A térbeli mozgás leírásához Az idők során már többször foglalkoztunk a címbeli témával; az előzmények vagyis a korábbi dolgozatok: ~ KD : Az R forgató mátrix I Az R forgató mátrix II ~ KD : A véges forgatás vektoráról Ezekben egymástól többé - kevésbé eltérő hangsúlytevéssel jártuk körbe a rendes tanulmányainkból kimaradt általános / véges térbeli mozgás problematikájának egy - két szeletét. Most is ezt tesszük remélve hogy az ismétlésen túl is tudunk mondani valamit. Az ismételt téma - felvétel egyik közvetlen kiváltója: az interneten talált finomságok azok közül is főleg az [ ] munka. Ebben meglepően érthetően és lényegre törően fejtik ki azt ami más helyeken talán már elsikkad. ( A jelen HD - t akár az [ ] dolgozatot népszerűsítő írásnak is tekintheted. Ajánlom kattints rá és mentsd el! ) Egy másik számunkra fontos szempont hogy elég nehéz a témát a kezdőnek megérte - nie rendes magyarázó ábrák nélkül. Persze az lvasó maga is elkészítheti ezeket de ez leginkább akkor esedékes ha már érti a geometriai lényeget vagyis megrajzolja a saját ábráit. Bár nem kezdőknek való de az ábrái miatt megemlítjük [ ] - t is. A kitűzött feladatot [ ] nyomán két lépésben oldjuk meg:. lépés: Egy vektor elforgatása egy forgástengely körül. lépés: A térbeli hely(zet) meghatározása. lépés: Egy vektor elforgatása egy forgástengely körül Ehhez tekintsük az. ábrát is! Itt azt ábrázoltuk hogy hogyan forgatjuk el egy f egységvektorú térbeli forgástengely körül φ szöggel a térbeli P pontba mutató r vektort. A P pont megadása egy ( x y z ) térbeli derékszögű koordináta - rendszerben történik melynek egységvektorai: ( i j k ). Az r helyvektor elforgatottja: r. A forgástengely egységvektorának megadása: f cos i cos j cos k ( ) ahol az f f ( ) kapcsolat miatt fennáll a cos cos cos ( 3 ) összefüggés is.
A ( 3 ) képlet ( ) alapján való levezetésénél felhasználtuk hogy az ( i j k ) egység - vektorok kölcsönösen merőlegesek egymásra.. ábra Mivel a P pont elforgatása egy PQ sugarú körön történik így fennáll hogy ρ' ρ. ( 4 ) Az. ábra szerint: r q ρ ( 5 ) valamint r' q ρ'. ( 6 ) Az Q q vektorra írhatjuk hogy q rf f r' f f ( 7 ) így ( 5 ) ( 6 ) és ( 7 ) - ből: ρ rq r rf f ( 8 ) valamint. ρ' r' q r' rf f ( 9 )
3 Ismét az. ábra szerint: ρ' cos ρ sin s ( 0 ) ahol ρ s : egységvektorok. Utóbbira: f ρ f ρ s f ρ f ρ ( ) majd ( 0 ) és ( ) - gyel: 0 f ρ ρ' cosρ sin cosρ sin f ρ ρcosρ f sin tehát: ρ' ρcos ρ f sin. ( ) Most ( 8 ) ( 9 ) ( ) - ből: r' rf f ρcos ρ f sin cos r r f f r r f f f sin ; ezt átalakítva: r' rf f rcos rf f cosr f sin 0 sin innen: r' rcos rf f cos r f sin. ( 3 ) A ( 3 ) képlet megadja az r vektornak az f egységvektorú forgástengely körül φ szöggel való elforgatásával nyert r vektort az ( x y z ) koordináta - rendszerben; egyszerűb - ben: az elforgatottját. [ ] szerint a ( 3 ) képletet úgy is értelmezhetjük mint az r vek - toron végzett olyan forgatási transzformációt melynek lineáris operátora F amely az r argumentumra hat; ezzel:. r' F r ( 4 ) Ehhez tekintsük a. ábrát is!. lépés: A térbeli hely(zet) meghatározása
4. ábra Itt azt látjuk hogy egy ( X Y Z ) térbeli koordináta - rendszerben helyeztük el az előbbi ( x y z ) koordináta - rendszert úgy hogy egységvektoraik ugyanazok. Ekkor az el - forgatott P pont helyvektora: R' R r' ( 5 ) R helyvektort ismertnek tekintjük. ahol az Ámde ( 4 ) és ( 5 ) - tel: ; R' R F r ( 6 ) kifejtve ( 3 ) - mal is: R' R rcos rf f cos r f sin. ( 7 ) Figyelembe véve hogy a. ábra szerint R R r r R R ( 8 ) így ( 7 ) és ( 8 ) - cal: R' R RR cos cos sin ; R R f f R R f ( 9 )
5 vagy ( 4 ) és ( 8 ) - cal is v.ö.: [ ]! :. R' R F R R ( 0 ) A kétszer aláhúzott képletek adják a feladat megoldását. A nevezett vektoregyenletek átírása skaláris egyenlet - rendszerekké az alábbiak szerint történhet. Ehhez néhány segéd - számítást végzünk. Általában: R Xi Y j Z k ( ) R X i Y j Z k ; ( ) most ( 8 ) ( ) és ( ) - vel: r R R Xi Y j Zk X i Y j Z k X X i Y Y j Z Z k ; ámde ( 3 ) r xi y j z k ( 4 ) így ( 3 ) és ( 4 ) - ből: x X X y Y Y z Z Z. Most ( 7 ) - hez ( 4 ) - ből: rcos xi y jzk cos xcos i ycos jzcos k ; majd ( 7 ) - hez ( ) és ( 4 ) - ből: r f x i y j z k cos i cos j cos k xcos ycos zcos ; ezután ( ) és ( 7 ) - tel: rf f xcos ycos zcos cos icos jcos k innen ( 7 ) - hez: rf f cos i j k ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) cos x cos y cos z cos cos cos cos. ( 8 )
Most ( 7 ) - hez ( ) és ( 4 ) - ből: 6 r f xi y jzk cos i cos jcos k ; ( 9 ) kifejtve: r f xi y j zk cosi xi y j zk cos j xi y j zk cos k i i j i k i xcos ycos zcos x cos y cos z cos i j j j k j xcos i k ycos j k zcos k k x cos y cos z cos 0 k j x cos y cos z cos k 0 i xcos ycos zcos j i 0 ycosk zcos j x cos k z cos i x cos j y cos i ; folytatva: r f i ycos zcos j xcos zcos k xcos ycos. ( 30 ) Most ( 7 ) - hez ( 30 ) - cal is: r f sin sin i ycos zcos j xcos zcos k xcos ycos. ( 3 ) Majd ( 7 ) ( ) ( 6 ) ( 8 ) és ( 3 ) - gyel: R' R rcos rf f cos r f sin X i Y j Z k xcos i ycos j zcos k cos x cos y cos z cos cos i cos j cos k sin iycos zcos jx cos zcosk xcos y cos ; rendezve:
7 X xcos cos cos xcos ycos zcos R' i sin ycos zcos Y ycos cos cosxcos ycos zcos j sin x cos zcos Z zcos cos cosxcos ycos zcos k. sin xcos ycos Tekintettel az ( 3 ) R' X ' i Y ' j Z' k ( 33 ) összefüggésre is ( 3 ) és ( 33 ) összehasonlításából: X ' X xcos cos cos xcos ycos zcos sin ycos zcos Y ' Y ycos cos cosx cos ycos zcos sin x cos zcos Z' Z z cos cos cos x cos y cos z cos sin x cos y cos. ( 34 ) Rendezve ( 34 / ) - ből: X x cos cos cos X ' X xcos cos cos xcos ycos zcos tehát: sin ycos zcos y cos cos cos sin cos z cos cos cos sin cos y cos cos cos cos sin z cos cos cos cos sin. X ' X x cos cos cos ( 35 )
8 Hasonlóan ( 34 / ) - ből: Y ' Y ycos cos cos xcos ycos zcos tehát: sin xcos zcos Y x cos cos cos sin cos y cos cos cos z cos cos cos sin cos Y ' Y x cos cos cos cos sin y cos cos cos z cos cos cos cos sin. ( 36 ) Ugyanígy ( 34 / 3 ) - ból: Z' Z zcos cos cos xcos ycos zcos sin xcos ycos tehát: Z x cos cos cos sin cos y cos cos cos sin cos z cos cos cos Z' Z x cos cos cos cos sin y cos cos cos cos sin z cos cos cos. ( 37 ) Most elvégezzük az alábbi azonos átalakításokat:
9 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos. Majd ( 35 ) ( 36 ) ( 37 ) ( 38 ) - cal: X ' X x cos cos cos y cos cos cos cos sin ; z cos cos cos cos sin Y ' Y x cos cos cos cos sin y cos cos cos ; z cos cos coscossin Z' Z x cos cos cos cos sin y cos cos cos cossin. z cos cos cos ( 38 ) ( 39 ) Mátrixos írásmóddal: X' X x Y' Y y R Z' Z z ( 40 ) ahol a rotáció mátrixának alakja:
0 cos cos cos cos cos cos cos sin coscos cos cossin R coscos cos cos sin cos cos cos cos cos cos cossin. cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin cos cos cos Ez alakilag egyezik a [ 3 ] - ban találhatóval. Most még ( 3 ) és ( 4 ) - gyel is: ( 4 ) X ' X XX Y ' Y Y Y R. Z' Z ZZ ( 4 ) Megjegyzések: M. A mechanikai szakirodalomban a adatokat Rodrigues - koordinátáknak nevezik ahogyan az a [ 4 ] - ből vett 3. ábráról is leolvasható; az összefüggés az itteni és az ottani mennyiségek között: cos cos cos. ( R ) A 3. ábrán az (5) képletsor ugyanazt tartalmazza mint az itteni ( 4 ). 3. ábra
M. A ( 39 ) egyenletrendszer egy mozgó alakzat test pontrendszer mozgásának leírására is felhasználható. Tekintsük úgy hogy a mozgás két részből tevődik össze: ~ egy a forgástengely menti d vektorral adott haladó mozgásból ( transzlációból ) és ~ egy a forgástengely körüli φ szögelfordulásból ( rotációból ). Az egyenletek felírásához tekintsük a 4. ábrát is! A 4. ábra szerint: 4. ábra R R d ; ( 43 ) itt: 0 R X i Y j Z k ( 44 ) 0 továbbá ( ) - gyel is: 0 d df dcos i dcos j dcos k ; ( 45 ) most ( 43 ) ( 44 ) és ( 45 ) - tel: R X dcos i Y dcos j Z dcos k ; ( 46 ) 0 ezután ( ) és ( 46 ) összehasonlításával: X X d cos 0 Y Y d cos 0 Z Z d cos. 0 ( 47 )
Figyelembe véve hogy ( 8 ) - hoz hasonlóan: r R R r R R 0 r r ( 4 ) ( 47 ) és ( 48 ) - cal: X ' X dcos X X 0 0 Y ' Y d cos Y Y 0 R. 0 Z' Z dcos Z Z ( 48 ) ( 49 ) Most írjuk fel ( 39 ) megfelelőjét! A ( 39 ) és ( 49 ) képletekkel: 0 X ' X d cos X X cos cos cos Y Y cos cos cos cos sin ; ZZ cos cos cos cos sin 0 0 Y ' Y d cos X X cos cos cos cos sin Y Y cos cos cos ; ZZ cos cos cos cossin 0 0 Z Z cos cos cos Z' Z d cos X X cos cos cos cos sin Y Y cos cos cos cos sin. 0 Az ( 50 ) egyenletek írják le azon pont mozgását amely a tér P 0 pontjából haladó mozgással P - be jut majd innen forgó mozgással P - be érkezik. ( 50 )
3 Ezek az egyenletek már régóta ismertek; egyik lelőhelyük [ 5 ]; itt az eredetileg skaláris levezetést az orosz kiadás szerkesztője lábjegyzetben kiegészítette egy vektoros levezetés vázlatával. Az 5. ábrán az ottani végeredményt mutatjuk meg. 5. ábra Most nézzük meg hogy az itteni és az ottani végeredmények egyeznek - e! Az X - re vonatkozó egyenlet egy korábbi alakjával ( 34 / ) - ből: X ' X dcos X X cos sin Y Y cos Z Z 0 cos ; 0 cos cos X X cos Y Y cos Z Z cos 0 X ' X dcos XX cos cos X X cos Y Y coscos Z Z sin Z Z cos Y Y 0 cos ; 0 egy részletszámítás: X X cos sin sin X X 0 sin 0 cos X X cos sin X X ; 0 coscos XX cos cos X X cos 0 0 XX cos cos cos cos XX cos cos cos ezekkel:
X ' X dcos X X 4 cos sin X X Y Y cos cos Z Z cos cos 0 sin Z Z cos Y Y 0 cos ; 0 rendezve: X ' X dcos cos X X sin cos cos Y Y cos cos Z Z 0 sin cos Z Z cos Y Y 0 0 ami a jelölésektől eltekintve egyezik az 5. ábra első egyenletével. M3. A P pont mozgása során fennáll hogy a t időváltozóval d d t ( 5 / ) azaz ( 45 ) - tel is a haladó mozgásra: d d(t) (t) (t) (t) ; ( 5 / ) hasonlóan a forgó mozgásra: (t). ( 5 ) Az ( 5 ) és ( 5 ) mozgástörvények a tényleges feladat megoldásának eredményei. A téma kifejtését itt most abbahagyjuk; valószínű hogy hamarosan újra terítékre kerül.
5 Irodalom: [ ] http://murison.alpheratz.net/papers/notes/rotatevector/rotatevector.pdf [ ] http://www.bastionogp.com/technicalpapers/a%0note%0on%0rotational%0tenso r%0_rev_.pdf [ 3 ] I. D. Faux ~ M. J. Pratt : Computational Geometry for Design and Manufacture Ellis Horwood Limited Publishers Chichester Reprinted in 987 73. o. [ 4 ] Lord Kelvin ~ Peter Guthrie Tait : Treatise on Natural Phylosophy Part I. Cambridge University Press 9. [ 5 ] E. T. Whittaker : Analytical Dynamics http://ia600406.us.archive.org/9/items/cu3940008094/cu3940008094.pdf itt: a 6. ~ 7. o.; oroszul e - könyv az interneten. ~ 3. o. Sződliget 0. február 6. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár