Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 6-8. ea. 2016 ősz
6. előadás tartalma Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció Spektrumszivárgás Képek analízise frekvenciatartományban: Spektrumképek értelmezése Frekvenciatérben egyszerűbb műveletek Ideális szűrések problémái
Folytonos Fourier Transzformáció Lineáris transzformáció a véges energiájú, folytonos függvények tere felett: F FT f f xexp j x dx Legfontosabb tulajdonságai: Konvolúció tétel: Fordított konvolúció: Parseval tétel: 1 1 exp f x FT F 2 F j x d f g FT F G 1 1 1 f g x FT F G 2 1 x 2 2 E f x dx F d 2
Folytonos Fourier Transzformáció Valós jel spektruma: Páros, valós jel spektruma: Páratlan, valós jel spektruma: F Re Re Periodikus jel spektruma diszkrét: F 0, ha k2 f kz Ekvivalens egy unitér transzformációval: Ez pl. maga után vonja a bijektivitást F F F F F Im Im F F j F j F
Folytonos Fourier Sorfejtés Lineáris transzformáció a periodikus folytonos függvények tere felett: T 2 1 cn f xexp j x 2 n T dx T ; T 2 f x cn exp j x 2 n T n Kapcsolat a folytonos FT-val: Mintavételezi a spektrumot: Periodikus jel diszkrét spektrum c 1T F 2 n T Egyéb tulajdonságokat örökli a folytonos FT-től n n Z
Diszkrét idejű Fourier Transzformáció (DTFT) Adott egy mintavételezéssel előállt végtelen hosszú, abszolút összegezhető jel: f n Definíció: exp n 1 2 exp X f n j n x n X j n d Alapvető tulajdonságok: n Z, de R X 2 k kz X Egyéb tulajdonságait örökli a folytonos FT-től
Matematikai mintavételezés Folytonos FT és DTFT kapcsolata Végtelen impulzus fésű: Matematikai mintavételezés: folytonos jel elemenkénti szorzata az impulzus fésűvel. Időtartománybeli szorzás Spektrumok konvolúciója Impulzusfésű az időtartományban frekvenciatartományban
Mintavett jel spektruma Formálisan a mintavett jel spektruma: 2 2 2 2 X s X k X k x k x x k x x : mintavételezések távolsága : folytonos idejű jel spektruma X X : mintavételezett jel spektruma s Nyquist mintavételi törvény: bwx 1 2 f ; f 1 x s s Ha nem tartjuk be alul mintavételezés: K X s X
Helyesen mintavételezés interpretációja
Alul mintavételezés interpretációja spektrum átlapolódása
Spektrum átlapolódása moire / aliasing Spektrum átlapolódása által generált jeltorzulás
Spektrum átlapolódása - aliasing Aliasing formálisan: 2 X s X k X k x Anti-aliasing filter mintavételezés előtti aluláteresztő szűrés: Pl. Bayer szűrős fényképezőgépeknél optikai szűrő Radiológiában az elkent PSF-ek miatt elhagyható
Mintavett jel rekonstrukciója Rekonstrukció (interpoláció): Cél: a mintavételezett jel értékének előállítása két mintavételezési pont között Ha sérült a mintavételezési törvény, akkor lehetetlen LTI rendszerrel: Ideális interpolációs kernel: H R x x h R S R K L 2 L 0 egyébként L fs 2 h R sinc x L
Interpoláció hibái Megfigyelt tartomány széle: Súlyfüggvény kilóg a megfigyelt tartományból H 2 esete: R 0 Lényegesen jelentősebb hibaforrás Mintavett jel rekonstrukciója: f s 2 X R H R X S H R X k k x X X, ha 2 R Példa rá a Nearest Neighbour interpoláció (ZOH) f s
Interpolációk összehasonlítása Átviteli/súlyfüggvényük analízisével: Nearest Neighbour Lineáris Köbös Spline Köbös B-Spline Átviteli függvény Súlyfüggvény
(Hibás) interpoláció vizualizációja
Integráló mintavételezés Érzékelők integrálják a foton fluxust: Érzékelőelemek homogén súlyfüggvénye: Adekvát az alábbi modell: 1. Megszűrjük a folytonos jelet az érzékelők súlyfüggvényével 2. Elvégezzük a matematikai mintavételezést X s k X P p x 2 j x Ha az érzékelőelemek súlyfüggvénye nem homogén, akkor nem modellezhető LTI rendszerrel
Integráló mintavételezés - példa Ideális, integráló mintavételezés esete: p x 1 x x 2 0 x 2 x x P x sincx 2 2 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 10 8 6 4 P 1 0.8 X 10 8 X S 0.6 6 0.4 4 0.2 2 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4
Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT) Diszkretizált jelet N pontban ismerjük: N1 N1 k exp 2 exp X x n j n k N x n j n k n0 N 1 n0 k n0 1 exp 2 x n N X j kn N Kapcsolat a DTFT-vel: yn n 0,1,..., N 1 xn megfigyelési ekvivalens 0 egyébként DFT mintavételezi a megfigyelési ekvivalens DTFT spektrumát: Y X k k feletti ortogonális transzformáció, mi a mátrixa? C N
DFT pontszáma Megfigyelési ekvivalens DTFT spektrumát tetszőleges felbontással mintavételezhetjük: Ha M minta érdekel, akkor M-N db 0-val paddelünk A fizikai (folytonos) jel spektrumáról ezáltal nem tudunk meg többet! 2-Radix FFT 5 4 3 2 1 0-1 -0.5 0 0.5 1
7. Előadás tartalma Spektrumszivárgás Képfeldolgozás frekvencia tartományban: 2D Spektrum gépi ábrázolása Szűrések frekvenciatartományban Spektrumképek értelmezése Inverz probléma dekonvolúció: Inverz probléma formális felírása Dekonvolúció nehézsége Közismert algoritmusok: Wiener inverz szűrés, RLA/ ML-EM, MAP becslés, és ezek kapcsolataik
DFT és a DFS kapcsolata A DFT által meghatározott spektrum diszkrét: N 1 1 xn X k exp j 2 kn N N n0 n0 N 1 1 X k exp j 2 kn N 2 k x n N N Lényegében Diszkrét Fourier Sorfejtés (DFS) DFT kapcsolata a Diszkrét Fourier Sorfejtéssel: DFT időtartományban véges idejű diszkrét jelet vár DFS periodikus, végtelen idejű diszkrét jelet vár Ezt leszámítva identikusak.
DFT és FFS kapcsolata Vizsgáljuk a mintavételezett jelet folytonos időben: xs t xt t n t xst N t xst és n Nx0 1 2 ck x texp j t k dt N s x N 00 x N1 N1 1 k 2 x n j n x n j n k N N n0 N n0 x Mintavételezés hatásai: DFT felbontása: Aliasing (már volt) exp exp 2 f f N = 1 N x 2 k f s k
DFT és FFS kapcsolata Vizsgáljuk a mintavételezett jelet folytonos időben: xs t xt t n t xst N t xst és FFS n Nx0 1 2 ck x texp j t k dt N s x N 00 x N1 N1 1 k 2 x n j n x n Nx n0 N n0 j n k N DFT Mintavételezés hatásai: DFT felbontása: Aliasing (már volt) A megfigyelt jelrészlet egy periódusa egy folytonos periodikus jelnek. exp exp 2 f f N = 1 N x 2 k f s k
Spektrumszivárgás - ablakozás DFT kapcsolata a DTFT-vel és a DFS-el: Impliciten cirkuláris jelet feltételez (DFS) Tegyük fel, hogy az eredeti jelünk (végtelen terjedelmű) véges részét tudtuk mintavételezni: hn rect n, yn y nhn Ideális esetben: A valóságban: T Cél lenne a DTFT spektrumot szivárgás nélkül mintavételezni: Y : Y k Y Y k k 12 k Y Y H k k
Spektrumszivárgás - ablakozás DFT kapcsolata a DTFT-vel és a DFS-el: Impliciten cirkuláris jelet feltételez (DFS) Tegyük T fel, hogy az Végtelen eredeti kiterjedésű jelünk mintavételezett (végtelen terjedelmű) n k véges részét jel (megfigyelési tudtuk mintavételezni: ekvivalens) k 1 hn rect n, yn y nhn Ideális esetben: A valóságban: T Cél lenne a DTFT spektrumot szivárgás nélkül mintavételezni: Y : Y k Y Y k k 12 k Y Y H k k
Spektrumszivárgás - ablakozás Tehát a megfigyelt jel DFT spektruma: Y 12 Y H k k hn az úgynevezett ablak függvény Ha expliciten nem ablakozunk, akkor: hn rect n T Pl.: T 50 Kék görbe: rect ablak DTFT spektrum amplitúdója Piros pontsor: rect ablak DFT spektrum amplitúdója 50 40 30 20 10 Mikor nincs spektrumszivárgás? 0-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Spektrumszivárgás - ablakozás DFT előtti ablakozás: Képtérben az általunk definiált hn-el szorzunk Ablakfüggvények tulajdonságai:
Koherens mintavételezés Periodikus jelből egész számú periódusnyit mintavételezünk ( y N ) : N f, s k f k Z f : periodikus jelünk frekvenciája, N: minták száma N pontos négyzetes ablak DTFT spektruma: H f f rect ha rect, ha sin H k f Y s k,0 0 k Z k f Tehát a DFT által mintavételezett frekvenciákon nem torzul az ablakozás miatt a DTFT spektruma Különben Spektrumszivárgás. kz
spektrum amplitudoja Spektrumszivárgás nem koherens mintavételezés Adott folytonos jel: y t sin(2 t 15) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-500 -400-300 -200-100 0 100 200 300 400 500 Frekvencia [Hz]
spektrum amplitudoja Spektrumszivárgás nem koherens mintavételezés Adott folytonos jel: 0.5 y y t sin(2 t 15) Mintavételezzük ( ): f 1kHz, Mivel a mintavételi törvényt nem sértjük meg: s N 0.4 0.3 0.2 0.1 0-500 -400-300 -200-100 0 100 200 300 400 500 Frekvencia [Hz]
amplitudo [db] Spektrumszivárgás nem koherens mintavételezés Adott folytonos jel: y 100 y t sin(2 t 15) Mintavételezzük ( ): 1kHz, f N 100 Megfigyelési ekvivalens: y rect 100 Implicit ablak DTFT spektrumának részlete: 20 s -2-3 -4-200 -100 0 100 200 Frekvencia [Hz]
Spektrumszivárgás nem koherens mintavételezés Adott folytonos jel: Mintavételezzük ( ): 1kHz, DFT által látott jel: 1 y 100 y t sin(2 t 15) fs N 100 y n y h mod ( n) 100 Rect 100 0-1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 idõ [sec]
amplitudo [db] 20 0 Spektrumszivárgás nem koherens Adott folytonos jel: -1-2 -3 mintavételezés y 100 y t sin(2 t 15) Mintavételezzük ( ): 1kHz, Megfigyelési ekvivalens spektruma: Y100 0 Y 1 2 H rect 0-100 -50 0 50 100 Frekvencia [Hz] fs N 100 Y Y H d 100 rect Piros: ablak normált spektruma Kék: folytonos jel spektruma Fekete: N=100 mintavétellel előálló jel spektrumának DC komponense
amplitudo [db] Spektrumszivárgás nem koherens mintavételezés Adott folytonos jel: y 100 y t sin(2 t 15) Mintavételezzük ( ): 1kHz, Megfigyelési ekvivalens spektruma: fs N 100 Y Y H 100 rect 20 0-0.5-1 -1.5-2 -2.5-150 -100-50 0 50 100 150 Frekvencia [Hz] Piros: folytonos jel spektruma Kék: N=100 mintavétellel előálló jel spektruma
Spektrumszivárgás nem koherens mintavételezés, Hamming ablak Adott folytonos jel: Mintavételezzük ( ): 1kHz, DFT által látott jel: 0.5 y 100 y t sin(2 t 15) fs N 100 y n y h mod ( n) 100 Ham 100 0-0.5-1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 idõ [sec]
amplitudo [db] Spektrumszivárgás nem koherens mintavételezés, Hamming ablak Adott folytonos jel: y 100 y t sin(2 t 15) Mintavételezzük ( ): 1kHz, Megfigyelési ekvivalens spektruma: fs N 100 Y Y H 100 Ham 20-1 -2-3 -4 Piros: folytonos jel spektruma Kék: N=100, Hamming ablakos, mintavételezett jel -150-100 -50 0 50 100 150 200spektruma Frekvencia [Hz]
Koherens mintavételezés Adott folytonos jel: Koherensen mintavételezzük ( ): 1kHz, DFT által látott jel: 1 0.5 y t sin(2 t 15) y 200 fs N 200 y200 n y mod200 n y n 0-0.5-1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 idõ [sec]
amplitudo [db] Spektrum koherens mintavételezés esetén Adott folytonos jel: y t sin(2 t 15) Mintavételezzük ( y 200 ): fs 1kHz, N 200 Megfigyelési ekvivalens spektruma: Y Y H Y 200 0 Y 1 2 H rect 0 d 200 rect Piros: ablak normált spektruma 20 0-2 -4-50 0 50 Frekvencia [Hz] Kék: folytonos jel spektruma Fekete: N=200 mintavétellel előálló jel spektrumának DC komponense (log(0))
amplitudo [db] Spektrum koherens mintavételezés esetén Adott folytonos jel: y t sin(2 t 15) y 200 Koherensen mintavételezzük ( ): 1kHz, Megfigyelési ekvivalens spektruma: fs N 200 Y Y H 200 rect 20-2 -4-6 -100-50 0 50 100 150 Frekvencia [Hz] Piros: folytonos jel spektruma Kék: N=200 mintavétellel előálló jel spektruma
amplitudo [db] Koherensen mintavett / ablakozott, nem koherensen mintavett jelek spektruma 20-1 -2-3 -4-100 -50 0 50 100 Frekvencia [Hz] Zöld: koherensen mintavételezett jel spektruma, kék: Hamming ablakos, piros: téglalap ablakos spektrum
Analízis irány: uv, M1N1 m0 n0 Tulajdonságok: 2D DFT, exp 2 Periodikus: [M,N] szerint Valós jel esetén: F Ha M, N páros: F F F F Többi transzformáció esetén is hasonló a többdimenziós eset F f m n j u m M v n N M1 N1 f m, nexp 2 j v n N exp 2 j u m M m0 n0 u, v u, v M u,nv M 2 u, N 2v M 2 u, N 2v Spektrum hullámfrontos interpretációja
Spektrum blokkjai: 2D DFT spektrum
2D DFT spektrum gépi ábrázolása Konjugált szimmetria valós jelek esetén: M=N=8 Nyquist frekvenciához tartozó komponens M=N=9
2D DFT spektrum Általában a DC komponenst csavarjuk középre: Ampl. moduláció:,, 1 m g m n f m n n
2D DFT Számolási tulajdonságok 1D DFT komplexitása: Direkt módszer: O(N^2) FFT: O(N log(n)), hatékonyan számítható, ha N 2 hatvány (radix-2 Cooley-Tukey) 2D DFT komplexitása (N N-es képre): Direkt számítás: O(N^4) Szeparálással: O(N^3) Szeparálás + FFT: O(N^2 log(n)) Half Complex ábrázolással helyben tárolható!
2D DFT Vizuális értelmezés Lényegében egy bázis transzformáció ortogonális bázisokra (szinuszos hullámok) Spektrum amplitudója:
Képek spektrumának jellemzői Alacsony frekvenciákon nagy energia: 5 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 100 200 300 400 500 Spektrum amplitúdója logaritmikus skálán 4 3 2 1 0-1
2D DFT konvolúciós tétele: DFS- es analógia cirkularitás: N f g n f m g mod n m f ' g ' n m0 f ' n f mod N n, míg g ' m g mod N m Mit tegyünk, ha f g-t akarjuk DFT-vel számolni? Terjesszük ki f és g méretét [N+M] hosszúra: Ezt időtartomány / síktartományban is meg kell tenni Általános módszerek: 0-val paddelés, kép széleire tükrözés, alul-áteresztő szűréseknél súlyozás, kiterjesztés a kép szélső pixelének intenzitásával, stb. 5 5-ös kernel esetén már gyorsabb N
Konvolúció tétel fontossága Lineáris szűrések frekvenciatérben: :cirkuláris konvolúció
2D DFT Példa periodikus textúra ampl. moduláció Periodikus mintázat csúcsok a spektrumban:
2D DFT példa rekonstrukció spektrum amplitúdóból és fázisból
2D DFT példa spektrum amplitúdójából rekonstruált kép
2D DFT példa spektrum fázisából rekonstruált kép
Polár koordinátás DFT Motiváció: Radon transzformáció és annak invertálása Regisztráció: elforgatás és eltolás könnyen számolhatóvá válik Számítása folytonos eset:,, exp2 cos sin F f x y j x y dydx xy, Nem szeparábilis Fourier vetítősík tétel Majd a rekonstrukcióknál bizonyítjuk is! Spektrum vonal profiljai Radon transzformáció 1D Fourier transzformáltjai
Digitális képek átlagos energiaspektruma
Frekvenciatartomány és emberi látás Campbell-Robson kontraszt érzékenységi görbe:
8. Előadás tartalma Lineáris szűrők: Klasszikus szűrők súly és átviteli függvénye Gibbs jelenség Inverz probléma dekonvolúció: Inverz probléma formális felírása, statisztikai értelmezése Dekonvolúció nehézsége Közismert algoritmusok: Wiener inverz szűrés, RLA/ ML-EM, MAP becslés, és ezek kapcsolataik
Szűrők idő és frekvencia tartományban Ampl. spektrum Időbeli jel
Ideális szűrők Amplitúdó éles vágásánál Gibbs jelenség:
Gibbs gyűrű effektus Gibbs jelenség elkerülhető sima átmenetű szűrőkkel: Butterworth szűrő: adott sávkorlát mellett a legsimább ampl. spektrumú lineáris szűrő Gauss szűrő: alkalmazásával nincs Gibbs artefekt
Gibbs gyűrű effektus
Inverz probléma Megfigyelési modell (zajos LTI): h-t (avagy a PSF-t) mi befolyásolhatja? Páciens bemozdulása a felvételek készítése alatt Out-of-focus elrendezés Szóródó fotonok képek rögzítése során 2 2 Jelen előadás során f, g és R : f a vizsgált 3D objektum projekciója Alapötlet direkt módszer: Dekonvolúció frekvenciatérben: R F g h f G / H u u
Inverz probléma statisztikai Cél megbecsülni interpretációja -et: Maximum likelihood módszer: fml P f arg maxpg f f Gyakorlatban majdnem mindig P g f P g h f és az f arg min log P g f -t szoktuk keresni ML f Maximum a posterior (MAP) becslés: f arg max arg max ML P f g P g f P f f Gyakorlatban ezeket a szélsőérték keresési problémákat is negatív logaritmálás után oldjuk meg. f
Direkt dekonvolúció zajérzékenysége Problémák a direkt módszerrel: PSF-et nem ismerjük pontosan F G / H F H / H N / H F a PSF általában alul-áteresztő jellegű magas frekvenciákon N./ H H H dominál (~0-val osztás) a: elmosott kép b: direkt dekonvolúció eredménye, ha nincs additív zaj c: eredmény ha van additív zaj
Direkt dekonvolúció eredménye Csonkolt dekonvolúció eredménye Csonkolt dekonvolúció Azon frekvenciákon, melyeken az MTF alacsony 0 legyen az eredmény F u G./ H u u Hu 0 egyébként
Wiener inverz-szűrés Várható értékben legpontosabb szűrő: Wiener Wiener F H G u u u Wiener arg min E Wiener valódi f f f A matematikai levezetést hanyagolva: H Winer u Interpretáció: H Winer u H 2 2 u E 2 2 2 E H N F u u u 1/ H SNR 1 u u 0 SNR 1 u SNR u H u E 2 2 E F u N u 2
Wiener inverz szűrés Az eredmény ( Wiener ) gyakran nem realisztikus: Negatív intenzitások is előfordulnak (negatív fluxus?) Nagyfrekvencián a hirtelen romló SNR Gibbs artefektet generál SNR gyakran nem mérhető ki f Wiener szűrés eredménye: jobb részletgazdagság, de a gyűrűk egy része megmaradt
Eljárások illusztrálása -0-
Eljárások illusztrálása -1- Csonkolt dekonvolúció Wiener inverz szűrés
Kényszermentes ML becslés 1 Additív Gauss zaj esete ( 0,W ): H a rendszer torzításának mátrixa, tehát: h f H f Minimalizáljuk a negatív log likelihood függvényt: T L f g H f W 2g H f Mivel pozitív szemidefinit, ezért L konvex. Tehát L f ML 0 kényszer definiálja az optimum helyet T T f H W H H W g ún. súlyozott LS becslés T f arg max K exp g H f W 2 g H f ML ML f H ' T W H 1
Kényszermentes ML becslés példa Stacionárius, 0 várható értékű Gauss megfigyelési zaj esete : 2 2 Cov g I, tehát W I ML Vizsgáljuk meg T 1 T T 1 T f H W H H W g H H H g f ML spektrumát: H G H G G u u u u u FML G H u 2 u H H u u H Hu u Konzekvencia: ML eljárással nem lehet a rosszul kondícionált inverz problémát megoldani.
ML becslés pozitivitási kényszerrel Nem negativitási kényszer: f R Jó esetben konvex optimalizálási probléma: P g f - log f max. s.t. f 0 min. s.t. Konvex a probléma, ha log-konkáv. Nem adható rá analitikus megoldás Milyen eloszlású lehet valójában az additív zaj: Poisson: fotonok inherens zaja Gauss: termikus zaj Uniform: kvantálási zaj (A/D átalakítás) Pr g f Lg f 0
Richardson Lucy algoritmus (+) Interpretáljuk a képpontok intenzitását fotonok becsapódási valószínűségeivel: P fi : P( egy fotonon a detektor i-edik érzékelőelemébe csapódik, ha nincs zaj és torzítás ) P gk : P( egy fotonon a detektor k-adik érzékelőelemébe csapódott a megfigyelt kép rögzítése során ) P g f k i : P( ideális esetben az i-edik érzékelőelembe csapódó foton a k-adik érzékelőelembe csapódik bele a képalkotó LTI rendszer torzítása miatt )
Richardson Lucy algoritmus Lényegében egy Bayes-i becslés: Bayes szabály: P f i g k j P g f P f k i i Pg f P f k j j Dekomponálás: Tehát: P f i P f P f g P g i i k k k P k g f P f g i Pg f P f k j j j P k i k
Richardson Lucy algoritmus Bevett gyakorlat: iteráljunk a célváltozó felett: P f 1 P g f P g k i k g f P k j r f j P Oldjuk fel a valószínűségi értelmezést: T T P f f f 1 ; P g i i g g 1 i i P g f k i h i k T T T T.f.h ; h ezekből következik: g 1 f 1 P r i r i k h 11 0 j f
Richardson Lucy algoritmus (+) T P f f f 1 i i : dekonvolvált kép i-edik pixelének normált intenzitása T P g g g 1 i i : képalkotó rendszer (LTI + zaj) által torzított kép i-edik pixelének relatív intenzitása g f h P k i i k : csak az LTI rendszerrel leírható torzítást modellezzük h 11 T : minden olyan foton, mely a torzítatlan rendszer esetén a detektorba csapódna be a torzított rendszer esetén is a detektorba csapódik be (maximum más érzékelőelembe) Végig monokróm spektrumú fotonokat feltételezve a detektált intenzitás (fluxus) egyenesen arányos a becsapódó fotonok számával
Richardson Lucy algoritmus Végezzük el a behelyettesítést: h g h g f f f r k j k j r r 1 i k k r i k k r i i i h f k h f j k 0 Érdemes észrevenni, hogy ha f 0, akkor r minden iterációban f 0, tehát teljesül a nemnegativitási kényszer Eljárás konvergenciája bizonyítható. Ekvivalens a pozitivitási kényszeres ML becsléssel, Poisson zaj modell esetén.
Eljárások illusztrálása -2-
ML becslések összegzése Jelentősen felerősítik a zajt: A probléma rosszul kondícionált jellegét nem képesek megfelelően kezelni. Kivétel az iteratív algoritmusok köre, ha f elegendően sima, és konvergencia előtt leállunk! Explicit regularizáció szükséges: 0 Definiáljuk f a-priori eloszlását, és azt rögzítsük a minimalizálandó célfüggvényünkben Megj.: RLA-nál szerepelt prior, de annak más a szerepe, értelmezése 0
MAP becslések Bayes becsléselmélet: max. f g g f f P P P Másképpen : min. logp ML f g f log P f g ML f prior f K : bünteti a mérések és a zaj nélkül becsült, torzított kép eltérését: g g g h f logp prior f f : meghatározza, hogy milyen dekonvolvált képet preferálunk (pl. zajmentesség, pozitivitás, simaság, stb.). Analitikai értelmezés: regularizált becslés
MAP becslés példa stacionárius Gauss zaj, frekvenciatérbeli prior Prior frekvenciatartományban: f 1 2 g H f 2 j 1 Parseval tétel szerint: ML F G H 2 F u u u 2N u 12 F G H F W F 2 N u u opt Mivel konvex, ezért F, tehát: Gauss, stacionárius zaj: Összegezve: F W F prior u u u 2 ML j j 2 2 u u u u u 0 F opt u u H u G u 2 2 H 2 N W u 2 2
MAP becslés példa stacionárius Gauss zaj, simasági prior 2 W E N E F 2 N esetén: F opt u Tehát a Wiener dekonvolúció is egy MAP becslés 2 2 gyakorlatban nem határozható meg E Gyakran fehér zaj, és 2 2 u u u N E F u u H G u u E 2 2 2 E H N F u u u u értéke szabályozza, hogy mennyire domináljon a prior (magas frekvenciás komponensekért mennyire büntetünk). u 2 W 1E F u
Eljárások illusztrálása -3-
Ismertetett módszerek csoportosítása ML becslés : - Csak a megfigyelési zaj osztályát ismerjük - Zajérzékenység jelentős probléma, csak a konzisztenciára figyel Példák: - Direkt dekonvolúció (additív Gauss zajos ML becslés) - Richardson Lucy (additív Poisson zajos, pozitivitási kényszeres ML becslés) MAP becslés: - Explicit módon definiáljuk, hogy milyen jellegű képet akarunk - Ha jól regularizálunk, akkor a zajérzékenység redukálódik, de az eredmény kevésbé konzisztens Példák: - Csonkolt dekonvolúció - Wiener dekonvolúció (additív Gaussz zaj + frekvencia függő energia minimalizáció) - Egyéb, regularizált dekonvolúciók
MAP és ML becslés összehasonlítása Stabilitás: MAP-nál a regularizáció célja ennek kikényszerítése (pl. sima, kevésbé zajos, stb. dekonvolvált kép előállítása) ML becslésnél ez legfeljebb impliciten kényszeríthető ki (pl. iteratív becsléseknél konvergencia előtti leállás). Becslés inkonzisztenciája ( g h f ): Likelihood tag minimalizálásával redukálható ML becsléseknél ennek az értéke kisebb ez viszont a zajos input képhez ( g) a becsült torzítatlan kép túlilleszkedést vonja maga után (rosszabb képminőség)