Egy ongruenciarenslszereről szóló problémáról Az írta : ERDÖS PÁL (l) x-ai(mod ni), 1 < n1 < n 2 <... < n ongruenciarendszert nevezzü lefedő rendszerne, ha minden egész szám az (1) ongruenciá özül legalább az egyiet ielégíti. Mielőtt a-z ezere vonatozó érdése diszutálásába beleezdené, talán megmutatom, hogyan jutottam ezere a érdésere. A dolgozatban p, q, pi, qi prímszámoat fogna jelenteni, n(x) pedig a prímszámo számát x-ig ; cl, c2,... pozitív abszolút onstanso. ROMANOV még 1934-ben imutatta, hogy a 2l+p(p > 0, l pozitív egész) alaú számona pozitív sűrűségü van. Más szóval : létezi olyan c, hogy x-ig a 2 1 +p alaban írható számo száma nagyobb, mint c,x. ROMANOV bizonyítása, bár elemi, mélyebb segédeszözöet igényel és itt csa azt ívánom megjegyezni, hogy ROMANOV tétele főleg azért érdees, mert aránylag evés 2 1 +p alaú szám van. Pontosabban ; ha f(n) jelenti az n =2i Fp egyenlet megoldásaina számát, aor x -1 f(n ) < C 2x. Mármost ROMANOV, egy még 1934-ben hozzám intézett levelében, azt érdezte : igaz-e, hogy minden elegendően nagy páratlan szám 21+p alaban írható? Kimutattam, hogy ez nem igaz, sőt : létezi olyan, csupa páratlan számból álló, számtani sor, melyne egyetlen pozitív tagja sem állítható elő 2 1 +p alaban. A bizonyításhoz felhasználju BANG érdees tételét : Legyen 1 < n + 6 tetszőleges egész szám. Aor van olyan p, hogy - (2) p 12n-1 és p 2m-1, ha 1 -- m < n. A továbbiaban az ilyen tulajdonsággal rendelező p prímszámot (több ilyen is lehet) n-hez tartozó prímszámna fogju hívni.
123 Legyen mármost adva egy (1) lefedő rendszer, melyben ni *- 6, 1 ~ i :s és legyen p i az n 2hez tartozó prímszámo valamelyie. Eor ezen pi- (2) értelmében mind ülönböző. Teintsü a övetező ongruenciarendszert : t-=-= 2 a (mod pi), 1 :5 i :5 ; (3) t-2n }2 +2n }I -{ 1 (mod 2 n +9 ). Mivel előbbie szerint api - mind ülönböző páratlan príme, a (3) rendszer megoldható. Ezen ongruenciarendszert ielégítő t számo nyilván-mind páratlano és egy 2n }3 Hpi differenciájú számtani sort alotna. Azt állítom, hagy (4) t -j- 21 + p ; 1 egész szám, 1 ~ 0. Mivel az (1) ongruenciarendszer lefedő, tehát legalább egy i-re l-ai (mod ni). Viszont p i definíciója szerint 2'i_= 1 (mod pi ), tehát 21--2a i = t (mod pi). Vagyis t-2t mindig osztható a pl, p2,..., p prímszámo valamelyiével. Mivel max p i < 2n (1 ~ i - ), tehát (4) bizonyításához elég lesz imutatnun, hogy It-2Z1 > 2n. Enne. bizonyítására van szüség a (3) alatti utolsó feltételre, mely szerint (5) t-2 77 =2" + 2-} 2n }1-2i {-1 (mod2" }3 ). Ha 1 ~-n + 3, aor 2 1 =-O (mod 2n}3), tehát It-2 1 1 2n+I- 1 >2 n. Ha pedig 0 :5 1 - ti ± 2, aor (3) másodi ongruenciájából t - 2n I +z +2n+ + 1 azaz t-2t _? 2" -f» ' + 1 > 2n. Bizonyításun befejezéséhez már csa azt ell belátnun, hogy van olyan lefedő rendszer, melyre n i + 6. Ilyen rendszer például : 0 (mod 2), 0 (mod 3), 1(mod 4), 7 (mod 8), 11 (mod,12), 19 (mod 24). A lefedő ongruenciarendszerere vonatozó legérdeesebb probléma a övetező : Legyen A tetszőleges szám ; létezi-e olyan lefedő rendszer, melynél A < n 1 < n 2 <... < n. Amennyiben a válasz e érdésre igenlő, aor azonnal belátható, hogy ha r tetszőleges egész szám, úgy mindig van végtelen 9 Matematiai Lapo
1 24 so t egész szám, mely nem 21 + a, (1 egész szám, 1 zs 0) alaú, ahol a, ülönböző prímfatoraina száma ~ r. Ugyanis aor megadható r + 1 darab ongruenciarendszer melyere x -a2 1) (mod n2' )), 1 i, ; 2 x -a(,' ) (modn~i 2 ; x a(,r +' ) (mod n(,'-" )) 1 :s i,,. +,, (1) (1) (2) (2) ()-+1) (?,+1) 6 < n i < < n, < n, <... < n, <... < n, <... < n, +, Elégítse i t a övetező ongruenciáat : í _= 2 -i" ) (mod pi("», 1 ~ i ~, 1 ~ s <_ r {-1, ahol p2r) jelenti az n(' ) -hezz' tartozó prímszámo valamelyiét. Pontosan úgy, mint az r- f esetben belátható, hogy minden egyes s-re (1 ~ s :s r+ 1) van olyan p á' ), hogy t-21=0 mod p~.'). Tehát (t-21)-ne legalább r+ 1 darab prímfatora van. Azonban azon sejtés bizonyítása, hogy a feltett érdésre a válasz igenlő - nem látszi önnyűne. DAVENPORT és én onstruáltun olyan lefedő rendszert, melyre n,= 3. Egy ilyen rendszer a övetező : 0 (mod 3) 11 (mod 15) 0 (mod 4) 7 (mod 20) 0 (mod 5) 10 (mod 24) 1 (mod 6) 2 (mod 30) 6 (mod 8) 34 (mod 40) 3 *(mod 10) 59 (mod 60) 5 (mod 12) 98 (mod 120) Néhány perc alatt meggyőződhetün arról, hogy e rendszer valóban lefedő. Valószínűleg ez a legegyszerűbb lefedő rendszer, melyre n1 > 2 (azaz ha n1 > 2, aor a moduluso száma ~ 14 és a legnagyobb modulus ~~ 120). DEAN SWIFT onstruált egy lefedő rendszert, melyben n 1 = 4, = 38, n =1440. Ha az (6) x =a i (mod n) ; 1 v; i v; rendszer lefedő, aor
Ugyanis legyen f(n) azon N-nél nagyobb számo melye ielégíti az, x =_ ai - (mod ni) ongruenciát. Aor száma, f(n) c N {-1. Mivel (6) lefedő rendszer, tehát.1 (7) ti n i vagyis i-1 ni 4-?z IN. és, mivel N-et tetszőlegesen nagyra választhatju, tehát Ha (6) lefedő rendszer és i^m n aor minden egész szám pontosan egy (6) alatti ongruenciát elégít i. Tegyü fel ugyanis, hogy vanna olyan egész számo, amelye legalább ét (6) alatti ongruenciát ielégítene, p1. az =-ai, (mod ni) ; 1 ::5 i, i2 c ; 4 * i, =-ai, (mod ni) ; ongruenciáat és legyen f,(n) azon N-nél nem nagyobb számo száma, melye ezene eleget teszne. Aor és, (7)-el egybevetve, f1(n) ~ N _ 1 ni, n i, Azt ±~N +- N -1) ~ N, i =, ni n ; n i, -I 1 1+-} > i=i n i n ni, N sejtettem, hogy ha a (6) i' alatti rendszer lefedő, aor (8)
1 2 6 vagyis a rendszer nem egyszeresen fedi le az egész számoat. Ezt azonban nem tudtam bebizonyítani. (8)-ra MIRSKY és NEWMANN a övetező szellemes bizonyítást találta (ugyanezt a bizonyítást találta ésőbb DAVENPORT és RADÓ is) Tegyü fel, hogy (6) lefedő rendszer és 1 = 1. Aor, i-1 ni mint már láttu, minden egész szám pontosan egy (6) alatti ongruenciát elégít i. Aor ' zt + 1 +... + 2' zt. (9) Y zt = t=0, I, 2, 3,... t_a i (mod n2) t-a, (mod n2) t_a (mod n) Ha 1 zi < 1, aor 1 zt = zaj + zaz}n ; + za ;}2n; + t=a; (mod n; ) és (9)-ből (10) zal za 2 Za _ 1 1-z1,1 + 1-z~ +...+ 1 -Z- 1-z volna. Ez azonban nem lehetséges, mert ha z-vel a sugár mentén 2ni özeledün e n-hoz, aor (10) jobboldala orlátos marad, míg a la baloldal végtelenhez tart. (T. i. 1 _oc, Za j 1- z7 ; a baloldal többi tagja pedig orlátos marad.) Ez az egyszerű és szellemes bizonyítás talán alalmas anna megmutatására, milyen jól használható az analízis módszere a számelméletben. Eddig egyiünne sem sierült (8)-ra teljesen elemi bizonyítást adni : Meg ell jegyeznem azt, hogy ha lefedő rendszerün végtelen so ongruenciát tartalmazhat, aor (8) nem marad igaz. Ellenpélda : az (11) x-2-1 -1 (mod 2) ; =1, 2,... rendszer -lefedő és minden egész szám csa egyet elégít i ezen ongruenciá özül. Ugyanis ha az a számot a ettes számrendszerben felírva az első 0 az (n -1)-edi helyen áll, aor n-2 a=12t +2T1 +2T2 +. t=o..+2z' ; zen, 1= ~S } a T2" -'- 1 +2n A a = 2'- '- 1 (mod 2 n ) ; tehát a rendszer lefedő. Ha valamely a szám ét (11) alatti on-
1 27 gruenciát elégítene i, aor a=2a,+2-1 -1 =2'A 9 +2i -1-1 volna és, < 1 mellett, 2A, } 1 = 2' -(2A 2 + 1) Fenne, ami lehetetlen. Ugyanaor (8) nem javítható, mert pl. az x-2t -1-1 - (mod 2 1) 1 t 1 ; x-2'-1 (mod3.2' -9) x - 22} I -1 (mod 3.2P -1 ) x-3.2'-1 (mod 3.2') ongruenciarendszer lefedő és 7-3 1 _ 3,~'-3+4+2-+-1-1 + 1 i=i ni 3.2' 3.2' -2 ' ami 1-hez tetszőleges özel lehet. DAVENPORT megjegyzése szerint ha n, > 2, aor (8) talán javítható, de ez a érdés nem látszi önnyűne. Diszutáljun még egy ide tartozó problémát! Egy lefedő rendszert nevezzün primitívne, ha egyetlen ongruencia sem felesleges, azaz ha elhagyju az x=a1 (mod ni ) ongruenciá bármelyiét, a megmaradó rendszer nem lefedő. Be fogju bizonyítani, hogy rögzített mellett csa véges so olyan primitív lefedő rendszer létezi, melyne darab modulusa van. Legyen x- ai (mod n i), 1 ~ i ~ valamely primitív lefedő rendszer. Ha imutatju, hogy (12) n i < (-i+ 1) [n n 2i..., n2-,] ([n n2i..., n i - I 1 az n,,..., ni - 1 számo legisebb özös többszörösét jelenti), aor már övetezi, - mivel nyilvánvalóan n, < -, hogy ni, egy felső orlát alatt marad, vagyis állításun igaz. Bizonyítsu be (12)-t. Mivel ongruenciarendszerün primitív, tehát van olyan t szám, hogy Ez azt jelenti, hogy ha aor t aj (mod nj), 1 C J C 1 -- 1. u-t (mod [n n2, u1 aj (mod nj), 1 j i-1.
128 Ha tehát f(n)-nel jelöljü azon, N-nél nem nagyobb számo számát, melye nem teszne eleget az x a; (mod n,), 1 j c i-1 ongruenciá egyiéne sem,- aor N f(n) [n l,..., ni-i1-1. Ezért (lásd (7) bizonyítását) illetőleg 1.1 1... { nl n i ni+t - [n i, n2,..., ni-i] -i+ 1 > 1 ni [n1, n2,..., ni_1] A darab ongruenciából álló primitív lefedő rendszerre n'z pontos maximumát nem tudom meghatározni. Ob OAHOI%I IIPOBIIEME O CI4CTEMAX CPABHEHwr4 II. apa~ill CHCTeMa CpaBHeHHN (1) Ha3bIBaeTCft nokpbibaiou~eű CHCTOMON, ecnh J{nft BCAKOtO I1,en0rO vncna BbIROJIHfteTCft no RpaI-iHeFI epe OAHO N3 epabhehhfi CHcTeMbi (1). ABTOp TA,oKa3bIBaeT CneAytou;ylo TeOpeMy : Cyn;eCTByeT aph4)methyeckaft nporpecchft H3 He`íeTHbIX I ;enblx qhcen, HM OJ mh iineh KOTOpOrO He MOxreT 6bITb npej c'rabneh B BHJ{e 21 +p TJ(e 1-HaTypanbHOe iuc io m p-npoctoe vncno. Ranee abtop H3naraeT pna BORpOCOB OTHOCAUT HeCft K CHCTemaM H npeanaraet HeKOTOpbIe Hepá3pendeHHb(e npoónembi. ROKpbIBaK u HM ON A PROBLEM. CONCERNING CONGRUENCE SYSTEMS P. ERDŐS We call the congruence system (1.) overlapping, if each integer satisfies at least one of the congruences (1). By maing use of such systems, the author proves the following theorem : There exists an arithmetic progression consisting of odd integers none of which can be represented in the form E'+p (p natural prime, 1 natural integer). Furthermore, a number of questions relating to overlapping systems i5 discussed and several unsolved problems are proposed.