Oktatási Hiatal A 7/8 tanéi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható Megoldandó az első két feladat és a 3/A ill 3/B sorszámú feladatok közül egy szabadon álasztott Csak 3 feladat megoldására adható pont Ha alaki 4 feladat megoldását küld be, a 3/A és 3/B feladat közül a több pontot elérő megoldást esszük figyelembe 1 Végtelen hosszú egyenes szál állandó töltéssűrűsége - nc méterenként Egy proton körpályán mozog a szálra merőleges síkban a szál körül Mekkora a sebessége? A graitációal nem kell számolnunk Megoldás Adatok: λ = - nc/m m = 1,67 1-7 kg e = 1,6 1 -'9 C A proton a szál elektrosztatikus mezejében mozog Az elektromos mező térerőssége a szál tengelye felé mutat, a mező tengelyszimmetrikus A térerősség nagysága csak a száltól aló táolságtól függ Gauss törényét alkalmaza egy, a szál körül koaxiálisan felett sugarú, L hosszúságú hengerre: 1 EL π = λl ε Ebből a térerősség nagysága függényében: λ E = πε A részecskére a körpályán tartáshoz szükséges erő az elektromos onzásból származik: λ m = ee = e πε amiből a sebességre a köetkezőt kapjuk: Nm C = = = C m = eλ keλ 9 19 9 91 1,61 C1 7 πεm m 1,67 1 kg m 5879 s Érdekes, hogy a száltól aló táolság nem számít, kiesett a formulából
15 cm magas, hengeres, elegendően ékony üegcső függőleges helyzetben, nyitott égéel felfelé helyezkedik el A cső alsó fele leegőel an tölte, felső fele higannyal színültig an tele A kezdő hőmérséklet o C, amit lassan addig emeljünk, amíg a higany fele kifolyik a csőből a) Mekkora hőmérsékleten köetkezik ez be? b)mekkora a gáz tágulási munkája és a gáz által felett hő aránya? (A higany és az edény tágulásától tekintsünk el A külső légnyomás 76 Hgcm) Megoldás Adatok: L = 15 cm; T 1 = 73 K; h = L/= 76 cm; p o = 76 Hgcm; V 1 = Ah; p 1 = p a) A gáz kezdeti állapotának állapotjelzői: T 1 ; V 1 = Ah; p 1 = p + (L h)ρ Hg g = p o, miel a higanyoszlop hossza éppen L h = h = 76 cm A gáz égállapotának állapotjelzői: T =?; 1 3 3 V = A h+ h = A h; p 1 3 = p + L h Hgg = p + h Hgg = p ρ ρ A gáz állapotegyenlete: az adatok behelyettesítéséel: pv T pv = T 1 1 1 pah = T1 T, 3 3 p A h Ebből egyszerűsítés után T -t kifejeze: 9 T = T1 =37 K 8 b) Ha a leegő hőmérséklete lassan emelkedik, a nyomások mindig egyensúlyban annak, így a gáz állapotáltozása a p V diagramon p(hgcm) egyenes: A gáz által felett hő az I főtétel segítségéel számítható ki: p Q = E W, ahol W a gázon égzett munka A belső 3 p energia áltozása: f 5 3 3 5 E = ( pv pv 1 1) = pa h pah pah = A gázon égzett munka: 3 p + p 1 7 W = p V = Ah= p Ah, 8 Ah A 3 h V ahol p a folyamat alatt felett átlagos nyomás (L a grafikont, ahol a trapéz területének mérőszáma egyenlő a gázon égzett munka mérőszámáal!) A gáz által felett hő nagysága: 5 7 1 Q = E W = pah + pah = pah = 1, 5 pah, 8 8 8 és ezzel a munka és a felett hő nagyságainak aránya: W 7 Q = 1,5833
3/A Egyenáramú kis illanymotorunkban állandó mágnes képezi az állórészt A motor tengelyére szerelt r sugarú dobra zsineget tekerünk A motort az asztal szélére erősítjük, a zsineg égét lelógatjuk, rá G súlyú nehezéket kötünk A illanymotor hajtotta dob segítségéel a nehezéket felemeljük, és mérjük a már állandósult emelkedési sebességet, alamint a motor által felett áram erősségét Előzőleg azt találtuk, hogy amikor a motor terhelés nélkül a leggyorsabban, mégpedig 3/perc fordulattal járt, a felett áram r erőssége elhanyagolható Kísérletezünk különböző sugarú dobokkal, de mindig ugyanazt a nehezéket emeltetjük fel Egyre nagyobb sugarú dobokat alkalmaza azt találjuk, hogy az emelési sebesség minden dobnál más és más érték Amikor a dobok sugara az r = 5 cm felé közeledik, az emelési sebesség egyre kisebb, és az r = 5 cm-nél nulla, agyis nem emelkedik a nehezék a) Határozzuk meg, hogy mekkora sugarú dob kell ahhoz, hogy a G nehezék a legnagyobb sebességgel emelkedjen! b) Mekkora ez a legnagyobb sebesség? Megoldás a) Jelöljük a motor elektromos ellenállását -rel, a tápfeszültségét U-al! A motor a tengelyére forgatónyomatékot fejt ki A motor forgórészében leő ezetékekben folyó áram és az állandó erősségű mágneses tér kölcsönhatásából származó erő hozza létre ezt a forgatónyomatékot Minthogy ez az erő az Ampère törénye szerint egyenesen arányos az áramerősséggel, a motor tengelyére ható forgatónyomaték is arányos az áramerősséggel: M = a I Ugyanakkor a forgórész tekercsében indukált feszültség keletkezik, amely a tekercs ezetékének a mágneses térhez iszonyított sebességéel arányos Ez a sebesség iszont a forgórész szögsebességéel arányos, amit így írhatunk: = b' ω A motorban folyó áram erőssége tehát: Ui U U U bω I = = 1 Ezek alkalmazásáal a tengelyre ható elektromos eredetű forgatónyomaték: U bω M = a Másrészt a felemelt nehezék is fejt ki forgatónyomatékot a tengelyre, és ha az emelkedési sebesség állandó, akkor a két nyomaték nagysága egymással egyenlő, agyis: au abω Gr = A forgás szögsebessége a dob kerületi sebességéel kifejeze: ω =, r iszont a kerületi sebesség éppen a nehezék emelkedési sebessége Így au ab Gr = r (1) Ebből kifejezzük a sebességet: G ab = r + U b r
Látható, hogy az emelkedési sebesség a dob sugaráal négyzetesen függ össze, agyis létezik maximuma Keressük a függény -helyeit! A maximális érték ezek táolságának felezőpontjában an Ha = értéket helyettesítünk, adódik a két gyök: au r1 = és r = G A sebesség maximumához tartozó sugárérték pedig r + r au r = = G 1 Ennek értékét tehát azonnal tudjuk, hiszen a feladat közli, hogy 5 cm-es dobsugárnál nulla az emelkedési sebesség, tehát ennek fele, azaz,5 cm a maximális sebességhez tartozó sugár Ismerjük a maximális sebességhez tartozó sugarat, ha meghatározzuk a maximális sebesség nagyságát! Fejezzük ki a szögsebességet (1)-ből! au abω U G Gr = ω = r b ab Látható, hogy a szögsebesség a sugár lineáris függénye Miel r = -nál U/b és r max = 5 cm-nél a feladat szerint az értéke, a megfelelő,,5 cm-es sugárhoz tartozó szögsebesség a maximális szögsebesség fele! Ezért a nehezék maximális emelkedési sebessége: ω max = ω U b ω max r max r max r max r ω r ω r πn,5 m π 5 s 4 4 4 1 max max max max max max = = = = = m, 397 s 3/B Egy ízimalom = 1 m sugarú malomkerekének legfelső pontján ízszintesen = 1 m/s sebességgel érkezik a íz a malomkerék sűrűn elhelyezett ödreibe, amelyek α = 1 o -os elfordulás után kibillennek, és ekkor kifolyik belőlük a íz A másodpercenkénti ízhozam A = V/ t = 5 liter/s, a malomkerék szögsebessége ω = 3 s -1 a) Mekkora forgatónyomaték hat a malomkerékre? b) Hogyan kell megálasztani a malomkerék szögsebességét, hogy a ízimalom maximális teljesítménnyel dolgozzon? c) A malomba érkező íz mozgási és helyzeti energiájának hány százalékát hasznosítja a malom, amikor a maximális teljesítménnyel dolgozik?a befolyó íz szintje a kerék tetején, a kifolyóé ott an, ahol a ödrök kifordulnak (Segítség: A 1 -os szögben köríben meghajlított szál tömegközéppontja a kör középpontjától kerék sugarához képest) 3 3 x =, π, a ödröcskék átmérője elhanyagolható a
Megoldás a) A forgatónyomaték két részből teődik össze: a malomkerék ödreibe csapódó íz erőlökéséből származik nyomaték, másrészt a ödrökben aszimmetrikusan elhelyezkedő íz súlya is nyomatékot eredményez: I 3 M = + mg x t A malomkerékre t idő alatt érkező íz lendületáltozását (abszolút értékét) így számíthatjuk ki: I = ρa t( ω), ahol ρ a íz sűrűsége A malomkerék ödreiben léő íz tömege: T π m = ρ A = ρ A 3 3ω Mindezeket a forgatónyomaték kifejezésébe helyettesíte, megkaphatjuk a forgatónyomaték számszerű értékét: 3 M = ρa( ω) + ρag = 6 Nm ω b) A malomkerék teljesítményét a forgatónyomaték és a szögsebesség szorzataként számíthatjuk ki: 3 P = M ω = ρa( ω) ω+ ρag A második tag járuléka állandó, nem függ a szögsebességtől (feltée persze, hogy a ödrök elég nagyok, ezért akkor is magukba fogadják a sok izet, ha lassan forog a kerék), tehát az első tag maximumát keressük A szögsebesség függényében a teljesítmény egy maximummal rendelkező parabola Ha csak az első tagot nézzük, akkor ω = -nál és ω = -nél esz fel a kifejezés nulla értéket, tehát a szélsőértéke ωmax = = 5 s -1 -nél an c) A malomkerék által t idő alatt égzett munkát így kaphatjuk meg: 3 W = P t = ρa + ρag t A t idő alatt érkező íz mozgási és helyzeti energiája: 1 3 Emozg + Ehely = ρa t + ρa t g 1+ A kérdéses hatásfok tehát: + 3g η = =,58 = 58 % + + 3 g ( )
Pontozási jaaslat (fizika OKTV 7/8 I kategória, második forduló): 1 feladat A Gauss törény alkalmazása: A térerősség kiszámítása: A körpályán tartó erő: A sebesség kiszámítása: pont feladat A gáz kezdeti állapotának állapotjelzői: A gáz égállapotának állapotjelzői: A gáz állapotegyenlete: A hőmérséklet kiszámítása: Az állapotáltozás lineáris oltának felismerése: A belső energia áltozás: A gázon égzett munka: A gáz által felett hő kiszámítása: A munka és a felett hő nagyságainak aránya: pont pont pont pont pont pont pont 4 pont pont pont 3/A feladat A motor tengelyére ható forgatónyomaték és az áram kapcsolata: A tekercsben indukált feszültség és és az áram forgatónyomatéka: A nehezék és az áram forgatónyomatékainak egyenlősége: A égeredmény: A sebesség maximumához tartozó sugár: A maximális emelkedési sebesség: pont pont 4 pont pont pont 3/B feladat A ödörbe csapódó íz forgatónyomatéka: A ödrökben asszimetrikusan elhelyezkedő íz forgatónyomatéka: A maximális teljesítményhez tartozó szögsebesség: A íz mozgási és helyzeti energiája: A hatásfok kiszámítása: 3 pont pont pont