A négysuklós mehanizmus alapfeladata másképpen Előző dolgozatunkban melynek íme: A négysuklós mehanizmus alapfeladatáról egy általunk legegyszerűbbnek gondolt megoldási módot ismertettünk. Ott megemlítet - tük hogy találkoztunk a szakirodalomban [ 1 ] egy sajátos megoldási móddal ami bár hosszadalmas de nagyon tanulságosnak is mondható. Most ezt fogjuk megbeszélni. A tárgyalás során az [ 1 ] szerinti megoldás egy általunk módosított változatát mutatjuk be. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Az alapfeladat Adott: d r l R; α. Keresett: φ = f ( d r l R; α ) 1. ábra Először Pitagorász tételével: A megoldás x d y r ; ( 1 ) x w u y l ; ( ) w u R. ( 3 ) Most ( 1 ) és ( ) kifejtésével: x x d d y r ; ( 4 ) x xw w u u y y l ; ( 5 ) képezve ( 5 ) és ( 4 ) különbségét: l r x w x d w u d u y ; ( 6 ) most ( 3 ) és ( 6 ) - tal: l r xw xd R d u y ; ( 7 ) rendezve ( 7 ) - et:
l d R r x w xdu y ; tovább rendezve: l r xw xd R d u y ; l d R r x w xdu y ; l d R r x w xd u y 0 ; 1 xw xd u y l d R r 0. ( 8 ) Most érvényesítve az 1. ábráról leolvasható összefüggéseket: w Ros ( 9 ) u R sin és x d ros ( 10 ) y rsin így ( 8 ) ( 9 ) és ( 10 ) - zel kapjuk hogy 1 d rosr os d rosd R sin rsin l d R r 0 ; rendezve: 1 sin Rrsin os d r os R d rosd l d R r ; tovább alakítva: 1 1 R rsin sin R d r os os dros d d R r l ; 1 R r sin sin R d r os os d r os d R r l ; bevezetve az a R rsin b R d ros 1 d r os d R r l ( 11 ) ( 1 )
jelöléseket is ( 11 ) és ( 1 ) - vel kapjuk hogy 3 a sin bos a 0 b 0. ( 13 ) Ez egy trigonometrikus egyenlet melynek megoldására több megoldási módot is találunk az irodalomban [ ]. Mi ezek közül a kisegítőszöges változatot választjuk. Eszerint kiemeléssel ( 13 ) - ból: a b a b sin os ; a b a b ( 14 ) mivel a b a b a b 1 ezért létezik olyan szög amelyre fennáll hogy a os a b b sin. a b ( 15 ) Most ( 14 ) és ( 15 ) - tel: sin os os sin a b majd az ismert trigonometriai azonossággal: sin. a b A szinusz - függvény értékhatárai miatt fenn kell állnia a a b 1 ( 16 ) ( 17 ) feltételnek is.
4 Most számítsuk ki ( 16 ) jobb oldalát ( 1 ) - vel is! 1 dros d R r l a b R rsin R d ros 1 d r dros R l R rsin d ros 1 d r dros R l R r sin d dros r os d r drosr l R d r d r os tehát: d r drosr l a b R d r d r os. ( 18 ) Most jöjjön ( 17 ) igazolása! Először is határozzuk meg a ( 15 ) szerinti szögfüggvénye - ket ( 1 ) - vel! a Rrsin rsin os a b R rsin R d ros d r dros tehát: rsin os ; d r dros Rrsin R d ros ( 19 ) hasonlóan: b R d ros d ros sin a b d r dros tehát: d ros sin. d r dros ( 0 )
A ( 19 ) és a ( 0 ) képletekkel meghatározott segédszöget a. ábrán szemléltettük. 5. ábra Itt látjuk hogy ehhez meg kellett húznunk az AC átlót amely a négyszöget két három - szögre osztja. Ezzel azonban mintegy magától előállt a BAC szög is amelyre: 90. Az AC átló feletti háromszögben megjelenítjük a CAD szöget is amellyel: ( 1 ). ( ) A ( 19 ) és ( 0 ) képletek nevezőjében az e szakaszhossz található amiről az ABC háromszögre felírt koszinusztétel alkalmazásával győződhetünk meg: e d r dros 180 e d r dros e d r dros. ( 3 ) Most írjuk fel a koszinusztételt az ADC háromszögre! e R l Rlos 180 e R l R los. ( 4 ) Most átírjuk ( 18 ) jobb oldalát a ( 3 ) és ( 4 ) képletekkel:
6 a e R l b R e. ( 5 ) Most ( 4 ) és ( 5 ) - tel: e R l R l R l os R l R R l os R R los e R l R l os R e e ; ( 6 ) Ámde a. ábra szerint: R los os ( 7 ) e így ( 5 ) és ( 7 ) szerint: os. a b ( 8 ) Innen rögtön látjuk hogy teljesül a ( 17 ) feltétel is. Most ( 3 ) ( 4 ) és ( 5 ) - tel: d r dros R l a b R d r d r os ; ( 9 ) majd ( 8 ) és ( 9 ) - el: d r dros R l os ( 30 ) R d r d r os d r dros R l aros. R d r dros ( 31 )
7 Ezután ( 19 ) és ( 1 ) - gyel: rsin os os90 sin d r dros rsin arsin. d r dros ( 3 ) ( 33 ) Majd ( ) ( 31 ) és ( 33 ) - mal: d r dros R l rsin aros arsin. R d r dros d r dros A ( 34 ) képlet a feladat megoldását adja ha minden igaz. Ennek ellenőrzésére térjünk vissza ( 16 ) - hoz! ( 16 ) és ( 8 ) szerint: ( 34 ) sin os. ( 35 ) Felhasználva hogy os x sin90 x ( 36 ) sin x sin180 x ( 35 ) és ( 36 ) - tal felírhatjuk hogy sin sin90 sin 180 ( 37 ) sin90. A ( 37 ) egyenletekből: 90 ( 38 ) 180 90. A ( 38 ) egyenletekből: 90 ( 39 ) 90.
8 Most ( 1 ) és ( 39 ) szerint:. ( 40 ) Majd ( ) és ( 40 ) - ből: marad ( ). Megjegyzések: M1. A ( 40 ) eredmény jelentését a 3. ábra segít megvilágítani. φ 1 = γ + β φ = γ β. 3. ábra Látjuk hogy a gondolatban vagy akár a valóságban is rögzített ABC sukló esetén a D sukló két különböző helyet is elfoglalhat a szerkezet működési síkjában az összeállí - tástól függően. M. [ ] szerint a kisegítőszöges megoldási mód egyik előnye a ( 13 ) trigonometrikus egyenlet gyors és hiánytalan megoldása. Vies hogy ez az egyenlet - megoldási mód olyan hogy figyelmezteti a figyelmetlen megoldót a több megoldás lehetőségére illetve létezésére is. Úgy - e a matematikában nem túl sűrűn élünk meg vies helyzeteket? M3. A kisegítőszöges megoldási mód alapján dolgozva mintegy magától adódott az ötlet hogy az AC átlóval bontsuk a négyszöget két háromszögre. Ez rögtön kínálta a megoldás ( ) szerinti két részből álló felírását. M4. A ( 40 ) szerinti kétféle megoldás lehetősége arra figyelmeztet hogy a kisegítőszö - ges megoldási módnál ( is ) nagyon kell figyelni az adott esetben nem érvényes megol - dás(ok) felismerésére illetve azok kiszűrésére. Esetünkben ( ) - t a szemlélet vagyis a. ábra alapján írtuk fel. Ha nins az ábra akkor esetleg nehéz lehet ( 40 ) két megoldása közül helyesen választanunk. Fontos tehát hogy a megoldást jó ábrával támogassuk.
M5. A. ábra C súsú szögeire: 90 180 90. M6. A ( 34 ) eredmény az összeadandók sorrendjétől eltekintve egyezik az előző dolgozat megfelelő végeredményével. 9 M7. A suklós rúdnégyszög néhány egyensúlyozási feladatával már korábban foglalkoz - tunk ahol természetesen geometriai részfeladatokat is meg kellett oldani. E korábbi dolgozatok az alábbiak: ~ Egy érdekes feladat; ~ Egy másik érdekes feladat; ~ Síkbeli suklós rúdnégyszög egyensúlya. Irodalom: [ 1 ] Red. A. D. Dikij: Osznovü projektyirovanyija masin tkakogo proizvodsztva Masinosztrojenyije Moszkva 1983. [ ] Obádovis J. Gyula: Matematika 15. kiadás Solar Kiadó Budapest 1998. Sződliget 011. deember. Összeállította: Galgózi Gyula mérnöktanár