Közgazdaságtan I. Számolási feladat-típusok a számonkérésekre 7-9. hét 2018/2019/I. Kupcsik Réka
Témakörök I. Profitmaximalizálás isoprofit egyenes II. Transzformációs görbe, komparatív előnyök III. Költségfogalmak IV. Termelési függvény V. Termelés rövid távon VI. Termelés hosszú távon VII.Költségfüggvények Kupcsik Réka
Tartalom I. Profitmaximalizálás isoprofit egyenes Egy vállalat termelési függvénye Q = 5 K 2 L. A vállalat rövid távon 4 egységnyi tőkét használ fel. A tényezőárak a következők: p L =500 és p K =1000. A vállalat a termékeit 5000 forintos áron tudja értékesíteni. a) Mekkora lesz ilyen feltételek mellett a vállalat profitmaximumot biztosító kibocsátása? A megoldásnál használja az isoprofit egyenest! b) Mekkora lesz a realizálható maximális profit rövid távon?
a) kérdés A rövid távú termelési függvény: Q = 5 K 2 L = 5 K L = 5 4 L = 20 L A munka határterméke (a rövid távú termelési függvény meredeksége): MP L = 20 0,5 1 L = 10 L Kupcsik Réka
a) kérdés folyt. Isoprofit egyenes: π = TR TC = p Q p L L p K K = = 5000 Q 500 L 1000 4 π + 4000 + 500 L = 5000 Q π + 4000 + 0,1 L = Q 5000 Ennek a meredeksége: 0,1
a) kérdés folyt. A profitmaximum feltétele, hogy a rövid távú termelési függvényt érintse egy isoprofit egyenes, azaz a meredekségük itt megegyezik: 0,1 = 10 L L = 100 L = 10000 Q = 2000
a) kérdés folyt. Q L
b) kérdés Az isoprofit egyenes alapján: π = TR TC = p Q p L L p K K = = 5000 Q 500 L 1000 4 = = 5000 2000 500 10000 4000 = 4996000
Tartalom II. Transzformációs görbe, komparatív előnyök Slade Wilson és Oliver Queen ketten élnek egy szigeten, ahol nyúlon és áfonyán kívül semmiféle élelem nincsen. Slade egy óra alatt maximum 4 nyulat képes elkapni, vagy 10 kg áfonyát szedni, míg Oliver ugyanennyi idő alatt 2 nyulat képes elkapni, vagy 8 kg áfonyát szedni. Mindketten élelemszerzésre egy nap. maximum 6 órát fordítanak a) Ábrázoljuk, és írjuk fel függvény formájában külön-külön Slade és Oliver termelési lehetőségeinek határát jellemző görbét! Melyikük élvez komparatív előnyt az áfonyaszedés és a nyúlvadászat esetében? b) Írjuk fel függvény formájában, és ábrázoljuk az együttes termelési lehetőségek határát, ha cserekapcsolatban vannak egymással! c) Határozzuk meg a transzformációs határrátát a TLH-görbe felső és alsó szakaszára eső pontok esetében is!
a) kérdés Ha kizárólag egy tevékenységet végeznek egész nap (6 órán keresztül), akkor az alábbi táblázatban látható mennyiségeket képesek megtermelni : Áfonya (a) Nyúl (n) Slade 6 10 = 60 6 4 = 24 Oliver 6 8 = 48 6 2 = 12 Ez alapján felírhatjuk az egyéni termelési lehetőségek határát leíró egyeneseket.
a) kérdés folyt. a=m i n+c i alakban keressük a TLH-kat: Adottak a tengelymetszetek, amikből az ismeretlen m S, m O, c S, c O paraméterekre 2-2 egyenletet kapunk: 0=24 m S +c S (1) 0=12 m O +c O 60=0 m S +c S (2) 48=0 m O +c O (2)-ből: c S =60, illetve c O =48 Visszahelyettesítve (1)-be: 0=24 m S +60-60=24 m S m S =-2,5, illetve 0=12 m O +48-48=12 m O m O =-4 A keresett TLH egyenlete: Slade: a=60-2,5 n; Oliver: a=48-4 n Kupcsik Réka
a) kérdés folyt. Kupcsik Réka
a) kérdés folyt. Egy adott tevékenységből annak van komparatív előnye, akinek alacsonyabb az adott tevékenységnek a másikban mért alternatívaköltsége. Az iménti TLH-k meredekségének abszolút értéke megadja a vízszintes tengelyen mért termék termelésének alternatívaköltségét a függőleges tengelyen mért termékben. Azaz a nyúlvadászat alternatívaköltsége Slade esetében 2,5, míg Oliver esetében 4 kg áfonya, tehát ebben Slade-nek van komparatív előnye. Az áfonyaszedés alternatívaköltsége az előbbiek reciproka, azaz Slade esetében 0,4, míg Oliver esetében 0,25 nyúl, tehát ebben Olivernek van komparatív előnye. Kupcsik Réka
b) kérdés Az együttes termelési lehetőségek határának tengelymetszeteit egyszerűen megállapíthatjuk, ha összeadjuk az iménti megfelelő tengelymetszeteket: Ha mindketten egész nap áfonyát szednek, akkor összesen 6 10 + 8 = 60 + 48 = 108 kg-ot tudnak gyűjteni. Ha mindketten egész nap nyúlra vadásznak, akkor összesen 6 4 + 2 = 24 + 12 = 36-ot tudnak elkapni. Azonban a két tengelymetszetet ezúttal nem egyenes köti össze, hiszen a két szigetlakó eltérő alternatívaköltséggel rendelkezik a tevékenységekre nézve. Kupcsik Réka
b) kérdés folyt. Ha a lehető legtöbbet akarják termelni, akkor az egyik szélsőséges esetből indulva először azt állítják rá a másik tevékenységre, aki azt olcsóbban képes végezni. Azaz az fog előbb nyúlra vadászni, aki a 108 kg áfonyát kevesebbel csökkenti, míg elfog egy nyulat, ez pedig az, akinek a nyúlvadászatban van komparatív előnye (azaz Slade). Ha az ő munkaideje már teljes egészében nyúlvadászattal telik, de még több nyulat szeretnének elkapni, Olivernek is muszáj lesz áttérnie legalább részben erre a tevékenységre, mígnem mindketten ezt csinálják egész nap. A TLH tehát egy törött vonal, aminek a felső szakasza TLH S -sel, míg az alsó szakasza TLH O -val párhuzamos.
b) kérdés folyt. Ezt a törött vonalat a következő kifejezés írja le: a = 108 2,5 n ha 0 n 24 144 4 n ha 24 < n 108: a kettejük által maximális szedhető áfonyamennyiség -2,5: TLH S meredeksége -4: TLH O meredeksége 144: ha a vízszintes tengelymetszete ennek a szakasznak 36, akkor 0=c-4 36, amiből c=144
b) kérdés folyt. Kupcsik Réka
c) kérdés A törött vonalat leíró kifejezésből leolvasható a transzformációs határráta: a = 108 2, 5 n ha 0 n 24 144 4 n ha 24 < n A felső szakaszra vonatkozóan MRT=-2,5, míg az alsó szakaszra MRT=-4.
III. Költségfogalmak Tartalom Egy vállalkozás teljes implicit költsége négyszerese az explicit költségének. A vállalkozás normál profitja harmada az elszámolható implicit költségnek. A vállalat gazdasági profitja 1200, ami megegyezik az explicit költség duplájával. a) Mekkora a vállalkozás tervezett árbevétele? b) Mekkora a normálprofit és a számviteli profit?
a) kérdés Explicit költség Számviteli költség Gazdasági költség Elszámolható implicit költség Árbevétel Normál profit X Számviteli profit El nem számolható implicit költség X Gazdasági profit A normál profit és az el nem számolható implicit költség mindenképpen azonos nagyságúak. Legyen ez X.
a) kérdés folyt. Explicit költség X Számviteli költség Gazdasági költség Elszámolható implicit költség 3X Árbevétel Normál profit X Számviteli profit El nem számolható implicit költség X Gazdasági profit A vállalkozás normál profitja harmada az elszámolható implicit költségnek azaz az elszámolható implicit költség a normál profit háromszorosa, tehát 3X nagyságú. Egy vállalkozás teljes implicit költsége négyszerese az explicit költségének a teljes implicit költség X+3X=4X, ez X négyszerese, tehát az explicit költség is X nagyságú.
a) kérdés folyt. Explicit költség X Számviteli költség Gazdasági költség Elszámolható implicit költség 3X Árbevétel Gazdasági profit Normál profit X 1200 Számviteli profit El nem számolható implicit költség X A vállalat gazdasági profitja 1200, ami megegyezik az explicit költség duplájával az explicit költség duplája 2X, ez megegyezik 1200-zal: 2X=1200 X=600
a) kérdés folyt. Explicit költség X Számviteli költség Gazdasági költség Elszámolható implicit költség 3X A vállalat árbevétele: Árbevétel X+3X+X+1200=5x+1200=5 600+1200=4200 Gazdasági profit Normál profit X 1200 Számviteli profit El nem számolható implicit költség X
b) kérdés Árbevétel 4200 Gazdasági költség 3000 A vállalat normál profitja X=600 Normál profit 600 Gazdasági profit 1200 Számviteli költség 2400 Számviteli profit 1800 Explicit költség 600 Elszámolható implicit költség 1800 El nem számolható implicit költség 600 A vállalat számviteli profitja a normál profit és a gazdasági profit összege: 600+1200=1800 A táblázat többi cellája is kitölthető az eddigiek alapján összeadással és kivonással.
IV. Termelési függvény Tartalom Egy vállalat termelési függvénye: Q = 5 KL, p L =5, p K =20. a) Milyen volumenhozadékú a termelési függvény? b) Határozza meg a tőke és a munka határtermék-függvényét! c) Érvényesül-e a csökkenő hozadék (csökkenő határtermék) elve? d) Határozza meg a tőke és a munka átlagtermék-függvényét! e) Határozza meg a technikai helyettesítés határrátáját! f) Határozza meg mindkét termelési tényező parciális rugalmasságát! Értelmezze a kapott eredményt! g) Adja meg az összes fenti függvény értékét a (16,25) pontban! h) Írjuk fel a Q=60-as isoquant-görbe egyenletét! Mekkora ennek a meredeksége, ha L=4?
a) kérdés El kell dönteni, hogy a Q = 5 KL termelési függvény hányadfokon homogén, azaz hogy ha azonos arányban növeljük az inputokat, akkor az output ennek az aránynak a hányadik hatványával szorzódik. 5 λ K λ L = 5 K L λ 2 = Q λ 1 Ez a függvény első fokon homogén, tehát állandó mérethozadékú.
b) kérdés A tőke határterméke a Q = 5 KL termelési függvény tőke szerinti parciális deriváltját jelenti: MP K = Q K = 5 0,5 1 K L = 2,5 L K A munka határterméke a Q = 5 KL termelési függvény munka szerinti parciális deriváltját jelenti: MP L = Q L = 5 K 0,5 1 L = 2,5 K L
c) kérdés L A tőke határterméke MP K = 2,5 = 2,5 K L0,5 K 0,5 Ennek a tőke szerinti parciális deriváltja K negatív kitevője miatt negatív, azaz a határtermék csökkenő. K A munka határterméke MP L = 2,5 L L 0,5 K 0,5 Ennek a munka szerinti parciális deriváltja L negatív kitevője miatt negatív, azaz a határtermék csökkenő. Azaz mindkét input esetében érvényesül a csökkenő hozadék elve.
d) kérdés A tőke átlagterméke a Q = 5 KL termelési függvény és a tőke hányadosát jelenti: AP K = Q K = 5 KL K = 5 L K A munka átlagterméke a Q = 5 KL termelési függvény és a munka hányadosát jelenti: AP L = Q L = 5 KL L = 5 K L
e) kérdés A technikai helyettesítés határrátája megadható a munka és a tőke határtermékének a hányadosának a (-1)-szeresével: MRTS = MP L MP K = 2,5 2,5 K L L K = K K L L = K L
f) kérdés A termelési függvény munka szerinti parciális rugalmassága megadható a munka határtermékének és átlagtermékének hányadosával: ε L Q = Q L L Q = MP L AP L = 2,5 5 K L K L = 1 2 - ez éppen L kitevője a termelési függvényben A termelési függvény tőke szerinti parciális rugalmassága megadható a tőke határtermékének és átlagtermékének hányadosával: ε K Q = Q K K Q = MP K AP K = 2,5 függvényben 5 L K L K = 1 2 - ez éppen K kitevője a termelési
g) kérdés Elnevezés Függvény Érték Termelési függvény Q = 5 KL 5 25 16 = 100 A munka határterméke 2,5 A tőke határterméke 2,5 A munka átlagterméke 5 K L 2,5 25/16 = 3,125 L K 2,5 16/25 = 2 K L 5 25/16 = 6,25 A tőke átlagterméke 5 A technikai helyettesítés határrátája Munka szerinti parciális rugalmasság Tőke szerinti parciális rugalmasság L K 5 16/25 = 4 K L 25 16 = 1,5625 0,5 0,5 0,5 0,5
h) kérdés A Q=60-hoz tartozó isoquant azokat a K-L kombinációkat köti össze, melyek ekkora kibocsátást eredményeznek, azaz, amikre teljesül, hogy 60 = 5 KL K = 12 144 K = L L Ha emellett L=4, akkor K=144/4=36 Az isoquant a meredekségét ki lehet számolni deriválással, vagy meg lehet adni a technikai helyettesítés határrátájával: dk/dl=(-144)/l 2 =(-144)/4/4=-9 MRTS=-K/L=(-36)/4=-9
h) kérdés folyt.
V. Termelés rövid távon Tartalom Egy vállalat termelési függvénye: Q = 5 KL, p L =5, p K =20. a) Határozza meg a parciális termelési függvényt K = 1 esetén. Mekkora a termelés, ha emellett L=25? b) Határozza meg a rövid távú teljes költségfüggvényt K = 1 esetén! c) 1825 pénzegység teljes költségből maximum mekkora termelés valósítható meg rövid távon? d) 15 egység termelése mennyibe kerül rövid távon?
a) kérdés A parciális vagy rövid távú termelési függvényt úgy kaphatjuk meg a termelési függvényből, hogy behelyettesítjük a rövid távon rögzített mennyiségben használt input (K) adott értékét (K=1): Q = 5 KL = 5 1 L = 5 L Ha a változó input egy konkrét értéke mellett tudni szeretnénk, mekkora az output, ennek a megadott értékét is be kell helyettesíteni immár a parciális termelési függvénybe: Q = 5 L = 5 25 = 5 5 = 25
b) kérdés A rövid távú teljes költségfüggvényt úgy kaphatjuk meg, ha a parciális termelési függvényből kifejezzük a változó inputot, majd ezt a kifejezést behelyettesítjük a teljes költséget megadó összefüggésbe a rögzített input és a tényezőárak értékével együtt: 5 L = Q L = Q 5 L = Q 2 25 Azaz TC(Q) = p K K + p L L = 20 1 + 5 Q 2 25 = 20 + Q 2 5
c-d) kérdés TC(Q) = 20 + Q 2 5 c) Mivel ismerjük a teljes költség és az output közti összefüggést rövid távon, csupán ebbe kell behelyettesíteni a megadott adatokat, és rendezni az egyenletet: 1825 = 20 + Q 2 5 1805 = Q = 95 d) Hasonlóan járunk el: TC Q = 20 + Q 2 5 9025 = Q 2 15 2 5 = 20 + 45 = 65
VI. Termelés hosszú távon Tartalom Egy vállalat termelési függvénye: Q = 5 KL, p L =5, p K =20. a) Mekkora a meredeksége, és mi az egyenlete a TC=500-hoz tartozó isocost egyenesnek? Ábrázoljuk! b) Határozza meg a hosszú távú teljes költségfüggvényt! c) 300 pénzegység teljes költségből maximum mekkora termelés valósítható meg hosszú távon? d) 150 egység termelése hogyan lesz a legolcsóbb, és mekkora ez a minimális teljes költség hosszú távon?
a) kérdés TC = p K K + p L L TC p L L = p K K TC p K p L p K L = K Behelyettesítve a megadott inputárakat és teljes költséget: K = 500 20 5 20 L = 25 1 4 L Az isocost képe a szokásos koordináta-rendszerben egy olyan egyenes, aminek a meredeksége -0,25, a függőleges tengelymetszete 25, és a vízszintes tengelymetszete TC p L = 500 5 = 100.
a) kérdés folyt. K = 25 1 4 L
b) kérdés TC = p K K + p L L A hosszú távú teljes költségfüggvény előállításához a fenti egyenletet át kell alakítani úgy, hogy TC-t Q függvényeként határozzuk meg. Ehhez szükségünk van az optimális inputkombinációra jellemző inputarányra, majd a termelési függvényt ugyanúgy át kell rendezni, mint a rövid távú teljes költségfüggvény meghatározásánál. Optimális inputkombináció ott van, ahol érinti egymást egy isoquant és egy isocost. Az érintési pontban a két függvény meredeksége megegyezik: MRTS = p L p K
b) kérdés folyt. MRTS = Konkrétan: K L = 1 4 (lásd. IV. g) és VI. a) feladatok) Azaz: 4K=L Ekkor a termelési függvény átalakítható egyváltozóssá: Q = 5 KL = 5 K 4K = 5 2 K Átrendezve: K = Q 10 p L p K TC-be behelyettesítve: TC = p K K + p L 4 K TC = 20 Q 10 + 5 4 Q 10 = 2 Q 2 = 4 Q
c-d) kérdés TC(Q) = 4 Q c) Mivel ismerjük a teljes költség és az output közti összefüggést hosszú távon, csupán ebbe kell behelyettesíteni a megadott adatokat, és rendezni az egyenletet: 300 = 4 Q Q = 75 d) A kérdés második feléhez hasonlóan járunk el: TC Q = 4 150 = 600 A legolcsóbb akkor lesz a termelés, ha optimális inputkombinációt választunk, tehát ha teljesül az érintési feltétel és a termelési függvény összefüggése. A b) résznél láttuk, hogy ez azt jelenti, hogy K=Q/10=0,1 Q=0,1 150=15 és L=4 K=0,4 Q=0,4 150=60. (Ennek a teljes költsége: TC = 20 15 + 5 60 = 600)
VII. Költségfüggvények Tartalom Egy vállalat költségfüggvénye: TC(q)=2 q 3-6 q 2 +120 q+160. a) Határozzuk meg a VC, FC, AVC, AFC, AC és MC függvényeket! b) Adjuk meg az előző függvények értékét q=8 mellett! c) Adjuk meg az AC és AVC függvények minimumpontjainak helyét és értékét! d) Hol van MC minimuma, és mekkora az? Mekkora ott a teljes költség?
a) kérdés TC(q)=2 q 3-6 q 2 +120 q+160 VC(q)=2 q 3-6 q 2 +120 q (változó költség: a teljes költség q-tól függő része) FC(q)=160 (fix költség: a teljes költség q-tól független része) AVC(q)=VC(q)/q=2 q 2-6 q+120 AFC(q)=FC(q)/q=160/q (átlagos változó költség) (átlagos fixköltség) AC(q)=TC(q)/q=AVC(q)+AFC(q)=2 q 2-6 q+120+160/q (átlagköltség) MC(q)=dTC(q)/dq=dVC(q)/dq=2 3 q 2-6 2 q+120=6 q 2-12 q+120 (határköltség)
b) kérdés TC(8)=2 q 3-6 q 2 +120 q+160=2 8 3-6 8 2 +120 8+160= =1024-384+960+160=1760 VC(8)=2 q 3-6 q 2 +120 q=2 8 3-6 8 2 +120 8=1600 FC(8)=160 AVC(8)=VC(8)/8=1600/8=200=2 8 2-6 8+120 AFC(8)=FC(8)/8=160/8=20 AC(8)=TC(8)/8=1760/8=220=2 8 2-6 8+120+160/8 MC(8)=6 q 2-12 q+120=6 8 2-12 8+120=408
c) kérdés AC AC(q)=2 q 2-6 q+120+160/q és MC(q)=6 q 2-12 q+120 AC minimumában metszi egymást MC és AC, azaz itt MC=AC: 6 q 2-12 q+120=2 q 2-6 q+120+160/q 4 q 2-6 q=160/q 4 q 3-6 q 2 =160 2 q 2 (2 q-3)=160=2 4 4 5 ez alapján q=4 gyök, hiszen 2 4-3=5 Mivel 4 q 3-6 q 2-160=(q-4) (4 q 2 +10 q+40), és az utóbbi tagnak nincs valós gyöke, az egyetlen lehetséges megoldás a q=4. AC(4)=MC(4)=6 4 2-12 4+120=168
c) kérdés AVC AVC(q)=2 q 2-6 q+120 és MC(q)=6 q 2-12 q+120 AVC minimumában metszi egymást MC és AVC, azaz itt MC=AVC: 6 q 2-12 q+120=2 q 2-6 q+120 4 q 2 =6 q ha q nem 0, leoszthatunk vele 4 q=6 q=1,5 AVC(1,5)=MC(1,5)=6 1,5 2-12 1,5+120=115,5
d) kérdés MC(q)=6 q 2-12 q+120 és TC(q)=2 q 3-6 q 2 +120 q+160 MC minimumának megkereséséhez szükségünk van MC első deriváltjának zérushelyeire: dmc(q)/dq=6 2 q-12=0 12 q=12 q=1 MC(1)=6 1 2-12 1+120=114 TC(1)=2 1 3-6 1 2 +120 1+160=276
További feladatok Berde Éva (szerk.): Mikroökonómiai és piacelméleti feladatgyűjtemény (TOKK, Budapest, 2009) Számolás: 75./3. és 5., 76./6. és 8., 78./15-17. és 19. a)-c), 79./20-21. és 23-24., 82./31., 83./36-39., 84./42-43., 88./58. és 60-61., 89./64-65., 433./33. és lásd. a következő dián Teszt: 55./3-4., 56./6-11., 57./12. és 14-15., 58./20., 59./22-26., 60./27-31., 61./32-33. és 35-36., 62./37. és 39. és 41., 63./43-44., 64./51. és 53., 65./55. és 58., 66./62-63., 67./64-67., 68./70. és 72-73., 71./86., 420./19-20., 421./23., 422./26-28., 423./29.
Bónusz feladat Egy hajpánt-készítő manufaktúrában két munkás, Julcsi és Zsófi dolgozik. Munkateljesítményüket a következő táblázat segítségével jellemezhetjük: Hajpántok száma (db/nap) Szabás-varrás Festés Julcsi 10 8 Zsófi 7 7 a) Melyiküknek van abszolút előnye az egyes tevékenységekben? b) Melyiküknek van komparatív előnye festésben? Kupcsik Réka