Optika gyakorlat 1. Fermat-elv, fénytörés, reflexió sík és görbült határfelületen Kivonat Geometriai optika: közelítés, amely a fényterjedést, közeghatáron való áthaladást geometriai alakzatok görbék segítségével írja le. Ezen görbéket fénysugaraknak nevezzük. Fermat-elv eredeti megfogalmazásban: a fény két pont között a legrövidebb úton terjed. Ez egy hasznos eszköz a fény útjának számolására, szemléltetésére. Fermat-elv A Fermat-elv modern megfogalmazásban: a fény két pont között azon az úton terjed, amely megtételéhez szükséges idő szélsőértéket vesz fel (legkisebb vagy legnagyobb). Ez hasonló a mechanikából ismert Hamilton-elvhez. B B δ (OP L) = δ n(r) ds = δ A A dop L(ɛ) dɛ c B v(r) ds = c δ A = 0 OP L = ɛ=0 1. példa: Fénytörés két közeg határfelületén Igazoljuk a törési törvényt a Fermat-elv segítségével! Megoldás: n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 OP L = P P n(r) ds = n 1 a 2 + x 2 + n 2 b 2 + (d x) 2 dt = 0 max min inflexió (Fermat elv) dop L dx = n 1 x a2 + x n 2(d x) 2 b2 + (d x) = 0 2 = n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 1. ábra. Fénytörés 1
2. példa: Parabolikus tükör - tökéletes fókuszálás 2. ábra. Parabolikus reflektor (forrás: MIT Optics Course Number 2.71 / 2.710) A végtelenből jövő párhuzamos fénysugarak tökéletesen egy pontba fókuszálódnak le. Az ilyen felületeket ún. karteziánus felületeknek (Cartesian surface) nevezzük. Mi a felület egyenlete? Megoldás: A fénysugarak a legrövidebb optikai úthosszt követik, ami minden fénysugárra ugyanaz. Hasonlítsuk össze a középső és egy szélső fénysugár optikai úthosszát: 2f = f s + x 2 + (f s) 2 f + s = x 2 + (f s) 2 x 2 = (f + s) 2 (f s) 2 = 4sf s(x) = x2 4f 3. ábra. Parabolikus tükör fényútjai merőleges és ferde beesés esetén 3. példa: Gömbtükör paraxiális közelítésben Paraxiális közelítésben vizsgáljuk meg a gömbtükör leképezését. Állapítsunk meg egy összefüggést az optikai tengelyen lévő tárgypont és képpont pozíciója között (leképkezési 2
törvény). Mennyi a gömbtükör fókusztávolsága? (Paraxiális közelítés: a fénysugarak az optikai tengellyel kis szöget zárnak be, és az optikai tengelyhez közel terjednek.) Megoldás: Tekintsük a P 1 pontból θ 1 szög alatt induló fénysugarat, mely a tükrözést követően P 2 ponton halad át θ 2 szög alatt. (A θ 1 és θ 2 szög előjele pozitív) A gömb sugara legyen R, és a C középpontból az y magasságban elhelyezkedő tükrözési pontba húzott sugár z-tengellyel bezárt szöge legyen θ 0. Ekkor a P 1 OP 2 háromszög és a COP 2 háromszög külső és belső szögei közötti összefüggések: θ 1 = θ 0 θ ; θ 2 = θ 0 + θ = θ 2 + θ 1 = 2θ 0 2y R, ahol y az magasság, ahol a visszeverődés történik. Hasonlóan a többi szögre is a kis szögű közelítést alkalmazva: 1 + 1 2 z 1 z 2 R Ha végtelenből jövő, párhuzamos sugarakat vizsgálunk (z 1 ), akkor azok a z 2 = R 2 pozícióba fókuszálódnak. Ezt nevezzük definíció szerint fókusztávolságnak f z 2 = R 2 és fókuszpontnak (F). 4. ábra. Gömbtükör leképezése paraxiális közelítésben, (kép forrás: Saleh-Teich: Fundamentals of Photonics) 4. példa: Ellipszoid alakú lencse - tökéletes fókuszálás A végtelenből érkező tengelypárhuzamos fénysugarak tökéletesen egy pontba fókuszálhatók. Határozzuk meg az ideális fókuszáló lencse felületének alakját. Megoldás: A fénysugarak a legrövidebb optikai úthosszt követik, ami minden fénysugárra ugyanaz. Hasonlítsuk össze a középső és egy szélső fénysugár optikai úthosszát: OP L = nf = s + n f s) 2 + x 2 nf s = n (f s) 2 + x 2 n 2 f 2 + s 2 2nfs = n 2 f 2 + n 2 s 2 2n 2 fs + n 2 x 2 n 2 x 2 + (n 2 1)s 2 2(n 2 n)fs = 0 3
5. ábra. Gömbtükör leképezése a valóságban, közelítések nélkül 6. ábra. Elliptikus lencse (forrás: MIT Optics Course Number 2.71 / 2.710) Alakítsuk teljes négyzetté s kifejezését, és az ellipszis egyenletét kapjuk: n 2 x 2 + (n 2 1)(s n n + 1 f)2 (n 2 n 1)( n + 1 )2 f 2 = 0 n 2 x 2 n 2 1 + (s n n n + 1 f)2 = ( n + 1 f)2 (s n n+1 f)2 ( n + x2 n+1 f)2 n 1 f = 1 n+1 2 7. ábra. Elliptikus lencse fényútjai tengelypárhuzamos sugarak esetén 4
5. példa: Gömblencse - paraxiális közelítésben Paraxiális közelítésben vizsgáljuk meg a gömblencse leképezését. 8. ábra. Gömblencse leképezése (forrás: Saleh-Teich: Fundamentals of Photonics) Megoldás: Tekintsük a P 1 pontból θ 1 szög alatt induló fénysugarat, mely a törést követően P 2 ponton halad át θ 2 szög alatt. A gömb sugara legyen R, és a C középpontból az y magasságban elhelyezkedő törési pontba húzott sugár z-tengellyel bezárt szöge legyen θ 0. Ekkor a beesési szög θ 1 θ 0, a törési szög pedig θ 2 θ 0. A törési törvény szerint: n 1 sin(θ 1 θ 0 ) = n 2 sin(θ 2 θ 0 ) Kis szögek esetén alkalmazható a következő közelítés: θ sin(θ) tan(θ) Ezeket felhasználva kapjuk a gömblencse leképezési törvényét paraxiális közelítésben: n 1 (θ 1 θ 0 ) = n 2 (θ 2 θ 0 ) n 1 ( y z 1 + y R ) = n 2 ( y z 2 + y R ) n 1 + n 2 = n 2 n 1 z 1 z 2 R = P (a felület törőereje) 9. ábra. Gömblencse fényútjai tengelypárhuzamos sugarak esetén (Comsol Multiphysics) 5
10. ábra. Bikonvex vékonylencse (forrás: Saleh-Teich: Fundamentals of Photonics) Könnyen belátható, hogy egy R 1 és egy R 2 sugarú gömbfelületekből összeállított bikonvex vékonylencse fókusztávolsága: 1 f = (n 1) ( 1 R 1 1 R 2 ), ugyanis az eredő törőerő az egyes felületek törőerejének összege. 6. példa: Üregtükör - ellipszis Tekintsünk egy üreget, melynek belső felülete tükör. A fényforrás az üreg tengelye mentén az S(-h,0) pontban helyezkedik el. Az üreg úgy tükrözi az S forráspontból induló összes fénysugarat, hogy azok mind a P(h,0) ponton haladnak keresztül.határozzuk meg az S-ből P-be való terjedés úthosszát és adjuk meg az üreg alakját, valamint az S és P pontok helyét. 11. ábra. Üreg tükör (forrás: MIT Optics Course Number 2.71 / 2.710) Megoldás: A Fermat-elv következtében az optikai úthossz minden fénysugárra meg kell hogy egyezzen. Tekintsük a legegyszerűbb útvonalat az üreg tengelye mentén és határozzuk meg ennek a hosszát. Mivel az üreg belsejében n = 1 törésmutatójú levegő van, 6
ezért ez megegyezik az optikai úthosszal. OP L = 1 [h + a + (a h)] = 2a Az üreg alakjának meghatározásához használjuk ismét a Fermat-elvet. Tetszőleges (x,y) pontban tükröződő fénysugár optikai úthossza OP L = 2a kell hogy legyen. 12. ábra. Ellipszis alakú tükör leképezése (forrás: MIT Optics Number 2.71 / 2.710) OP L = 2a = (h + x) 2 + y 2 + (h x) 2 + y 2 2a (h + x) 2 + y 2 = (h x) 2 + y 2 4a 2 + h 2 + 2hx + x 2 + y 2 4a (h + x) 2 + y 2 = h 2 2hx + x 2 + y 2 a 2 + hx = a (h + x) 2 + y 2 a 4 + 2a 2 hx + h 2 x 2 = a 2 h 2 + a 2 x 2 + 2a 2 hx + a 2 y 2 a 2 + a2 h 2 x2 = h 2 + x 2 + y 2 y 2 = (a 2 h 2 ) + h2 a 2 a 2 x 2 Vezessük be a b 2 = a 2 h 2 új változót.ezt behelyettesítve kapjuk: y 2 = b 2 b2 a 2 x2 x 2 a + y2 2 b = 1 2 Tehát az üreg alakja egy ellipszis, ahol a és b a nagy- és kistengelyek hossza. b definícióját felhasználva h 2 = a 2 b 2, ami éppen az ellipszis fókuszpontjának a középponttól mért távolsága. Tehát az S forrás és a P gyűjtőpont az ellipszis két gyújtópontjában helyezkedik el. 7. példa: Binocular (binokuláris távcső) Tekintsük egy binocular egyik karját, ami egy teleszkópként is vizsgálható, ahol a két lencse f 1 = 25cm, f 2 = 5cm közös fókuszponttal rendelkezik. Határozzuk meg a prizmában történő teljes visszaverődéshez szükséges feltételt a törésmutatóra. Határozzuk meg a közös fókuszpont helyét (ez a "field stop" az ábrán). 7
13. ábra. Binokulár (forrás: MIT Optics Course Number 2.71 / 2.710) Megoldás: A teljes visszaverődés feltétele n 1 sin(θ 1 ) n 2. A példában n 2 = 1 a levegő törésmutatója, és mivel egyenlőszárú derékszögű prizmákat tartalmaz a rendszer θ 1 = 45 0. Ebből a törésmutatóra adódó feltétel: n 1 1 sin(45 0 ) = 2 A hagyományos üvegek törésmutatója áltlalában éppen megfelel ennek a feltételnek. A 14. ábra. Binocular leképezése (forrás: MIT Optics Course Number 2.71 / 2.710) továbbiakban legyen n 1 = 1, 5. Határozzuk meg a második prizma után milyen távolságra fog elhelyezkedni a két lencse közös fókuszpontja. A hátsó fókusz helyét úgy határozzuk meg, hogy a prizmás esetben az optikai úthossz a fókuszpontig megegyezzen az első lencse levegőben mért fókusztávolságával. Így egy darab prizmában történő terjedésre írható, hogy: OP Lpriz = d priz n priz = 5 1.5 8
Ezek alapján a binocularban megtett optikai úthosszal azonos nagyságű a levegőben megtett úthosszal: OP L = L 1 + d priz n priz + H + d priz n priz + d Az optikai úthossz meg kell, hogy egyezzen az első lencse fókusztávolságával: f = OP L d = f L 1 d priz n priz H d priz n priz = 3cm Tehát a fókusz a prizmától jobbra 3 cm távolságra fog elhelyezkedni. 1. Házi feladat: Gömbtükör - valós fényutak Tekintsünk egy gömbtükröt, melynek sugara R és középpontja P. Legyen P a z- tengely egy pontja. A Fermat-elv segítségével határozzuk meg a valós fényutakat z < R és z > R esetén, valamint azt, hogy ezek minimális vagy maximális optikai úthosszhoz tartoznak. 15. ábra. Gömbtükör Megoldás: A Fermat-elv szerint azon fényutak valósulnak meg, melyek optikai úthossza extremum. Vizsgáljuk meg az O (z, x) pontban visszaverődő fényút optikai úthosszát. A közeg levegő, melynek törésmutatója n = 1. Ekkor a P O P optikai úthossz a következőképpen számolható: OP L = 1 [ ((z R) + R 2 x 2 ) 2 + x 2 + R] Legyen az OP O szög α, ekkor: Ezt felhasználva az optikai úthossz: x = R sinα OP L = 1 [ ((z R) + R cosα) 2 + R 2 sin 2 α + R] 9
Az optikai úthossz extrémumát keressük deriválással, az optikai úthossz α szerinti parciális deriváltja: dop L dα = R2 sinα cosα (z R + R cosα) R sinα ((z R) + R cosα)2 + R 2 sin 2 α = 0 A tört akkor lehet 0, ha a számlálója 0: R 2 sinα cosα (z R + R cosα) R sinα = 0 (z R) R sinα = 0 Mivel z R és R 0, ezért az egyenletnek csak sinα = 0 a megoldása. Mivel az α szöget OP O szögként definiáltuk, ezért π 2 < α < π. Így az egyenlet egyetlen megoldása 2 α = 0. Tehát mind z < R, mind z > R esetén a P OP a megvalósuló fényút. A két eset különbsége a szélsőérték jellegében mutatkozik meg. A szélsőérték jellegét az O ponthoz illesztett z sugarú simulókör megrajzolásával szemléltethetjük. A z > R eset látható az ábrán. 16. ábra. A gömbtükör és az O ponthoz illesztett simulókör z > R esetén a megvalósuló P OP fényút hossza z + R, mely hosszabb az összes többi meg nem valósuló P O P út hosszánál, mivel P O rövidebb, mint z, így P O P hossza kisebb, mint z + R. Tehát z > R esetén a maximális optikai úthosszhoz tartozó fényút valósul meg. Ezzel szemben z < R esetén a megvalósuló P OP fényút hossza ugyancsak z + R, azonban ez rövidebb az összes többi meg nem valósuló P O P út hosszánál, mivel P O ebben az esetben hosszabb mint z, így P O P hossza nagyobb, mint z + R. Tehát z < R esetén a minimális optikai úthosszhoz tartozó fényút valósul meg. 10
2. Házi feladat: Üvegből kilépő fény - tökéletes fókuszálás törőfelülete Az üvegben (n törésmutatójú) terjedő tengelypárhuzamos fénysugarak a levegőbe kilépve tökéletesen egy pontba fókuszálhatók. Határozzuk meg az ideális fókuszáló lencse felületének alakját. 17. ábra. Lencsefelület leképezése (forrás: MIT Optics Course Number 2.71 / 2.710) 11