study in particle morphogenesis. J.of Geology, 66, p. 114-150. [7.] SMALLEY, I.J., 1967, The presentation of subjective shape and roundness data. Sedimentology, 8, p. 35-38. [8.] DOMOKOS, G., PAPADOPOULOS, J. AND RUINA, A., 1994, Static equilibria of rigid bodies: is there anything new? J. Elasticity, 36, p. 59-66 [9.] VÁRKONYI, P. AND DOMOKOS, G., 2006, Static equilibria of rigid bodies: dice, pebbles and the Poincaré-Hopf Theorem. J. Nonlinear Science, 16, p. 255-281 [10.] DOMOKOS, G., VÁRKONYI, P., 2006, Mono-monostatic bodies: The Answer to Arnold s question. Mathematical Intelligencer, Vol. 28/4, p. 34-382.] [11.] ZAMFIRESCU, T., 1995, How do convex bodies sit? Mathematica, 42, p. 179-181. 22
Melléklet 1. táblázat: a gyűjtött kavicsminták részletes adatai 1. S1 2. S2 3. S3 4. T1 5. T2 6. A1 7. A2 8. N1 9. V1 10. M1 11. M2 12. R1 13. R2 14. R3 15. R4 16. K1 17. K2 18. P1 19. C1 20. C2 Helyszín Via Mala szurdok, Graubünden, Svájc Via Mala szurdok, Graubünden, Svájc Via Mala szurdok, Graubünden, Svájc Marathonis beach, Zakinthos, Marathonis beach, Zakinthos, Zakinthos, Argassi beach, Argassi beach, Zakinthos, Navagio beach, Zakinthos, Duna-part, Vác, Magyarország Monolithos beach, Santorini, Monolithos beach, Santorini, Red Beach, Santorini, Red Beach, Santorini, Red Beach, Santorini, Akrotiri beach, Santorini, Kamari Beach, Santorini, Kamari Beach, Santorini, Perissa Beach, Santorini, Kanári-szigetek, Spanyolország Kanári-szigetek, Spanyolország Mintaméret db E(S) E(U) σ(s) σ(u) c/b b/a c/a 50 2,16 2,64 0,47 0,80 0,44 0,78 0,34 50 2,20 2,28 0,49 0,45 0,46 0,73 0,34 50 2,04 2,62 0,20 0,70 0,42 0,78 0,32 50 3,36 4,12 1,10 1,08 0,71 0,78 0,56 50 3,50 3,54 1,09 1,47 0,77 0,76 0,59 50 3,48 3,48 1,11 1,39 0,75 0,77 0,58 50 3,18 3,76 1,17 1,29 0,66 0,78 0,51 50 2,22 2,48 0,51 0,65 0,58 0,75 0,43 50 2,12 2,30 0,44 0,46 0,55 0,72 0,40 50 2,10 2,50 0,42 0,58 0,47 0,83 0,39 50 2,84 2,68 1,04 0,71 0,70 0,77 0,54 50 2,14 2,32 0,40 0,55 0,57 0,71 0,41 50 2,24 2,34 0,48 0,52 0,61 0,75 0,46 50 2,22 2,30 0,46 0,51 0,65 0,78 0,51 50 3,58 2,96 1,28 0,90 0,79 0,79 0,63 50 2,22 2,52 0,65 0,61 0,56 0,81 0,45 50 4,18 3,94 1,17 1,38 0,81 0,81 0,66 50 2,50 2,54 0,74 0,76 0,68 0,76 0,52 50 3,76 3,22 1,42 1,11 0,79 0,75 0,59 50 5,28 4,54 2,01 1,34 0,76 0,79 0,60 23