1 Az igénybevételi függvényekről és ábrákról Úgy tűnik, hogy a technikusi minősítő vizsgára való felkészítő tanulási / tanítási feladatok egyik legnehezebb része a tartók igénybevételeivel kapcsolatos. Ez az anyagrész nem el - hagyható hiszen e statikai előkészítés / megalapozás nélkül a szilárdságtani alkalmazás nem lehetséges, tételei és fogalmai nem igazán egyszerűek, előjelszabályok alkalma - zandók, függvények felírása és ábrázolása szükséges, szóval a kezdőnek tényleg rázós le - het az út a célhoz. Most kísérletet teszünk egy viszonylag sima út kitaposására. Ennek során lényegesen támaszkodunk az [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ] művekre is. Most tekintsük az 1. ábrát forrása: [ 3 ]! 1. ábra forrása: [ 3 ] Itt azt szemléltették, hogy egy tetszőleges alakú merev testet, mely a reá ható külső erőrendszer hatására egyensúlyban van, gondolatban szétvágtunk egy metsző felülettel. Így előálltak az I. és a II. jelű résztestek. Minthogy az egész test egyensúlyban van, így részeinek külön - külön is egyensúlyban kell lennie. Az I. résztestre ható külső erőket a szétvágás mentén működő belső erőknek kell kiegyensúlyoznia, melyeket a II. résztest fejt ki I. - re. A belső erők valójában egy a metszeti felület mentén megoszló erőrendszer, melyet a metszeti felület S A pontjába redu -
2 kálva kapjuk az F S metszeti erőt és M S metszeti erőpárt / nyomatékvektort. Ezután egy S A xyz derékszögű koordináta - rendszert veszünk fel, melynek x - tengelye a metszeti felület S A pontbeli n A ( kifelé mutató ) normális egységvektorával egyező nyílér - telmű, az y és z tengelye pedig olyan állású, hogy x, y és z egy jobbsodrású tengelyrend - szert képeznek. Az előbbi F S és M S vektorokat ezen tengelyek menti komponensekre bontva kapjuk az adott metszetet terhelő igénybevételi komponenseket; ezek név szerint: ~ N: normálerő, ~ Q y, Q z : nyíróerők; ~ M x : csavarónyomaték, ~ M y, M z : hajlítónyomatékok. Ezt az 1. ábra jobb felső részén részletezték, ahol minden igénybevételi komponens pozitív értelmű. Ez a helyzet a térbeli Statikában, általános esetben. Most specializáljuk a fentieket a síkbeli Statikára és az egyenes tengelyű rudak esetére, amikor is a rudat képzeletben átmetsző felület a rúd súlypontvonalára merőleges helyzetű sík, a redukálás pedig a keresztmetszeti síkidom S súlypontára történik! Az ekkor előálló koordináta - rendszer ( k. r. ) felvétele pl. a 2. ábra szerinti. 2. ábra forrása: [ 2 / 2 ] Itt az Sxyz k. r. kezdőpontja az I - gerenda bal oldali végének súlypontjában lett felvéve, x - tengelye hosszirányú, y - és a z - tengelyei a keresztmetszet szimmetriatengelyeivel esnek egybe. Minthogy a k. r. egy segédeszköz, így felvétele tetszőleges, de célszerű. Most beszéljük meg a súlypontra redukálás, valamint az ezzel kapcsolatos előjelszabá - lyok kérdését! Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Itt azt láthatjuk, hogy a tartóra hat egy F vek - torú erő, az x K koordinátával kijelölt K keresztmetszettől balra.
3 3. ábra A K keresztmetszettel a tartót az I. és II. jelű résztartókra vágtuk szét, gondolatban. Az F erőt a K keresztmetszet S súlypontjára redukáltuk, az erő áthelyezésénél tanult mó - don. Ennek eredményeképpen kaptuk az S pontban hatónak képzelt F vektorú erőt és az M h forgatónyomatékú erőpárt. Utóbbi M h jelölése a hajlítónyomaték skalárját jelenti. Az S pontban F - et Q és N derékszögű komponenseire bontottuk; ezek nagysága az ábrán feltüntetettek szerinti. A 3. ábra segítségével két előjelszabályt is tisztázunk. 1. szabály: a statikai számítás során az erők skaláris komponensei akkor pozitívak, ha a megfelelő vektorkomponens nyila a pozitív egységvektoréval egyező. 2. szabály: a pozitív igénybevételek vektorai a 3. ábra alsó részábrája szerint az I. tartó - szakasz jobb oldali K végkeresztmetszetének pozitív tengely - irányaival azonos nyíl - értelműek, ahogyan azt már az 1. ábra jobb felső részábrája kapcsán is megállapítottuk. A 3. ábráról is leolvasható, hogy a II. tartószakasz bal oldali K végkeresztmetszetében az akció ~ reakció elvének megfelelően fennállnak az alábbiak: E két szabály egyidejű alkalmazását a következő mintapéldán mutatjuk be. Most gondoljuk tovább! Ha az F erő egy az I. résztestre ható ( bal oldali ) erőrendszer eredője, akkor a fenti redukálás eredményeként a teljes tartóra ható, több erőből álló erő - rendszer okozta belső erőket / igénybevételi komponenseket állítottuk elő a K keresztmet - szetre.
4 Érdemes megemlíteni, hogy általában nem határozzuk meg az előbb említett eredőt, hanem a vetületi és a nyomatéki tétel értelmében az erőrendszer elemeivel, illetve azok derékszögű összetevőivel dolgozva érjük el a kívánt eredményt. Fontos eldönteni, hogy a munka során az I. vagy a II. tartórész K - beli végkeresztmetsze - tével dolgozunk - e. Gyakorta megesik, hogy ugyanazon feladatban mindkettővel dolgo - zunk, kényelmi okok és ellenőrzési szempontok miatt is. Az előbb említett munka nem egyéb, mint az igénybevételi függvények felírása, majd az igénybevételi ábrák megrajzolása. Az igénybevételi függvények a 3. ábra példájában: N = N ( x ), Q = Q ( x ), M h = M h ( x ), vagyis a normálerő, a nyíróerő és a hajlító - nyomaték értékeinek az x változó függvényében való alakulását megadó matematikai ki - fejezések / függvények. Az igénybevételi ábrák e függvények grafikonjai. MINTAFELADAT [ 2 / 1 ] Egy l támaszközű, az A végén fix csuklós, a B végén görgős megtámasztású kéttámaszú gerendát az A végétől a távolságra lévő keresztmetszetében egy F nagyságú, a függőle - gessel α szöget bezáró hatásvonalú koncentrált erő támadja, a 4. ábra szerint. 4. ábra Határozzuk meg e tartó igénybevételi függvényeit, majd ezek alapján rajzoljuk meg igénybevételi ábráit! A feladat kiírása az alábbi. Adott: l, a, α, F. Keresett: N( x ), Q( x ), M h ( x ). Megoldás
5 Először a reakciókat határozzuk meg. Ehhez a reakciók komponenseit pozitívnak tételez - zük fel, az 5. ábra szerint. 5. ábra Az egyensúlyi egyenletek: mivel az ábra alapján így ( 1 ) és ( 2 ) - vel: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) tehát a felvettel ellentétes nyílértelmű. Folytatva: ( 4 ) mivel az ábra alapján így ( 4 ) és ( 5 ) - tel: ( 5 ) ( 6 ) tehát a felvettel ellentétes nyílértelmű. Folytatva:
6 ( 7 ) most ( 5 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel: tehát: ( 8 ) vagyis a felvettel ellentétes nyílértelmű. Most rátérünk az igénybevételi függvények felírására. Ehhez tekintsük a 6. ábrát is! 6. ábra Itt alkalmaztuk a 3. ábrán bemutatott előjelszabályt a pozitív igénybevételek megadására. Egyensúlyi egyenletek az I. szakaszra, melyre ld. 6. ábra felső része! : ( 9 ) most ( 3 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) ( 11 ) majd ( 8 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 )
7 ( 13 ) ezután ( 1 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 ) Egyensúlyi egyenletek az II. szakaszra, melyre ld. 6. ábra alsó része! : tehát: ( 15 ) ( 16 ) most ( 6 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 ) ( 18 ) majd ( 17 ) és ( 18 ) szerint: tehát: ( 19 ) A következő teendő eredményeink grafikus ábrázolása. Ehhez adatok: F = 10 kn, α = 37, a = 6 m, l = 9 m. ( A ) A normálerő - ábra a 7. ábrán szemlélhető. 7. ábra
8 A nyíróerő - ábra a 8. ábrán szemlélhető. 8. ábra A hajlítónyomatéki ábra a 9. ábrán szemlélhető. 9. ábra
9 Megjegyzések: M1. Emlékeink szerint a mérnöki vizsgákra való felkészülés során is egyfajta vízválasztót jelentett a tartók igénybevételeivel kapcsolatos tudásanyag elsajátítása vagy annak el - mulasztása. M2. Az egyensúlyban lévő test belső erőrendszerének vizsgálata során néha nem sík, ha - nem görbe felület menti átmetszést alkalmaznak. Ez főként rugalmasságtani számítások - nál fordul elő. M3. Az említett, a metszeti felület mentén megoszló belső erőrendszer valójában a feszültségi erőrendszer. Erről közelebbit a Szilárdságtan, illetve a Rugalmasságtan tud mondani. M4. Az nem egészen magától értetődő, hogy az igénybevételi komponenseket a test adott keresztmetszete súlyponti tengelyeire vonatkoztatjuk; ennek jó oka van, melynek magya - rázatát a haladó szilárdságtani tanulmányok során adják meg. Néha más keresztmetszeti vonatkoztatási pontok is előfordulhatnak ( pl.: nyírási középpont, csavarási középpont ). M5. Az 1. ábrán az S A pont az S ( Schnitt ) metszeti felület A pontja. M6. Itt és a továbbiakban is csak ún. prizmatikus tartókkal foglalkozunk, melyek ke - resztmetszetének alakja, méretei és helyzete a hosszuk mentén nem változik. A 3. ábra tartóját képzeletben úgy származtathatjuk, hogy a b / h téglalap keresztmetszetet az S súly - pontján átmenő, a keresztmetszet síkjára merőleges egyenes mentén végigtoljuk, a tartó l hosszában, miközben a keresztmetszeti síkidom a rúdtestet leírja, ahol l > 10 h. E származtatási módtól eltérő pl. a csavart rudaké, amikor is a keresztmetszeti síkidomot nem csak eltoljuk, hanem eközben el is forgatjuk a tartó hossztengelye körül. M7. A 3. oldali utolsó mondatot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a súlypontra redukálás során érvényesítjük a szuperpozíció elvét: minden, a keresztmetszettől egy oldalra eső erő és erőpár hatása a K keresztmetszetre algebrailag összegezhető, egymásra halmozható; ez a vetületi és a nyomatéki tétel értelmében megtehető. M8. Az igénybevételi ábrák más megjelenésűek is lehetnek. Egy az ittenitől eltérő megol - dást mutat a 10. ábra. A mi megoldásunkat alapvetően meghatározza, hogy a Graph függ - vényrajzoló programmal hogyan kényelmesebb dolgoznunk.
10 10. ábra forrása: [ 2 / 1 ] M9. A Statikában mindennapos dolog, hogy a 7., 8., 9., 10. ábrán látható sajátos függvé - nyekkel, illetve ábrákkal találkozunk. Az ilyen szakadásos, illetve töröttvonal alakú gra - fikonok az F koncentrált erő következtében állnak elő. A valóságos viszonyok ettől elté - rőek: az F erő nem pontszerű, hanem kis de nem zérus nagyságú felületen megoszló, nagy intenzitású erőrendszer, melynek eredője F. Az ennek megfelelő igénybevételi ábrák pedig a támadáspontban is folytonos, illetve folytonos érintővel rendelkező függvényekkel lennének leírhatóak. M10. Az 1. ábrán is látható koordináta - rendszer alkalmazása elsőre kissé kényelmetlen - nek tűnhet, ámde később az összetett igénybevételek tanulmányozása során jó szolgá - latot tesz majd. Emiatt is érdemes már most, tanulmányaink ezen részében bevezetni. M11. Ahogyan a 10. ábrán is látható, célszerű az igénybevételi ábrákon feltüntetni azok jellemző értékeit. A 10. ábrán ez paraméteresen történt, ahogyan a feladat megoldása is. M12. Az igénybevételi ábrákkal kapcsolatban még további tudnivalók merülhetnek fel, melyeket az ezután következő sok mintapélda kapcsán kell megbeszélni. M13. Nem egyszerű a szakmai tanár feladata, a címbeli témát illetően sem. Nincs még minden kellően előkészítve, nem használhat magasabb matematikát, ámde törekednie kell a nagyfokú precizitásra, egy kevésbé teljesítményorientált közegben is. Hasonló gondjaik lehetnek a tankönyvek íróinak is, megfejelve fentieket az idők során változó követel - ményrendszer okozta kihívásokkal. Talán ezért is van csak kevés jól tanulható tankönyv, magyarul, főként technikusi szinten, a statikai / szilárdságtani témákban is.
11 Szakirodalmi források: [ 1 ] Hajdu Endre: Statika Egyetemi jegyzet, Sopron, 2006. [ 2 / 1 ] Siegfried Kessel: Technische Mechanik Aufgabensammlung mit Musterlösungen Egyetemi jegyzet, Dortmund, 2012. vagy: www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/v_4_6234.pdf?sgwid =0-0-45-1364793-p174546998 [ 2 / 2 ] Siegfried Kessel: Mechanik I. Egyetemi jegyzet, Dortmund, 1997. [ 3 ] Georg Rill: Technische Mechanik I. Egyetemi jegyzet, OTH Regensburg, 2017. vagy: https://hps.hs-regensburg.de/rig39165/ Sződliget, 2017. november 22. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár