Egy elektrosztatikai alapfeladatról

1 Egy elektrosztatikai alapfeladatról Bevezetés Középiskolai és egyetemi tanulmányaink alatt elég sokat foglalkoztunk a két pontszerű töltés által keltett elektrosztatikus térrel; a fogalmakkal, a képletekkel, az ábrákkal. Természetesnek vettük, hogy vannak ábrák, és persze azok jók is. Túlságosan nem mélyedtünk el ebben. Aztán megírtuk előző dolgozatunkat A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról, melynek írása során többször eszünkbe jutottak az elektromosságtani könyvekben látott ábrák, melyek szintén erősen emlékeztetnek az ikerbeles fa keresztmetszeti rajzolatára. Minthogy rádöbbentünk arra a tényre, hogy a Graph rajzoló programmal lehetőségünk van implicit függvények ábrázolására is, így nekiláttunk a jelen írás címében jelzett feladattal kapcsolatos szakirodalmi keresésnek. Ugyanis emlékeink szerint korábban nem találkoztunk még az elektromos erővonalképet leíró függvények levezetésével. Most azonban kutatásun - kat siker koronázta: megvannak a képletek, így jöhet a rajzoltatás. A képletek levezetése nem maradhat el, hiszen azt nyilván sokan mások sem ismerték eddig. Most ezzel kezdünk. Az erővonalak görbeserege függvényének levezetése 1 ] Tudjuk, hogy egy erőtérről alkotott elképzelésünket jelentősen javíthatja az illető erőtér képi megjelenítése. Ez általában az erővonalkép ábrázolását jelenti. Az erővonalkép az erőtérnek egy olyan ábrázolása, amelyben a tér adott P( x, y, z ) pontján áthaladó erővonalnak érintője az ugyanebben a pontban ható F erővektor 1. ábra. 1. ábra forrása: 1 ] E tény matematikai kifejezése:, ( 1 ) ahol λ egy arányossági tényező; más alakban: + +, ( 2 ) + + ; ( 3 )

2 most( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) - mal: + + + +, innen:,,. ( 4 ) ( 4 ) - ből adódik, hogy,,. ( 5 ) Az ( 5 ) egyenletek a térbeli erővonalak koordináta - síkokra vett vetületeinek differenciál - egyenletei 2. ábra. 2. ábra 2 dimenzióra szorítkozva F z 0, dz 0 választással élve ( 5 ) - ből:. ( 5 / 1 )

3 Ahhoz, hogy ( 5 / 1 ) - et alkalmazni tudjuk, fel kell írni az F elektrosztatikai erő kifejezését. Ezt a tanulmányainkból ismert Coulomb - törvény írja le 2 ] :!, ( 6 ) vagyis szavakban: az 1 ponttöltés részéről a 2 ponttöltésre gyakorolt erő amelynek iránya a töltéseket összekötő egyenesbe esik egyenesen arányos a két töltés ( Q 1 és Q 2 ) szorzatával, és fordítottan arányos a köztük lévő ( r ) távolság négyzetével. Az vektor az 1 ponttöltéstől a 2 - höz húzott rádiuszvektort jelenti. A K arányossági tényező értéke 2 ] : 9 10 ' () *. ( 6 / 1 ) Ezt az arányossági tényezőt szokták még más alakba is írni; a félreértéseket elkerülendő ezt is ideírjuk 2 ] : 8 9:, ahol 3 +, - 4 8,854 10. ( 6 / 2 ). ;) Most alkalmazzuk ( 6 ) - ot az egymástól 2a távolságban, az A és B pontokban rögzítettnek gondolt q 1 és q 2 pontszerű töltések, valamint a sík egy P pontjába helyezett Q pontszerű próbatöltés esetére! Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra

4 A korábbiak szerint: <! # >?????@4,! ( 7 ) < # A>?????@ 4 ; ( 8 ) itt: >?????@4, A>?????@ 4 az A - ból P - be és B - ből P - be mutató egységvektorok. A P pontban elhelyezett Q nagyságú töltésre ható R eredő erő vektora: C +, ( 9 ) vagy ( 7 ), ( 8 ) és ( 9 ) szerint: C D E <! FG?????@ H + < IG?????@ H J. ( 10 / 1 ) Most az R F jelöléssel: D E <! FG?????@ H + < IG?????@ H J. ( 10 / 2 ) Most állítsuk elő az eredő komponenseit! Ekkor az i és j egységvektorokkal való skalárszorzat képzésével: D E <! FG?????@ H + < IG?????@ H J, ( 11 ) D E <! FG?????@ H + < IG?????@ H J. ( 12 ) Minthogy FG?????@ H cosφ OP, ( 13 / 1 ) IG?????@ H cosφ 8P, ( 13 / 2 ) FG?????@ H cosq90 φ Tsinφ, ( 14 / 1 ) IG?????@ H cosq90 φ Tsinφ, ( 14 / 2 ) ezért ( 1 ) és ( 13 ) - mal: D E <! OP + < 8P J, ( 15 ) majd ( 12 ) és ( 14 ) - gyel: D E <! + < J. ( 16 )

5 Az elektromos térerősség vektora, definíció szerint v. ö. 2 ]! : W, ( 17 ) így ennek derékszögű komponensei, ( 15 ) és ( 16 ) - tal is: X E <! OP + < 8P J, ( 18 ) X E <! + < J. ( 19 ) Most ( 5 / 1 ), ( 18 ) és ( 19 ) szerint az erővonal érintőjének iránytangense: Y Y tehát:!! OZ \]!! OZ ^],!! OZ \]!! OZ ^]. ( 20 ) A ( 20 ) egyenlet a feladatbeli elektromos erővonalak differenciálegyenlete. Ennek megoldását 1 ] szerint végezzük el. Kiindulunk a Pitagorász - tétellel adódó _ Q+`T +, ( 21 ) _ Q `T + ( 22 ) összefüggésekből. Átalakítással: _ ae OP J +1b, ( 23 ) _ ae 8P J +1b. ( 24 ) Bevezetve az c OP, d 8P ( 25 ) helyettesítéseket, ( 23 ) és ( 24 ) a ( 25 ) - tel így alakul: _ Q1+c T, ( 26 ) _ Q1+d T. ( 27 )

6 Ezekkel felírjuk a ( 20 ) jobb oldalán előforduló kifejezéseket. OP f # e! QOf T Of f, ( 28 ) QOf Te/ 8P e i QOi T Oi # e! QOf T Of # e QOi T Oi i QOi T QOf T QOi T e/, ( 29 ) e/, ( 30 ) e/. ( 31 ) Most a ( 28 ) ( 31 ) képleteket behelyettesítjük ( 20 ) - ba. Ekkor: Z!\j eo!\k e j!\j eo Z k!\k e!\j eo Z!\k e j!\j eo Z k!\k e!\k e \Z!\j e!\j e!\k e j!\k e \Z k!\j e!\j e!\k e <! QOi T e/ O< QOf T e/ <! f QOi T e/ O< iqof T e/, tehát: <! QOi T e/ O< QOf T e/ <! f QOi T e/ O< iqof T Most ( 25 ) - ből: \] f ^] i OP 8P ; rendezve: e/. ( 32 ) c c `d +d `, c d c `+d `, Qc dt` Qc+dT, innen: ` foi f8i. ( 33 ) Majd ismét ( 25 ) - ből, ( 33 ) - mal is: OP P f f E1+ P JP f E1+fOi f8i JP f f8iofoi P f P, f8i f f8i f8i tehát:

7 P f8i. ( 34 ) Most képezzük a dx differenciált! ( 33 ) - ból, a szorzat differenciálási szabályával: ` E foi J` lqc+dt f8i f8i m` lfoi f8i +Qc+dT 8 Qf8iT m Qf8iT ` l foi f8i f8i Qc+dT Qf8iT m, tehát ` l foi f8i Qc+dT f8i Qf8iT m. ( 35 ) Majd képezzük a dy differenciált! ( 34 ) - ből: E P f8i J2 ` Qc dt8 2 ` Q 1T Qc dt 8 c d 2 ` f8i Qf8iT, tehát: 2 ` f8i Qf8iT. ( 36 ) Képezve ( 36 ) és ( 35 ) hányadosát: 2 2 oj^ok 8 P Qj^kT P l oj\ok 8QfOiT oj^ok Qf8iT j^k f8i 2 Qf8iT QfOiT8QfOiT Qf8iT Qj^kT m 2 f8i l oj\ok 8QfOiT oj^ok m j^k Qj^kT f8i f f8i fof i8i i8f f8i fof ioi i f8i 2 f8i f8i i8f, tehát: 8i fof i8i fof i 8 Qi f8f it i f8f i f i8i f i8f. ( 37 ) f i8i f Ezután ( 32 ) és ( 37 ) - tel: i8f <! QOi T e/ O< QOf T e/ f i8i f <! f QOi T e/ O< iqof T legyen átmenetileg: e/ ; ( 38 ) pqc,dt <! QOi T e/ O< QOf T e/ ; ( 39 ) <! f QOi T e/ O< iqof Te/ ekkor ( 38 ) és ( 39 ) szerint: i8f f i8i f pqc,dt ; ( 40 )

8 átalakításokkal: i8f i oj 8 ok f i8i f i f8i oj ok most ( 40 ) és ( 41 ) - gyel: 8oj ok f8i oj ok ; ( 41 ) 8 oj ok pqc,dt p; ( 42 ) f8i oj ok majd ( 42 ) - ből: 1 f i p c p d f i ; rendezve: 1 p c f Q1 p dt, innen: i f 8q f. ( 43 ) i 8q i Most ( 39 ), ( 42 ) - vel átalakítjuk ( 43 ) jobb oldalát: 8q f 8q i 8f 8i!\k e \Z!\j e j!\k e \Z k!\j e!\k e \Z!\j e j!\k e \Z k!\j e j!\k e \Z k!\j e ^j r!\k e \Z!\j e s j!\k e \Z k!\j e j!\k e \Z k!\j e ^k r!\k e \Z!\j e s j!\k e \Z k!\j e <! f QOi e TO< iqof T e 8f a<! QOi T e O< QOf T e b < QOf T e Qi8fT < <! f QOi T e O< iqof T e 8i a<! QOi T e O< QOf T e b <! QOi T e Qf8iT e QOf T <! QOi T e, tehát: e 8q f 8q i < QOf T <! QOi T e Majd ( 43 ) és ( 44 ) - gyel: f i < e QOf T <! QOi T e A változók szétválasztásával: t f QOf T e t. ( 44 ). ( 45 ) i QOi T e ; ( 46 )

9 ( 46 ) mindkét oldalát integrálva: t u f t u i ; ( 47 ) QOf T e QOi T e integráltáblázat használatával ld. pl. 3 ]! : u QO T e O +v, ( 48 ) így ( 47 ) és ( 48 ) - cal: f t Of +v i t Oi +v, innen: t f Of +t Most ( 25 ) és ( 49 ) - cel: t y z \] xoe \] i J +t {O }Q{O T ~ O ~+y ~ Oi v v w. ( 49 ) ^] xoe ^] {8 J w; átalakítva: }Q{8 T ~ O ~ ő. ( 50 ) Az ( 50 ) egyenlet az erővonalakat leíró implicit függvény. Ezt használjuk majd az erővonal - görbék rajzolásához. Előtte azonban jöjjön egy másik, szintén ritkán látható levezetés! Az ekvipotenciális vonalak görbeserege függvényének levezetése 4 ] Az elektromos erőtér skaláris potenciállal is jellemezhető. Ez a skalártér egy függvénnyel írható le, melynek grafikus megjelenítése két pontszerű töltés esetén két tölcsérszerű kép - ződményt mutat 4. ábra. Itt két azonos nagyságú és előjelű ( felső ábrarész), valamint két azonos nagyságú, de ellentétes előjelű ( alsó ábrarész ) ponttöltés potenciálterét ábrázoltuk, a forrás által rendelkezésre bocsátott 3D - s grafikával. Ha ezeket a felületeket elmetsszük több, különböző magasságú vízszintes síkkal, akkor kapjuk a skalártér ekvipotenciális vona - lait. Ezek síkgörbék, melyek 2D - ben ábrázolhatóak. Ilyet már sokat láttunk, de még nem sokszor csináltunk. Az alábbiak egyik célja éppen az, hogy segítsen az érdeklődő Olvasónak elkészítenie a saját ábráit. Kétségtelen, hogy a könnyen hozzáférhető és rögtön alkalmazható 3D - s grafikák korában valamelyest csökkenhet az érdeklődés a 2D - s megjelenítés iránt.

10 4. ábra forrása: http://www.didaktikonline.physik.uni-muenchen.de/programme/e_feld/e_feld.html# http://www.didaktikonline.physik.uni muenchen.de/programme/e_feld/e_feld.html#

11 Azonban az is tény, hogy néhány jól és egyszerűen használható 2D - s demo - programot is találtunk az interneten. Talán nem véletlenül iskolai felhasználásra készültek. Az egyik itt található: http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/efeld1.html Most visszatérünk számításainkhoz. Először átismételjük két görbe merőlegességének analitikai feltételét 5. ábra. 5. ábra Itt azt látjuk, hogy a g 1 és g 2 görbék az M pontban metsződnek, és az itteni érintőik által bezárt szög nagysága:. ( 51 ) Eszerint: tg tgq T ˆ Š!8ˆ Š Oˆ Š! ˆ Š. ( 52 ) Ha az M pontbeli t 1 és t 2 érintők merőlegesek egymásra, akkor: 90 tg, ( 53 ) így tg tg esetén ( 52 ) - ből kell, hogy 1+tg tg 0 ( 54 ) fennálljon. Innen: tg ˆ Š. ( 55 )

12 Ha a g 1 görbe függvénye y 1 (x), a g 2 - é pedig y 2 (x), akkor a görbék meredeksége az M pontban ugyanaz, mint érintőik meredeksége: Ž tg!, Ž tg, ( 56 ) így a két görbe merőlegességének feltétele:!. ( 57 ) o o Legyen a 2 görbe az erővonalé, az 1 görbe pedig az ekvipotenciális vonalé, így ( 57 ) szerint: k o ő, ( 58 ) o ahol az M lábindexet már elhagytuk. Most ( 20 ) és ( 58 ) szerint: k!! \Z \]!! \Z ^] \]!! OZ ^]!! OZ, tehát i további jelöléssel: \]!! OZ ^]!! OZ ( 59 ) lesz az ekvipotenciális vonalak differenciálegyenlete. Ennek megoldása során a 4 ] - ben talált utat követjük. Először átalakítjuk ( 59 ) jobb oldalát: \] <! e O< ^]! e <! e O<! e Q\]T e \Z Q^]T! e! e e Z! e \Z! e! e e <! e QOPTO< e Q8PT <! e O< e, tehát: <! # e QOPTO< # e! Q8PT <! # e O< # e!. ( 60 ) Most ( 21 ) és ( 22 ) - ből differenciálással: _ Q+`T + _ _ Q+`T +, ( 61 ) _ Q `T + _ _ Q `T +. ( 62 ) Ebből az egyenletrendszerből határozzuk meg dx - et és dy - t. Vonjuk ki az elsőből a másodikat! Ekkor: _ _ _ _ Q+`T Q `T + Q T,

13 _ _ _ _ 2 ` 8 P Most ( 61 ) és ( 63 ) - mal: 8QOPT Tovább alakítva: l _ _ P88P P 8QOPT! o!^ o ] + _ _ OP P m P _ _ Q` T+ _ _ Q+`T P _ _ Q+`T _ _ Q `T, tehát:. ( 63 ) l _ _ E1 OP P J+ _ _ OP P m. P Q+`T _ _ Q `T _ _. ( 64 ) Majd képezve ( 64 ) és ( 63 ) hányadosát:! ] QOPT 8Q8PT! o!^ o ] QOPT 8Q8PT 8, tehát: QOPT 8Q8PT 8. ( 65 ) Ezután ( 60 ) és ( 65 ) egyenlővé tételével: <! # e QOPTO< # e! Q8PT 8 <! # e O< # e! QOPT 8Q8PT ; egyszerűsítve: QOPT 8Q8PT <! # e QOPTO< # e! Q8PT 8 <! # e O< # e. ( 66 )! Rendezve: Q _ _ _ _ T Q+`T _ _ Q `T _ _ š ; tovább alakítva: _ _ _ _ _ _ Q+`T š _ _ Q `T š ; rendezve: _ _ Q+`T š _ _ Q `T š. ( 67 ) Most kifejtjük a kapcsos zárójeles kifejezéseket. ( 66 ) szerint: Q+`T št _ Q+`T+t _ Q `T Q+`T Qt _ +t _ T

14 t _ Q+`T Q+`T +t _ Q `T Q+`T 2 ` t _, tehát: Q+`T š 2 ` t _. ( 68 ) Hasonlóan: Q `T št _ Q+`T+t _ Q `T Q `T Qt _ +t _ T t _ Q+`T Q `T +t _ Q `T Q `T 2 ` t _, tehát: Q `T š2 ` t _. ( 69 ) Most ( 67 ), ( 68 ), ( 69 ) - cel: _ _ 2 ` t _ _ _ 2 ` t _, innen: t t ; integrálva: t u t u ; integráltáblázattal: t 8 t 8 w,, innen: <! + < w. ( 70 ) Majd ( 21 ), ( 22 ) és ( 70 ) - nel: y z }Q{O T ~ O ~+ y ~ }Q{8 T ~ O ~ œ ž. ( 71 ) A ( 71 ) egyenlet a feladatbeli ekvipotenciális vonalak görbeseregének egyenlete. Az U potenciálmező kifejezése esetünkben: <! ŸQ, T a }QOPT O + < }Q8PT O ahol a K állandó a ( 6 ) szerinti értékű. b, ( 72 ) Eredményeinkre ellenőrzést ad a Fizika alábbi összefüggése v. ö. 2 ]! : W _`Ÿ. ( 73 ) Kifejtve: X +X +X,

15 innen: X, X, X. ( 74 ) Esetünkben a z - től való függetlenség miatt: X, X. ( 75 ) Most ( 72 ) és ( 75 / 1 ) - gyel: X a <! }QOPT O + < }Q8PT O b a <! }QOPT O + < }Q8PT O b t Q+`T + 8! +t Q `T + 8! t Q+`T + 8e 2 Q+`T t Q `T + 8e 2 Q `T t Q+`T + 8e Q+`T+t Q `T + 8e Q `T E <! OP + < 8P J, tehát: X E <! OP + < 8P J, egyezésben ( 18 ) - cal. Teljesen hasonlóan eljárva kapjuk, ( 72 ) és ( 75 / 2 ) szerint: X a <! }QOPT O + < }Q8PT O b a <! }QOPT O + < }Q8PT O b t Q+`T + 8! +t Q `T + 8! t Q+`T + 8e 2 t Q `T + 8e 2 t Q+`T + 8e +t Q `T + 8e E <! + < J, tehát: X E <! + < J, azaz előállt ( 19 ), vagyis eredményeink helyesek.

16 Az erővonalak és az ekvipotenciális vonalak rajzolása 1 ] Ezt a fentebb felállított t és OP }QOPT O +t 8P }Q8PT O w #ő, ( 50 ) <! }QOPT O + < }Q8PT O w i ( 71 ) egyenletek alapján végezzük, a Graph ingyenesen letölthető szoftver Egyenlet beszúrása megnevezésű szolgáltatása segítségével, amely tudja kezelni / ábrázolni az utóbbi alakú implicit egyenleteket / függvényeket is, az ( a, q 1, q 2, C erő, C ekvi ) adatok bevitele után. A 6. ábrán egyező nagyságú és előjelű töltések terének ábrái láthatóak. 4 3.5 3 2.5 y (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)0 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)2/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-1/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-2/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)3/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-3/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)4/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-4/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)5/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-5/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)6/8 2 1.5 1 0.5-7 -6.5-6 -5.5-5 -4.5-4 -3.5-3 -2.5-2 -1.5-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5-1 q1 q2 +1, a 1. -1.5-2 -2.5-3 -3.5-4 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-6/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)7/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-7/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)8/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-8/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)9/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-9/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)10/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-10/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)11/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-11/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)12/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-12/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)13/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-13/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)14/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-14/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)15/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-15/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)16/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-16/8 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)3/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)4/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)2/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)5/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)6/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)7/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)8/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)9/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)10/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)11/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)12/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)13/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)14/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)+(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)15/4 6. ábra

17 7 6 5 4 3 2 1 y (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/16 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/32 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/64 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/128 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/256 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)2/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)3/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)4/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)5/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)6/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)7/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)8/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)10/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)12/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)14/8 (x+1)*(sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(x-1)*(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)15/8 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-1/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-2/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)2/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-3/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)3/4-11 -10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1 -2-3 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)4/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-4/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-5/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)5/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-6/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)6/4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-1/8 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/8 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-1/16 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/16 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-1/32 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/32-4 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)-1/64 (sqr(x+1)+y*y)^(-1/2)-(sqr(x-1)+y*y)^(-1/2)1/64 q1 +1, q2 1 ; a 1. -5-6 -7 7. ábra A 7. ábrán egyező nagyságú, de ellentétes előjelű töltések terének ábrái láthatóak. Az utóbbi két ábrán pirossal az erővonalakat, kékkel az ekvipotenciális vonalakat rajzoltuk meg.

18 Megjegyzések: M1. Az elektromos tér mennyiségi leírásához tartozik az is, hogy E nagysága a geometriai tér egy P( x, y, z ) pontjában: X}X +X +X. ( a / 1 ) Kétdimenziós esetben: X}X +X. ( a / 2 ) Most ( 18 ) és ( 19 ) és (a / 2 ) - vel: X E <! OP + < 8P J + E <! + < J ae <! OP + < 8P J +E <! + < J b ; ( a / 3 ) most ( a / 3 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel: X ae <! cosφ + < cosφ J +E <! sinφ + < sinφ J b E <! J cos φ +2 <! cosφ < cosφ +E < J cos φ + + E <! J sin φ +2 <! sinφ < sinφ +E < J sin φ a E <! J +E < J +2 <! < Qcosφ cosφ +sinφ sinφ Tb a E <! J +E < J +2 <! < E OP 8P + Jb a E <! J +E < J +2 <! e < e Q + `Tb l <! + < +2 <! e < e Q + `Tm <! QOPT O + < Q8PT O +2 <! QOPT O e/ < Q8PT O e/ Q + `T,

19 innen: <! XQ,T x QOPT O + < Q8PT O +2 <! QOPT O e/ < Q8PT O e/ Q + `T. ( a / 4 ) A térerősség - vektor irányára egy tetszőleges P( x, y ) pontban ( 20 ) szerint: tgª «tehát:!! OZ «\]!! OZ ^] ªQ,Tarctg e OZ! e e QOPTOZ Q8PT! e Q\]T \ e/o Z Q^]T \ e/ \] <! Q\]T \ e/o< ^] <! Q\]T \ e/o Z Q^]T \ e/ \] Q\]T \ e/o< ^], Q^]T \ e/ Q^]T \ e/ ±. ( a / 5 ) M2. Az erőtér és az ekvipotenciális vonalak görbeseregeit leíró differenciálegyenletek ( 20 ) és ( 59 ) tanúsága szerint egyaránt ΦQ,T ( b / 1 ) alakúak. Láttuk, hogy megoldásuk során milyen matematikai fogásokat kellett alkalmazni, hogy szétválasztható változójú differenciálegyenletekre jussunk. Ha az ember fia nem matematikus, akkor bizony meggyűlhet a baja ezen egyenletekkel. Azonban ekkor is van még menekülési útvonal : a grafikus megoldás, illetve az erre felépített számítási algorit - mus, a numerikus integrálás. Ilyenre láthatunk példát 5 ] - ben is. Persze, több más módszer is létezik a feladatunkkal kapcsolatos nehézségek legyőzésére, azonban ezekkel itt nem fog - lalkozhatunk. Ahogy egykori matematika - professzorunk, Moór Arthur tanácsolta: Ha nem megy, forduljanak szakemberhez! Itt: szakember matematikus. M3. Ha ( 50 ) - et jobban megnézzük, akkor ( 13 ) - at is figyelembe véve azt látjuk, hogy a OP t }QOPT O +t 8P }Q8PT O w #ő ( 50 ) egyenlet még így is írható: t cosφ +t cosφ w #ő. ( c )

20 Ez azt is jelenti, hogy q 1 q 2 1 esetén C erő nem lehet nagyobb (+ 2 ) - nél, és nem lehet kisebb ( 2 ) - nél. Ez a tény a grafikonok készítésénél ki is derült. M4. Érdemes megjegyezni még, hogy az erővonalkép ábrázolásánál az erővonalakra nyilat tesznek: az erővonalak a pozitív töltésekből indulnak ki, és a negatív töltéseken végződ - nek 6 ]. Furcsa, de a régebbi könyvekben látható ábrák szinte pontosan olyanok, mint a számítógéppel rajzoltak; amilyenek pl. 1 ] - ben, vagy az ezt követően készült 6. és 7. ábrán is láthatóak. A 4. ábra régi megfelelői a 8. ábrán csodálhatók meg 6 ]. Lehetett velük munka, bőven. 8. ábra Ugyanis akkoriban nálunk még nemigen voltak számítógépek.

21 M5. A 3 - dimenziós, tehát nem 2 - dimenziósra redukált feladatnál a 4. ábra potenciál - függvényei már nem ábrázolhatóak, legfeljebb csak az ekvipotenciális felületek. Ugyanis az U U( x, y, z ) függvény ábrázolása 4 dimenziót igényelne, míg az U( x, y, z ) U 0 konst. ekvipotenciális felületé csak hármat. Ezek ortogonális trajektóriái - ként az erővonalkép a 2. ábra szerinti módon ábrázolható. Ehhez persze meg kell oldani az ( 5 ) szerinti teljes differenciálegyenlet - rendszert. Ez és az erővonalak ábrázolása a mai számítógépesített világban már nem jelent komolyabb nehézséget. Irodalom: 1 ] Roland Engfer: Physik A für Naturwissentschaftler Teil 3: Elektrizitaet und Magnetismus, 11 ~ 13. o. Skriptum zur Vorlesung von Andreas Schilling, SS 2005 Physik-Institut der Universitaet Zürich, September 2004 vagy http://www.physik.uzh.ch/lectures/physik-a/teil3.pdf 2 ] Budó Ágoston: Kísérleti fizika, II. kötet 4. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1977. 3 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 445. o., 206. képlet 4 ] K. K. Ponomarjov: Differenciálegyenletek felállítása és megoldása Tankönyvkiadó, Budapest, 1969., 36 ~ 39. o. 5 ] A. F. Bermant: Matematikai analízis, II. rész Tankönyvkiadó, Budapest, 1951., 257. o. 6 ] Simonyi Károly: Villamosságtan 4. kiadás, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1973., 205. o., 234. o. Sződliget, 2014. 08. 01. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár