Bevezetés a zikába 2.

Átírás

1 Bevezetés a zikába 2. Csanád Máté április 10.

2 Tartalomjegyzék 1. H tan A h tan alapjai A h mérséklet mértékegységei és mérése H mennyiség, fajh Fázisok, fázisátmenetek A vízg z, páraképz dés H tágulás A h átadás fajtái Kinetikus h tan A h kinetikus elmélete, az ekvipartíció Az általános gáztörvény és következményei Az entrópia Axiomatikus termodinamika A termodinamika alaptételei Állapotváltozások, körfolyamatok Elektromosság és mágnesesség Az elektromosság alapjelenségei A Coulomb-törvény Térer sség és er vonalak A uxus és a Gauss-törvény Elektromos feszültség és elektromos áram Az elektromos potenciál Az elektromos áram Az Ohm-törvény, az elektromos teljesítmény Áramkörök Mágneses tér és hatásai Mágnesesség A Lorentz-er és a mágneses nyomaték A mágneses uxus és Gauss-törvény Mágneses indukció A mágneses tér forrásai Mozgó töltések és az áram mágneses tere Az Ampère-törvény Önindukció és transzformátor Váltakozó áram áramkörök Elektromágneses hullámok A Maxwell-egyenletek Az elektromágneses spektrum Optika

3 TARTALOMJEGYZÉK A fény terjedése Geometriai optika Hullámoptika Modern zika A részecske-hullám kett sség, a kvantumvilág A fény kvantumtermészete A részecskék hullámtermészete A térid modern fogalmának kialakulása A newtoni mechanika és a Maxwell-egyenletek ellentmondása A speciális relativitáselmélet Az általános relativitáselmélet Atom- és magzika Az atomok felépítése Az atommagok kötési energiája Maghasadás A magfúzió és összevetése más energiatermelési módszerekkel A. Ellen rz kérdések 48

4 1. fejezet H tan Kísérlet: jég olvadása sós vízben Két pohár, 3-3 dl víz, 1-1 darab jég, az egyik pohárban sós a víz. Utak sózása alapján azt várjuk, a só segíti az olvadást. Eredmény: a sós vízben lév jég sokkal tovább megmarad A h tan alapjai A h mérséklet mértékegységei és mérése Az emberi h érzet fogalmának kvantitatív kifejezésére született a h mérséklet fogalma. Azért lehetséges a h mérsékletet zikai mennyiségként deniálni, mert (különféle mértékegységeket deniálva) mérhet, azaz értékei reprodukálhatóak. A hétköznapi életben legtöbbet használt mértékegység a Celsius, amelyet a víz olvadáspontjához (0 C) és a forráspontjához (100 C) kötve deniáltak. Az angolszász világban ehelyett a Fahrenheitet használják, amely gyakorlatias h mérsékletekhez köt dik (0 F: hideg téli nap, 100 F: meleg nyári nap). A kett t a T F = 9T C / egyenlet köti össze. A h mérséklet, mint zikai mennyiség, akkor értelmes, ha mérhet. Ezt különféle eszközökkel lehet megtenni, amelyeket el zetesen kalibrálunk (azaz valahonnan ismert h mérsékletek melletti állásukat feljegyezzük). Ezen eszközök m ködésének alapja lehet például a gázok vagy folyadékok h tágulása (ugyanis térfogatuk egyenletesen változik a h mérséklettel), esetleg fémek ellenállásának változása, illetve az úgynevezett h sugárzás vizsgálata is. Ezekr l kés bb olvashatunk valamivel b vebben. A h mérsékletet mindenesetre nem úgy deniáltuk tehát, hogy megadtuk a jelentését, hanem a mérésének módján keresztül. Hogy mit jelent a h mérséklet, mire vezethet vissza, ezt majd a kinetikus gázelmélet tárgyalása során érthetjük meg. A h mérsékleti skálán lefelé haladva tehetünk egy fontos meggyelést: állandó térfogatú gáz nyomása lineárisan függ a h mérséklett l, azaz adott h mérséklet-csökkenéshez mindig adott nyomáscsökkenés tartozik. Amennyiben ez a viselkedés nem szakad meg, akkor egy bizonyos h mérsékletnél nulla alá csökkenne a nyomás, ami viszont értelmetlen. Kiderül továbbá az is, hogy ez a bizonyos h mérséklet a gáz anyagi min ségét l és térfogatától is független: Ez lehet séget ad az abszolút nulla fok bevezetésére, amely Celsiusban 273, 15 fok értéket vesz fel. Ennek segítségével bevezethet a Kelvin skála: T K = T C + 273, 15, ebben 0 K az abszolút nulla fok, ahol minden 4

5 1.1. A HŽTAN ALAPJAI 5 gáz nyomása nullára csökken. A zikai törvények többségében a Kelvin skálát használjuk majd. Ezen kifejezve megadunk néhány karakterisztikus h mérsékleti értéket: 2,7 K a ritka világ rben a kozmikus (mikrohullámú, elektromágneses) háttérsugárzás h mérséklete, 4,2 K a hélium forráspontja normál légköri nyomáson (ahogy a továbbiak is), 77 K a nitrogén (N 2 ) forráspontja, 273 K a víz olvadáspontja, 373 K a víz forráspontja, 600 K az ólom olvadáspontja, 6000 K a Nap felszíne, 10 7 K a Nap központi h mérséklete, és K a nagyenergiás atommag-ütközésekben létrehozott h mérséklet, ahol az atommag épít kövei, a protonok és a neutronok ismegolvadnak H mennyiség, fajh Most, hogy már ismerjük a h mérséklet mérésének módját, feltehetjük a kérdést, hogy mi okozza a h mérsékletváltozást? Ma már tudjuk: az energia egy fajtája, a h energia (jele többnyire Q) felel s ezért. Ennek mértékét például kalóriában mérjük: 1 cal (kalória) az a h, ami egy gramm vizet egy fokkal melegít fel. Miután ez az energia egy formája, így Joule-ban is megadhatjuk: 1 cal = 4,186 J. Összességében megállapíthatjuk azt is, hogy egy adott közeg h mérsékletének megváltoztatásához szükséges energia (h ) arányos a h mérséklet-változással és az adott közeg tömegével: Q m T. Az arányossági tényez a fajh, c, mértékegysége J/(kg K). A T h mérséklet-változáshoz szükséges energia (h ) tehát Q = cm T (1.1) A víz fajh je c =4186 J/(kg K), azaz például 1 liter víz 20 fokról történ felforralásához (a 100 fok eléréséhez) J = 335 kj h re van szükség. Ha gyelembe vesszük, hogy 1 kwh = 3,6 MJ elektromos energia kb. 50 forintba kerül, akkor láthatjuk, hogy ez a folyamat elektromosságot használva minimum 5 forintba kerül (természetesen ha a melegítésre használt energia egy része elveszik, ahogy az ténylegesen mindig be is következik, akkor több energiára van szükség). A víz fajh je a legnagyobbak közé tartozik, a hidrogén, hélium, ammónia, lítium fajh jével egyetemben. Igen alacsony fajh j anyagok (amelyek egy kg tömeg mennyisége kevés h hatására is sokat melegszik) az ólom, az arany, a higany és általában a nehézfémek fajh jük a vízének kevesebb, mint harmincada. A leveg fajh je kb J/(kg K), azaz 1 kg leveg egy fokkal való felmelegítéséhez kb. 1 kj energiára van szükség. Ugyanakkor vegyük észre, hogy 1 kg leveg igen sok: egy köbmétert tölt be, azaz egy tipikus szobában összesen 20 kg leveg van. Ez azt is jelenti például, hogy ha a szoba leveg je 20 fokos, és elhelyezünk benne tíz liter 50 fokos vizet, akkor ez (egyéb például a falakon át történ h csere hiányában) 40 fokra való leh lése során a szoba leveg jét is 40 fokosra melegíti (hiszen a h kicserél dése miatt c 1 m 1 T 1 = c 2 m 2 T 2 ). Ugyanezért nehéz nyáron egy szell ztetéssel leh teni a lakást ugyan a szoba leveg jét kicserélhetjük fokkal hidegebbre is, de a falak, berendezési tárgyak h energiája ezt gyorsan semlegesíti, érdemleges leh lés nélkül (számoljuk ki, hogy 1000 kg beton egy fokkal való leh tésekor mennyi energia szabadul fel, és ez hány köbméter leveg 10 fokkal való felmelegedésének felelne meg). Miután a melegítéshez szükséges h a tömeggel arányos, ezért tulajdonképpen az n = m/m anyagmennyiséggel is arányos Q, hiszen Q = cm T = cnm T. Ez átírható úgy, hogy Q = Cn T, (1.2) ahol C = cm a mólh, amelynek mértékegysége J/(mol K). Az egyatomos gázok mólh je tipikusan kb. 12,5 J/(mol K) (állandó nyomáson), szilárd anyagoknak többnyire 25 J/(mol K), kétatomos gázoknak pedig kb. 21 J/(mol K). Ennek indoklását az általános gáztörvény alapján látjuk majd. A mólh általánosságban is inkább az anyag szerkezetét l, mint a konkrét elemt l/molekulától függ. Érdekes felfedezni, hogy míg a fajh ben az egyes elemek és egyszer molekulák között 50-szeres arány is tapasztalható, addig a mólh esetében alig kétszeres arányokat látunk. Ez a c = C/M összefüggéssel együtt magyarázza az el z bekezdés végén említetteket: a víz fajh je azért magas, mert a móltömege alacsony. Ugyanígy, a higany móltömege magas, ezért a fajh je alacsony.

6 6 1. FEJEZET. HŽTAN Fázisok, fázisátmenetek Ahogy azt mindennap tapasztaljuk, az anyagok/közegek különféle halmazállapotban vesznek minket körül: vannak gázok, folyadékok és szilárd anyagok. Azonban az egyes anyagok halmazállapota nem rögzített: gázból folyadék lehet, folyadékból szilárd közeg, és így tovább. Ezek az átalakulások valamekkora h cserével együtt történik, méghozzá legtöbbször adott nyomás esetén adott h mérsékleten. Az átalakuláshoz szükséges h mennyiséget látens h nek nevezzük (jele tipikusan L). Ezt úgy deniálhatjuk, hogy m tömeg anyag halmazállapotának adott módon történ megváltoztatásához Q = Lm (1.3) h energiára van szükség. Maga az átalakulás tipikusan x h mérsékleten történik, tehát csak akkor melegszik/h l tovább az adott közeg, ha teljesen átalakult az új halmazállapotba. Ezért f zni csak 100 Celsius fokon lehet, akármilyen álláson van a f z lap: amíg az összes víz el nem forrt, nem történik további felmelegedés. És ugyanezért tartanak állandó alacsony h mérsékleten egyes berendezéseket folyékony nitrogénnel: ennek h mérséklete egészen addig nem megy 77 K fölé, amíg van folyékony komponense. A látens h re fontos példa, hogy víz olvadásh je 333 kj/kg, forrásh je pedig 2257 kj/kg. El bbi azt jelenti, hogy 1 kg jég megolvasztásához 333 kj h re van szükség: ezt 10 liter víz nyolc fokkal való leh lése tudja fedezni ezért igen alkalmas h tésre a jég. A forrásh mértéke pedig például azt jelenti, hogy 1 liter víz elforralásához közel hétszer annyi h re van szükség, mint 20 fokról 100 fokra való felmelegítéséhez (335 kj, ld. a fajh r l szóló bekezdést). Érdemes továbbá látni, hogy a jégkocka azért kiválóan alkalmas italok leh tésére, mert a halmazállapotának átalakításához sok h re van szükség amit a leh teni kívánt ital biztosít, leh lése által. Ha kávét/teát szeretnénk melegen tartani, ahhoz például 50 fokon olvadó anyagból álló jégkockákra lenne szükség: ha ezt olvadt állapotban (zárt tégelyben) helyezzük az italba, akkor h lése és fagyása során rengeteg h energiát adhat át annak. Erre szolgáló tárgyakat gyártanak is, lásd pl. a Coee Julies márkanevet. Ahogy láttuk, a különféle anyagok adott h mérséklet és nyomás esetén egy bizonyos halmazállapotban avagy fázisban vannak. Az egyes halmazállapotokat egy h mérséklet nyomás diagramon fázishatárok választják el; ezeket ábrázolja a fázisdiagram. Ez víz esetén így néz ki: Ezen több érdekességet is felfedezhetünk: Az olvadásponthoz (azaz a folyékony és a szilárd fázis határához) tartozó h mérséklet a nyomás növelésével csökken (ez csak víz esetén igaz!): ezért olvad meg a curling k alatt a jég (megkönnyítve annak csúszását), illetve a hótakaró alján ezért olvadhat meg a hó, visszafagyása esetén jégréteget alkotva. A forrásponti h mérséklet a nyomás növelésével n : ezért kuktában C h mérsékleten forr fel a víz, amit l könnyebb/gyorsabb lesz a f zés (hiszen a biológiai makromolekulák átalakulása így gyorsabban következik be). Ugyanezért nehéz nagy tengerszint feletti magasságon f zni: itt a víz már akár fokon is felforr, ilyen alacsony h mérsékleten pedig lassan következnek be a f zést jelent szerkezeti átalakulások. Megemlíthet, hogy a víz forráspontja a sózástól is emelkedik, bár igen csekély mértékben. A három fázis találkozik egy úgynevezett hármaspontban: ehhez 273 K és 6 mbar tartozik. Ennek nyomása alatt semmilyen h mérsékleten nincs folyékony fázisú víz, itt a szilárdból közvetlenül a gáz fázisba megy át a jég h átadás esetén. Normál nyomások is ez a helyzet a széndioxiddal (hiszen hármaspontja 216 K körül van): a szárazjég nem olvad, hanem szublimál (és a hideg gázban lecsapódó pára füstszer jelenséget hoz létre, így m ködnek a füstgépek).

7 1.1. A HŽTAN ALAPJAI 7 Igazi fázisátalakulás (folytonos vonallal jelezve) csak az úgynevezett kritikus pontig lehetséges: ennek koordinátái 647 K és 221 bar. Az ehhez tartozó nyomás felett csak egyfajta folytonos átmenet van, hasonlóan a vaj olvadásához: az átalakulás nem x h mérsékleten következik be, és látens h sincs. Ilyen fázisdiagramja persze nem csak a víznek, hanem bármilyen más anyagnak is lehet, fent említettük például a széndioxid esetét. Az atommag anyagának is van fázisdiagramja, azaz az atommagok anyaga is megolvadhat, ezt nagyenergiás részecskegyorsítóknál kutatják. Itt említhetjük meg továbbá, hogy a sós víz fázisdiagramja egy kicsit különbözik a tiszta vízét l. Például a sós víz olvadáspontja alacsonyabb, mint a tiszta vízé. Így el bbi már akár -10 vagy -20 fokon is megolvadhat (utóbbi a maximális, 20% (mm) feletti koncentráció esetén érvényes) A vízg z, páraképz dés Fontos látni, hogy vízg z normál légköri nyomáson sem csak 373 K felett lehetséges, a szobah mérséklet leveg ben is van valamennyi gáz halmazállapotú víz, ugyanis a molekulák h mozgásuk révét átkerülhetnek a gáz fázisba. Egy adott térfogatban (adott nyomáson és h mérsékleten) van egy maximális lehetséges vízmennyiség, ami g z formában jelen lehet, ez a telítési mennyiség (amely nem függ a jelen lév leveg mennyiségét l, s t, vákuumban is ugyanezek a jelenségek játszódnak le). Ezt a maximális mennyiséget valójában egyensúlyi koncentrációnak kellene hívni, ugyanis ennél kisebb koncentráció esetén több molekula párolog el, mint ahány lecsapódik, míg e felett a lecsapódás dominál. Az egyensúlyi koncentráció felett tehát azt is mondhatjuk, hogy a fölösleges vízmennyiség kicsapódik de csak ha van valami felület, ahol ez megtörténhet, egyébként akár a maximális vízmennyiség háromszorosa is jelen lehet az adott térfogatban (azonban a leveg ben mindig van valamennyi por, ami szintén kicsapódásra alkalmas felületet képez). Ez az említett maximális vízmennyiség avagy egyensúlyi g zkoncentráció (légköri nyomású leveg ben) 100 Celsius fokon 600 g/m 3, 30 Celsius fokon 30 g/m 3, míg 0 fokon csak 5 g/m 3. Az ehhez képesti értéket szokás relatív páratartalomnak nevezni. Ezzel sok hétköznapi jelenség kapcsolatos. Ha például leh l a leveg, az abszolút páratartalma megmarad, de a maximális lehetséges páratartalom lecsökken, ahogy a fenti számok mutatják. Emiatt a relatív páratartalom 100% felé kerül, és így a maradék vízg znek ki kell csapódnia valamilyen felületre (ha van), akár porszemcsékére. Ezért keletkezik a télen kinyitott ablakon pára (a benti meleg leveg találkozik az ablak küls, hideg felületével, és emiatt leh l), az edény tetején lecsapódó g z (a forró leveg találkozik a valamivel hidegebb fed vel), emiatt g zölög a forró folyadék, de megemlíthet a kondenzcsík, a harmat, a dér vagy a köd is. A g z állapotát általánosságban is értelmezzük, többnyire a nem túlságosan forró, a kritikus pontnál lényegesen hidegebb gázra értjük, amely egyensúlyban van egy kondenzált (szilárd vagy folyékony) fázissal. A g z molekulái által termodinamikai egyensúlyban létrehozott nyomást hívjuk egyensúlyi g znyomásnak. A termodinamikai egyensúly itt azt jelenti, hogy ilyenkor ugyanannyi molekula vándorol a kondenzált fázisból a g z fázisba, mint viszont, és így a két fázis mennyisége állandó. Természetesen az egyensúlyi g znyomás függ a h mérséklett l: nagy h mérsékleten könnyebben kerülnek át a molekulák a g zfázisba. Ha a h mérséklet akkora, hogy egyensúlyi g znyomás eléri a légköri nyomást, akkor forrás (vagy szublimáció) következik be; azaz a víz esetén 100 Celsius fokon az egyensúlyi g znyomás éppen a 1 atmoszféra. Érdemes megemlíteni, hogy 20 fokon az egyensúlyi g znyomás kb. 2 kpa, azaz a légköri nyomás 2%-át adja a vízg z. Érdekes ugyanakkor, hogy pl a szilárd vas esetén is beszélhetünk egyensúlyi g znyomásról: ennek értéke szobah mérsékleten Pa nagyságrendbe esik, míg 900 fokon már 10 6 Pa. Ez azt jelenti, hogy ilyen forró szilárd vas esetén már nagyszámú vasatom kerülhet a leveg be is. Fontos továbbá, hogy légköri nyomású leveg vel kevert g z esetén az egyensúlyi g znyomásból a kés bb tárgyalt gáztörvények segítségével kiszámítható az egyensúlyi g zkoncentráció is H tágulás A h energiával kapcsolatos további fontos (már a fejezet elején is említett) jelenség, hogy a legtöbb anyag mérete, térfogata a h mérséklett l függ. Gázok esetén globálisan lineáris kapcsolat van a térfogat és a h mérséklet között (állandó nyomás esetén, ahogy majd látni fogjuk), de ott az egész jelenségkört összetettebben tudjuk tárgyalni, ahogy majd kés bb meg is tesszük. Szilárd anyagok esetén globálisan bonyolult a térfogat és a h mérséklet közötti kapcsolat, de kis h mérsékletváltozás esetén mondhatjuk, hogy lineáris az összefüggés, pontosabban a L hosszváltozás arányos a T h mérsékletváltozással: L = L 0 α T (1.4) ha L 0 volt az eredeti hossz. Azt is mondhatjuk, hogy ekkor az új hossz L = L + L = L 0 (1 + α T ). Itt α a h tágulási együttható, ennek nagyságrendje tipikusan /fok, azaz 1/(1 millió K). Ez azt jelenti, hogy pl. 10 fokos h mérsékletváltozás esetén az adott szilárd objektum egy százezred résznyivel lesz hosszabb. Az együttható konkrét értéke egyes anyagokra jelent sen különböz lehet: kvarc esetén pl. 0,5/millió K, míg fémekre: 20-30/millió K, ráadásul a h mérséklett l is függ.

8 8 1. FEJEZET. HŽTAN A h tágulás sok hétköznapi példában is megjelenik: emiatt görbülnek el melegben a vasúti sínek (hiszen a hosszuk megn, de erre a nyúlásra nincs hely), emiatt építenek dilatációs rést hidakba és más építményekbe (hogy h tágulás esetén ne deformálódjanak el), és ezért feszesebbek a távvezeték kábelek télen. Ezen az elven m ködnek egyes id kapcsolók is: két különböz fém van bennük, amelyen bekapcsolás esetén áram folyik; az áram hatására felmelegednek, alakjuk a két fél különböz mérték tágulása miatt megváltozik, majd a visszah lés során újra eredeti állapotukba térnek vissza megsz ntetve az eredeti kapcsolatot (ez a bimetál kapcsolók és érzékel k lényege). A fentiekben a h tágulás egydimenziós változatát vizsgáltuk, azaz a tárgyak hosszának változását. Ugyanakkor h mérsékletnövekedés hatására a dolgok térfogata is megn. Hogy mennyire, azt egyszer en levezethetjük, egy L oldalhosszúságú kocka esetét alapul véve. Ennek T h mérsékletváltozás hatására L = L + L = L 0 (1 + α T ) méretre változik az oldalhosszúsága. Ekkor a térfogata V 0 = L 3 0 helyett V = L 3 = L 3 0(1 + α T ) 3 lesz, azaz V = V 0 (1 + α T ) 3. (1.5) Innen a kis x értékekre érvényes (1 + x) n 1 + nx közelítést alkalmazva (amely a binomiális sorból következik, ugyanis ebben x magasabb hatványai x 1 miatt elhanyagolhatóak) adódik, vagy másképp V = V 0 β T bevezetésével β = 3α. V = V 0 (1 + 3α T ), avagy (1.6) V = V 0 3α T (1.7) Folyadékoknál is értelmezhet a térfogati h tágulási együttható, amely azonban a h mérséklett l er sebben függ (mint szilárd anyagok esetében), és értéke általában nagyobb is. Szobah mérsékleten higany, víz esetén α = 200/ millió K, míg alkohol esetén α = 1200 / millió K. Víz esetén érdekes módon négy fok körül α = 0 lesz, majd 0 és 4 Celsius fok között negatívba fordul: azaz négy fokról tovább h lve a víz valójában tágul, nem összemegy. Így tehát a nulla fokos víz fennmarad a tó tetején (keveredés híján), az ennél pár fokkal melegebb pedig alul gy lik össze, lehet vé téve a vízi állatok és növények téli túlélését. Kontroll-kísérlet: tintás jég olvadása sós vízben Két pohár, 3-3 dl víz, 1-1 darab jég, az egyik pohárban sós a víz. A jegekbe tintát kevertünk. Eredmény: a sós vízben lév jégb l leolvadó tintás víz nem keveredik a többi vízzel, csak a pohár tetején jelenik meg a tinta színe Só nélkül a hidegebb víz s r bb, ezért leszáll a pohár aljára, a meleg víz felmegy, beindul a konvekció A sós víz azonban sokkal s r bb, a hideg víz ezért fentmarad a pohár tetején, sokkal kevesebb víz vesz részt a reakcióban A h átadás fajtái Miután a h és a h mérséklet változásával kapcsolatos legalapvet bb jelenségeket megemlítettük, a h átadás módjainak is érdemes pár bekezdést szentelnünk. A h alapvet en három módon kerül át az egyik pontból a másikba: áramlással (ekkor a meleg és a hideg közeg helyet cserél, összekeveredik), vezetéssel (ekkor a h t hordozó molekulák vagy atomok adják át egymásnak az energiát, elmozdulás nélkül) illetve sugárzással (ekkor a molekulák h mozgásuk során elektromágneses sugárzást hoznak létre, ami akár vákuumban is terjed, energiát hordozva). Gázokban és folyadékokban általában az áramlás h csere f oka: ezért h l ki gyorsabban egy tea mint egy s r krémleves, ez utóbbiban ugyanis lényegesen gyengébb áramlás tud megvalósulni (nagyobb viszkozitása okán). A h áramlás magyarázza a szelek és tengeráramlatok kialakulását, de ennek segítségével melegíti fel a szobát a f t test is, ezért száll fel a füst a kéményben, és ez segít a folyadékok és gázok er m vekben történ áramlásában. A legnagyobb h átadás turbulencia kialakulása során valósul meg, ekkor jön létre ugyanis az optimális keveredés. Általában a h áramlás hajtóereje az, hogy a melegebb közeg ritkább, így felfelé száll; vagy a nyomása nagyobb, így a hidegebb pont felé törekszik. Ahogy fent említettük, h vezetés során a gyorsabban rezg molekulák/atomok átadják a lassabbaknak az energiájuk egy részét, azaz a mozgási energia, másképp kifejezve a h terjed a renszerben, valódi mozgás nélkül. Szilárd testekben ez a h átadás f módja. A t id alatt d vastagságú, A keresztmetszet felületen átadott h mennyisége Q t = λ T A d, (1.8)

9 1.1. A HŽTAN ALAPJAI 9 ha a két oldalán T a h mérsékletkülönbség. Itt λ a h vezetési együttható (nem a Boltzmann állandó!), mértékegysége W/Km. Ebben kifejezve néhány tipikus értéke: rézre 400, üvegre 1, leveg re 0,024, ház falára 1 alatti (jó esetben). A leveg azért rossz h vezet (avagy jó h szigetel ), mert nagy távolságon vannak benne a molekulák, így kevésbé tudnak egymásnak ütközések által h t átadni. A habok, üreges anyagok is ezért szigetelnek jól, és ezért két- vagy többréteg ek a jobb ablakok is (ráadásul többnyire a két réteg közé a normálállapotú leveg nél is rosszabb h vezetés gázt tesznek). A jeges h t is ezért h t rosszul: a jég ugyanis igen rossz h vezet. Házak és lakások energiaháztartásának vizsgálata során a vastagságot és a h vezetési együtthatót szokás egyetlen U = λ/d-vel jelölt h átbocsátási tényez vel megadni, ezzel Q t = UA T. (1.9) Ekkor U mértékegysége W/m 2 K, és azt adja meg, hogy egy négyzetméter felületen egy fok h mérsékletkülönbség esetén mennyi energia távozik id egységenként. Ez környezetzikai szempontból igen fontos, hiszen az így távozó h energiát kell valamilyen f tési rendszerrel pótolni, azaz a h átbocsátási tényez minimalizálása az adott lakás vagy ház energiaigényét igen jelent sen tudja csökkenteni. A tényez értéke jó h szigetel (többréteg ) ablakokra W/m 2 K körül van. Ez konkrétan azt jelenti, hogy ha az ablak 1 négyzetméteres, és bent 20 fokkal melegebb van, mint kint, akkor Watt h teljesítményre van szükség, hogy az ablakon át kiáramló h t pótoljuk. A h sugárzás jelenségét kés bb fogjuk megérteni, de a lényeg, hogy az atomok és molekulák rezgése elektromágneses teret hoz létre, amely energiát sugároz ki, akár vákuumban is és ennek során a kibocsátó anyag molekuláinak rezgése csökken, az anyagot h tve. Adott h mérséklet mellett különböz hullámhosszú sugárzáskomponensek is vannak, ezek összessége a kés bb a kvantumzika által megmagyarázott Planck-spektrum, amely az alábbi ábrán látható: Néhány száz kelvin esetén még nem látható a h sugárzás, de ezer kelvin h mérséklet környékén láthatóvá válik: ez a vörösizzás. Ahogy növeljük a h mérsékletet, a spektrum maximuma egyre kisebb hullámhosszok felé tolódik, azaz a szín egyre több kéket és egyre kevesebb vöröset tartalmaz K körül épp nagyjából egyenletesen tartalmaz minden színt a spektrum, így ez fehérnek t nik, felette pedig egyre kékebbnek. A Nap felszíni h mérséklete alapján éppen fehér sugárzást bocsát ki pontosabban nyilván a szemünk a Nap színe alapján kalibrálja a színeket, azt éppen fehérre hangolva. Érdekes megemlíteni, hogy az univerzumban minden irányból kb. 2,7 K h mérséklet sugárzás észlelhet, ez a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás. A h sugárzáshoz kapcsolódik továbbá a Stefan-Boltzmann törvény. Eszerint egy A felület, T h mérséklet tárgy által δt id alatt kisugárzott h energia mennyisége Q t = ɛσat 4, (1.10) ahol a Stefan-Boltzmann állandó σ = 5, J/(sm 2 K 4 ), és ɛ egyfajta elnyelési és kisugárzási együttható, tökéletesen fekete test esetén 1 (míg egyes komponenseket el nem nyel, azokat visszever, azaz éppen ilyen szín test esetén egy alatti ɛ értékek adódnak). A h csere három fajtáját az alábbi ábra illusztrálja:

10 10 1. FEJEZET. HŽTAN 1.2. Kinetikus h tan A h kinetikus elmélete, az ekvipartíció A XIX. század végére az atomhipotézis számos meggyelés magyarázatául szolgált, sokak véleménye azonban az volt, hogy a h tan területén már nem alkalmazható sikeresen. A fordulópontot leginkább a Brown-mozgás felfedezése és magyarázata jelentette. Bár a jelenségr l ó- és középkori szerz k is írnak, Brown volt az, aki természettudományos módszerekkel fogott a jelenség vizsgálatához ben virágpor vízen történ véletlenszer mozgását gyelte meg, ma ehhez kötjük a jelenség felfedezését, illetve els tudományos dokumentációját. A jelenséget Einstein és Smoluchowski magyarázta meg véglegesen: eszerint a véletlenszer mozgás a közeg atomjainak vagy molekuláinak h mozgása miatt jön létre. Ezt elfogadva, az atomok nyelvén a h mozgási energia, a h mérséklet az atomok/molekulák átlagos energiájától függ. Az atomok mozgási energiájának tárgyalásához felidézzük a szabadsági fokok denícióját (b vebben lásd a tárgy els félévi jegyzetének vonatkozó szakaszát). Egy atomot tömegpontként képzelünk el, amely haladó mozgást végezhet, ez f = 3 szabadsági fokkal jár, a tér három iránya miatt. Egy kétatomos molekulát egy kis szakaszként képzelhetünk el, így ennek további két forgási szabadsági foka lesz, azaz összesen f = 5. Bonyolultabb molekulákat kiterjedt merev testekként képzelünk el, ezeknek összesen f = 6 szabadsági foka van, melyb l három mozgási és három forgási: Megemlítend még, hogy szilárd anyagokban potenciális energia és más, kollektív szabadsági fokok is elképzelhet ek, ezért itt nagyobb f értékek is lehetnek. A kinetikus h tan alapja az ekvipartíció tétele: eszerint egy T h mérséklet közegben minden molekula vagy atom minden szabasági fokára átlagosan ugyanannyi energia jut, méghozzá ɛ = k BoltzmannT 2, (1.11) ahol k Boltzmann a Boltzmann-állandó, értéke 1, J/K. Az ekvipartíció (ami lényegében egyenl eloszlást jelent) tételének oka tulajdonképpen az, hogy a h mozgás során az energia kiegyenlít dik, az egyenletes eloszlás a legvalószín bb. Ebb l kikövetkeztethetjük egy gáz részecskéinek átlagos sebességét, hiszen mozgásra három szabadsági fok jut, tehát a mozgási energia 3ɛ = 3kT/2, ugyanakkor ez egyúttal mv 2 /2-vel is egyenl. A részecskék átlagos sebessége innen v = 3kT/m. Egy adott irányban (nevezzük ezt z iránynak) a sebesség az egyetlen szabadsági fokra jutó energiából adódik: v z = kt/m. Légköri nyomáson a leveg molekuláinak sebessége tipikusan m/s körül van, ami egyúttal azt is jelenti, hogy egy molekula másodpercenként átlagosan többször tízmillió véletlenszer ütközést szenved el ez magyarázza, hogy a termodinamikai folyamatok mindig a legvalószín bb állapot felé haladnak. Egy rendszer teljes bels energiája összesen E = f N ɛ, ha f az ɛ egyenként energiájú szabadsági fokok száma, N pedig közeg részecskéié. A gáz teljes bels energiája innen tehátl kifejezhet a T h mérséklettel E = f 2 NkT = f nrt, (1.12) 2 ahol R = k N A a Boltzmann-állandó szorozva az Avogadro-állandóval (10 2 3), n pedig a mólszám. Miután Q h átadásakor (egyéb folyamatok, azaz pl. tágulás vagy összenyomás hiányában) az energiaváltozás E = Q, az állandó térfogaton vett mólh kiszámítható. Ennek deníciója (Q = Cn T ) szerint C = Rf/2 adódik, ez egyatomos gázokra éppen 12,5 J/(mol K), ahogy a fajh r l szóló szakaszban láttuk. Részletesen lásd a termodinamikai átalakulásokról szóló szakaszban Az általános gáztörvény és következményei A gázbeli nyomás a kinetikus gázelmélet szerint a molekulák/atomok ütközése miatt hat, gyelembe véve, hogy az ütközés során impulzusváltozás történik, amely (az ütközés id tartamával leosztva) az er t adja meg,

11 1.2. KINETIKUS HŽTAN 11 a nyomás pedig az adott felületra ható er. Téglatestbe zárt gáz esetén levezethet az adott h mérséklet és térfogatú gáz nyomása, azaz az úgynevezett általános gáztörvény: A keresztmetszet, l hosszúságú edényben legyen N gázatom T h mérsékleten. Az ekvipartíció tétele alapján az egyes atomok átlagos sebessége a tér három irányában ugyanannyi, v x = v y = v z = kt/m. A nyomás a falnak ütköz részecskék által kifejtett er t l függ p = F/A, az er pedig az átadott impulzustól: F = p z / t. Egy gázatom által átadott impulzus (a z-irányú sebessége el jelet vált): 2mv z. Hány gázatom ütközik a falnak t id alatt? Mivel v z sebességgel közelednek a falhoz átlagosan, ezért azok érik el a falat, akik v z t távolságon belül voltak pontosabban ezeknek a fele, a másik felül a másik irányba megy. Ennek a résznek a térfogata v z ta, azaz az itt lév részecskék száma Nv z ta/v, a falnak ütköz ké pedig Nv z ta/2v Az ezek által átadott impulzus pedig: 2mv z Nv z ta/2v, egyszer sítve: Nmv 2 z ta/v. A nyomás tehát p = Nmv 2 z/v, azaz p = NkT/V, azaz pv = NkT. Ehhez az alábbi illusztráció ad segítséget A fenti levezetésben feltettük, hogy a gáz részecskéi között csak ütközési jelleg er k hatnak, és maguk a részecskék semekkora térfogatot nem foglalnak el. Az ilyen feltételeket teljesít gázokat ideálisnak nevezzük, a levezetés végén közölt összefüggés az ideális gázok állapotegyenlete, avagy az általános gáztörvény: pv = NkT. (1.13) Bevezetve az R = k N A gázállandót (ahol N A = az Avogadro szám), ez pv = nrt egyenletként is írható, ha n = N/N A az anyagmennyiség (mólszám). Mindebb l néhány egyszer törvény levezethet : Állandó nyomás esetén V/T = N k/p = állandó (h tágulás, Charles-törvény). Állandó h mérséklet esetén pv = N kt = állandó (tágulás nyomáscsökkenés, BoyleMariotte-tv.) Állandó térfogat esetén p/t = N k/v = állandó (h lés nyomáscsökkenés, Gay-Lussac-tv). Érdemes megemlíteni, hogy reális gázok esetén két plusz tag adódik. Az els t az adja, hogy az atomoknak is van térfogata, ezért a rendelkezésre álló térfogat lecsökken: V V nb. Továbbá a valóságban a molekulák nem csak mint billiárdgolyók ütköznek, hanem vonzzák is egymást, csökkentve a nyomást: p p an 2 /V 2. A fentieket is gyelembe vev egyenlet a reális gázok állapotegyenlete, a van der Waals-féle egyenlet: (p an 2 /V 2 )(V bn) = N kt. Ez az állapotegyenlet alacsony h mérséklet esetén jelent sen eltér az ideális gázokétól, de tárgyalása túlmutat jelen jegyzet keretein. Kísérlet: színes alkohol és víz helycseréje Két kis pohár, egyikben víz, a másikban valamely színes alkohol. Mindkét poharat teljesen tele kell tenni. A vizes poharat egy kártyával a tetején megfordítjuk, az alkoholos pohárra tesszük. A kártyát kicsit kihúzva a víz elkezd lefelé áramolni, az alkohol pedig felfelé száll. Kis nyílás esetén nincs keveredés, a két folyadék helyet cserél. Mi az oka a keveredésnek? Miért tudtuk megakadályozni?

12 12 1. FEJEZET. HŽTAN Az entrópia A h tan egyik legfontosabb fogalma az entrópia, amelyet igazán a h kinetikus értelmezése kapcsán érthetünk meg. Az entrópia fogalma alapvet en a rendezetlenséghez kapcsolódik, és egy rendszer mikro- és makroállapotain keresztül értelmezhet. A mikroállapot a rendszer tökéletes leírása, minden komponensének/részecskéjének összes tulajdonságát rögzíti. A makroállapot ezzel szemben a rendszer globális állapotát adja meg, tekintet nélkül egyedi részecskéinek állapotaira. Például egy pénzérmékb l álló rendszer esetén egy adott mikroállapotban minden pénzérme állását tudjuk, egy adott makroállapot azonban például az lehet, hogy az érmék fele fej, fele írás. Látható, hogy egy adott makroállapot sokféle mikroállapoton keresztül valósulhat meg. Gázoknál is ez a helyzet: az adott nyomást és h mérsékletet jelent makroállapot sokféle konkrét molekula- és atomelrendez dés esetén is létrejöhet. Ebben a képben az adott makroállapothoz tartozó entrópia deníciója S = k Boltzmann log w (1.14), ahol w a lehetséges mikroállapotok (elemi elrendezések) száma, amelyek mind ugyanezt a makroállapotot valósítják meg. A formulában szerepl egyúttal az entrópia mértékegységét (J/K) is megadja. Négy pénzfeldobásnál a fenti formulában négy fej esetén w = 1, fele-fele esetén w = 6. Az utóbi állapot entrópiája tehát magasabb. Érdekes észrevenni, hogy a négy pénzfeldobásos esetben a fele-fele arány a legvalószín bb. Ugyanígy, egy szobában sokkal többféleképpen lehet elhelyezni a tárgyakat úgy, ha bármelyik bárhol lehet: ha a könyvek csak a könyvespolcon, a ruhák pedig csak a ruhásszekrényben lehetnek, akkor a lehetséges mikroállapotok száma lényegesen alacsonyabb. Ez utóbbi lehet séget a köznyelvben rendnek hívjuk: a rend sokkal valószín tlenebb, mint a rendetlenség. Az entrópia tehát a rendezetlenség mértéke. Ha egy 10 pénzérmét tartalmazó dobozt megrázunk, akkor a véletlen folyamatoknak köszönhet en minden bizonnyal kb. fele fej, fele írás lesz. Ha egy molekulát tartalmazó teremben a molekulák véletlen mozgását engedjük meg (ahogy az a valóságban zajlik), akkor a legvalószín bb az, hogy a molekulák fele a terem jobb oldalában, a másik fele a terem bal oldalában lesz (ez igen szerencsés, különben ugyanis a terem egyik felében ül hallgatók megfulladnának). Mindezeket az alábbi ábra illusztrálja: Ugyanígy, a fenti kísérletben mindkét folyadék molekulái véletlenszer en mozognak és ütköznek. Sokkal valószín bb, hogy a két folyadék molekulái véletlenszer en rendez dnek el, mint hogy az egyik fajta az egyik oldalon, a másik a másikon ezt is a fenti ábra illusztrálja. Ha elég sok mozgást és ütközést várunk meg, tényleg összekeverednek. A kis réssel viszont elértük, hogy alig legyen köztük interakció, lényegében entrópiaváltozás nélkül zajlott le a folyamat, így helyet tudtak cserélni. A fenti két bekezdés úgy is értelmezhet, hogy az adott rendszer benne zajló véletlen folyamatok nyomán a lehet legvalószín bb makroállapot felé halad, és jgy a saját entrópiáját maximalizálja. Az entrópia tehát nem megmaradó mennyiség, hiszen értéke magától zárt rendszer esetén is n het (szemben az energiával: zárt, azaz küls hatástól mentes rendszer energiája nem változhat, hiszen az energia megmarad). Egyszer en az a legvalószín bb, hogy az entrópia, azaz a rendezetlenség mértéke n. Energiabefektetéssel persze csökkenthetjük az entrópiát, például rendet rakhatunk. Ekkor azonban az ezt (minket) is magában foglaló rendszer össz-entrópiája persze n : a rendrakás következtében létrejöv entrópiacsökkenést b ven kompenzálja az anyagcserénk kapcsán létrejöv entrópianövekmény.

13 1.3. AXIOMATIKUS TERMODINAMIKA 13 Az entrópiaváltozással nem járó folyamatok (például egy gáz gyors összenyomása vagy tágulása) megfordíthatóak, reverzibilisek: oda-vissza egyformán zajlanak le. Ilyen folyamatokban egy kis dq h átadás hatására ds = dq/t entrópiaváltozás történik (nyilván nem zárt rendszerr l beszélünk ekkor, hiszen a h valahonnan érkezik). Más folyamatok (például két gáz vagy folyadék keveredése, egy jégkocka megolvadása, egy váza földre esése és széttörése) irreverzibilisek. Ezek során az entrópiaváltozás lényegesen jelent sebb lehet, és zárt rendszerben is n het az entrópia ilyenkor. Ezek a folyamatok fordítva nem történnek meg: ugyan némi leh lés árán energetikailag lehetséges lenne a váza darabjainak felugrása és újra vázává való összeállása, ez (a véletlen folyamatokat gyelembe véve) annyira valószín tlen, hogy sosem következik be. Ugyanígy, lehetséges lenne, hogy a pohár víz egy része felmelegszik, egy másik része pedig leh l (és jégkockává áll össze), de annyira valószín tlen, hogy sosem következik be. A rendezetlenség csökkenése (a rend növekedése) annyira valószín tlen, hogy sosem következik be (zárt rendszerben, azaz magától). Kísérlet: érmék a dobozban Egy dobozban van csupa fej állású érme. Ha összerázzuk, a fej/írás arány 50-50% körül lesz. Ennek oka egyszer en az, hogy ez a legvalószín bb, és sok rázás során van id a valószín állapot kialakulására (gázok esetén nincs szükség rázásra: a h mozgás hatására másodpercenként sok milliószor ütköznek a molekulák) Néhány érme esetén jelent s eltérések fordulhatnak el, érme esetén azonban egy ezreléknyi eltérés is igen valószín tlen. A doboz összerázása irreverzibilis folyamat, az entrópia n, ahogy a rendezetlenség növekszik. Extrém alacsony annak a valószín sége, hogy a doboz érméinek fej/írás aránya egy egyenetlenebb, alacsonyabb entrópiájú állapotot mutasson magától. Természetesen rendet tehetünk a dobozban, de akkor már azt nem tekinthetjük zárt rendszernek Axiomatikus termodinamika A termodinamika alaptételei A termodinamikát bizonyos értelemben axiomatizálni lehet 1+3 f tétel segítségével Ezek közül a nulladik f tétel a termodinamikai rendszerek tárgyalásmódját rögzíti. Fontos, hogy mindig egyensúlyi rendszerekr l beszélünk, amelyek maguktól nem változnak. A termodinamikai átalakulások is ilyen egyensúlyi állapotokon keresztül történnek (itt tehát tulajdonképpen kváziegyensúlyról beszélünk, hiszen az egyensúly lényege éppen az lenne, hogy ebb l nem tér ki a rendszer). Fontos továbbá, hogy két termodinamikai rendszer egyensúlya azt jelenti, hogy termodinamikai kapcsolatba helyezve ket, állapotuk nem változik meg; ebb l az következik, hogy egyensúly esetén az egyes rendszerek intenzív állapothatározói (h mérséklet, nyomás) megegyeznek. Maga a nulladik f tétel pedig a következ : ha két rendszer egyensúlyban van egy harmadikkal, akkor egymással is egyensúlyban vannak. A termodinamika els f tétele azt mondja ki, hogy a rendszer energiájának változását a vele közölt h és a rajta végzett munka fedezi. Ez tehát tulajdonképpen azt jelenti, hogy az energia megmarad, és maga a f tétel így fejezhet ki: E = Q + W. (1.15) A rendszeren úgy végezhetünk munkát, hogy összenyomjuk; tágulás esetén a rendszer végez munkát, azaz W < 0. Az állandó nyomáson végzett munka a W = p V módon fejezhet ki, hiszen a munka az er szorozva az elmozdulással (F s), az er a nyomás szorozva a felülettel (F = pa), míg a térfogatváltozás az elmozdulás szorozva a felülettel ( V = sa, ahol a negatív el jel azért van, mert az általunk kifejtett er összenyomja a rendszert, csökken a térfogata). Ez az összefüggés csak állandó nyomáson érvényes, egyéb esetben innitezimálisan kicsi elemekre kell bontani a folyamatot, és ekkor dw = pdv lesz az összefüggés. A h átadásra pedig (állandó h mérsékleten, reverzibilis folyamatok esetén) a Q = T S összefüggés lesz érvényes, ami egyúttal az adott h mérséklet melletti entrópiaváltozást is megadja. Ha nem állandó a h mérséklet, akkor ismét innitezimálisan kicsi intervallumokra kell bontani a folyamatot, amelyekben dq = T ds. Ekkor összességében a összefüggés lesz érvényes. de = T ds pdv (1.16) A termodinamika második f tételének három egyenérték megfogalmazása van, ezek az ekvivalens állítások a következ k:

14 14 1. FEJEZET. HŽTAN A h átadás iránya mindig a nagyobb h mérséklet rendszer fel l az alacsonyabb h mérséklet rendszer felé mutat. Ekkor a melegebb helyr l átadunk Q h t a hidegebbnek, és közben a rendszer W munkát végez. Ennek ellenkez je nem következik be, nem lehet tehát olyan hajót építeni, ami h ti a tengert, és az ebb l nyert energiával körbehajózza a Földet. A hatásfok azt jelenti, hogy a melegebb helyr l a hidegebbre Q h áramlik, és közben W munkavégzés történik. A hatásfok ekkor a hasznosított munka és a hidegebb közeg által felvett h hányadosa: η = W hasznos /Q fel. Az állítás az, hogy minden valós rendszer hatásfoka kisebb egynél (η < 1), azaz az átadott h energiát nem lehet teljes mértékben a hasznos munkavégzésre fordítani. Zárt rendszer entrópiája nem csökken, itt zajló reverzibilis folyamatokban S = 0, irreverzibilis folyamatok során pedig S > 0 (megjegyzés: zárt rendszer számára összesen Q = 0 és W = 0, de az egyik fele adhat át h t a másiknak vagy végezhet munkát a másikon ekkor van értelme a fenti entrópiaváltozást vizsgálni) Az els és a harmadik verzió ekvivalenciája könnyen belátható: legyen egy T 1 és egy T 2 h mérséklet tartály között Q h átadás, az egyest l a kettes felé áramló a h vel. Ekkor az entrópiaváltozás az egyes rendszerben ( 1 S 1 = Q/T 1 (mivel leadott h t), és S 2 = Q/T 2 a kettes rendszerben. A teljes változás: S = Q T 2 1 T 1 ). Ez pontosan akkor pozitív, ha T 2 < T 1. Ezt illusztrálja az alábbi ábra is: A termodinamika harmadik f tétele azt mondja ki, hogy az abszolút nulla fokot nem lehet elérni véges számú termodinamikai lépésben. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy ha T 0, akkor S (néhány kivételt l, például az üvegekt l eltekintve) nullához tart, azaz elérjük a tökéletes rendezettséget. Az abszolút nulla fok azért is érhet el nehezen, mert ehhez egy másik, ennél hidegebb rendszerre volna szükség; ugyanakkor az abszolút nulla fokon az atomok/molekulák h mozgása megsz nik, azaz lényegében megállnak ennél kisebb h mérséklet pedig már nem képzelhet el Állapotváltozások, körfolyamatok Az általános gáztörvény és a f tételek következményeként a különféle állapotváltozásokat egyszer en leírhatjuk. Az állapotváltozások négy alapvet típusa a következ : Izobár p = áll. W = p V Izochor V = áll. W = 0, azaz E = Q Izoterm T = áll. Q = T S, továbbá E = 0 Adiabatikus (izentropikus) S = áll. Q = 0, azaz E = W Az egyes folyamatokat p V diagramon vagy T S diagramon ábrázoljuk: Izobár állapotváltozáshoz állandó nyomású (tágulni képes), izochor változáshoz állandó térfogatú tartályra van szükség. Izoterm állapotváltozás esetén a rendszert megfelel en nagy, állandó h mérséklet h tartályban

15 1.3. AXIOMATIKUS TERMODINAMIKA 15 kell elhelyezni, adiabatikus állapotváltozásokhoz pedig igen jól szigetelt (h cserét gátló) tartályra vagy nagyon gyors lefolyásra van szükség. Az adiabatikus esetben elmondhatjuk, hogy míg az energiaváltozás (az ekvipartíció miatt) de = f/2 N kdt, addig az ezzel egyenl munka dw = pdv = NkT V/V, ahol az utóbbi egyenl ség az általános gáztörvény miatt áll fenn. Innen f/2 dt/t = dv/v, ami lényegében egy dierenciálegyenlet a T (V ) függvényre, amelynek megoldása T = C V 2/f, ahol C tetsz leges (integrálási) állandó. Bevezetve a γ = (f +2)/f konstanst, T V γ 1 = állandó, vagy pv γ = állandó. A γ neve adiabatikus kitev. Érdemes még megemlíteni, hogy izobár vagy izochor állapotváltozás esetén kiszámítható a gázok mólh je, és a két esetre különböz értékek adódnak: Izochor esetben E = Q = nc V T = f/2nr T, azaz C V = f/2r. Izobár folyamatok esetén W = p V = Nk T, azaz Q = E W = f/2nk T + p V = (f/2 + 1)Nk T. Azaz C p = C V + R Egyatomos gázok izochor (állandó térfogat mellett vett mólh je) például C V = 12, 5 J/(mol K), míg izobár fajh jük C p = 21 J/(mol K). A két érték kétatomos gázok esetén 21 ill 30 J/(mol K). A fenti folyamatokból körfolyamatok rakhatóak össze, melyek során egy rendszer állapotai ciklikusan változnak. Ezen körfolyamatok során h befektetése mellett munka végezhet : erre épülnek a termodinamikai gépek. Ilyen körfolyamatok mennek végbe az er m vekben és a robbanómotorban is például. A szokásos benzinmotor az Otto-ciklust járja be: ez két adiabatikus és két izochor folyamatból áll: A h b l munka keletkezik, pontosabban a rendszer felvesz Q fel h t, lead Q le h t (a körfolyamat ellentétes pontjain), továbbá W fel munkavégzés történik rajta, é W le munkát végez (ad le). Ekkor az energiamegmaradás miatt W fel + Q fel = W le + Q le, ahonnan (mivel a hasznosuló nettó munka W hasznos = W le W fel ): η = W hasznos Q fel = W le W fel Q fel = 1 Q le Q fel. Miután a h leadás csak az izochor folyamat során történik, ekkor Q = nc V T használható; az adiabatikus változások során pedig munkavégzés történik, és ekkor T V γ 1 =állandó. Ezután az r = V max /V min kompressziós faktort deniálva véve a hatásfokra η = 1 r 1 γ adódik. Tipikus értékek (r = 8, γ = 7/5 = 1.4) mellett η = 0, 56. A benzinmotorok tehát a keletkez h t 56%-os termodinamikai hatásfokkal alakítják mozgási energiává. További veszteség keletkezik az égés tökéletlensége, a mozgási energia veszteséges (súrlódó) átvitele és sok más jelenség miatt, ezért a tényleges hatásfok jóval alacsonyabb is lehet. Lényegesen jobb hatásfokú lehet a Carnot-ciklus, amelyet két adiabatikus és két izoterm folyamat alkot. A fentiekhez hasonlóan itt is η = 1 Q le Q fel, azonban az izoterm átalakulásokra vonatkozó Q = T S összefüggés miatt Q le /Q fel = T min /T max, azaz η = 1 T min /T max. Itt T min 0 esetén η 1, tehát a 100% hatásfok csak egy nulla fokos közeggel lenne elérhet, ami viszont nem létezik. Ennek jelent sége az, hogy a Carnot-körfolyamat a lehet legnagyobb hatásfokú folyamat, és még ez sem 100% hatásfokú. A Carnot-körfolyamat T S diagramon:

16 16 1. FEJEZET. HŽTAN Végül gyakorlati szempontból fontos még a h szivattyú, amely közeg hideg és meleg hely közötti áramoltatásával a hideg helyet h ti, a meleget f ti: így m ködik a h t gép vagy a klímaberendezés (többnyire gázkompresszorral, tehát a hideg helyen lecsapódik a ház, míg a meleg helyen felforr). Ekkor a h energia áramlása a természetessel ellentétes irányba történik, miközben munkát fektetünk be, tehát ez lényegében a fent leírt h er gépek inverze. Ilyen körfolyamatot valósít meg a földh szivattyú is, amely a földben kell mélységben télen-nyáron nagyjából állandó h mérsékletet használja ki, és ennek a földfelszínhez képesti különbségére alapozza a h cserét; nyáron h teni, télen f teni lehet vele, elektromos energia befektetésével.

17 2. fejezet Elektromosság és mágnesesség 2.1. Az elektromosság alapjelenségei Kísérlet: vattadarab lebegtetése Megdörzsölt m anyagrúddal vattadarabot vonzunk a rúdhoz. Néhányszor lerázva a vattadarabot a rúdról, a rúd taszítani fogja a vattát, így azt lebegtetni is tudjuk a rúd fölött. Az elektromos állapotba hozott testek a semlegeseket a polarizáció vagy a megosztás lévén (attól függ en, hogy szigetel vagy vezet a semleges test) vonzzák. A vattadarab és a m anyagrúd érintkezésekor a vattadarab átvesz a rúd töltéséb l, így azonos töltés vé válnak. Kis mérték átvétel esetén a polarizáció miatt még mindig vonzást tapasztalunk (egy-két lerázással a vattadarab visszavonzható a rúdra), de többszöri átvétel után taszítás gyelhet meg. Sajnos ez a kísérlet csak egészen specikus anyagokkal m ködik, mert az egész az elektronok átdörzsolésén alapul A Coulomb-törvény Az elektromosságot az ókorban fedezték fel (már a görögök is), pontosabban azt a jelenséget, hogy a sz rmével dörzsölt borostyán (elektron az ógörögben) tárgyak taszítják egymást, a sz rmét pedig vonzzák. Ez kétféle állapot megjelenésére utal (és érdekes megemlíteni, hogy régebben ezen az elven m ködtek a fénymásológépek), ezeket jellemezzük pozitív és negatív töltésel. A modern korban Franklin (villám), Galvani (békacomb), Volta (áram) és Coulomb (er ) kísérletei hozták létre a zika elektromosággal foglakozó ágát. Coulomb 1785-ben publikált törvénye így hangzik: A két ponttöltés közötti elektrosztatikus er nagysága arányos a két töltés nagyságának szorzatával és fordítottan arányos a köztük lév távolsággal. Az er a töltéseket összeköt egyenes mentén hat. Ha egyforma töltés ek, akkor az er taszító, ha ellentétes töltés ek, akkor az er vonzó típusú. (Érdekes észrevenni, hogy ez a törvény a gravitációs törvényhez igen hasonló, kivéve, hogy van negatív töltés is, míg negatív tömeg nincsen.) Ezt ma inkább egyenlettel fogalmazzuk meg, eszerint egymástól r távolságra lév q 1 és q 2 töltés között (amelyeket Coulomb mértékegységben adunk meg) F = k q 1q 2 r 2 er hat, illetve vektorosan #» F = k q 1q 2 #» r r 3 (2.1) ahol k = Nm 2 /C 2 a Coulomb-állandó. A töltés egysége tehát a Coulomb, ami úgy is deniálható, hogy két 1 C töltés, egymástól 1 méter távolságú töltés közötti er N (hivatalosan ennél trükkösebb a deníció, az áramon és az áramjárta vezet k közötti er n keresztül adott, ezt itt most nem tárgyaljuk). A fenti k állandót k = 1/(4πɛ 0 ) módon is megadhatjuk, ahol ɛ 0 a vákuum elektromos permittivitásnak nevezett állandó, értéke 8, C 2 /Nm 2. Ha a két töltés nem vákuumban van, akkor használható a közeg ɛ = ɛ r ɛ 0 permittivitása, ahol ɛ r 1 a relatív permittivitás, ami a közeg polarizálhatóságával függ össze. Adott töltések által létrehozott elektromos tér egy konkrét pontban vett értéke tehát polarizálható közeg hatására csökken. Víz esetén például ɛ r = 80, ennek is köszönhet, hogy a szervezetünkben az életm ködéshez nélkülözhetetlen zikai-kémiai folyamatok (amelyek például elektrosztatikus kötések szétszakításával járnak) megvalósíthatók. Ma már tudjuk, hogy a töltés hordozói az atomok és az elektronok; a legkisebb lehetséges töltés értékét Millikan mérte meg el ször, 1909-ben. Porlasztás során véletlenszer en töltött olajcseppek zuhanását gyelte mikroszkóppal, elektromos térben és anélkül. Ebb l meg tudta határozni az elemi töltés értékét: ez e=1, C. Ez éppen az elektron ( e) vagy proton (+e) töltésének felel meg. Érdekes kiszámolni, hogy két m 17

18 18 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG távolságra lév elektron között az er 2, Newton, ami megdöbbent en nagy gyorsulást eredményezne (10 22 m/s 2 ). Fontos azt is tudni, hogy az anyag m ködése javarészt az elektromos kölcsönhatáson, illetve a Coulombtörvényen múlik: ez tartja egyben a szilárd testeket, vagy abszurd példával élve ez nem engedi átesni a sapjánkat a fejünkön. A h tan (molekulák ütközései, köztük fellép kölcsönhatás), a (bio)kémia (a molekulák és atomok elektronszerkezetével magyarázható), de a súrlódás vagy felületi feszültség is (mindkett elektromos er ) ezzel magyarázható Térer sség és er vonalak A Coulomb-törvény helyett máshogy is megközelíthetjük az elektromosságot. A töltések között ható er (amely a töltések távolságának változását azonnal követi, távolhatást hozva létre ezzel) helyett vezessük be az elektromos tér fogalmát, illetve a térer sséget. Hogy egy adott pontban E a térer sség, az a következ t jelenti: ha ebben a pontban elhelyezünk egy q töltést, akkor arra #» F = q #» E (2.2) er hat. Hogy jobban megértsük ezt, fogalmazzuk át a Coulomb törvényt: a Q töltés elektromos teret kelt, melynek nagysága r távolságban E = k Q r 2. (2.3) Ez az E elektromos tér hat a q töltésre, méghozzá F = Eq mértékben. Ebbe behelyettesítve F = kqq/r 2 adódik, azaz visszakapjuk a Coulomb-törvény eredeti alakját. A térer sség jelentése még egyszer tehát: ha egy q töltés próbatestre egy adott pontban F er hat, akkor ott E = F/q térer sség van. A térer sség is vektor ez alapján, az er irányába mutat. Valójában azt gondoljuk, hogy nem is a Coulomb-er az, ami létezik, hanem az elektromos tér (vagy inkább mez nek hívjuk sokszor). Ez sokkal szélesebb körben értelmezhet, lényegesebb mennyiség, mint az er. A térer sség egy töltés esetén is létezik, azaz akkor is, ha nem eredményez er t. Az elektromos teret er vonalakkal szemléltetjük. Az er vonalak mindig a térer sség irányába mutatnak, azaz az érint jük adott pontban a térer sség (emiatt nem is metszik egymást), az er vonalak s r sége pedig a térer sség nagyságát jelzi az adott pontban. Az er vonalak mindig pozitív töltésb l indulnak ki és negatív töltésben végz dnek (vagy a végtelenben). Egy vagy két töltés terét egyszer felrajzolni ezek alapján: Érdekes kérdés, hogy ha az atomok semlegesek, akkor hogyan tarthatja mégis össze az elektromos er ket molekulákban, illetve szilárd testekben. Ennek az a magyarázata, hogy az atomok polarizálják egymást, és végeredményben inkább két, d távolságra lév q töltésb l álló dipólusként képzelhet ek el. Egy ilyen dipólus elektromos tere a dipólustól messze, a tengelye mentén x d távolságban könnyen kiszámítható. Ekkor [ az egyik töltést l 1 1 vett távolság x+d/2, a másiktól pedig x d/2. Az elektromos terek összege ekkor E = kq ], (x d/2) 2 (x+d/2) 2 ami d x miatt, az (1 + a) n 1 + an közelítést felhasználva E = 2kqd x 3 = qd 2πɛ 0 x 3 (2.4) teret eredményez. Az ebben szerepl qd mennyiséget a rendszer dipólus-nyomatékának is nevezzük. Ez a molekulák közötti másodrend kölcsönhatás alapja. Az er két ilyen dipólus között: F 6kq 2 d 2 /x 4. Kísérlet: világító uborka Egy uborkát rákötünk az elektromos hálózatra, majd változtatható feszültség transzformátorral egyre növeljük az uborkára kapcsolt feszültséget. Adott feszültség (kb. 100 volt) felett az uborka elkezd világítani!

19 2.1. AZ ELEKTROMOSSÁG ALAPJELENSÉGEI 19 Az elektromos hálózat elektromos teret hoz létre, ez er vel hat az uborkában lév töltésekre. A pozitív és a negatív töltésekre ellentétes irányú er hat, ezért ezek szétszakadnak, ionizáció jön létre. Ezek a szabad töltések már gyorsulni kezdenek, felforrósítva az uborka anyagát. A h hatására buborékok keletkeznek, amelyekben viszont ívkisülések következnek be. Ezekben annyira nagy a h mérséklet, hogy az a látható fény tartományában sugároz A uxus és a Gauss-törvény A térer sségen túl egy másik fontos absztrakt mennyiséget is deniálunk, mely a kés bbiekben igen hasznos lesz számunkra. Ez a mennyiség az adott felülethez tartozó uxus. A uxust adott felületre vonatkoztatva deniáljuk, értéke konstans térer sség és sík felület esetén Φ = #» E #» A (2.5) ahol A #» a felület nagyságával megegyez, a felületre mer leges vektor. Amennyiben a térer sség változik, vagy a felület nem sík, akkor az A felületet fel kell bontani innitezimális da felületelemekre, amelyeken már konstans a térer sség, és ekkor #»E #» Φ = da (2.6) lesz a uxus deníciója. Fontos látni, hogy a térer sség az er vonalak lokális (felületi) s r ségét adja meg, ezért ezt a felületre integrálva éppen a felületen átmen er vonalak számát kapjuk meg. A denícióból következik, hogy ha egy zárt felületen belül nincs belül töltés, akkor a bemen vonalak ki is jönnek (csak töltésben végz dhetnek!), ezért ezen a felületen a uxus nulla. Gondoljunk el ezek után egy r sugarú gömböt egy Q töltés köré. Ekkor a képzeletbeli gömbfelület minden kis elemére da #» párhuzamos a helyi #» E térer sségvektorral, és minden pontban E = kq/r 2. Emiatt erre a gömbfelszínre #»E #» Φ = da = E da = EA = k Q r 2 4πr2 = 4πkQ = Q (2.7) ɛ 0 tehát Φ = Q/ɛ 0 a gömb sugarától függetlenül. Ez általánosítható nem gömb alakú, de zárt felületre, illetve több töltést bezáró felületekre is. A végs következtetésünk a Gauss-törvény: összesen Q bent töltést tartalmazó zárt felület uxusa Φ zárt = zárt #» E da #» = Q bent. (2.8) ɛ 0 A fentieket illusztrálandó, az alábbi illusztráción négy képzeletbeli felület uxusa látható: A Gauss-törvényb l néhány egyszer gyakorlati következmény adódik: a) Töltött, tömör vezet test esetén a testen belül mindenhol E = 0, mivel különben a belül lév szabad elektronok mozognának (ez a vezet anyag deníciója: benne lényegében szabad töltések találhatóak, amelyek kis elektromos tér hatására is könnyedén elmozdulnak). Emiatt egy tetsz leges, belül elképzelt zárt felüeltre Φ = 0. A Gauss-törvény miatt azonban ezen elképzelt felületen belül ekkor nem lehetnek töltések. Ez a képzeletbeli felület tetsz leges, tehát a vezet test belsejében sehol sem lehetnek töltések. Ez azt jelenti, hogy ilyenkor az összes töltés a test küls felületén gy lik össze (és akár üreges testre is kiterjeszthet a bizonyítás). b) Elektromos térbe helyezett üreges vezet test esetén viszont az következik ebb l, hogy az üregben nem lehet elektromos tér sehol! Ez a Faraday-kalitka. Ezt majd a potenciál deníciója segítségével vezetjük le.

20 20 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG c) Töltött vezet gömb elektromos tere a gömbön belül tehát E = 0. A tér a gömbön kívül úgy csökken, mintha ponttöltés lenne, azaz E = kq/r 2, miveil a köré rajzolt A = 4r 2 π felület gömbön a uxus Φ = Q/ɛ 0 = 4πkQ értéket vesz fel, és E = Φ/A. d) Csúcs-hatás: az éles csúcs kis gömbgént viselkedik, itt tehát E = kq/r 2, a csúcshoz nagyon közel (kis r esetén) E nagyon nagy lehet. Ez adja a villámhárító m ködésének alapját: a csúcs nagy elektromos tere ionizálja a leveg molekulákat, így vezet vé válik a leveg, és a csúcs elvezeti a feszültséget. e) Egy λ [C/m] lineáris töltéss r séggel töltött vezeték elektromos tere a köré rajzolt (képzeletbeli) r sugarú, l hosszúságú hengerrel számolható. Ennek csak a palástjánvan uxus, hiszen a végein található síkokon nem megy át a térer sség, hanem éppen árhuzamos azokkal. A palást felszíne A = 2rπl, az ezen belüli töltés Q = λl, innen a Gauss-törvény segítségével (Φ = Q/ɛ 0 ) adódik, hogy E = Φ/A = 2kλ/r, ha λ a töltéss r ség (Coulomb/méter). f) Egy σ [C/m 2 ] felületi töltéss r séggel feltöltött síklap elektromos tere ugyanígy (képzeletbeli hasábbal) megkapható. Ennek csak a lapjain van uxus (hiszen az oldallapjai párhuzamosak a térer sséggel), és ha ezek felszíne A, akkor a bezárt töltés Q = Aσ. Emiatt a uxus Φ = Q/ɛ 0, és a térer sség E = Φ/2A = σ/2ɛ 0, azaz konstans (a kettes szorzó amiatt van, hogy összesen kétszer A felületünk van). Két ellentétes töltés lap között a térer sség ennek kétszerese, E = σ/ɛ 0 = Q/(Aɛ 0 ). Ezt hívjuk a kondenzátornak. Azt is mondhatjuk, hogy ezen E térer sség esetén Q = EAɛ 0 töltés jelenik meg. Ezeket az alábbi ábra illusztrálja: Kísérlet: alufóliába tekert mobiltelefon A fólia elég jó vezet, így a belsejében az elektromos térer sség nulla. Ez sztatikus (id ben nem változó) esetre vonatkozik, de eléggé megzavarja a mobilkommunikáció során küldött jeleket is (amelyek persze térben és id ben változó elektromos tér formájában terjednek). A betekert telefont hívva az nem lesz kapcsolható: a fólián belül nem tud jeleket fogadni és küldeni. Egy réteg fólia nem biztos, hogy elég, éppen a nagy frekvencia és a tér behatolási mélysége miatt. Az alufólia elég hamar kilyukad, ami szintén elronthatja a kísérletet (a lyukon át mégis bejut a jel) Elektromos feszültség és elektromos áram Az elektromos potenciál Ahogy láttuk, az elektromos térbe helyezett töltésre er hat. Feltehetjük a kérdést, hogy mekkora energiára (munkára) van szükség, hogy egy töltést két pont között ezen er tér ellenében mozgassunk? Vagy ekvivalensen, ha a töltést az er tér mozgatja (gyorsítja) akkor mekkora munkát végez rajta, mekkora mozgási energiára tesz szert? Mindezeket a munka deníciójának segítségével számíthatjuk ki. Ha ismert az a b út minden pontjában a töltésre ható #» F = q #» E er, akkor az út során végzett munka W a b = U a b = b a b a #» F ds #» = q b a #» E ds #» = qu a b, azaz (2.9) #» E ds. #» (2.10) Itt U a b a két pont közötti elektromos potenciálkülönbség, avagy elektromos feszültség. A deníció alapján ha egy töltés adott U feszültségkülönbségen halad át, akkor qu energiára tesz szert. A feszültség és az eletromos potenciálkülönbség mértékegysége a deníciónak megfelel en V=J/C. 1 volt feszültség egy elektront egy elektronvolt (ev) energiára gyorsít, ahol1 ev = 1, J energia. Az egy elektronvolt energiájú elektron sebessége v = E/2m = c/1000 = m/s. Ahogy az el z félévben tanultuk, konzervatív er tér esetén (és az elektromos er tér ilyen) ez a munka nem függ a konkrét úttól. Ekkor W a b = V a V b szerint írható, azaz minden r ponthoz hozzárendelhet egy

21 2.2. ELEKTROMOS FESZÜLTSÉG ÉS ELEKTROMOS ÁRAM 21 V (r) potenciális energia (szabadon választott nulla-szinttel). Ezzel az adott pont elektromos potenciája is deniálható, U = V/q módon, és ekkor U a b = U a U b. A potenciális energiához hasonlóan az U = 0 szint is bárhol felvehet, többnyire a föld feszültségét vesszük ennek. Érdemes megvizsgálni, hogy két nagyon közeli (végtelenül, innitezimálisan közeli) pont potenciálkülönbsége mekkora: ezek között már határesetben konstans a térer sség, így du = E #» ds #» írható fel. A szorzást kibontva du = E x dx+e y dy+e z dz adódik, ami matematikailag megfordítva E #» = (du/dx, du/dy, du/dz) összefüggést jelent, másképpen E = gradu. A térer sség tehát az elektromos potenciál gradiense ahogy a mechanikában pedig az er a potenciális energia gradiense. Ez valahogy azt jelenti, hogy a térer sség a potenciál legnagyobb csökkenésének irányába mutat, a töltések maguktól ebbe az irányba mozdulnak el ahogy egy változó magasságú terepen elhelyezett labda is a legmeredekebb irányban gurul el. A fenti deníciókkal néhány konkrét esetben számoljuk ki két pont potenciálkülönbségét, illetve a nulla szintet deniálva adott pont elektromos potenciálját. Homogén elektromos térben (ahol E állandó) csak a térer sség irányába történt elmozdulás számít. Itt h magasságban egy q töltés elektromos energiája V (h) = qeh (hasonlóan a gravitációs térhez, ahol V grav (h) = mgh), azaz homogén E térben h helyen az elektromos potenciál U = E h. Másképpen d távolságon lév U feszültség esetén a térer sség átlagosan E = U/d. Vegyük továbbá egy Q ponttöltés elektromos terét, amely r helyen E(r) = kq/r 2 ; erre szintén levezethet az elektromos potenciál nagysága, az U = E(s)ds deníció alapján (csak itt az r távolságtól kell a végtelenik deniálni, r ha a nulla szintet a végtelenben helyezzük el). Az eredmény U(r) = kq/r, és ez a Gauss-törvény miatt nem csak ponttöltésre, hanem gömbszimmetrikus töltéseloszlásra is igaz. A fentiekkel a kondenzátorral kapcsolatban is egy további összefüggést kaphatunk. Ahogy korábban láttuk, két egyenletesen töltött síklap között E = σ/ɛ 0 térer sség alakul ki, itt tehát U = σ/ɛ 0 d. A síklap Q töltését gyelembe véve U = Q/(ɛ 0 Ad). Ez alapján bevezethetjük a kondenzátor kapacitását: C = Q/U = ɛ 0 Ad, és ez azt jelenti, hogy a kondenzátor U feszültségre kapcsolva Q = CU töltést tud tárolni. Itt a kapacitás jele C, mértékegysége Coulomb/Volt avagy Farad. Ha a kondenzátor lemezei között polarizálható közeg van, akkor a fenti kifejezést ki kell egészítenünk a közegre jellemz ɛ r értékkel, így a kapacitás tovább növelhet. A feltöltött kondenzátor energiát tárol, melyet a kondenzátor kisütésekor tudunk felhasználni. Az energia mértéke azzal a munkavégzéssel egyezik meg, amely a töltéseknek a kondenzátor lemezeire való felviteléhez volt szükséges. Egy kis dq töltést az aktuálisan U feszültségen lév lemezpárra dw = U(Q)dQ munkavégzéssel vihetünk. Kezdetben a lemezek között nincs potenciálkülönbség, az a lemezek feltölt désével együtt, a felvitt töltéss r séggel (a felvitt töltés mennyiségével) egyenesen arányosan n a maximális U értékig. A fenti kifejezést 0 és U között integrálva kapjuk, hogy az U feszültségre feltöltött kondenzátor energiája: E = 1 2 QU = 1 2 CU 2 = 1 2 Kísérlet: feltöltött kondenzátor kisütése Egy kézzel (forgatással) tölthet zseblámpában található kondenzátort töltsünk fel A zseblámpát bekapcsolva tartva süssük ki a kondenzátort: eközben áram folyik át a két végén összeköt vezetéken, így a lámpa világít. Ha a töltéskiegyenlít dés megtörtént, nem folyik tovább az áram, a lámpa nem világít tovább. Deniálhatjuk továbbá az ekvipotenciális felületek fogalmát: ezeken U =állandó, ez a gravitációs analógiában tulajdonképpen a térkép szintvonalainak felel meg. Az elektromos térer sség ( E) mindig mer leges a szintvonalakra (ne felejtsük el, a térer sség iránya mindig az elektromos potenciál legnagyobb változásának iránya). azaz az er vonalak és az ekvipotenciális felületek mer leges hálózatot hoznak létre, ahogy az alábbi ábra bal oldali rajzán látható: Q 2 C. Az ekvipotenciális felületek nem érintkezhetnek - hiszen adott felületen U értéke adott, két felületen különböz. Fontos ezzel kapcsolatban látni, hogy egy vezet minden pontja ekvipotenciális, hiszen különben lenne benne térer sség, és ennek hatására a vezet ben jelen lév szabad töltések elmozdulnának. A Faraday-kalitkára vonatkozó állítás könnyen bizonyítható ekvipotenciális felületekkel, amint azt a fenti ábra jobb oldali rajza is mutatja:

22 22 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG Tegyük fel, hogy az üregben van térer sség, azaz a potenciál pontról pontra változik. Rajzoljunk az üregen belül egy adott pontot tartalmazó zárt, ekvipotenciális felületet (ilyen biztosan van, hiszen a fém bels felülete azonos potenciálon van). Az er vonalak erre mer legesek, azaz ezen a felületen a uxus nem lehet nulla. Az üregben azonban nincs töltés, így Gauss tétele miatt ellentmondásra jutottunk. Ez egy módon oldható fel: ha az üreg egész bels tere azonos potenciálon van, azaz itt nincs térer sség Az elektromos áram Ahogy láttuk, potenciálkülönbség hatására elektromos tér alakul ki (vagy fordítva), amely a szabad töltéseket elmozdíthatja. Ez az áram jelensége: vezet anyagra feszültséget kapcsolva a jelen lév szabad töltések vándorolni kezdenek. A töltések vándorlását az áramer sséggel jellemezzük, amelynek deníciója az id egység alatt átáramlott töltésmennyiség. A jele I, mértékegysége amper, amely Amper = Coulomb/sec módon deniált. 1 A már elég nagy áram, egy háztartásban többnyire csak több készülék egyszerre való bekapcsolása hoz létre ilyen nagyságrend áramot. Az áram nagysága konkrétan úgy alakul ki, hogy az elektronokat gyorsítja az elektromos tér, és mivel anyagban ütköznek a többi elektronnal, egyfajta közegellenállást tapasztalnak, amely a sebesség növekedésével n. Amikor az elektromos tér gyorsító erejét éppen kioltja a megnövekedett közegellenállás, akkor az elektronok nem gyorsulnak tovább hasonlóan az es cseppek zuhanási sebességénél tanultakhoz. Az elektronok ezen határsebességét driftsebességnek nevezzük. Hogyan függ az áram er ssége ezen sebességt l, illetve mi mástól függ még vajon? Ha minden más adott, akkor nyilván a sebesség növekedésével egyenesen arányosan n az áram is, hiszen egységnyi t id tartam alatt, v sebesség esetén v t távolságból érnek el az elektronok az adott felülethez. Ha a vizsgált vezet ben a szabad elektronok térfogategységre es száma n, akkor ebben a v t hosszúságú, azaz Av t térfogatú részben N = nav t szabad elektron van, azaz id egységenként ennyi éri el a felületet. Ez Q = e N töltésnek felel meg, mert az egyes elektronok töltése e. Miután az elektromos áram nagysága az adott felületen áthaladó töltések id egységenkénti mennyiségét jelenti, így I = Q t = e N t = enav. (2.11) Ebb l a szabad elektronok száma az adott vezet re jellemz, a driftsebesség pedig arányos a megjelen térer sséggel (hiszen ez gyorsítja az elektronokat), azaz az áramer sség is: I E. Miután a térer sség pedig E = U/L módon számolható (ha L a vezet hossza, ahol az U feszültség kialakul), így végeredményben I UA/L, a fenti képletb l a keresztmetszett l való függést is megtartva. Látható, hogy minél nagyobb a keresztmetszet, annál nagyobb az áram er ssége: a metróból kiáramló tömeg is könnyebben kijut, ha szélesebb folyosón mehetnek ki. Az áramot befolyásoló többi tényez (az elektronokra ható közegellenállás, illetve a szabad elektronok száms r sége) kizárólag az anyagra jellemz. Ezt a tényez t ρ-val jelölve I = U A ρl (2.12) adódik, és ρ-t a vezet fajlagos ellenállásának nevezzük (hiszen láthatólag ennek növekedése csökkenti az áramot). Ennek mértékegysége Vm/A (volt méter/amper). Vezet fémekre 10 8 Vm/A körüli értéke tipikusak (de ezen belül arany fajlagos ellenállása 10 kisebb az acélnál), míg szigetel kre, például üvegre értéke Vm/A. Ennek magyarázata az, hogy el bbi anyagban sok a szabad elektron, és ezek szinte akadálytalanul áramolhatnak. Többnyire a fajlagos ellenállás a h mérséklettel n, hiszen ekkor a h mozgás jobban lassítja az elektronokat. Érdemes megemlíteni, hogy vannak félvezet jelleg anyagok is, amelyek ellenállása jelent sen függ egyéb körülményekt l: alapesetben kevés a szabad (vezethet ) elektron bennük, de energia (például h ) hatására az elektronok nagy mennyisége szabaddá tehet, így az anyag jó vezet vé változik Az Ohm-törvény, az elektromos teljesítmény Amennyiben egy konkrét, L hosszúságú és A keresztmetszet tárgyról beszélünk, akkor ennek deniálhatjuk az R = ρl/a ellenállását, amelyet a fenti formulába helyettesítve az Ohm-törvényt kapjuk: U = RI (2.13) azaz egy I áramot szállító R ellenálláson U mértékben csökken a feszültség. Az ellenállás jele tehát R, mértékegysége pedig ohm, amit írásban Ω-val jelölünk, és deníciója Ω=V/A. Miután ebb l I = U/R adódik, így nagyon kicsi ellenállásra feszültséget kapcsolva (azaz feszültségesést létrehozva) nagyon nagy áram keletkezik ez a rövidzárlat jelensége. Az Ohm-törvény ezen viselkedése a második Newton-törvényéhez hasonlít: eszerint szinte

23 2.2. ELEKTROMOS FESZÜLTSÉG ÉS ELEKTROMOS ÁRAM 23 nulla tömeg testre er t kifejtve szinte végtelen gyorsulás jön létre. A feszültségesés tulajdonképpen az er nek felel meg, az ellenállás a tehetetlenségnek (tömegnek), míg az áram a gyorsulás párja ebben az analógiában. Fontos jelenség, hogy miután az elektronokat a gyorsító elektromos tér ellenében egyfajta közegellenállás avagy bels súrlódás lassítja, ez energiaveszteséghez vezet, amely h formájában jelenik meg. Ezért az elektromos áram folyásához folyamatos energia-pótlásra van szükség. Ennek nagyságát úgy kaphatjuk meg, ha gyelembe vesszük, hogy egy e töltés elektron U feszültségen való áthaladása során eu energiára tesz szert. Ugyanakkor ha U feszültség hatására I áram folyik, akkor az t id alatt Q = I t töltést mozgat át U feszültségen, ez pedig W = UI t munkavégzésnek felel meg. Ez alapján a P = W t = U Q t = UI t t = UI (2.14) eredmény adódik. Eszerint ha U feszültség hatására egy R ellenálláson I áram folyik, akkor az itt leadott teljesítmény: P = UI = I 2 R = U 2 /R. (2.15) Ez a törvény nagyon fontos, hiszen ez szabja meg az elektromos eszközök m ködtetéséhez szükséges energiát. Ha például egy 1 Ω ellenállású eszközt kötünk a 220 V feszültség elektromos hálózatba, akkor azon 220 A áram folyik majd, azaz az ez által felvett teljesítmény kb 48 kw lesz, ami egy óra alatt 48 kwh fogyasztást jelent - ennek kapcsán 2017-es árakon Magyarországon kb Ft költség keletkezik. A háztartási eszközeink ellenállása ennél általában lényegesen nagyobb: egy 60 W teljesítmény izzó például az R = U 2 /P összefüggés alapján kb. 700 Ω ellenállással rendelkezik. A régebbi háztartási biztosítékok is ezen az elven m ködnek: ha túl nagy áram folyik rajtuk, akkor ezzel négyzetesen arányos h keletkezik, ami megolvasztja a biztosítékot, megszakítva az áram folyását. Ezzel védekezünk a rövidzárlat és az extrém nagy áram illetve teljesítményfelvétel kialakulása ellen. Az elektromos energiát távvezetékeken szállítjuk, pontosabban két különböz feszültség vezetéken. Erre minden fogyasztó rákapcsolódhat, energiát vételezve. Ugyanakkor a fogyasztóhoz az esetenként több tíz vagy száz kilométerre lév er m b l kell elvinni az elektromos energiát. Bár a távvezeték fajlagos ellenállása kicsiny, de összességében az ellenállása mégis nagy, az R = ρl/a összefüggés és a vezeték nagy L hossza miatt. Így P = I 2 R miatt jelent s teljesítményt veszítünk a távvezetéken. Ezt úgy lehet elkerülni, ha a vezetékben folyó I áramot valahogy lecsökkentjük. Hogyan érhet ez el? Különböztessük meg a távvezetéken hosszában es U t feszültséget, és a vezetékek közötti, a fogyasztó által használt U f feszültséget. A fogyasztóhoz eljutó teljesítmény P fogy. = U f I, míg a távvezetéken elvesz teljesítmény P veszt. = I 2 R = Ut 2 /R (az áram a két esetben azonos). Míg P fogy. értékét nem akarjuk csökkenteni, P veszt. értékét igen: ez U f növelésével érhet el, hiszen ekkor I csökken, és így P t is csökken. Ezért tehát a távvezetékeken 220 V-nál lényegesen (akár százezerszer) nagyobb feszültség folyik, viszont igen kicsiny az áramer sség. Ezeket a fogyasztóhoz közel transzformálják át nagyobb árammá és kisebb feszültséggé Áramkörök Az elektromos feszültség és áram felhasználásával különféle eszközöket tervezhetünk, amelyek sokféle feladatot láthatnak el, a lámpakapcsolótól az autó elektronikai rendszerén át a számítógépekben található technológiáig. A legegyszer bb áramkörben egy feszültségforrás és egy ellenállás található, ennek m ködését az Ohm-törvény szabályozza: U feszültség és R ellenállás esetén az áramkörben I = U/R áram folyik. Az ilyen (és más) áramkörök vizsgálatakor fontos elv (illetve közelítés), hogy a vezeték és a feszültségforrás ellenállása nulla, ezért csak magát az R ellenállást kell gyelembe vennünk. Ez azt is jelenti, hogy az egybefügg vezeték végig azonos feszültségen van, hiszen ha lenne rajta feszültségesés, akkor végtelen nagy áram jönne létre. A bonyolultabb szerkezet áramkörök viselkedését két egyszer törvény segítségével határozhatjuk meg. Ezek a Kirchho-törvények, amelyek egyébiránt szinte triviális állításokat mondanak ki: 1. Egy csomópontban a be- és kifutó áramok összege nulla mivel az áram (a töltés) nem veszik el 2. Ha végigkövetjük egy zárt vonal (hurok) mentén a feszültség változását, akkor összességében nullát kapunk hiszen a feszültség lényegében az ekvipotenciális felületek szintjében bekövetkez változás, de most ugyanabba a pontba értünk vissza, tehát ebben nincs változás. El bbi egyszer en az elektromos töltés megmaradását jelenti, utóbbi pedig ahhoz az állításhoz hasonló, miszerint egy olyan hegyi túrán, amelynek során a kiindulási pontba érkezünk vissza, összesen ugyanannyit mentünk fel, mint amennyit le. Két egyszer áramkör esetén ezen törvényekkel könnyen kiszámolható a kialakuló áramok és feszültségek nagysága:

24 24 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG A baloldali ábrán két ellenállás párhuzamos kapcsolása látható, a számolás alapján ekkor az összesített ellenállás 1/R = 1/R 1 +1/R 2 módon adódik két párhuzamosan kapcsolt ellenállás így eggyel helyettesíthet. Soros kapcsolások esetén pedig R = R 1 + R 2 adódik az összesített ellenállásra. Érdekes látni, hogy több ellenállás párhuzamos kapcsolása esetén a teljes ellenállás csökken, mivel több lehet sége van az elektronoknak mozogni. Gyakorlásnak érdemes végiggondolni, hogy mi történik, ha kondenzátorokat helyezünk el az áramkörben ezekre az Ohm-törvény helyett az U = Q/C törvényt kell alkalmazni, ahol Q a kondenzátor két felén megjelen töltések nagysága (természetesen az egyik oldalon +, a másikon el jellel). Figyelembe kell venni, hogy kezdetben a vezeték minden pontja semleges, így két sorosan kapcsolt kondenzátor töltése azonos kell, hogy legyen, míg párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok esetén a feszültség azonos. Emiatt végül az adódik, hogy párhuzamos kapcsolás esetén a kapacitások összeadódnak (C = C 1 + C 2 ), míg soros kapcsolás esetén inverzen adódnak össze (1/C = 1/C 1 + 1/C 2 ) Mágneses tér és hatásai Kísérlet: vas mágnesezése A normál mágnes vonzza a mágnesezhet anyagokat, például a vasszöget. Ha ennek súlya nem túl nagy, vagy a mágnes elég er s, akkor a gravitáció ellenében meg tudja tartani, akár egy nagyobb vasdarabot is. Ekkor a vasdarab mágnessé válik, és vonzani tud más tárgyakat, kis gemkapcsokat meg is tud tartani. Ha elvesszük az eredeti mágnest, a vasdarab is elveszti mágnesességét, a gemkapcsok leesnek. Mindezen jelenségek magyarázatát lásd alább Mágnesesség Ókori, s t, talán skori tapasztalat, hogy mágneses fémdarabok léteznek, amelyek vonzzák vagy taszítják egymást, továbbá a Föld égtájainak megfelel en állnak be maguktól. A mágnesek mind dipólusok, a két pólusuk az északi és a déli nevet viseli: az északi pólus mindig észak felé szeret fordulni, míg a déli dél felé. Egy mágnest kettévágva újabb dipólust kapunk, a tapasztalatok szerint mágneses monopólus nem létezik! A mágneses tér jele B, mértékegysége tesla (T ). A Föld mágneses tere nagyságrendileg 30 µt, tipikus h t mágnesek tere 5 mt (a mágneshez nagyon közel), hangszóró mágnes tere 1 T, míg az orvosi MRI készülékek mágneses tere néhány tesla. Az anyagok mágnesességét az atomok spinje azaz egyfajta forgása okozza: minden spinnel rendelkez atom kis dipólusként képzelhet el (ahogy ezt majd kés bb levezetjük). Ezek alapesetben véletlenszer en rendezettek, mágneses tér hatására azonban egy irányba forgathatóak. Ez a paramágnesesség jelensége. Amennyiben a rendezettség a mágneses tér hiányában is megmarad, az anyag mágnessé válik, ez a ferromágnesesség. Ez az ú.n. Curie-h mérséklet fölött (a h mozgás miatt) megsz nik a hétköznapi mágnesek esetén ez jóval magasabb, mint a szobah mérséklet (pl. vasra 1000 K körül van).

25 2.3. MÁGNESES TÉR ÉS HATÁSAI A Lorentz-er és a mágneses nyomaték Oersted 1819-ben vette észre, hogy az áram hatással van az irányt kre, tehát az áram mágneses teret hoz létre ben Lorentz megállapította, hogy a mágneses tér is hat a mozgó töltésekre illetve az áramra. Ez deniálja tulajdonképpen a mágneses teret (ahogy az F = qe formula az elektromos teret), a Lorentz-er : #» F = q #» v #» B (2.16) mértékben, ahol a keresztszorzat jele. Az er tehát akkor maximális, ha a sebesség mer leges a mágneses térre, nagysága egyébként egy sin(α) faktorral csökken, ekkor F = qvb sin(α). Ha párhuzamos a sebesség és a mágneses tér, akkor az er nulla. Ez jelent sen el segíti a Földi élet fennmaradását, hiszen emiatt a világ rb l érkez kozmikus részecskék csak a Föld pólusainál jelennek meg, a többi helyen eltéríti ket a Föld mágneses tere. A pólusoknál ezek a részecskék hozzák létre a sarki fényt. Ez az er mindig mer leges a sebességre, ezért a sebességre mer leges mágneses tér körmozgást hoz létre, ekkor a Lorentz-er éppen a centripetális er t adja majd. Miután a centripetális er nagysága mv 2 /r, ami itt qvb, ezek egyenl ségéb l adódik a pálya sugara: r = p/qb (ahol p = mv az impulzus). Hasonlítsuk össze a fenti törvényt az #» E elektromos tér q töltésre ható #» F = q #» E erejével! Láthatólag nagyon hasonló itt is az er és a tér kapcsolata, csak egy sebességgel való keresztszorzás megjelenik az elektromos teret pedig a mágnesesre kell cserélni. Ha lennének mágneses töltések, azokra éppen fordítva lehetne felírni az er ket de nincsenek. Azt ugyanakkor a kés bbiekben is meggyelhetjük majd, hogy az elektromos és a mágneses jelenségek alaptörvényei igen hasonlóak, csak néha egy sebességgel való keresztszorzást a mágneses esetben be kell írni az adott formulába. Ezt gyelhettük meg fent is, és kés bb, a töltések mágneses tere esetében is. Megállapíthatjuk azt is, hogy áramjárta vezet re a benne mozgó töltések miatt Lorentz-er hat. Minden töltésre egyforma er hat, így ez összességében q #» v #» B, ha q töltés van összesen ebben a vezet szakaszban. Ha ezt egy #» l vektorral írjuk le, akkor itt a q #» v vektor a I #» l vektorral helyettesíthet (ez az áramról szóló szakasz elején írtakból is látható, de a mértékegységek vizsgálata is ezt támasztja alá: C m/s = C/s m). Így az áramjárta, #» l vektorral jellemezhet vezet re ható er l #» F = I #» l #» B. (2.17) Ha egy áramjárta hurkot hozunk létre, akkor ennek minden kis szakaszára is a fenti er hat majd. Miután a hurok önmagában végz dik, így az er k összege nulla lesz (hiszen a B-vel #» való szorzás kiemelhet, ahogy I is, így a kis #» l vektorok összegét kell venni, ami a körbeérés miatt éppen nulla). Ugyanakkor az er k forgatónyomatéka összesen nem lesz nulla, ahogy azt egy téglalap alakú hurok esetén alább be is láthatjuk. Álljon a hurok α szögben a mágneses térhez képest. Ekkor a k hosszúságú oldalakra vízszintes F k er hat majd, méghozzá egyforma, de ellentétes irányú. Ezen F k er k hatásvonala is egybeesik (a k szakaszok közepér l indulnak, az ket összeköt szakasszal párhuzamosan), így ezek forgatónyomatéka is összesen nulla. Az l hosszúságú szakaszokra ható er k azonban különböz vonalban hatnak, így ezek forgatónyomatéka összesen nem nulla lesz. Ha a forgatónyomatékot a hurok középvonalára (mint tengelyre) nézve írjuk fel, akkor az er kar nagysága k cos(α)/2 lesz (amit úgy is megkaphatunk, ha a forgatónyomaték nagyságát M #» = #» r F #» = rf sin(90 α) = rf cos α módon számoljuk, hiszen az er és karja 90 α szöget zárnak be). Azt is megállapíthatjuk, hogy az l hosszúságú szakaszokra ható er F l = IlB (hiszen #» l B). #» Két ilyen er hat, így összesen M = 2F l r lesz a forgatónyomaték, és összesítésben a forgatónyomaték M #» = I A #» B, #» ahol A #» a hurok felületi mer legese. Ezt a levezetést illusztrálja az alábbi ábra:

26 26 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG A fenti forgatónyomaték akkor nulla, ha a felületi mer leges és a tér párhuzamosak, azaz a tér éppen átmegy az áramhurok kijelölte felületen. Az áramhurok tehát kis mágneses dipólusként és irányt ként viselkedik, a mágneses tér a saját irányába forgatja t. Az atomokban kering és forgó elektronok is egyfajta áramhurkot hoznak létre (ez az atomok spinje), ez okozza az anyagok mágnesességét. A #» µ = I A #» vektort mágneses nyomatéknak nevezzük, a szakasz elején lév ábrán ezt jelöli az atomhoz rajzolt nyíl. Az atomra ható forgatónyomaték ekkor #» M = #» µ B, #» ez forgatja be az atom spinjét a mágneses tér irányába, illetve összességében az irányt t is (az egyes atomoknál fogva) A mágneses uxus és Gauss-törvény Az elektromossághoz hasonlóan itt is bevezethetjük az er vonalak fogalmát, amelyekre pontosan ugyanazok a szabályok érvényesek, mint az elektromos er vonalakra: irányuk a mágneses tér irányát jelzi, s r ségül pedig a mágneses tér nagyságát. Továbbá ugyanúgy bevezethetjük a mágneses uxust is: sík felületre Φ B = B #» A, #» #»B #» illetve tetsz leges felületre Φ B = da. (2.18) A Gauss-törvény itt még egyszer bben levezethet. Miután az er vonalak csak töltésekben végz dhetnek vagy azokból indulhatnak, mágneses töltések (monopólusok) viszont nincsenek; így a mágneses er vonalak mindig önmagukba záródnak, vagy a végtelenb l a végtelenbe tartanak. Ezért minden zárt felületbe ugyanannyi er vonal megy be, mint amennyi ki, így zárt felület mágneses uxusa mindig nulla. Ez egyenlettel így fogalmazható meg: Φ B,zárt = zárt #» B da #» = 0. (2.19) Kísérlet: feszültség keltése mágnes mozgatásával Vegyünk egy vezet hurkot, vagy több egymás utáni hurkot, azaz tekercset. Mozgassunk a tekercs mellett egy mágnest, változtatva a tekercsnél észlelhet mágneses teret. A tekercsben feszültség jön létre, amelyet voltméterrel könny szerrel kimutathatunk! Ez a mágneses indukció jelensége, amelyet a következ szakaszban tárgyalunk Mágneses indukció A fenti kísérlet azt mutatja, hogy változó mágneses tér hatására feszültség jön létre. A legegyszer bb példa az, ha a fentieknek megfelel en mágnest mozgatunk egy tekercsben, vagy ha egy tekercset mozgatunk helyfügg mágneses térben. Egy zárt hurok alakú, A felületet körbezáró vezet ben a mágneses tér változása során indukált feszültség nagyságát a Faraday-törvény adja meg: U ind = dφ B dt = A db dt., illetve a feszültség denícióját ismerve zárt Edl = dφ B dt = AḂ (2.20) Ha nem egy áramhurok van, hanem N darab, azaz egy N menetes, A keresztmetszet tekercs, akkor minden egyes hurkon a fenti feszültség indukálódik. Végeredményben a teljes tekercsen létrejöv feszültég is N-szer akkora lesz: U ind = N dφ B dt = N dφ B dt = NA db dt. (2.21) Váltakozó, B = B 0 sin(ωt) jelleg mágneses tér esetén a tekercsben U ind = NAB 0 ω cos(ωt) feszültség indukálódik, azaz az indukált feszültség amplitúdója U 0 = NAB 0 ω módon függ össze a mágneses tér amplitúdójával.

27 2.4. A MÁGNESES TÉR FORRÁSAI 27 Ezt használja ki rengeteg hétköznapi eszköz, többek között a dinamó vagy a generátor: ez a forgási energiát (amelyet egy kerék vagy egy turbina forgása szolgáltat) feszültséggé, azaz elektromos energiává konvertálja. Az indukciós f z lap m ködésének alapja is ez a törvény: egy elektromágnes változó mágneses teret kelt, ez feszültséget indukál az edény aljában (ezért nem m ködik a f z lap tetsz leges edénnyel), ami áramot hoz létre, ez pedig h leadással jár, tehát az edény felforrósodik. Ugyanígy, a hibrid és elektromos autók fékezéskor m ködésbe lép energia-visszanyer rendszere is ezt használja ki, de így m ködött régen (a GPS elterjedése el tt) a biciklik sebességmér je is (a generált feszültség a kerék forgásával, azaz a sebességgel n ). Amennyiben a létrejöv (indukált) feszültséget hasznosítani akarjuk, akkor áramot kell termelnünk vele. Ez az áram viszont mágneses teret hoz létre (ahogy azt majd a következ szakaszban láthatjuk): természetesen ez a létrejöv mágneses tér fékezi azt a mágnest, ami a feszültséget indukálta, azaz negatív visszacsatolás jön létre. Ha nem így lenne, ingyen tudnánk áramot termelni: egy alacsony súrlódású kereket jól megpörgetve és rá mágnest szerelve. Például ha egy mágnest mozgatunk egy tekercsbe befelé, növelve ezzel a mágneses teret, akkor a tekercsbeli mágneses uxus növekszik. Ez feszültség indukál a tekercsben, aminek hatására áram folyik benne. Ez az áram, ahogy majd a következ szakaszban látjuk, mágneses téret hoz létre, ami fékezi a mágnes befelé haladását. Ezt Lenz-törvénynek nevezzük, és ezt fejezi ki a fenti egyenletekben a negatív el jel. A Lenz-törvényt precízebben úgy fogalmazhatjuk meg, hogy az indukció során létrejöv hatás ellentétes az t létrehozó okkal. Tehát a mágneses tér változása feszültséget indukál, a feszültség áramot kelt, ami mágneses teret hoz létre: ez a létrejöv mágneses tér gyengíti az eredeti mágneses teret, azaz negatív visszacsatolás jön létre. Ha nem így lenne, azaz ez a mágneses tér hozzáadódna az eredetihez (és er sítené azt), akkor az még nagyobb indukciót hozna létre, az még nagyobb mágneses teret, és így tovább: pozitív visszacsatolás jönne létre. A Lenz-törvény tehát az indukció során létrejöv negatív visszacsatolást mondja ki. Különféle energia-visszatápláló rendszerek (pl Forma1-ben KERS) m ködését befolyásolja ez, hiszen ha nem így lenne, örökmozgót építhetnénk, ahogy a bekezdés elején is említettük. Továbbá a Lenz-törvényre épül a buszok és kamionok elektromos fékez rendszere, a retarder. A hagyományos fékkel ellentétben ez nem melegszik annyira fel, és fékez hatása jobban szabályozható A mágneses tér forrásai Ugyan már láttuk, hogy a mágnesesség magyarázata az atomok spinjében rejlik, de ennek okát még egyáltalán nem értjük. A f kérdés tehát az, hogy mi hozza létre a mágneses teret. Azt már láttuk, hogy az elektromos teret az elektromos töltések hozzák létre, és egy töltés elektromos tere t le r távolságban E #» = 1 4πɛ 0 Q #» r /r 3. Mágneses töltések azonban nincsenek, így nem világos, hogy ezt hogyan lehetne a mágneses tér esetére átültetni. Kísérlet: elektromágnes Egy vasdarabot mágnessel mágnesezhetünk, de egy tekercsre egyenáramot kötve szintén magához tud vonzani kis fémtárgyakat: a tekercs a mágneshez hasonló teret hoz létre, ez az elektromágnes. A mágneses tér forrása tehát az áram, ez a magyarázata annak, hogy az atomok spinjük miatt (egyfajta köráramként viselkedve) mágneses teret hoznak létre, amely az atomok egy irányba rendez dése esetén makroszkopikus méreteket ölt Mozgó töltések és az áram mágneses tere A fenti kísérletb l az derül ki, hogy a mágneses teret a mozgó elektromos töltések hozzák létre. Pontos kísérletek alapján megállapíthatnánk, hogy egy v sebességgel mozgó Q töltés mágneses teret kelt, amelynek nagysága a töltést l vett #» r helyen B = µ 0 Qv 4π r, illetve vektorosan #» 2 B = µ 0 Q #» v #» r (2.22) 4π r 3 Figyeljük meg a hasonlóságot a ponttöltés keltette elektromos térrel: itt 1/ɛ 0 helyett µ 0 = 4π10 7 Tm/A (vagy Vs/Am) a vákuum mágneses permeabilitása szerepel. Ha nem vákuumban vagyunk, akkor ehelyett µ = µ r µ 0 -t kell írnun, ahol µ r az adott közeg relatív permeabilitása. A törvényben ezen felül Q #» r helyett Q #» v #» r -t kell írnunk, hiszen csak mozgó töltés kelt mágneses teret. A tér akkor maximális, ha a töltés sebességére mer leges irányban vizsgáljuk; a sebesség irányában pedig (a keresztszorzás tulajdonságai miatt) a mágneses tér nagysága nulla. Ez alapján felírhatjuk egy innitezimálisan kis (dl) hosszúságú, I áramot vezet szakasztól r távolságra mért mágneses teret is, ekkor a Biot-Savart törvényt kapjuk. Itt Q #» v helyett I #» dl szerepel, hasonlóan a Lorentz-er nél

28 28 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG mondottakhoz. A törvény így írható fel: db = µ 0 4π I #» dl #» r r 3, (2.23) Egy nem innitezimális vezet l szakaszra integrálással kapjuk meg ennek mágneses terét (t le r távolságra): B = µ 0 Idl r 4π r 3. (2.24) l Ezzel a törvénnyel néhány egyszer esetben kiszámíthatjuk a mágneses teret. Például egy R sugarú, I áramot vezet hurok tere a kör közepén abból adódik, hogy a körvezet minden egyes kis szakasza R távolságra van a középponttól, így mindegyik kis dl szakasz mágneses tere µ0 I 4π r dl. Ezt ha integráljuk, akkor a dl el tti tényez k 2 mind állandóak az összes szakaszra, így dl helyett a kör kerületét írhatjuk be, 2Rπ értéket. A végeredmény B = µ0i 2R. A kört l felületére mer leges r távolságra is kiszámítható a mágneses tér nagysága: erre B = µ0ir2 2(R 2 +r 2 ) 3/2 adódik (gyelembe véve, hogy a kör minden kis innitezimális szakasz-elemének mágneses tere ugyanolyan nagy, csak az irányuk más ( dl #» és #» r irányára mer leges). Ebb l az is kiderül, hogy egy kis, R sugarú (azaz A = R 2 π felület ) köráramtól méreténél sokkal nagyobb, r R (a felületre mer leges irányban vett) távolságra a tér B = µ 0IR 2 2r 3 = µ 0IA 2πr 3. (2.25) Itt vegyük észre a hasonlóságot az elektromos dipólus terével csak itt a qd dipólus-nyomaték helyett az áramhurok µ = IA mágneses nyomatéka jelenik meg. Ez a formula adja meg tehát a µ mágneses nyomatékkal rendelkez atom mágneses terét is! Az Ampère-törvény A fenti törvényben szerepl integrálást egy egyenes vezet re is el lehet végezni az integrálást. Legyen a hossza 2a, ekkor a mágneses tér a közepét l r távolságra B = µ0i 2a 4π r lesz. Ebb l a r esetén (azaz nagyon, ideális a 2 +r 2 esetben végtelen hosszú egyenes vezet re) B = µ 0I 2πr. (2.26) adódik. A mágneses tér iránya pedig a jobbkéz-szabálynak megfelel lesz: ha jobb kezünk hüvelykujját az áram irányába fordítjuk, akkor behajlított (kört formázó) ujjaink éppen a mágneses tér irányát jelölik ki. A mágneses tér tehát körkörösen körbeöleli az t létrehozó áramot. Ebb l egy érdekes következtetést vonhatunk le: ha az I áramot szállító vezet köré képzelt körre kiintegráljuk a mágneses teret, azaz ezen a körön vesszük az #» #» B dl kifejezés értékét, akkor (miután a mágneses tér párhuzamos a dl szakasszal, és minden pontban azonos, B = µ 0 I/(2πr) nagyságú) éppen µ 0 I lesz az eredmény (hiszen a 2πr a kör kerületével szorozva kiesik). Az az érdekesség derül ki, hogy ez nem csak kör alakú, hanem minden zárt görbére igaz lesz, és az így kimondott törvényt Ampère-törvénynek nevezzük Eszerint a mágneses tér elárulja az t létrehozó áramer sséget, konkrétabban zárt (képzeletbeli) hurokra, amelyen I áram folyik keresztül: zárt #» B dl #» = µ 0 I. (2.27) Tulajdonképpen Bdl helyett írhatnánk U B mágneses feszültséget (az elektromos feszültség Edl deníciójához hasonlóan), amellyel a törvény tömören U B = µ 0 I alakot ölt. Ez részben hasonlít a Faraday-féle indukciós törvényre, ám ott áram helyett a mágnes uxus szerepel. Ezt az analógiabeli hibát fedezte fel Maxwell, és megállapította, hogy ha van változó elektromos uxus is, akkor az úgynevezett eltolási áramot is gyelembe kell venni, melynek mértéke a Φ E elektromos uxustól függ. Ez módosítja a fenti törvényt, az ezt is magába foglaló alak: #» U B = B dl #» ( ) dφ E = µ 0 I + ɛ 0. (2.28) dt zárt Hasonlítsuk ezt össze a Faraday-féle indukciós törvénnyel: B-t és E-t kicserélve lényegében ugyanazt kapjuk (az elektromos áramtól eltekintve, ugyanis mágneses áram mágneses töltések híján nem létezik). Lássuk az Ampère-törvény egy egyszer alkalmazását! Ha sok hurkot kötünk össze, akkor tekercset kapunk, azaz tulajdonképpen egy elektromágnest. Ebben megkaphatjuk a mágneses teret, ha egy képzeletbeli, a tekercsen

29 2.4. A MÁGNESES TÉR FORRÁSAI 29 átmen zárt hurkot rajzolunk. A küls részen kicsi a mágneses tér (jó közelítéssel), így annak járuléka 0. Belül pedig l hosszan megy a vonal (ha a tekercs l hosszú), és mivel itt nagyjából állandó a mágneses tér, illetve a zárt hurkon átfolyó áram összesen a menetszám szorozva az áramer sséggel (NI), így a mágneses tér az erre az esetre alkalmazott Bl = µ 0 NI Ampère-törvényt kihasználva adódik: Önindukció és transzformátor NI B tekercs = µ 0. (2.29) l Az indukció és az Ampère-törvény összesítéseként azt láthatjuk, hogy két tekercs tud egymásra hatni: az egyikben folyó változó áram változó mágneses teret hoz létre, ez pedig a másikban feszültséget indukál, azaz ebben is áram fog folyni ez a transzformátor m ködésének lényege. Itt az egyik tekercsben váltakozó áram folyik, azaz I = I 0 sin(ωt). Az ennek hatására létrejöv mágneses tér is váltakozik, így a mágneses uxus is. Ez a váltakozó mágneses uxus feszültséget indukál a másik tekercsben, és mivel a uxus megegyezik (a két tekercs zikailag egyben van), így: U 1 = N 1 Φ, U2 = N 2 Φ, U1 /N 1 = U 2 /N 2. Ezzel tehát a nagyfeszültség kicsivé transzformálható (miközben az áram megn, és a P = U I teljesítmény összességében csak kicsit csökken le). Valójában egy tekercs is vissza tud hatni így önmagára, ez az önindukció. Ha a tekercsben I = I 0 sin(ωt) áram folyik, akkor ez a korábbiaknak megfelel en B = µ 0 NI/l = µ 0 NI 0 sin(ωt)/l mágneses teret hoz létre. Ez a mágneses tér feszültséget indukál: U ind = N Φ B = NAḂ = µ 0 N 2 A I l = L I = ωli 0 cos(ωt), (2.30) azaz a feszültség amplitúdója U 0 = ωli 0 lesz, ahol bevezettük a tekercs L = AN 2 /l önindukciós együtthatóját. Mivel az I 0 amplitúdójú áramhoz U 0 = ωli 0 feszültség kapcsolódik, ezért ez olyan, mintha a tekercsnek egyfajta ellenállása (valójában impedanciája) lenne, amelynek mértéke ωl. Egyenáram (ω = 0) esetén ez nulla (erre számítunk, hiszen egyenáram esetén a tekercs egy nulla ellenállású vezetékdarab, csak a váltóáram és ennek mágneses tere okozhat mást). Korábban már említettük a kondenzátor 1/ωC ellenállását, és most látjuk, hogy egy tekercs is hasonlóan viselkedik, ωl ellenállása van. A tekercs és a kondenzátor kicsit valójában máshogy viselkedik, mint egy közönséges R ellenállás, ezért a fenti értékeket nem ellenállásnak, hanem impedanciának hívjuk. Érdekes, és az elektrotechnikában fontos áramkör az RLC-kör, amely egy sorba kapcsolt feszültségforrásból, ellenállásból és kondenzátorból áll. Ennek ω = 1/ LC sajátfrekvenciája van, így ilyen körfrekvenciájú feszültséget kapcsolva rá azt igen feler sít. Az áramkör csillapítása ζ = R C/2 L lesz, és pontosan az el z félévben a harmonikus rezgéseknél tárgyaltaknak megfelel csillapított rezgés jön rajta létre Váltakozó áram áramkörök A valóságban létrehozott elektromos hálózatban a feszültség nem konstans (azaz nem állandó feszültségr l van szó), hanem id ben szinuszosan változik, azaz U = U 0 sin(ωt), ahol ω = 2πf, és f = 50 Hz a hálózati frekvencia. Ez a 19. század végén alakult ki, és két okból praktikus: egyrészt a váltakozó feszültséget könny transzformálni (lásd a távvezetékeken elvesz teljesítményr l illetve a transzformátorról szóló szakaszokat), másrészt az er m vekben könny eleve váltakozó feszültséget el állítani. Ilyen hálózatokban a feszültség amplitúdója helyett annak eektív (átlagos) értékér l beszélünk, ez U eff = 230 V (korábban 220 V). Ez a feszültség úgy adódik, hogy egy R ellenálláson ekkora egyenletes feszültség esetén veszne el ugyanakkora teljesítmény. Miután a teljesítmény négyzetesen függ a feszültségt l, azaz P = U 2 /R = U 2 0 sin 2 (ωt)/r, ennek átlaga P átl = U 2 0 /(2R) miután a sin 2 függvény átlaga egy perióduson 1/2. Miután U e deníciója az, hogy P átl = U 2 e /R, így U e = U 0 / 2. A 230 voltos hálózaton a feszültség amplitúdója valójában kb. 325 volt. Ilyen váltakozó áramú áramkörökben kicsit máshogy viselkednek az áramköri elemek. Egy állandó feszültség alatt lév kondenzátoron (lévén a két lapja nem érintkezik) nem folyik áram, azonban váltakozó feszültség esetén a két lap elektromos tere kölcsönhat, és virtuálisan átfolyik az áram a kondenzátoron, méghozzá a feszültség csökkenése mellett. A feszültségesés arányos az áramer sséggel, ez tehát olyan, mintha a kondenzátornak lenne ellenállása. Ennek mértéke (ha a kapacitás C) 1/ωC, ahol ω = 2πf, és f az áramkör frekvenciája. Ezt onnan lehet belátni, hogy a kondenzátoron folyó áram nagysága I = Q = C U, tehát itt U = U 0 sin(ωt) esetén az áram amplitúdója I 0 = CU 0 ω, azaz U 0 = I 0 /ωc. Ez olyan, mintha a tekercsnek 1/ωC ellenállása lenne (v.ö. az Ohm-törvénnyel) Egyenáram esetén f 0, tehát itt az ellenállás végtelenhez tart (ahogy azt várjuk is, hiszen egyenáram nem tud átfolyni a kondenzátoron). Az önindukció következménye, hogy váltóáramú áramkörben a tekercsnek is lesz egy ellenállás-jelleg tulajdonsága, amely a tekercsben indukálódó ellentétes irányú feszültség következménye. Az ohmikus ellenállás

30 30 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG mellett a tekercs induktív ellenállásáról szokás tehát beszélni, ennek mértéke pedig (ha a tekercs önindukciós együtthatója L) Lω. Szemléletesen a nagy önindukciós együttható a tekercsben változó áram hatására nagyobb mérték ellenfeszültséget indukál, hasonlóan a frekvencia növelése is, hiszen így a tekercsben változó mágneses uxus fog gyorsabban változni Elektromágneses hullámok A Maxwell-egyenletek A fentiekben megismertük az elektromosság és a mágnesesség alapvet törvényeit. Ezek közül a négy leglényegesebbet foglalja össze a Maxwell-egyenletek rendszere. Ezekben felhasználjuk az elektromos és mágneses uxus illetve a feszültség Φ E = EdA, Φ B = BdA, U E = Edl, U B = Bdl (2.31) denícióit. Ezekkel Elektromos Gauss-törvény, zárt felületre: Φ E = Q ɛ 0 (2.32) Mágneses Gauss-törvény, zárt felületre: Φ B = 0 (2.33) Faraday-féle indukciós törvény, zárt hurokra: U E = dφ B dt Ampère-törvény az eltolási árammal, zárt hurokra: U B = µ 0 I + µ 0 ɛ 0 dφ E dt (2.34) (2.35) Ugyanezek felírhatóak töltések és áram hiányában (azaz a I = 0, Q = 0 feltételek mellett), a uxusra és a feszültségre vett deníciókkal együtt. Ekkor az alábbi szimmetrikus alakot kapjuk: EdA = 0 (2.36) BdA = 0 (2.37) db Edl = da (2.38) A dt de Bdl = µ 0 ɛ 0 da (2.39) dt Az egyenleteinket átalakíthatjuk integrálformából dierenciális formába, amelyhez kell a = ( x, y, z ) vektoroperátor fogalma, amelynek három komponense a tér három dimenziója szerinti deriválás. Ebb l származtatható a divergencia és a rotáció fogalma, amelyet vektormez kre vonatkoztatunk (ezek olyan függvények, amelyek értéke minden pontban egy vektor): A Vektormez divergenciája: forráss r ség mértéke adott pontban, azaz a pont körüli felület uxusa (a vektor felületen vett integrálja) a felület által bezárt térfogattal osztva. Ha a vektormez egyfajta sebességet jelképez, akkor ez az adott pontból történ kifolyás vagy befolyás mennyiségét adja meg. A divergencia deníciója dive = E, azaz a vektorral vett skaláris szorzat. Vektormez rotációja: örvényer sség mértéke adott pontban, azaz a pont körüli görbe mentén vett integrál a görbe által bezárt felülettel osztva. Ha a vektormez egyfajta sebességet jelképez, akkor a rotáció éppen azt adja meg, hogy az adott pont körül alakult-e ki örvénylés. A rotáció deníciója rote = B, azaz a vektorral vett keresztszorzat. Ezt illusztrálja az alábbi ábra, ahol a pirossal rajzolt felületen a kiáramlás adja a divergenciát, míg a kékkel rajzolt görbe mentén történ áramlás a rotációt. Az els esetben mindkett nulla, a második eset divergens, a harmadik örvényes mez t mutat.

31 2.5. ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK 31 A fent deniált mennyiségekre vonatkozik a matematikai Gauss-tétel, mely szerint egy E vektormez re EdA = divedv, ha az zárt A felület a V térfogatot tartalmazza. Hasonló állítást fogalmaz meg a matematikai Stokestétel is: eszerint egy E vektormez re Edl = roteda, ha az l zárt görbe az A felületet fogja körbe. Ezekkel a fenti Maxwell-egyenleteket átalakíthatjuk, és integrálok helyett a divergencia és a rotáció szerepel majd bennük. Az így átírt Maxwell-egyenletek az alábbi alakot öltik: dive = 0 (2.40) divb = 0 (2.41) rote = Ḃ (2.42) rotb = c 2 Ė (2.43) bevezetve a c 2 = 1/(µ 0 ɛ 0 ) konstanst. Az egyenletrendszert tovább egyszer síthetjük, és ekkor a következ két hullámegyenlet alakú dierenciálegyenlet jön i: Ë c 2 E = 0, (2.44) B c 2 B = 0, (2.45) ahol a két pont az id szerinti kétszeres deriválást, a két vessz a tér szerinti kétszeres deriválást jelenti, és ezek az egyenletek a térer sségek minden komponensére (E x, E y, E z ) külön-külön érvényesek. Fontos továbbá, hogy valójában a kétszeres tér szerinti deriválás helyett a = 2 x + 2 y + 2 z Laplace-operátor jelenik meg, amely a tér minden dimenziója szerinti kétszeres deriválások összege. Miután a fenti egyenletek hullámegyenletek, ezek megoldása egy c sebességgel haladó hullám, tetsz leges f frekvenciával és λ = c/f hullámhosszal. A Maxwell-egyenletek eredeti alakjából következik továbbám hogy E és B mer leges egymásra és a haladás irányára, továbbá E = c B. A hullámviselkedés pedig térben és id ben periodikus váltakozást jelent, és a hullám frekvenciája/hullámhossza tetsz leges lehet. Ezt egyenes vonalban terjed hullám esetén az alábbiaknak megfelel en illusztrálhatjuk: Az elektromágneses sugárzás energiát is hordoz, az intenzitása (azaz a felületegységre es teljesítmény) arányos az amplitúdó négyzetével I = P A = ɛ 0c E2 0 2 = µ B (2.46) Kés bb kiderül, hogy az energiát kvantumok hordozzák, a fotonok. Egy kvantum energiája E = hf, ahol h = 6, m 2 kg/s, és a fény az összenergiájának megfelel számú kvantumból áll, az intenzitás változása esetén a kvantumok száma változik egyedül. Ahogy már a hullámegyenletr l szóló el z félévi fejezetben is láttuk, egy pontszer forrás esetén a hullámegyenlet megoldása egy, a forrástól bármely irányban távolodva 1/r mértékben csökken amplitúdójú hullámot jelent. Mivel az intenzitás az amplitúdó négyzete, így pontszer forrás esetén az intenzitás 1/r 2 mértékben csökken. Ez azért sem meglep, mert a P teljesítmény forrás köré egyre nagyobb, 4r 2 π felület gömböket rajzolva az ezeken észlelt intenzitás I = P A = P 4r 2 π lesz.

32 32 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG Kísérlet mikrohullámú analizátorral A Maxwell-egyenletek tehát kimondják, hogy léteznek elektromágneses hullámok: egy vezetékre szinuszosan változó feszültséget kapcsolva lehet ket létrehozni, egy másik vezetékben pedig (az eredetit l akár jelent s távolságra is) ugyanolyan frekvenciájú feszültséget keltenek. Így m ködnek az elektromágneses hullámokkal kommunikáló eszközök,. A mikrohullámú analizátor a GHz-es tartományba es frekvenciájú hullámokat észleli, és intenzitásukat méri. A mobiltelefon elektromágneses hullámai id ben er teljesen változó intenzitásúak: az adatokat csomagokban küldik és fogadják a készülékek. Ett l függetlenül észlelhet, ahogy egy mobiltelefontól egyre messzebb menve az intenzitás a távolság négyzetének inverzével változik, azaz I 1/r Az elektromágneses spektrum A Maxwell-egyenletek alapján tehát az elektromos és a mágneses tér hullámszer en tud viselkedni, lecsatolódhat az t létrehozó töltésekr l és áramokról, és akár vákuumban is tovaterjedhet, c sebességgel. A hullámzás hullámhossza avagy frekvenciája tetsz leges lehet. Az elektromágneses spektrum ezen hullámhosszakat öleli föl, amelyen belül különféle hullámtípusokat különböztetünk meg. Sugárzásról akkor beszélünk, ha a forrástól több hullámhossznyi távolságban vagyunk, ezért a 300 khz alatti frekvenciatartományban (amely 1 km-nél is nagyobb hullámhosszat jelent) nem elektromágneses sugárzásról, hanem elektromos ill. mágneses térr l beszélünk. Efelett a sugárzásokat a frekvenciától függ en különféle kategóriákba soroljuk. Elektromágneses hullám a rádióhullám, a mikrohullám (azaz a mobiltelefon, a WiFi, a GPS, a mikrohullámú süt m ködtetése során keletkez sugárzás), a fény (az UV és az infravörös is), továbbá a röntgen- és a gamma-sugárzás is Az egyes sugárzások frekvenciáját és hullámhosszát az alábbi táblázat foglalja össze: Sugárzás típusa Frekvencia-tartomány Hullámhossz Alacsony frekvencia < 300 khz >1 km Rádióhullámok 0, MHz 1 m 1 km Mikrohullámok 0, GHz 1 mm 1 m Infravörös 0, THz 1 mm 800 nm Látható fény THz nm Ultraibolya 0, PHz nm Röntgen 0, EHz 10 nm 10 pm Gamma > 30 EHz < 10 pm Az alábbi ábra is ezt illusztrálja, bemutatva, hogy a légkör a rádióhullámokat elég jól átereszti, míg kevésbé átlátszó a mikrohullámú tartományban: a mobilhálózat antennáit ezért sokkal s r bben kell elhelyezni, mint a rádióadókat. Efelett a látható fény tartományában átereszt a légréteg, de az infravörös fényt visszaveri (ez az alapja az üvegházhatásnak: a látható fény felmelegíti a talajt, a légkör vagy az üvegtet pedig nem engedi ki a talaj infravörös tartományú h sugárzását), ahogy az ibolyántúli sugárzást is (ez az élet fennmaradása szempontjából fontos).

33 2.6. OPTIKA Optika A fény terjedése Látható fényr l kb nanométeres hullámhossz között beszélünk. Egyéb frekvenciájú hullámokra is hasonló törvények érvényesek bizonyos tartományokban, de mi csak a fényt vizsgáljuk. A fény ugyan fotonadagokban terjed, de jó leírása az egyenes vonalban terjed hullám, adott λ hullámhosszal, c sebességgel és f = c/λ frekvenciával. Ebben és a következ szakaszban a fénynek az anyag jelenlétében mutatott viselkedését vizsgáljuk. Nem vákuumban, hanem anyagban (leveg ben, vízben, üvegben) terjed fény esetén a vákuum-állandók helyett az anyagra jellemz eket kell használni: ɛ 0 ɛ és µ 0 µ, ennek megfelel en a sebesség c 2 = 1 µ 0 ɛ 0 c 2 = 1 µɛ. (2.47) Az anyag elektromos permittivitása és mágneses permeabilitása úgy alakul, hogy ɛ = ɛ r ɛ 0 és µ = µ r µ 0, ahol az r indexes állandók az anyag relatív állandói. Ezek értéke szokásos anyagokra egynél nagyobb. Bevezetjük a törésmutatót a közegbeli fénysebesség alapján: c = c n, azaz n = ɛ r µ r = µɛ µ 0 ɛ 0. (2.48) Anyagban tehát lassabban terjed a fény, minél s r bb (optikailag), annál lassabban. Nem mágneses anyagokra µ r 1, tehát itt lényegében n ɛ r. A leveg törésmutatója például n = 1, 0003, vízé 1, 333, üvegé és átlátszó m anyagoké tipikusan 1,5-1,6 között van. A törésmutató függ a fény hullámhosszától is (ezért bontja fel a fehér fényt komponenseire a prizma, illetve a szivárvány is hasonló okból jön létre), de (gyelembe véve a látható fény keskeny frekvencia-tartományát) többnyire gyengén. Két anyag határán a beérkez fénysugár nem egyenesen halad tovább: ez a fénytörés jelensége. A haladást a beesési mer legessel bezárt α szöggel jellemezzük. A fénytörést a Fermat-elv határozza meg: két pont között a fény a lehet leggyorsabban akar haladni, tehát nem a legrövidebb úton. Ebb l az elvb l levezethet a fénytörés törvénye, amely szerint ha a fény egy n 1 törésmutatójú közegb l érkezik a beesési mer legessel α 1 szöget bezárva, és a másik közeg n 2 törésmutatójú, akkor az α 2 továbbhaladási szögre az alábbi törvény lesz

34 34 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG igaz: (2.49) Ez azt jelenti, hogy s r bb közegbe érkezve az α beesési szög kisebb lesz (közelebb kerül a fénysugár a beesési mer legeshez). Ezt a törvényt akkor értjük meg, ha feltesszük magunkban a kérdést, hogy a tóparton állva egy fuldoklót (t lünk kicsit oldalirányban is eltávolodva) megpillantva hogyan rohannánk be hozzá. Biztosan nem az egyenes út a leggyorsabb, hiszen ekkor a tóban túl nagy utat kellene megtennünk: praktikus az oldalirányú távolság egy részét a parton, futva megtenni. Tulajdonképpen éppen az így optimalizált utat teszi meg a fény is a fenti ábrán. További következmény a teljes visszaver dés.ha n 2 > n 1, akkor sin(α 2 ) = n 1 /n 2 sin(α 1 ) < 1 feltétel nem teljesül egy adott α 1 felett. Ezen α 1 felett nem lehetséges olyan α 2, ami teljesíti a törési törvényt. Efeletti beesési szög esetén teljes visszaver désr l beszélünk, ekkor a fénysugár nem tud behatolni a közegbe. Erre épül például az optikai kábel, a fényvisszaver prizma. Üveg-leveg határon ez a szög kb. 41 fok. További érdekesség, hogy leveg törésmutatója függ a s r ségét l, minél s r bb, annál nagyobb. Ez magyarázza a délibáb jelenségét: a fény a lehet leggyorsabban akkor halad, ha lemerül az alsó, ritkább, és ezért kisebb törésmutatójú közegbe. Itt gyorsan haladva b ven behozza azt a késést, amit a magasságváltozás során elszenvedett. Ezt illusztrálja az alábbi ábra is: Kísérlet nagyít lencsével A fentieknek megfelel en leveg b l üvegbe vagy m anyagba lépve megtörik a fénysugár terjedési iránya: emiatt használhatunk lencséket. Egy lencse fókuszpontjához közelre fényforrást helyezve a lencsét l távoli erny n a fényforrás pontos (és fordított) képe alakul ki. Ezt egyszer en reprodukálhatjuk egy lencsével és egy izzóval: a lencsét jól elhelyezve az izzó pontos képét kapjuk a szemközti falon. Így m ködik a projektor is például Geometriai optika A geometriai optika a fénytörést kihasználó eszközök (tükrök, lencsék) m ködését írja le. Ezek az eszközök egy adott tárgyat képeznek le, annak egy képét hozzák létre úgy, hogy a tárgyról érkez fénysugarak (vagy azok meghosszabbítása) metszi egymást. Ha a tárgyról érkez sugarak metszik egymást, akkor ott egy erny n felfogható a kép: így m ködik a projektor vagy vetít gép. Ha a sugarak nem metszik egymást, de a meghosszabbításuk igen (azaz úgy t nik, mintha egy pontból jönnének), akkor virtuális képr l beszélünk, ezt erny n nem tudjuk felfogni, de a szemünkkel láthatjuk (és virtuális metszéspontban lev nek látjuk a képet). A geometriai optikában deniáljuk a tárgy T méret t és t távolságát (az optikai eszközt l), a kép távolsága k, mérete pedig K. Ekkor az eszköz nagyítása a méretek hányadosa, amely megegyezik a távolságok hányadosával (hasonlósággal belátható): N = K T = k t (2.50) A legegyszer bb optikai eszköz a síktükör. A tárgy és a kép távolsága ill. mérete ekkor azonos (tehát a nagyítás 1), de a kép a tükör mögött van (és így virtuális, hiszen a tükör mögé tett erny n semmi sem látszik).

35 2.6. OPTIKA 35 A gömbfelszínen (illetve pontosabban egy parabola felszínén) kialakított (homorú vagy domború) tükör esetén deniálunk egy optikai tengelyt (a tükör szimmetriatengelyét). Ezt ismerve a tükrök m ködése az alábbiaknak megfelel en írtható le: A homorú tükör az ezzel párhuzamos sugarakat egy pontba gy jti (így m ködik a parabolaantenna is), ez a fókuszpontja, amely a sugár felének megfelel távolságra van a tükörtül (azaz f = R/2). A domború tükör az optikai tengellyel párhuzamos sugarakat szétszórja úgy, mint ha egy túloldali (képzeletbeli) fókuszpontból jönnének. Mint minden optikai eszköznél, itt is igaz, hogy egy sugár a megfordított irányban azonosan terjed, tehát például a homorú tükör esetén a fókuszpontból jöv sugarak az optikai tengellyel lesznek párhuzamosak (lényegében így hoz létre szinte párhuzamos, irányított sugárnyalábot a reektor vagy a zseblámpa). Gömbtükrök esetén a kép- és a tárgytávolság összefügg a fókuszponttal, az alábbiaknak megfelel en: 1 f = 1 t + 1 k. (2.51) Az optikai lencsék gömbfelszínekkel határolt, a közegt l (amelyben a lencsét használjuk: leveg, vákuum, vagy akár víz) eltér törésmutatójú anyagból készült objektumok. Ezek fókusztávolsága a határoló gömbfelszínek R 1 és R 2 sugarától függ, és az anyag közeghez képesti relatív n = n anyag /n közeg törésmutatójától: ( 1 1 = (n 1) + 1 ), (2.52) f R 1 R 2 és homorú határoló esetén negatív sugárról beszélünk, és a negatív fókusztávolságú lencse szórólencse, míg pozitív f esetén gy jt lencsér l beszélünk. M ködésük így foglalható össze: Gy jt lencse esetén az optikai tengellyel párhuzamos sugarak a fókuszba mennek; a fókuszból jöv sugarak párhuzamosan mennek tovább. Szórólencse esetén az optikai tengellyel párhuzamos sugarak szétszóródnak, mintha a fókuszból jönnének; a túloldali fókuszba tartó sugarak pedig párhuzamosan mennek tovább. A fenti sugármenetekkel egy tárgy képét megszerkeszthetjük: a sugarak metszéspontjában lesz a kép (ha pedig csak a sugarak meghosszabbítása metszi egymást, azt virtuális képnek nevezzük). Ezt illusztrálja az alábbi ábra (balra lencsékkel, jobbra tükörrel): A szem egy 2,5 cm körül változtatható fókusztávolságú lencsével m ködik (az izmok megnyújtják a lencsét, amelynek így megn az R 1 és R 2 sugara, így megn a fókusztávolsága). Az látni kívánt tárgynak megfelel távolságból jöv sugarakat a retinára fókuszálja, így a retinán egy fordított állású kép alakul ki, amelyet az agy megfelel en tud értelmezni. A nagyító egy x lencsével m ködik (a tárgyat a fókuszpont közelébe helyezve nagyon nagy nagyítás érhet el). A távcs és mikroszkóp több lencséb l állnak, többszörös leképezéssel m ködnek (ahol az egyik lencse által létrehozott kép a következ lencse tárgya). Kísérlet: lézer szóródása CD-barázdákon A fény elektromágneses hullám, a hullámnak hol maximuma, hol minimuma van. Ha két hullám találkozik, fázistól függ en kiolthatják vagy er síthetik egymást: ez az interferencia jelensége.

36 36 2. FEJEZET. ELEKTROMOSSÁG ÉS MÁGNESESSÉG A megfelel en koherens (azaz azonos fázisú) és monokromatikus (azaz csak egyfajta hullámhosszú fényt tartalmazú) fénysugár elemei interferálnak egymással, és interferencia-mintázatot alakítanak ki. CD-re lézermutatóval világítva a falon nem csak egy visszatükrözött pontot látunk, hanem többet: interferenciamintázat alakul ki Hullámoptika Ahogy a Maxwell-egyenletekr l szóló részben láttuk, a fény nem más, mint elektromágneses hullám. A hullámhosszával egy nagyságrendbe es tartományok esetén emiatt a geometriai optikán jócskán túlmutató jelenségeket tapasztalhatunk: például két fényhullám gyengítheti vagy kiolthatja egymást. Ennek alapja az, hogy hullám (egy adott id pillanatban) egy sin(2πx/λ) = sin(kx) jelleg függvénnyel írható le. A szuperpozíció elve szerint ha két hullám találkozik, akkor ezek hullámfüggvénye összeadható. Ha az egyik hullám φ fáziskésésben van, akkor sin(k 1 x + φ) + sin(k 2 x) lesz az összegük. Azonos hullámszám (avagy hullámhossz) esetén kioltás történik, ha a fáziseltérés éppen π (vagy páratlanszor π), maximális er sítés, ha 2π (vagy párosszor π), ahogy az alábbi ábra mutatja: A hullámtérben minden pont valójában úgy viselkedik, mint egy hullámforrás, és folyamatosan az ezekb l a forrásokból érkez interferenciát gyelhetjük meg. Ezt fogalmazza meg a Huygens-Fresnel elv: a hullámtér minden pontja elemi körhullámok kiindulópontja, a látott kép pedig ezek interferenciája. Az interferencia jelenségét használja ki a kétrés-kísérlet. Ennek során koherens (x fázisú) és monokromatikus (x hullámhosszú) fényt irányítunk két d távolságú résre. Ekkor az erny n interferencia-mintázat jelenik meg. Ha a hullámhossz λ, akkor α szögben kiszámíthatjuk az összeadódott hullám er sségét. Az útkülönbség egyszer en adódik: d sin(α). A kísérletben fáziskülönbség a két hullám által megtett út különbsége miatt lesz. Ha az útkülönbség λ/2, az éppen π fáziskülönbségnek felel meg kioltás történik. Ha az útkülönbség λ, az 2π fázistolást eredményez, ekkor maximális er sítés lesz: A kioltás feltétele tehát d sin(α) = nλ + λ/2, a maximális er sítésé d sin(α) = nλ. A kísérlet segítségével optikai rácsok rácsállandója, vékony szálak vastagsága, illetve - ha a fénynél kisebb hullámhosszú hullámokkal dolgozunk - kristályrácsok szerkezete is meghatározható. Hasonló jelenség látható vékony olajrétegen, szappanbuborékon, s r áttetsz függönyön vagy párás ablakon átnézve, CD felszínén, stb. A Huygens-Fresnel elv segítségével értelmezhetjük a réselhajlás jelenségét is. Egy keskeny résen áthaladó fénysugár a rácselhajláshoz hasonló elhajlást mutat, er sítési és kioltási helyekkel. Ennek oka, hogy a rés minden pontját hullámforrásnak tekinthetjük, ahonnan koherens hullámok indulnak azonos fázisban. A kétréskísérletben tapasztalt interferencia azért fontos, mert ez a bizonyíték a fény hullámtermészetére, és ahogy kés bb kiderült, az anyag (részecskék, atomok, molekulák) is hasonlóan interferenciára képesek, tehát az anyag is tud hullámként viselkedni: ez vezetett a kvantummechanika felfedezéséhez.

37 3. fejezet Modern zika 3.1. A részecske-hullám kett sség, a kvantumvilág A fény kvantumtermészete Fresnel és Young interferenciakísérletei óta ismert, hogy a fény hullám, méghozzá elektromágneses hullám. A 19. században azonban ezzel ellentmondásban álló meggyelések láttak napvilágot ben Becqerel felfedezte fotovoltaikus hatást (Nobel-díjat kapott, de nem ezért), ennek során fény hatására félvezet k vezetési tulajdonságai megváltoznak, így m ködnek ma a napelemek, és ez irányította a gyelmet a fény és az elektronok kapcsolatára. A fotoelektromos jelenséget (fotoeektust) Hertz fedezte fel 1887-ben (Nobel-díjat kapott, egy másik hasonló felfedezésért), ennek során fémb l elektronok lépnek ki fény hatására. A jelenséget Einstein magyarázta meg 1906-ban (Nobel-díját lényegében ezért kapta). Lénárd Fülöp 1902-ben egy ehhez hasonló jelensége talált, gázok ionizációját gyelte meg UV fény hatására (ezért Nobel-díjat kapott). A fotoeektus során azt tapasztaljuk, hogy a kilép elektronok száma a fény intenzitásával arányos, és nem függ a frekvenciától. Van viszont egy legkisebb frekvencia, amely alatt intenzitástól függetlenül nem lépnek ki elektronok. Ez a jelenség a hullámképpel teljesen összeegyeztethetetlen, ugyanis hullámok esetén azok nagysága határozná meg, hogy kilépnek-e az elektronok, és a hullámok száma (azaz a frekvencia) határozná meg, hogy hány elektron lép ki. Gondoljunk csak egy csónakra: hiába jönnek s r n (azaz nagy frekvenciával) a hullámok, nem borítják fel a csónakot, csak ha a méretük (ami az intenzitásnak felel meg) elég nagy. Az ezzel ellentétes meggyelésre az a magyarázat, hogy a fény kvantumok (fotonok) formájában érkezik, a fény intenzitása pedig a fotonok számát jelenti. Az egyes kvantumok energiája csak a frekvenciától függ, nagysága E = hf, ahol h = Js, a Planck-állandó. (3.1) A fotoeektus jelensége alább a bal oldali ábrán látható, a hullámkvantumokat (illetve azt, hogy a hullámhossz a kvantumok nagyságát, az amplitúdó pedig a kvantumok számát jelzi) pedig a jobb oldali ábra illusztrálja: A meggyeléseket részletesen az alábbiak szerint tudjuk megmagyarázni. Az elektron anyagból való kilökéséhez szükséges energia (munka) W, és az elektronokat akkor lehet kilökni, ha hf > W ; ekkor a kilökött elektronok száma csak a fotonok számától függ. Hiába hordoz tehát a fény nagy energiát (azaz nagy az intenzitása), ha ez sok kisenergiás fotonból áll össze, akkor nem tud elektronokat kilökni. Ha viszont extrém alacsony intenzitású, azaz kevés fotonból áll, de azok nagy energiával rendelkeznek, akkor elektronokat lökhetnek ki. A fotonok létének elfogadásához további meggyelésekre is szükség volt. Compton 1922-ben vizsgálta meg röntgensugarak szóródását paranon (és ezért szintén Nobel-díjat kapott). Azt látta, hogy a szórt sugárzás frekvenciája lecsökken. Ez a fotonkép alapján egyszer en látható: egy a foton meglöki az elektront, ennek során energiát veszít, és így lecsökken a frekvenciája. Az is kiderült, hogy a fotonnak impulzusa is van, méghozzá A Compton-eektust az alábbi ábra mutatja: p = E c = hf c = h λ. (3.2) 37

38 38 3. FEJEZET. MODERN FIZIKA A fentiek úgy összegezhet ek, hogy a fotoelektromos hatás és a Compton-eektus (melyek során a fény energiát és impulzust ad át elektronoknak) csak úgy értelmezhet ek, ha bevezetjük a fotonhipotézist. Felmerült, hogy mi történik, ha az el z részben tárgyalt interferencia-kísérlet során olyan alacsony intenzitású fényt vizsgálunk, amelyben egyszerre csak egy foton megy át a két résen. Vajon ekkor is létrejön az interferencia, azaz az egy fotonos nyaláb is két részre oszlik? Jánossy Lajos végezte el ezt a kísérletet nagy pontossággal, és is interferenciát talált. Ez azt jelenti, hogy egy darab foton interferál önmagával, hullámként mindkét résen átmegy. Ráadásul, ha valamilyen módon meggyeljük, hogy melyik résen ment át a foton, akkor megsz nik az interferencia, azaz ekkor csak az egyik résen megy át a foton. Csak akkor megy át egy foton mindkét résen, ha nem akarjuk tudni, hogy melyiken ment át! Ezen jelenségeire a klasszikus zikai modellek nem adnak magyarázatot A részecskék hullámtermészete Az elektromágneses hullámok tehát bizonyos kísérletekben részecskeként viselkednek. Lehet, hogy a részecskéknek is van hullámtulajdonsága? Louis de Broglie 1924-es hipotézise alapján részecskékre is igaz a λ = h/p összefüggés (ezért is Nobel-díjat kapott), a részecskék hullámtulajdonságát pedig úgy lehet vizsgálni, ha a kétrés-kísérletet elvégezzük elektronokkal vagy nagyobb részecskékkel is. Ezt el ször 1927-ben Davisson mutatta ki (és ezért Nobel-díjat kapott), de azóta atomokkal és nagyobb molekulákkal (pl. C 60 -nal) is sikerült interferenciát kimutatni. Sikerült továbbá úgy is elvégezni a kísérletet, hogy a két résen egyszerre egy elektron megy csak át, tehát az elektron valamilyen értelemben önmagával interferál, maga az elektron viselkedik hullámként (és nem az elektronok találkozásakor jön létre az interferencia). Ha az egy elektronos kétrés-kísérletben (fotocellával) vizsgáljuk, hogy melyik résen megy át az elektron, akkor elt nik az interferencia! Tény, hogy az elektron mindig oszthatatlannak látszik, de egyetlen elektron is interferál és az interferencia elt nik minden olyan kísérletben, ahol az utat is meghatározzuk. Tulajdonképpen arra gondolhatunk, hogy a lehet ségek interferálnak egymással de hogyan lehetne ezt tudományosan, a matematika nyelvét használva megfogalmazni? Elektromágneses hullámok esetén a térer sség négyzete adja az hullám intenzitását (ahogy azt a Maxwellegyenletek után tárgyaltuk), és a két hullám amplitúdójának összeadódása egy adott helyen az intenzitásban kioltást vagy er sítést eredményezhet, a fáziseltérést l függ en. Anyaghullámokkal hasonló a tapasztalat, ezek léte kísérleti tényként kezelend, a kísérletek megkövetelik, hogy a részecskékhez (és általában az anyaghoz) hullámokat rendeljünk. De kérdés, hogy mi a hullámzó mennyiség? Ha bevezetjük a részecske P (x) valószín - ségi eloszlását (azaz azt, hogy hol milyen valószín séggel található az adott részecske), akkor ez jelentheti az intenzitást. Ez lehet tehát az amplidúdó négyzete (ahogy az elektromágneses sugárzás esetén az intenzitás az elektromos és/vagy a mágneses tér négyzetével arányos). Legyen ezért P (x) = Ψ(x) 2, ahol Ψ(x) a (komplex szám érték ) hullámfüggvény. Egy háborítatlanul haladó részecske hullámfüggvénye ekkor az elektromágneses hullámokhoz hasonlóan sin(kx) módon írható fel, és ekkor λ = 2π/k a részecske hullámhossza. Az interferencia pedig teljesen a hullámoptikában megismertek alapján történik. Eszerint egy atom körüli elektron is egy Ψ(x) hullámfüggvénnyel írható fel, melynek alakja azonban jelent sen eltér az el bbi egyszer színusz-függvényt l. A hullámfüggvény abszolútértékének négyzete az elektron valószín ségi eloszlása, erre gondolunk elektronfelh ként. A kvantummechanika további érdekes következményei közé tartozik a szupravezetés és a szuperfolyékonyság, amelyeket itt részletesen nem tárgyalunk. Két érdekes kvantummechanikai jelenséget azonban az alábbiakban bemutatunk. Dirac fedezte fel a kvantummechanika és a relativiáselmélet házasítása közben, hogy létezhet az elektronnak egy antirészecske párja, az elektron (ezért Dirac Nobel-díjat kapott). Az 1928-as elméleti felfedezést 1932-ben kísérleti bizonyítás követte (Anderson által, aki ezért szintén Nobel-díjat kapott). Ma már tudjuk, hogy minden részecskének lehet anti-párja, és anti-atomokat is tudunk má létrehozni. Egy részecske az anti-párjával találkozva teljesen megsemmisül, és energiává (fotonokká) alakul, a folyamat során 2mc 2 energia szabadul fel (ha m az eredeti részecske és antirészecske tömege). 1 mg hidrogén és antihidrogén egyesülésekor 100 GJ energia termel dne. A paksi er m éves energiatermelésének kb. 0,7 kg anyag-antianyag egyesülése felel meg. Az antianyag el állításához azonban ennél még sok nagyságrenddel több energia szükséges, ezért nem hatékony energiatároló. A kvantummechanika további fontos következménye a radioaktivitás. Elképzelhet, hogy egy részecske hullámfüggvénye úgy változik az id ben, hogy a hullám amplitúdója id ben csökken. Ekkor a hullámfüggvény

39 3.2. A TÉRIDŽ MODERN FOGALMÁNAK KIALAKULÁSA 39 négyzete, azaz a részecske létezésének valószín sége egyre csökken, 2 t/t függvény szerint, ahol T a részecske felezési ideje. A részecske folyton a létezés és a nemlétezés között lebeg, csak akkor derül ki, hogy megvan-e még, ha ránézünk. Egy adott részecskér l sosem tudjuk, hogy mikor fog elbomlani, de átlagosan a valószín ségnek megfelel en kövektezik ez be, azaz sok instabil részecske esetén a részecskék száma követi ezt a csökkenést. Ha N részecske van jelen egy adott id pontban, akkor T id múlva fele annyi, N/2 lesz. A részecskék számának id függése ilyenkor N(t) = N(0) 2 t/t, amely pontosan az el z mondatban leírt állítást vonja maga után. A T felezési id helyett néha a λ bomlási állandót használjuk, melyet a 2 t/t = e λt összefüggés deniál. Sok atom viselkedik ilyen instabil módon, ezek megsz nése, bomlása a radioaktivitás. Az elbomló atommagok kibocsáthatnak magukból α-részecskét (hélium atommagot), röntgensugárzást (ha az elektronszerkezet instabil, azaz nem alapállapotban van), gamma-sugárzást (ha az atommag instabil), és β-sugárzást (ilyenkor egy neutron alakul át protonná, elektron kibocsátása mellett). Az alfa-sugárzás egyb l elnyel dik anyagban, akár egy papírlapban is, a béta-sugárzás valamivel vastagabb anyagban csak (pl. egy alumínium lapban), míg a gamma-sugárzás elnyeléséhez vastag ólomfalra van szükség. (3.3) 3.2. A térid modern fogalmának kialakulása A newtoni mechanika és a Maxwell-egyenletek ellentmondása Bár Arisztotelész még azt gondolta, hogy a magára hagyott test megáll, és a mozgás magától nem marad fenn, Galilei és Newton óta tudjuk, hogy a mozgás relatív: semmilyen mechanikai jelleg kísérlettel nem lehet megállapítani, hogy két, egymáshoz képest egyenletesen mozgó rendszer közül melyik mozog a másikhoz képest azaz nem lehet különbséget tenni köztük. Sima tengeren lév hajó vagy vasúti kocsik esetében sem lehet megállapítani belülr l (zárt ablakok mellett), hogy mozog-e vagy sem. Az újabb és újabb zikai jelenségek felfedezése nyomán azonban felmerült a kérdés, hogy a fentiekben megfogalmazott relativitási elv kiterjeszthet -e nem mechanikai kísérletekre is, azon belül is a fényre, elektromosságra és mágnesességre. A XIX. század eleje óta ismert volt, hogy mozgó töltések mágneses teret keltenek, mozgó mágnes hatására pedig elektromotoros er jön létre. Ez azt sugallja, hogy az elektromágnesesség esetében mégis abszolút értelemben megkülönböztethet a mozgás és a nyugalom, ellentmondva a newtoni mechanikának. Az is kiderült a Maxwell-egyenletek szerint az elektromágneses hullámok vákuumban c sebességgel terjednek, függetlenül az ket kibocsátó forrástól, ahogy a hangsebesség sem függ a forrás mozgásától. Olyan, mintha az elektromágneses hullámok is egy közeghez (egyfajta éterhez) lennének kötve ez azonban ellentmond a newtoni mechanikában is jelen lév relativitás elvének: a fény vizsgálatával mégis különbséget tudunk tenni álló és mozgó meggyel között: az éterhez képest vett mozgás alapján. A kísérletek alapján azonban kiderült (Michelson, Morley, Fizeau is mások munkája nyomán), hogy éter nem létezik, de a fény mégis minden meggyel szerint azonos sebességgel halad tehát egy adott fénysugár sebessége független attól, hogy álló vagy mozgó rendszerb l nézzük. Ez pedig még a sebesség összeadásának kinematikai szabályait is sérti! A fentiekben vázolt probléma feloldását Lorentz és Minkowski alapozta meg, és Einstein öntötte egységes keretbe. Két posztulátumot (alapfeltevést) fogalmazott meg: a zika törvényei minden inerciarendszerben azonosak, illetve a vákuumbeli fénysebesség természeti állandó (azaz minden meggyel számára azonos). Ebb l levezette a speciális relativitáselméletet, amely tulajdonképpen a Galilei-féle relativitás kiterjesztése, hiszen immár semmilyen kísérlettel (nem csak mechanikaiakkal) nem lehet megállapítani egy rendszerr l, hogy mozog-e vagy sem: a mozgás teljes mértékben relatív A speciális relativitáselmélet A relativitáselmélet szerint a tér és az id nem abszolút, be kell vezetni a (Minkowski-féle) térid fogalmát, amelyben a tér és az id a meggyel t l függ. Ezt Minkowski-diagramokkal világíthatjuk meg, amelyekben az

40 40 3. FEJEZET. MODERN FIZIKA adott meggyel szerint érvényes derékszög koordináta-rendszerben ábrázoljuk a térid t, a vízszintes tengelyen a teret, a függ legesen az id t. A meggyel maga az x = 0 pontban tartózkodva mozog el re az id ben. Az id skálát úgy állítjuk be, hogy a fénysebesség egy szimmetrikusan (45 fokban) haladó egyenesnek feleljen meg. Ha egy mozgó objektumhoz képest szeretnénk a jelenségeket vizsgálni, be kell ülni az koordinátarendszerébe. Ennek szabályait a Lorentz-transzformáció adja meg, amely szerint Minkowski diagramokon az állandó sebességgel mozgó meggyel számára úgy torzul a térid, hogy az koordináta-rendszerében is éppen szimmetrikusan középen legyen a fénysebesség egyenese: A Minkowski-térid ben a tér és az id egyesül, és valójában térid r l beszülünk, amelyben a tér három koordinátájából és az id b l álló négyesvektorok vannak. A négyesvektorok komponenseit a Lorentz-transzformáció módosítja koordinátarendszer-váltás esetén, és ennek központi eleme az, hogy a térid vektorok Lorentz-hossza változatlan marad, amit a (t, x) (t, x ) váltás során a x2 c 2 t 2 = x 2 c 2 t 2 (3.4) egyenlet fejez ki. A tér- és az id tengely a fentiek alapján szimmetrikus a fénysebesség görbéjére, és mivel a tér és az id mérése ezen tengelyekkel való párhuzamos vetítéssel történik, két térid beli esemény közötti id és távolság nem azonos a két meggyel számára. Ez a Lorentz-kontrakció, amelynek mértékét a γ = 1/ 1 v 2 /c 2 Lorentz-faktor adja meg (v sebességkülönbség esetén): v/c γ 10% % % % % % % 100 Továbbá a távolságok és id intervallumok relativitását illusztrálja az alábbi ábra:

41 3.2. A TÉRIDŽ MODERN FOGALMÁNAK KIALAKULÁSA 41 Ez azt is jelenti, hogy a fénysebesség felével mozgó rhajó kb. 10%-kal rövidebb a földi (álló) meggyel szerint, mint az rhajóban utazók szerint. Hasonlóan, az rhajóban ül k szerint az id is 10%-kal lassabban telik számukra. Ugyanakkor ez fordítva is igaz, azaz például a földi tárgyak az rhajós szerint rövidebbek. A relativitáselmélet fontos következménye, hogy a sebesség-összeadás módosul: v 1 és v 2 összege immár v 1 +v 2, hanem v 1 + v v 1 v 2 /c 2. (3.5) Ha v 1 = 100 m/s és v 1 = 100 m/s, akkor az összeg nem 200 m/s, hanem 199, m/s. Tehát a korrekció ekkor kicsi, de km/s és km/s összege már km/s helyett km/s sebességre v módosul. Itt már lényeges a korrekció. A képletb l látható továbbá, hogy v 2 = c esetén 1+c 1+v 1c/c = c, tehát 2 c-hez bármennyit adva továbbra is csak c-t kapunk. A fénysebesség állandó, bármilyen sebesség meggyel r l nézzük: végre sikerült megmagyarázni a fénysebesség állandóságát! Néhány további zikai mennyiség is a Lorentz-faktorral módosul, például az impulzus relativitáselméleti deníciója p = mv/ 1 v 2 /c 2, ami v c esetén visszaadja a klasszikus közelítést. Az imént leírt formulának az az oka, hogy az impulzus és az energia is egyetlen négyesvektort alkot, ez a négyesimpulzus (miután ennek négy komponense van). Ennek a Lorentz-hossza is független a koordináta-rendszert l avagy a meggyel t l, hasonlóan a térid -vektorokhoz. Érdekes módon az derül ki, hogy a négyesimpulzus Lorentz-hossza éppen az adott tárgy tömegével egyezik meg (szorozva c 2 -tel), azaz következ egyenlet lesz igaz: E2 p 2 c 2 = mc 2 (3.6) Ez azt is jelenti, hogy a nulla impulzusú (nyugvó) objektum energiája E = mc 2 lesz, tehát a tömeg tulajdonképpen a nyugalmi energiának felel meg. Egyúttal azt is láthatjuk, hogy az energia és a tömeg ekvivalens mennyiségek, ezért alakulhat át egy m tömeg elektron és egy ugyanekkora tömeg elektron 2mc 2 összenergiájú fotonokká. Ugyanígy, ha valamely kémiai vagy atomi rendszernek van valamekkora kötési energiája, akkor ez a tömegének módosulásával is együtt jár ahogy azt majd az atom- és magzikáról szóló részben is láthatjuk. A relativitáselméletnek vannak furcsa és érdekes következményei: Az egyidej ség relatív: a mozgás sebességét l függ, hogy két esemény egyszerre történt-e, egymáshoz képest mozgó meggyel k err l mást mondanak. A fénysebesség egyfajta határsebesség: aki gyorsabban megy, az id ben visszafelé is megy, pontosabban számára két esemény sorrendje megfordul (azaz az ok-okozati sorrendet fordítva észleli). Ezzel az a probléma, hogy egy okozat ismeretében megváltoztathatjuk az okot, azaz megsérthetjük a kauzalitás elvét, mely szerint az ok el bb van, mint az okozat. Például a meccs végeredményének ismeretében a meccs el tt fogadást tehetünk, vagy (morbid példával élve) megölhetjük egy korábban élt egyenesági felmen nket, saját megszületésünket megakadályozva (ami ellentmondásra vezet). Az id dilatációt és a Lorentz-kontrakciót már fent említettük: mozgó rendszerben az id lassabban telik, mint kívülr l nézve, illetve mozgó tárgyak kívülr l nézve rövidebbek! A speciális relativitáselméletnek rengeteg kísérleti bizonyítéka van. Fontos példa a légkörben keletkez kozmikus részecskék (müonok) esete, amelyek olyan rövid élettartamúak, hogy fénysebességgel menve is csak kb. 660 métert tudnak megtenni (ezután elbomlanak). Ugyanakkor nagy többségüket észleljük a Földön is, miután áthaladtak több tíz kilométernyi légkörön. Ez azért lehetséges, mert nagy sebességük miatt számukra a megteend távolság nagyon lerövidül. Egy másik fontos példa, hogy ha két atomórát összehangolunk, majd az egyikkel egy gyors repül vel teszünk egy kört, ez utóbbi óra kevesebbet fog mutatni, mikor újra egymás mellé tesszük a másikkal. Az eltérés mértéke éppen az id dilatációnak megfelel lesz Az általános relativitáselmélet A speciális relativitáselméletet tovább általánosíthatjuk, ha gyelembe vesszük a tényt, hogy semmilyen kísérlettel nem lehet különbséget tenni egy gravitációs térben lév kabin, és egy, a csillagoktól távoli rben gyorsuló kabin között:

42 42 3. FEJEZET. MODERN FIZIKA Ez valamilyen értelemben azt jelenti, hogy a két rendszer között ekvivalencia gyelhet meg, és a gravitációs tér és a vonatkoztatási rendszer gyorsulása egyenérték. Erre az általánosításra azért is szükség van, mert a speciális relativitáselmélet és a newtoni gravitáció is ellentmondásban áll egymással: a newtoni gravitáció szerint, ha két objektum hat egymásra, és az egyiket eltávolítjuk, azt a másik azonnal érzi. Ez a hatás végtelen sebességgel érne el a másik objektumhoz, ez a távolhatás a speciális relativitáselmélet szerint lehetetlen. A fentiekb l kiindulva vezette le Einstein az általános relativitáselméletet. Ennek lényege, hogy az anyag egyfajta görbült teret hoz létre, és a mozgást ebben a görbült térben kell értelmezni. A térid görbülete a benne elhelyezett tömeggel n, és ez a görbület hat aztán a további tárgyak mozgására. Az egész egyfajta súlyok által megnyújtott gumileped höz hasonlít, ahogy az alábbi ábra is mutatja. Az általános relativitáselméletnek is elméletnek sok kísérleti bizonyítéka van. Az egyik fontos bizonyíték az, hogy a Merkúr pályája elfordul 100 év alatt 574 szögmásodpercet, és ebb l kb. 43 szögmásodperc nem magyarázható meg a newtoni mechanikával (illetve a többi bolygó jelenlétével), de az általános relativitáselmélet ez helyesen adja meg. Meggyelték a gravitációs id -dilatációt is: egy nehéz objektum úgy görbíti meg a térid t, hogy a közelében lassabban járnak az órák, mint t le távol. Ezt is gyelembe veszik a GPS m holdak tervezésekor, naponta 45 µs eltérés keletkezik a földi és a m holdakon lév órák között! Az anyag (pl. egy nehéz csillag) által meggörbített térben a fény is görbén halad, ami érdekes jelenségeket hoz létre, az úgynevezett gravitációs lencse-hatás miatt. Az elmúlt évtizedekben sikerült úgynevezett Einstein-keresztet és Einstein-gy r t is meg- gyelni: ezeknél egy masszív objektum a mögötte lév galaxis fényét négyszeresen (kereszt formájában), vagy akár kör alakban képezi le. A fekete lyukak léte is az általános relativitáselméleten keresztül érthet meg. Ha egy objektum extrém s r séget ér el, kiseb lesz az úgynevezett Schwarzschild-sugaránál (amely a test tömegét l 2M γ/c módon függ, ahol γ a gravitációs állandó ez tehát a Föld esetében 9 mm, a Nap esetében pedig 3 km), akkor fekete lyukká válik: az objektum közelében ekkor olyan er sen görbült a tér, hogy még a fény sem juthat ezen sugáron kívül, minden az objektum középpontja felé zuhan (ezért hívjuk ezt fekete lyuknak). A világegyetem id fejl dését is az általános relativitáselmélet segítségével vizsgálhatjuk. Eszerint az univerzum egy srobbanásban keletkezett, kb. 13,7 milliárd éve, azóta folyamatosan tágul: a térid szövete nyúlik meg egyre jobban, ahogy azt az általános relativitáselmélet leírja. Erre az egyik fontos bizonyíték a Hubble-törvény: a messzi galaxisok (melyek relatív sebességét a Doppler-eektusból lehet meghatározni, távolságukat pedig úgynevezett szupernóva-robbanások segítségével) távolodási sebessége arányos a távolsággal (természetesen itt a látszólagos helyzetr l beszélünk, hiszen egy távoli galaxist ott látunk, ahol akkor volt, amikor a most hozzánk érkez fénye elindult). A másik a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás: a világegyetemben mindenhol észlelhet egy kb 2.7 K h mérséklet sugárzás, amely az srobbanás utáni h mérsékletet adja vissza (a Doppler-eektus miatt sokkal alacsonyabb frekvencián azaz sokkal kisebb h mérsékletet mutatva).

43 3.3. ATOM- ÉS MAGFIZIKA Atom- és magzika Az atomok felépítése A gondolat, hogy az anyag diszkrét, oszthatatlan egységekb l áll, az ókori természetlozóában gyökerezik. A 18. századig (vagy méginkább a 19. század elejéig) kellett azonban várni, hogy megkezd djön a kérdés természettudományos módszerekkel történ vizsgálata. Az els lépéseket Lavoisier, Proust, Avogadro és Dalton tették meg, kémiai reakciók vizsgálatával (amelyekben meggyelték a tömeg megmaradását illetve a reagensek arányainak állandóságára vonatkozó törvényeket). Utóbbi volt az els atomelmélet megalkotója. A 19. század végéig az atomelmélet azonban nem nyert általános elismerést, ellenz i az atomok helyett az energiát tekintették minden jelenség végs alapjának (Ostwald és Helm). Mások (mint például Mach) a közvetlen érzékeléssel fel nem fogható dolgok létezését értelmezhetetlennek gondolták. A kérdésben az döntött, hogy makroszkopikus jelenségekben is sikerült az atomosság nyomaira bukkanni, és a h t is sikerült az atomok és molekulák mozgásával megmagyarázni (lásd a kinetikus h tanról szóló szakaszt). Az atomok szerkezetét azonban sokáig senki nem kutatta, oszthatatlannak gondolva azokat. Thomson katódsugarak (amelyeket egy forró fémszál bocsát ki elektromos tér hatására) vizsgálatakor arra jutott, hogy a sugárzás, amely uoreszcens erny n fényfelvillanást kelt, az atomokból származik, és töltött részecskékb l áll. Megmérte ezen részecskék töltés/tömeg arányát, és ezzel tulajdonképpen felfedezte az elektront (ezért Nobel-díjat kapott). Ez alapján Thomson megalkotta a plum pudding névvel illetett els atommodellt. Eszerint az atom egy pozitív töltés levesb l áll, amelyben úsznak a negatív töltés részecskék, az elektronok. Ezek töltését (azaz az e elemi töltés nagyságát) kés bb Millikan mérte meg: porlasztott (véletlenszer en töltött) olajcseppeket elektromos térbe helyezve gyorsulásukat mérte, és ebb l töltésüket határozta meg (eredményéért Nobel-díjat kapott). A modellt Rutherford kísérlete cáfolta, aki egyúttal egy jobb atommodellt is alkotott. Rutherford megmérte α-bomlásból származó (α-) részecskék arany fólián való szóródásában a szórt részecskék szögeloszlását. A Thomson-féle atommodell alapján túlnyomórészt kisszög szórást vártak, ezzel szemben a részecskék jó része szóródás nélkül továbbment, kis részük er teljesen eltérült. Ezt egyfajta pontszer maggal lehetett magyarázni, és a kísérleteket a centrális er térben való szóródásra vonatkozó egyenletekkel lehet kiszámolni. Nagyon nagy szögekre (visszaszóródásra) eltérést találtak ett l a formulától: a maghoz nagyon közel men α-részecskére nem tekinthet pontszer nek a mag: ez a méretét mutatja lényegében, illetve a mag és az α-részecske sugarának összege. Arany esetében energiafüggetlenül ez kb. 13 femtometer. Rutherford atommodellje mindezek alapján azt mondta, hogy a m atom közepén egy roppant kicsi, m méret mag található, az elektronok pedig körülötte keringenek, egyfajta Naprendszert alkotva. Az elektronok energiáját ekkor egyrészt a Coulombkölcsönhatás potenciálja, másrészt a keringésb l adódó mozgási energia adja. Ugyanakkor fontos látni, hogy a kering elektronok elektromos tere id ben változó, így mágneses teret is keltenek, amely szintén id ben változó lesz. Ez végül elektromágneses sugárzást hozna létre, amelynek hatására az elektronok elveszítenék energiájukat, és az atommagba zuhannának. Egy más jelleg probléma is adódott a Rutherford-féle atommodellel. A modellb l ugyanis arra következtethetnénk, hogy az atomok bármilyen kis energiát el tudnak nyelni: ekkor az elektronok energiája kicsit megn ne; és ugyanígy, valamely elektron az atommaghoz kicsit közelebb kerülve kis energiát veszítene, és így az atom ezt az energiát kisugározhatná. Gázok és g zök elektromágneses sugárzási spektrumát tanulmányozva kiderült azonban, hogy ezen spektrumok (azaz a gázok színképe) diszkrét vonalakból állnak, amelyek szerkezete az atomokra jellemz. Az atomok tehát csak néhány konkrét mennyiségnek megfelel energiát tudnak elnyelni vagy kibocsátani! Ezt úgy lehet magyarázni, hogy gázok sugárzás-elnyelése és kibocsátása során az atomok elektronjai kizárólag diszkrét energiaszinteken között mozognak, és az energiakülönbségnek megfelel fényt bocsátanak ki vagy nyelnek el. Egy olyan bolygómodellt jelent ez, amelyben nem lehetséges tetsz leges pálya! Niels Bohr a fenti két problémára válaszként egy konzisztens modellt épített fel (és ezért Nobel-díjat kapott), alapvet en a bolygómozgás mintájára, egy hozzáadott posztulátummal. A modell lényege ez a posztulátum, amely szerint az elektron pályájának kerülete a hullámhosszának egész számú többszöröse lehet csak, ekkor ugyanis az elektron éppen körbehullámozza az atommagot, a pálya kerületén egész számú hullám fér el, azaz 2rπ = nλ = nh/p (ahol n egész szám). Ez úgy is megfogalmazható, hogy az elektronok perdülete csak a redukált Planck-állandó h/(2π) = egész számú többszörse, L = mvr = pr = n lehet. Planck azt állította, hogy az ilyen pályákon nincsen gyorsulásból fakadó sugárzás. A modell oka ismeretlen, értelmezhetetlen, de jó eredményre vezet! A Bohr modellben az elektronok energiáját úgy lehet kiszámolni, hogy kiindulunk a Coulomb-er (a Ze

44 44 3. FEJEZET. MODERN FIZIKA töltés mag és az e töltés elektron között) és a pályán tartó centripetális er egyenl ségéb l, azaz Az ehhez tartozó energiaszint k Ze2 r 2 = mv2 = p2, innen (3.7) r mr p 2 r 2 = kze 2 mr = n 2 2, tehát az n. pályasugár: (3.8) r n = n2 2 kze 2 m. (3.9) E n = mv2 2 kze2 r = mk2 Z 2 e 4 2n 2 2 mk2 Z 2 e 4 n 2 2 = 1 n 2 mk 2 Z 2 e 4 2 2, (3.10) ami pontosan visszaadja a kísérletekben mért spektrum-vonalakat. Nem világos azonban, hogy mi a Bohr-féle posztulátum magyarázata, és hogyan zajlik az átmeneti folyamat: a kvantummechanika képe ad teljesebb magyarázatot az atomok elektronszerkezetére. Ebben az elektronok már egyfajta P (x) = Ψ(x) 2 valószín ségi eloszlással rendelkeznek, amely a hullámfüggvényük abszolútértékének négyzete. A kvantummechanika, illetve a hidrogénatom Schrödinger-féle modellje szerint ezen eloszlások az alábbi ábrának megfelel en néznek ki (itt n az adott energiaszintet jelöli, l pedig az adott pályához tartozó perdülettel függ össze; jelen jegyzetben ezt ennél jobban nem tudjuk részletezni): Az atommagok kötési energiája Az atomok szerkezetét már ismerjük tehát, és tudjuk, hogy bennük egy igen kicsiny méret atommag található. Világos, hogy egy Z rendszámú atomban Z darab elektron található, a mag pedig szintén Z töltés : Z darab protonnak köszönhet en. Ugyanakkor a proton tömegének ismeretében az is kiderült, hogy az atommag (avagy az atom) mérete egy A Z tömegszámmal jellemezhet kb. ennyiszerese az atom tömege a protonénak. Felmerül a kérdés, hogy mi a kapcsolat a tömegszám és a rendszám között. Könny elemeknél Z = A/2, nehezebb atomok esetén Z < A/2 adódik, kell tehát még valaminek lennie az atommagban, ami a protonok tömegéhez hozzáadódva kiadja az atom teljes tömegét (az elektronok tömege ezekhez képest elhanyagolható)! Az a kérdés is felmerül, hogy mi tartja össze az atommagot a protonok elektromos taszítása ellenében. A legfontosabb lépést ezzel kapcsolatban Chadwick tette 1932-ben, amikor felfedezte a neutront (amiért Nobel-díjat kapott). Kiderült, hogy ez az atommag tömegének hiányzó részét kiadó részecske; a magban a protont és a neutront pedig egy újfajta kölcsönhatás, a mager tartja össze. A kémiai tulajdonságokat az elektronszerkezet, azaz a protonok száma határozza meg, a neutronszám ilyen szempontból irreleváns ez csak az adott mag tömegéhez járul hozzá. Ráadásul egy adott kémiai elem többféle neutronszámmal is létezhet, azonos protonszám (azaz rendszám) mellett. Egy adott atommag különböz neutronszámú változatait izotópoknak hívjuk. Többnyire egy adott elemb l csak 1-2 különböz stabil izotóp fordul el a természetben; a többi valamilyen bomlás (azaz részecskekibocsátás) mellett stabilizálódik. Az izotópok térképét alább láthatjuk:

45 3.3. ATOM- ÉS MAGFIZIKA 45 A proton és a neutron tömegének ismeretében kiderült az is, hogy az atomok könnyebbek, mint a megfelel számú proton és neutron tömege. Ennek az az oka, hogy az atommagoknak van egyfajta kötési energiája, az ennek megfelel tömeggel könnyebbek, mint az alkotórészeik (és ezért stabilak). Ezt a kötési energiát a mager (az úgynevezett er s kölcsönhatás) okozza, ez tartja össze az atommagot. Az egy nukleonra (a nukleon a proton és a neutron összefoglaló neve) jutó kötési energia a tömegszám függvényében úgy változik, hogy a vasnál van minimuma: A vas környéki atommagok vannak tehát a legkedvez bb állapotban. Nem kedvez állapotból hasadással vagy fúzióval lehet kedvez bbe jutni: a vasnál nehezebbek hasadni tudnak, a könnyebbek fuzionálni Maghasadás A nehéz atommagok maguktól nem esnek szét többnyire, de neutronnal bombázva ket maghasadás indukálható, rengeteg energia felszabadulása mellett. A 235-ös tömegszámú urán izotóp lassú (1 ev körüli mozgási energiájú) neutron hatására például széteshet kriptonra (A=92) és báriumra (A=141), emellett három neutron keletkezik (vannak más bomlások is, mindet gyelembe véve átlagosan 2,4 neutron keletkezik), és sok ( 200) MeV energia, amely h ként jelenik meg: A hasadás gyors neutronok hatására is bekövetkezhet, de több MeV energia esetén a hasadás valószín sége több nagyságrenddel kisebb, mint lassú, ev körüli neutronenergia esetén. Ugyanakkor a természetes uránércben a 235 U aránya csak 0.7%. A 238 U (természetes urán 99.3%-a) csak gyors neutronok hatására hasad szét, és akkor is elég kicsi valószín séggel. További fontos különbség, hogy egy bomlásban átlagosan 1,7 neutron keletkezik..

46 46 3. FEJEZET. MODERN FIZIKA Az urán hasadását használja ki az atombomba, láncreakciót hozva létre (hiszen egy hasadás nyomán egynél több neutron keletkezik, ezért egyre több hasadás történik, és az összes mag elhasadhat a másodperc töredéke alatt). Ugyanakkor egy urán-tömb felületen kiszökhetnek neutronok, esetleg más miatt nem okoznak hasadást. Így ugyan 2,4 vagy 1,7 neutron keletkezik, de nem mind hasít. A kiszökés els sorban geometriai okból következik be, felület/térfogat aránytól függ, kis tömeg esetén arányosan több a szökés, mint nagy tömeg esetén. Ha a hasadásban keletkez neutronok közül átlagosan hasadásonként egynél több okoz további hasadást, beindul a láncreakció: az ehhez szükséges tömeget a kritikus tömegnek nevezzük. Ugyanakkor a kritikusság attól is függ, hogy milyen uránt használunk: a 238-as izotóp hasadása során eleve csak 1,7 neutron keletkezik, így ebb l sokkal kevesebbnek szabad elszöknie. Hogy ésszer méreten már kritikus legyen az urántömeg, nagyon fel kell dúsítani (85% fölé) az 235 U arányát. Ugyan a keletkez gyors neutronok miatt a 238 U is hasad itt ugyan, de az akkor keletkez 1,7 neutron kevés, arra nézve nem éri el a kritikus tömeget az atombomba. Az urán hasadását kontrolláltan az atomreaktorban tudjuk hasznosítani. Itt az a cél, hogy egy hasadás neutronjai közül mindig pontosan egy okozzon további hasadást. Ha egynél több tenné ezt (azaz a neutronsokszorozódás egynél nagyobb), akkor felgyorsulna a láncreakció, azaz megszaladna a reaktor. Ha egynél kevesebb, akkor viszont leáll a láncreakció. Akkor m ködik stabilan a reaktor, ha minden hasadásból keletkez neutronok közül pontosan egy okoz további hasadást. Ezt szabályzórudakkal érik el, ezeket a hasadóanyagba egyre mélyebbre engedve egyre több neutront nyelnek el, azaz csökkentik a neutronsokszorozódást. Éppen megfelel en tartva elérhet, hogy a neutronsokszorozódás éppen egy legyen. Azért, hogy a hasadás valószín sége nagy legyen, lelassítják a neutronokat, és így szinte mindegyik hasadást tud okozni (persze csak a 235 U-ben). A hasadás nagy valószín sége miatt itt nincs szükség a 235-ös izotóp nagy arányára, 3-4% 235 U arányt elérni. A neutronok lassítását végz anyag az ún. moderátor. Az atomer m vek m ködésének lényege, hogy a reakcióban keletkez h t a felforrósodott moderátor-közeg keringése során elszállítja (primer kör), és felmelegít egy másik közeget (szintén vizet), ez g zzé forrva hajtja a turbinákat. A legelterjedtebb reaktortípus, a nyomottvizes reaktor m ködését az alábbi ábra illusztrálja: A magfúzió a reaktortartályban zajlik, az üzemanyag-rudakban jön létre. Az itt keletkez h t a primer kör vezeti el, és még a reaktor betonkonténerében, egy h cserél ben átadja a h t a szekunder körnek, felforralva az abban kering vizet. Ez a g z meghajtja a turbinákat, amelyek pedig a generátort, és így elektromosság jön létre. A szekunder köri víz h jét (szintén egy h cserél n át) a h t víznek adja át. Látható, hogy az ilyen reaktorokban a moderátor azonos a keletkez h t is elszállító anyaggal, többnyire mindkett t víz vagy nehézvíz alkotja. Az ilyen reaktorok f beépített biztonsági eleme az, hogy ha megszalad a reaktor, a moderátor (víz) elforr, a neutronok nem lassulnak le, ezért nem okoznak hasadást, így a reaktor leáll. A reaktorban keletkez hasadványmagok viszont többnyire er sen radioaktívak, ezek az elhasznált f t elemekben rakódnak le. Ezek tárolása az maghasadás békés célú felhasználásának egyik kulcskérdése. A kiégett üzemanyagcellák avagy f t elemek betonszarkofágokban helyezend ek el, és jó megoldás lehet ezeket vízzáró rétegek közé, földrengésbiztos helyre elhelyezni. Probléma ugyanakkor, hogy a keletkez hasadványmagok közül soknak a felezési ideje a millió évet is eléri; ugyanakkor semmilyen elhelyezés biztonsága nem garantálható ilyen hosszú távon. Ezen anyagok keletkezésének csökkentését, s t, akár a korábbi kiégett üzemanyagcellák felhasználását is ígérik a következ, negyedik generációs reaktortípusok.