Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással Előző dolgozatunkban jele: ( E ), címe: Szimmetrikusan szélezett körkeresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással már mintegy előkészítettük az itteni feladat megoldását is; az ottani eredményeket itt is felhasználjuk, ( E / ) hivatkozással. z itt tanulmányozandó kétszeresen szimmetrikus keresztmetszetet az 1. ábra mutatja. FELT: dott:, h, az 1. ábra szerint. eresett: a keresztmetszet minden lényeges geometriai jellemzője. 1. ábra MEGOLÁS: a 1.) k a? z 1. ábra szerint is: a Rsin 1; ( 1 ) R h h h cos 1 1 1. ( ) R R Most ( ) - ből: h 1 arccos 1, ( 3 ) majd ( 1 ) és ( 3 ) - mal:
h a sin arccos 1. smerősebb képletre jutunk így: h h h sin 1 1cos 1 1 1 1, majd ( 1 ) és ( 5 ) - tel: h h a 1. ( ) ( 5 ) ( 6 ) efiníció szerint: a k a, ( 7 ) most pedig ( 6 ), ( 7 ) - tel: h h ka 1. ( 8 ) Majd ( 7 ) és ( 8 ) - cal: a ka. ( 9 ) ( 8 ) függvény grafikonját a. ábra szemlélteti. ( 8 ) függvény értéktáblázatát ld. az 1. táblázatban! grafikon és a táblázat készítéséhez figyelembe vettük, hogy az 1. ábra szerint is: max 5, ( 10 ) majd ( ) szerint: cos cos 5 h 1, ( 11 ) innen: h 1 1 0,166609. ( 1 ) Eszerint fennáll az alábbi korlátozás: h 0 0,16. ( 13 )
3 ka f(x)=*sqrt(x*(1-x)) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0. 0.3 0. 0.1 h / -0. -0.1 0.1 0. 0.3 0. 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. 1.3 1. -0.1. ábra x f(x) f'(x) f''(x) 0 0 0,01 0,1989975 9,893706-507,59856 0,0 0,800000 6,85719-18,1573 0,03 0,3117 5,5103776-100,73333 0,0 0,391918,698553-66,66619 0,05 0,358899,1983-8,9809 0,06 0,79737 3,705685-37,3991 0,07 0,51090 3,3706057-30,10197 0,08 0,5586 3,096811-5,010931 0,09 0,573635,8653119-1,336178 0,10 0,6000000,6666667-18,5185185 0,11 0,657795,98908-16,3891 0,1 0,69931,3387383-1,570890 0,13 0,676069,003938-13,1569 0,1 0,693971,0750055-11,968396 0,15 0,7118 1,960391-10,985889 1. táblázat: ( 8 ) képlet, ill. a. ábra függvényének, valamint első és második deriváltjának értéktáblázata, mely a Graph programmal készült ld.: [ 1 ]!
.) k? z ( E ) - beli keresztmetszeti területet - vel jelölve: ~ két leeső körszelet területe: 1 '; ' ; ~ négy leeső körszelet területe: 1 ~ a maradó keresztmetszeti terület: ' '. ( 1 ) efiníció szerint: k, így ( 1 ) és ( 15 ) - tel: ' ' k 1 k 1, tehát ( 15 ) k k 1. ( 16 ) Most ( E / 1 ) szerint: h 1 h k arcsin 1 sin arcsin 1, így ( 16 ) és ( 17 ) - tel: h 1 h k arcsin 1 sin arcsin 1 1. ( 17 ) ( 18 ) Végül ( 15 ) és ( 18 ) szerint: k. ( 19 ) ( 18 ) függvény grafikonját a 3. ábra szemlélteti. ( 18 ) függvény értéktáblázatát ld. az. táblázatban!
5 k f(x)=(/pi)*(asin(1-*x)+0.5*sin(*asin(1-*x)))-1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0. 0.3 0. 0.1-0. -0.1 0.1 0. 0.3 0. 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. h / 3. ábra x f(x) f'(x) f''(x) 0 1,00000 0,01 0,9933-1,0139-50,163 0,0 0,98091-1,603-3,931 0,03 0,96503-1,73759-8,061 0,0 0,9633-1,9960-3,91070 0,05 0,953 -,1997-1,0319 0,06 0,9001 -,190-18,87180 0,07 0,87691 -,59891-17,16635 0,08 0,85009 -,76337-15,7693 0,09 0,8169 -,9150-1,5991 0,10 0,7918-3,05577-13,581 0,11 0,76060-3,18707-1,69619 0,1 0,7811-3,31003-11,91110 0,13 0,693-3,556-11,0651 0,1 0,6596-3,5338-10,5679 0,15 0,6376-3,63710-9,980. táblázat: ( 18 ) képlet, ill. a 3. ábra függvényének, valamint első és második deriváltjának értéktáblázata, mely a Graph programmal készült ld.: [ 1 ]!
6 3.) k? Jelöljük az ( E ) x, y mennyiségeit x, y - vel! Ezek segítségével: ~ az alsó és felső körszelet másodrendű nyomatéka az x tengelyre: x,1 x ; ~ a bal és jobb oldali körszeletre ugyanez: x, y ; ~ a vizsgált keresztmetszetre tehát:, x x,1 x, x y x y tehát. (0 ) x x y efiníció szerint: x k, x majd (0) és ( 1 ) - gyel: k 1 k k 1, x y x y x x y x x y ( 1 ) tehát k k k 1. ( ) vizsgált keresztmetszetre még fennáll az ( 3 ) x y összefüggés is, így ( ), ( ), ( 3 ) - mal írhatjuk, hogy k k k k k 1. ( ) x y x y Ezután felírjuk ( ) - hez ( E / 18 ) és ( E / 3 ) - mal: h 1 h k x arcsin 1 sin arcsin 1 ; ( 5 ) h h 1 h k y arcsin 1 sin arcsin 1 sin arcsin 1 ; 3 1 ( 6 )
7 k k 1 x y h h 1 h arcsin 1 sin arcsin 1 sin arcsin 1 1, 3 6 ( 7 ) ezután ( ), ( 5 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel: h h 1 h k arcsin 1 sin arcsin 1 sin arcsin 1 1. 3 6 Most már ( 1 ) és ( 8 ) - cal: ( 8 ) k. ( 9 ) 1 k f(x)=(/pi)*(*asin(1-*x)+0.6666666*sin(*asin(1-*x))-0.1666666*sin(*asin(1-*x)))-1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0. 0.3 0. 0.1 h / -0.1 0.1 0. 0.3 0. 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. 1.3. ábra
8 x f(x) f'(x) f''(x) 0 1,00000 0,01 0,98667-1,9736-9,37898 0,0 0,9630 -,7099-58,8933 0,03 0,93335-3,0550-3,06155 0,0 0,8993-3,5836-33,1306 0,05 0,86196-3,87755-6,07878 0,06 0,8197 -,1100-0,71367 0,07 0,77991 -,957-16,5 0,08 0,73619 -,0-1,96861 0,09 0,69117 -,55676-10,0637 0,10 0,6515 -,678-7,6058 0,11 0,59835 -,71006-5,50506 0,1 0,55101 -,75585-3,6970 0,13 0,5039 -,788 -,1337 0,1 0,5536 -,799-0,77780 0,15 0,0735 -,80097 0,39937 3. táblázat: ( 8 ) képlet, ill. a. ábra függvényének, valamint első és második deriváltjának értéktáblázata, mely a Graph programmal készült ld.: [ 1 ]! ( 8 ) függvény grafikonját a. ábra szemlélteti. ( 8 ) függvény értéktáblázatát ld. az 3. táblázatban!.) k? Minthogy ( 3 ) fennáll, valamint e e e R h, ( 30 ) x y ezért x y. e R h efiníció szerint: k. ( 31 ) ( 3 ) Részletezve, ( 1 ), ( ), ( 9 ), ( 30 ), ( 31 ), ( 3 ) - vel: R 1 1 k R h k k, R h h h 1 1 R R tehát 1 k k. h 1 ( 33 )
9 majd ( ), ( 8 ) és ( 33 ) - mal: ( 3 ) h h 1 h arcsin 1 sin arcsin 1 sin arcsin 1 1 3 6 k h 1 Végül ( 3 ), ( 35 ) - tel: ( 35 ) k. ( 36 ) k f(x)=((/pi)(*asin(1-*x)+0.6666666*sin(*asin(1-*x))-0.1666666*sin(*asin(1-*x)))-1)/(1-*x) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0. 0.3 0. 0.1-0. -0.1 0.1 0. 0.3 0. 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1. 1.3 1. h / -0.1 5. ábra ( 35 ) függvény grafikonját a 5. ábra szemlélteti. ( 35 ) függvény értéktáblázatát ld. a. táblázatban!
10 szélsőérték helye és nagysága, a Graph program szolgáltatásai szerint: x max = 0.010063; f ( x max ) = 1.0068. Ezek elvileg nem, gyakorlatilag azonban megegyeznek az ( E ) megfelelő értékeivel: x* max = 0.0107790; f *( x max ) = 1.00695, ahol * - gal jelöltük a k x - re vonatkozó adatokat. % - os eltérések: ~ x max - ra: mintegy 3,1 %; ~ f( x max ) - ra: mintegy 0,01 %, ahol viszonyítási alapnak az ( E ) - beli adatokat vettük. x f(x) f'(x) f''(x) 0 1,00000 0,01 1,00681 0,0098-9,09700 0,0 1,00315-0,7573-6,3711 0,03 0,999-1,9751-51,3317 0,0 0,9775-1,76980-3,70635 0,05 0,95773 -,18009-38,66571 0,06 0,9306 -,580-35,107 0,07 0,90687 -,88573-3,5550 0,08 0,876-3,011-30,68363 0,09 0,890-3,50119-9,3513 0,10 0,8063-3,78989-8,569 0,11 0,7671 -,07156-7,93758 0,1 0,7501 -,3977-7,7586 0,13 0,68013 -,6779-7,8989 0,1 0,635 -,90878-8,3518 0,15 0,58193-5,19587-9,1016. táblázat: ( 35 ) képlet, ill. a 5. ábra függvényének, valamint első és második deriváltjának érték- táblázata, mely a Graph programmal készült ld.: [ 1 ]! Megjegyzések: M1. [ ] - ben is, megtalálható, az ( E ) - beli és az itteni esetekre vonatkozó grafikonokat [ 3 ] is átvette a megfelelő orosz nyelvű szakirodalomból. M. z ( E ) - ben is hivatkozott [ ] munka táblázatait ( E ) - ben fel is használtuk ellenőrzésre. Ezek [ 3 ] - ban is szerepelnek, egy másik ábrához párosítva, ami tévedések miatt igen zavaró lehet. Például: ha ezt választottuk volna képleteink ellenőrzésére, úgy a nem - egyezések miatt képleteink hibájára is gondolhattunk volna.
11 M3. z említett grafikonok [ ] - ből átvéve az alábbiak, ld.: 6. ábra! Érdemes a lehetséges összehasonlításokat elvégezni. Mi jónak látjuk az egyezést. 6. ábra
1 Ezek a ( E ) - beli x, y, valamint az itteni mennyiségre vonatkoznak. smét megemlítjük, hogy az ábrán látható képleteken kívül egyebet nem közöltek. M. fahengeres keresztmetszet négyzetté válik, ha h 1 1 0,166609. Egyfajta ellenőrzést ad az is, ha kiszámítjuk gyalog, majd a Graph programmal az ehhez tartozó a,,, adatokat is. 1. Számpélda Határozzuk meg a legnagyobb gyengítés estén a szabályos fahengeres keresztmetszetből előálló négyzet jellemző geometriai adatait! Megoldás: ld. a 7. ábrát is! 7. ábra 1.) a meghatározása: 7. ábra szerint geometriailag: a cos 5 0, 707106781 ; ( # )
13 Most ( 9 ) szerint is: a k ; a a Graph programmal: x G = 0.1666; f ( x G ) = 0.7071068. h tt: x G, f xg k a. Ezekkel: a k 0.7071068. ( ## ) a Látjuk, hogy ( # ) és ( ## ) egyezése teljesen elfogadható..) meghatározása: Geometriailag: 1 a 0,5. ( @ ) Most ( 19 ) szerint: k ; a Graph programmal: x G = 0.167; f ( x G ) = 0.636618. Behelyettesítve: k 0.636618 0, 999989. Látjuk, hogy ( @ ) és ( @@ ) egyezése teljesen elfogadható. ( @@ ) 3.) meghatározása: Geometriailag: a 0,00833333. 1 1 1 8 ( ) Most ( 9 ) szerint: k ;
1 a Graph programmal: x G = 0.1666; f ( x G ) = 0.13. Behelyettesítve: 6 k 0.13 0, 0083333. ( ) Látjuk, hogy ( ) és ( ) egyezése teljesen elfogadható..) meghatározása: Geometriailag: 3 3 a 3 0,05895565. 6 6 Most ( 36 ) szerint: k ; a Graph programmal: x G = 0.1666; f ( x G ) = 0.600109. Behelyettesítve: 3 3 k 0.600109 0, 05895567. 3 ( ) ( ) Látjuk, hogy ( ) és ( ) egyezése teljesen elfogadható. Ezzel a kitűzött feladatunkat megoldottuk. Megjegyzések: M1. dolgozatban bizonyos keresztmetszeti adatok pl.:,, stb. számításának ismeretét feltételeztük. Ehhez ld. pl.: [ 5 ]! M. fenti számpélda egyben a grafikonok, táblázatok elvi használatát is bemutatja. ( valóságban ugyanis az történt, hogy a kérdéses grafikonra való dupla kattintás után előállt annak Graph - beli eredetije, melynek függvényérték - kereső szolgáltatásával jutottunk a megfelelő k - adatokhoz.)
15. Számpélda dott egy szabályos fahengeres keresztmetszet, melyre a = /. Határozzuk meg a h, H,,, mennyiségeket, ahol H a gerenda magassága! Megoldás: Ehhez készült a 8. ábra is. 1.) h meghatározása 8. ábra z ( 1 ) képlettel és az adottsággal: a 1 sin 1, innen: 1 1 arcsin 30. 6 (! ) Most ( ) és (! ) képletekkel: 3 h cos 1 cos 30 1, innen: h 3 1, (!! )
16 3 h 1 0, 06698798 0,067, tehát h 0,067. ( SZ / h ) Ez az eredmény megegyezik a [ ] - ben található táblázatból kiolvashatóval..) H meghatározása z ábrák szerint: h H h 1 ; ezzel és (!! ) képlettel: 3 H 0,8660503 0,866, tehát H 0,866. ( SZ / H ) Ez az eredmény megegyezik a [ ] - ben találhatóval. 3.) meghatározása ( 19 ) képlettel: k k k ; innen: k ; a ( 18 ) képlettel is: h 1 h arcsin 1 sin arcsin 1 ; most ( ) és (!! ) képletekkel: 0,69810897 0,695, tehát 0,695. ( SZ / ) ( ) Ez az eredmény megegyezik a [ ] - ben találhatóval.
17.) meghatározása ( 1 ) képlet szerint: k k k, 6 6 innen: k ; 6 most a ( 8 ) és (!! ) képletekkel: 1 3 3 1 3 arcsin sin arcsin sin arcsin 0, 0389150663, 3 3 6 6 vagyis 0, 0389150663 0,0389, tehát 0,0389. ( SZ / ) Ez az eredmény megegyezik a [ ] - ben találhatóval. Viszont megjegyzendő, hogy a [ ] mű táblázatában található adatok között van az ( SZ / ) - ből számíthatótól néhány százalékkal eltérő eredmény. 5.) meghatározása ( 3 ) képlettel: 3 k k ; most ezzel és ( 33 ) - mal: 3 3 k 3 k ; h 3 6 h 1 1 most a.) pontbeli eredményekkel is: 3 ; h számszerűen, (!! ) képlettel is: 0, 0389150663 3 3 3 0, 0898708009 0, 08990, 3 tehát 3 0,08990. ( SZ / )
18 Ez az eredmény megegyezik a [ ] - ben találhatóval. Viszont megjegyzendő, hogy a [ ] mű táblázatában található adatok között van az ( SZ / ) - ból számíthatótól néhány százalékkal eltérő eredmény. Ezzel a kitűzött feladatunkat megoldottuk. rodalom: [ 1 ] http://www.padowan.dk/graph/ [ ] Szerk.: V.. vanov: onsztrukcii iz gyereva i plasztmassz ( Primerü raszcsota i konsztruirovanyija ) Budivel nik, ijev, 1970. [ 3 ] Hilvert Elek: Faszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 1956. [ ] ardos ndor ~ Valkó Gábor: Építőipari kézikönyv. kiadás, Műszaki önyvkiadó, Budapest, 1973. [ 5 ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki önyvkiadó, Budapest, 1981. Sződliget, 009. július 30. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár