Pszeudovéletlen sorozatok és rácsok

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Mérai László Pszeudovéletlen sorozatok és rácsok cím doktori értekezés tézisei Matematikai Doktori Iskola Vezet : Laczkovich Miklós Elméleti Matematikai Doktori Program Vezet : Sz cs András Témavezet : Sárközy András Budapest, 2010.

1. Bevezetés Véletlen elemek generálása több alkalmazásban is központi szerepet játszik, különösen a kriptográában és a numerikus analízisben. Mivel valódi véletlen elemek sorozatának el állítása költséges, így a gyakorlatban nem valódi, hanem pszeudovéletlen értékeket használnak. A pszeudovéletlenségnek azonban több lehetséges denícióját is adták. 1997-ben Mauduit és Sárközy [11] a valódi véletlen sorozatok alapvet tulajdonságait alapul véve, egy új, kvantitatív követelményrendszert állított fel sorozatok véletlenségének vizsgálatához. Nevezetesen bevezették a véletlenség különböz mértékeit: 1. Deníció. Adott E N = {e 1,..., e N } {+1, 1} N sorozat eloszlás mértéke: W (E N ) = max U(E t 1 N, a, b, t) = max e a+jb, a,b,t a,b,t ahol a maximum olyan a, b, t N számokra fut, melyekre 1 a a + (t 1)b N. Az E N sorozat l-ed rend korrelációs mértéke: C l (E N ) = max V (E M N, M, D) = max e n+d1 e n+d2... e n+dl, M,D M,D ahol a maximum olyan D = (d 1,..., d l ) l-eseken és M N számokon fut, melyekre d 1 < d 2 < < d l, M + d l N. Ha E N egy valódi véletlen sorozat, akkor mértékei kicsik (W (E N ) N log N, illetve C l (E N ) l N log N, ld. [1]). Így egy E N sorozatot jó pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkez sorozatnak tekinthetünk, ha mértékeire log N hatványtól eltekintve hasonló korlát adható, legalább kis l korrelációs rendekre. Goubin, Mauduit és Sárközy [4] a Legendre szimbólum segítségével deniált jó pszeudovéletlen sorozatot (kiterjesztve Mauduit és Sárközy [11] konstrukcióját): 1. Konstrukció (Goubin, Mauduit, Sárközy). Legyen p egy prímszám, f F p [x] és deniáljuk az E p = {e 1,..., e p } sorozatot a következ képpen: ( ) f(n), ha p f(n), p 1, ha p f(n), ( ahol p ) a Legendre szimbólum. Kés bb Mauduit, Rivat és Sárközy [10] könnyen számolható konstrukciót vizsgált: 2 n=1 j=0

2. Konstrukció (Mauduit, Rivat, Sárközy). Legyen p egy prímszám és f F p [x]. Deniáljuk az E p = {e 1,..., e p } sorozatot a következ képpen: { +1, ha f(n) {1, 2,..., p 1 2 } 1, máskülönben. Megmutatták, hogy a konstrukció csak er s megszorításokkal mondható pszeudovéletlennek. Nevezetesen, ha a polinom foka nagyobb, mint a korreláció rendje, akkor a korrelációs mérték lehet nagy. Ezt a hiányosságot küszöbölte ki Mauduit és Sárközy, lecserélve az f polinomot annak multiplikatív inverzével: 3. Konstrukció (Mauduit, Sárközy). Legyen p egy prímszám és f F p [x]. De- niáljuk az E p = {e 1,..., e p } sorozatot a következ képpen: { +1, ha f(n) 0 és f(n) 1 {1, 2,..., p 1 2 } 1, máskülönben, ahol a 1 (a 0) az a F p elem multiplikatív inverzét jelöli. 2. Pszeudovéletlen bináris sorozatok általános konstrukciója Az eddig felsorolt konstrukciókat mind a következ általános konstrukció speciális eseteiként kapjuk: 4. Konstrukció. Legyen p prímszám, ψ additív, χ multiplikatív karaktere F p -nek, F (x), Q(x) F p (x) racionális törtfüggvények. Ekkor deniáljuk az E p sorozatot a következ módon: { ( ) +1 ha arg ψ (F (n)) χ (Q(n)) [0, π) és n S 1 máskülönben. Világos, hogy ha az F függvényt konstansnak és a χ karaktert a kvadratikus karakternek választjuk, akkor visszakapjuk az 1. konstrukciót. Másrészr l, ha a χ karaktert úgy választjuk, hogy χ(g) = e p 1, 2πi ahol g generátor F p -ben akkor Gyarmati [5] és Sárközy [16] diszkrét logaritmus segítségével deniált konstrukcióját kapjuk. Továbbá, ha a Q függvény konstans, akkor visszakapjuk a 2. illetve a 3. konstrukciót, amennyiben az F függvény egy polinom vagy annak multiplikatív inverze. Pszeudovéletlen bináris sorozatok konstrukcióját ilyen általánosságban el ször Oon tanulmányozta [14, 15]. Vizsgálta a 4. konstrukció azon speciális esetét, mikor az F függvény konstans. Bebizonyította, hogy a konstrukció jó, ha a karakter rendje 3

nagy: Ω(p 1/2 ). Abban az esetben, amikor a karakter rendje kicsi (nagyságrendileg o(p 1/2 )) és páratlan, akkor nem várhatunk nemtriviális korlátot (ld 3. fejezet 1. példa). El ször azt vizsgáltam, hogy lehet-e jó korlátot adni abban az esetben, mikor a karakter rendje kicsi (nagyságrendileg o(p 1/2 )) és páros. A megfelel tétel kimondása el tt deniálni kell a megengedhet ség fogalmát, amely karakterizálja, mely Q függévnyek esetén adható jó fels korlát a mértékekre. 2. Deníció. A (k, l, m) számhármas d-megengedhet (k, l < m), ha nem létezik a következ követelményeknek eleget tev A, B multihalmaz: (i) A = k, B = l; (ii) A és B minden elemének multiplicitása kisebb, mint d, és A minden elemének multiplicitása relatív prím d-hez; (iii) az A + B összegben minden elem d-szeresen van reprezentálva, azaz az a + b = c, a A, b B egyenletnek a megoldásszáma minden c esetén osztható d-vel. (Itt A az A multihalmaz különböz elemeinek a számát jelöli.) Továbbá a (k, l, G) hármas megengedhet, ha minden A, B G halmaz esetén, melyre A k, B l létezik olyan c G elem, hogy az a + b = c a A, b B egyenletnek pontosan egy megoldása van. 3. Tétel ([M1]). Ha az E p sorozatot a 4. konstrukció deniálja, ahol a χ multiplikatív karakter d rendje páros, Q F p [x] polinom, ami nem d-hatvány, és az F függvény konstans, akkor ahol s a Q gyökeinek számát jelöli. W (E p ) 36sp 1/2 log p log d + s, Továbbá ha a Q minden gyökének multiplicitása vagy relatív prím d-hez, vagy azzal osztható, és az (s, l, p) hármas d-megengedhet, akkor C l (E p ) 9 4 l lsp 1/2 log p(log d) l + ls. Ha az F függvény nem konstans, akkor a χ karakter rendje lehet páratlan is: 4. Tétel ([M3]). Legyen ψ ψ 0 additív, χ χ 0 d-ed rend multiplikatív karaktere F p -nek, F (x) = f(x) q(x), Q(x) = F g(x) r(x) p(x) olyan racionális törtfüggvények, melyekre 4

(g(x), f(x)) = 1, (q(x), r(x)) = 1 és sem f-nek, sem g-nek nincs többszörös gyöke, Q pedig nem d-hatvány. Ha az E p sorozatot a 4. konstrukció deniálja, akkor W (E p ) (deg F + z) p 1/2 (log p) 2, ahol z jelöli q és r különböz gyökeinek számát. Továbbá, ha l N teljesíti az alábbi feltételek valamelyikét: (i) l = 2; (ii) (4 deg g) l < p, (4 deg Q) l < p; (iii) g(x) = (x + a 1 )(x + a 2 )... (x + a k ) ( a i a j, i j ) és l deg g < p 2, akkor (4 deg Q) l < p, C l (E p ) (l + 1)(deg F + d deg Q) p 1/2 (log p) l+1. Hasonlóan bizonyítható az az eset is, mikor a Q függvény konstans [M2]. Ekkor a tételben szerepl korlátok megfelel i érvényesek. 3. Pszeudovéletlen bináris rácsok Az alkalmazásokban a pszeudovéletlen sorozatok mellet komoly igény mutatkozott pszeudovéletlen rácsok iránt is. Ezért Hubert, Mauduit és Sárközy kiterjesztette a pszeudovéletlen bináris sorozatok fogalmát több dimenzióra [9]. Legyen IN n a következ halmaz: I n N = { x = (x 1,..., x n ) : x 1,..., x n {0, 1,..., N 1} }. Ekkor a bináris rácsot mint az I n N halmazon értelmezett bináris függvényt deniáljuk: η : I n N { 1, +1}. Az egydimenziós esethez hasonlóan deniálhatjuk a mértékeket. Ehhez legyen el ször u 1,..., u n n darab lineárisan független vektor, melyeknek n 1 koordinátája nulla. Legyenek t 1,..., t n olyan egészek, melyekre 0 t 1,..., t n < N. Ekkor B n N (vagy röviden B) tégla rácsot (box lattice) a következ képpen deniáljuk: B n N = {x = x 1 u 1 + + x n u n : 0 x i u i t i, i = 1,..., n}. 5. Deníció. Az η sorozat l-ed rend véletlenségi mértéke a Q l (η) = max η(x + d 1 )... η(x + d l ) B,d 1,...,d l, x B ahol a maximum az összes d 1,..., d l I n N és B téglarácsra fut, melyre B + d 1,..., B + d l I n N. 5

Huber, Mauduit és Sárközy szintén vizsgálta, hogy hogyan viselkednek ezen mértékek valódi véletlen esetben. Bebizonyították, hogy ha η : IN n { 1, +1} egy valódi véletlen rács, akkor Q l (η) l N n log N n (ld. [9]). Ezek alapján egy η rácsot jó pszeudovéletlen tulajdonságokkal rendelkez rácsnak tekinthetünk, ha mértékeire nagyságrendileg hasonló korlát adható, legalább kis l rendekre. Mauduit és Sárközy [13] példát mutatott jó pszeudovéletlen rácsra: 5. Konstrukció (Mauduit és Sárközy). Legyen q = p n prímhatvány, γ a kvadratikus karaktere F q -nak, f(x) F q [x]. Ekkor deniáljuk az η rácsot a következ képpen: η(x) = { γ(f(x1 b 1 + + x n b n )) ha f(x 1 b 1 + + x n b n ) 0, 1 máskülönben, ahol b 1,..., b n F q egy bázisa F p fölött és x = (x 1,..., x n ). jó: Bebizonyították, hogy ha f kielégít bizonyos feltételeket, akkor ez a konstrukció Q l (η) < deg f l(q 1/2 (1 + log p) n + 2). Megjegyezem, hogy mind a bináris rács fogalmát, mind a mértékeket ki lehet terjeszteni több szimbólumú esetre, ld. [M5]. Az 5. konstrukciót a sorozatokhoz hasonlóan kiterjeszthetjük általános multiplikatív karakter segítségével: 6. Konstrukció. Legyen q = p n prímhatvány, f(x) F q [x], χ multiplikatív karaktere F q -nak. Ekkor deniáljuk az η rácsot a következ képpen: η(x) = { +1 ha arg ( χ(f(x1 b 1 + + x n b n )) ) [0, π), 1 máskülönben, ahol b 1,..., b n F q egy bázisa F p fölött és x = (x 1,..., x n ). A következ tétel alapján ez egy jó konstrukció: 6. Tétel ([M4]). Deniálja az η rácsot a 6. konstrukció. Legyen a χ multiplikatív karakter d rendje páros, f(x) F q [x] olyan polinom mely nem d-hatvány, és minden gyökének multiplicitása vagy osztható d-vel, vagy ahhoz relatív prím. továbbá, hogy a (deg f, l, F q ) hármas megengedhet. Ekkor Q l (η) 4 l l deg f(log d) l q 1/2 (1 + log p) n l deg f. Tegyük fel 6

4. Pszeudovéletlen bináris sorozatok és rácsok elliptikus görbék felett Kriptográai alkalmazásokban el szeretettel használnak elliptikus görbéket, azok véletlen viselkedése miatt. Elliptikus görbék segítségével el ször Hallgren deniált sorozatot a következ módon [8]: Adott E elliptikus görbe és P, P 0 E pont esetén legyen s 0 = P 0 és s n = P s n 1 = np P 0. Chen [2], illetve kés bb Chen, Li, és Xiao [3] tanulmányozta az ebb l a sorozatból származtatható bináris sorozatokat, ahol a bináris sorozatot a Legendre szimbólum, illetve véges testek fölötti diszkrét logaritmus segítségével származtatták. Az általános konstrukciót a következ képp deniálhatjuk: 7. Konstrukció. Legyen p > 3 prímszám, E elliptikus görbe F p fölött, G E(F p ) T -ed rend elem, f F p (E), χ d-ed rend multiplikatív karaktere F p -nek. Ekkor deniáljuk az E T = {e 1,..., e T } sorozatot a következ képpen: { ( ) +1, ha ng Supp(f) és arg χ(f(ng)) [0, π), 1, máskülönben. Hasonlóan a korábbiakhoz, ha χ a Legendre szimbólum, akkor visszakapjuk Chen konstrukcióját [2]. Másrészr l, ha χ p 1-ed rend karakter, akkor megkapjuk Chen, Li és Xiao diszkrét logaritmuson alapuló konstrukcióját [3]. 7. Tétel ([M7]). Ha az E T = {e 1,..., e T } sorozatot a 7. konstrukció deniálja, ahol a χ karakter rendje páros, f F p (E) nem d-hatvány F p (E)-ben és G T -ed rend pont, akkor W (E T ) 4 Supp(f) p 1/2 (1 + log T ) log d + Supp(f). Továbbá, ha f gyökeinek és pólusainak multiplicitása vagy d-vel osztható, vagy ahhoz relatív prím, l N olyan egész, melyre a ( Supp(f), l, T ) hármas d-megengedhet, akkor C l (E T ) 4 l Supp(f) p 1/2 (1 + log T )(log d) l + l Supp(f). További jó konstrukciót deniálhatunk racionáls törtfüggvény maradékával is: 8. Konstrukció. Legyen p > 3 prímszám, E elliptikus görbe F p fölött, G E(F p ) T -ed rend elem, f F p (E). Ekkor deniáljuk az E T következ képpen: { +1, ha f(ng) {0, 1,..., p 1 2 }, 1, máskülönben. 7 = {e 1,..., e T } sorozatot a

8. Tétel ([M8]). Legyen p > 3 prímszám, f F p (E) nem konstans függvény. Ha az E T = {e 1,..., e T } sorozatot a 8. konstrukció deniálja, akkor Ha feltesszük továbbá, hogy (i) deg f < p(t ) és l = 2; (ii) deg f < p(t ) és (4 deg f) l < p(t ), W (E T ) << deg f p 1/2 log p log T. ahol p(t ) a T legkisebb prímosztója, akkor C l (E T ) << l deg fp 1/2 (log p) l log T. Végül megmutatom, hogy elliptikus görbék segítségével jó pszeudovéletlen rács is deniálható. 9. Konstrukció. Legyen p > 3 prímszám, χ multiplikatív karaktere F p -nek, E elliptikus görbe F p fölött, f F p (E) és P 1,..., P n E(F p ) olyan gyengén független pontok, melyek rendje nem nagyobb N-nél. Ekkor deniáljuk az η : IN n { 1, +1} rácsot a következ módon: +1 ha x 1 P 1 x n P n Supp(f) η(x 1,..., x n ) = és arg ( χ(f(x 1 P 1 x n P n )) ) [0, π), 1 máskülönben. 9. Tétel ([M6]). Legyen p > 3 prímszám, χ d-ed rend multiplikatív karaktere F p -nek, melynek rendje páros. Legyen továbbá f F p (E), mely nem d-hatvány F p (E)-ben, és az f gyökeinek és pólusainak rendje vagy osztható d-vel, vagy d-hez relatív prím. Ha az η : IN n { 1, +1} rácsot a 9. konstrukció deniálja, és a ( Supp(f), l, E(F p )) hármas megengedhet, akkor Q l (η) 2 3 n (2d) l ld deg(f)p 1/2 (log E(F p ) ) n (log d) l + l Supp(f). 5. Megengedhet ség A következ kben elégséges feltételeket adok d-megengedhet ségre, illetve megengedhet ségre. 10. Tétel ([M7]). Egy m szám legkisebb prímosztóját jelölje p(m). Ekkor (i) Ha k, m, d N, k < p(m), akkor a (k, 2, m) hármas d-megengedhet. (ii) Ha k, m, d N, k < p(m), továbbá (4l) k < p(m), akkor a (k, l, m) hármas d-megengedhet. 8

(iii) Ha m egy prímszám, d minden prímosztója primitív gyök modulo m, akkor minden k, l < m esetén a (k, l, m) hármas d-megengedhet. 11. Tétel ([M6]). Legyen G = Z d1 Z ds tetsz leges véges Abel csoport, és p(g) a csoport rendjének legkisebb prímosztója. Legyen k, l N melyek az alábbi feltételek valamelyikét teljesítik: (i) k < p(g), l = 2; (ii) 4 s(k+l) < p(g). Ekkor a (k, l, G) hármas megengedhet. Az értekezés a szerz alábbi cikkeit dolgozza fel [M1] L. Mérai, Construction of large families of pseudorandom binary sequences, The Ramanujan Journal 18 (2009), 341349. [M2] L. Mérai, A construction of pseudorandom binary sequences using rational functions, Unif. Distrib. Theory, 4 (2009), no. 1, 3549. [M3] L. Mérai, A construction of pseudorandom binary sequences using both additive and multiplicative characters, Acta Arith. 139 (2009), 241252. [M4] L. Mérai, Construction of pseudorandom binary lattices based on multiplicative characters, Periodica Math. Hungar. 59 (2009) 4351. [M5] L. Mérai, On nite pseudorandom lattices of k symbols, Monatsh. Math. 161 (2010), no. 2, 173191. [M6] L. Mérai, Construction of pseudorandom binary lattices using elliptic curves, Proc. Amer. Math. Soc. 139 (2011), 407-420 [M7] L. Mérai, Construction of pseudorandom binary sequences over elliptic curves using multiplicative characters, beküldve [M8] L. Mérai, Construction of pseudorandom binary sequences over elliptic curves, beküldve További hivatkozások [1] N. Alon, Y. Kohayakawa, C. Mauduit, C. G. Moreira and V. Rödl, Measures of pseudorandomness for nite sequences: typical values, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 95 (2007) no. 3, 778812. 9

[2] Z. Chen, Elliptic curve analogue of Legendre sequences, Monatsh. Math. 154 (2008) no. 1, 110. [3] Z. Chen, S. Li, G. Xiao, G. Construction of pseudorandom binary sequences from elliptic curves by using discrete logarithm, Lecture Notes in Comput. Sci., 4086, Springer, Berlin, (2006) 285-294. [4] L. Goubin, C. Mauduit, and A. Sárközy, Construction of large families of pseudorandom binary sequences, J. Number Theory 106 (2004), 5669. [5] K. Gyarmati, On a family of pseudorandom binary sequences, Periodica Math. Hungar. 49 (2004) 45-63. [6] K. Gyarmati; C. Mauduit; A. Sárközy: Constructions of pseudorandom binary lattices. Unif. Distrib. Theory 4 (2009), no. 2, 5980. [7] K. Gyarmati; A. Sárközy; C. L. Stewart: On Legendre symbol lattices. Unif. Distrib. Theory 4 (2009), no. 1, 8195. [8] S. Hallgren, Linear congruential generators over elliptic curves, Tech. Report CS-94-143, Carnegie Mellon Unv., 1994. [9] P. Hubert, C. Mauduit and A. Sárközy, On pseudorandom binary lattices, Acta Arith. 125 (2006), 5162. [10] C. Mauduit, J. Rivat and A. Sárközy, Construction of pseudorandom binary sequence using additive characters, Monatshefte Math. 141 (2004), 197208 [11] C. Mauduit, A. Sárközy, On nite pseudorandom binary sequences I: Measures of pseudorandomness, the Legendre symbol, Acta Arith. 82 (1997), 365377. [12] C. Mauduit, A. Sárközy, Construction of pseudorandom binary sequences by using the multiplicative inverse, Acta Math. Hungar. 108 (2005), 239252. [13] C. Mauduit, A. Sárközy, On large families of pseudorandom binary lattices, Unif. Distrib. Theory 2 (2007), no. 1, 2337. [14] S. M. Oon, Construction des suites binaires pseudo-aléatories, PhD dolgozat, Nancy, 2005. [15] S. M. Oon, On pseudo-random properties of certain Dirichlet series, Ramanujan J. 15 (2008), no. 1, 1930 [16] A. Sárközy, A nite pseudorandom binary sequence, Studia Sci. Math. Hungar. 38 (2001), 377-384. 10