Fizika feladatok. 1. Feladatok a termodinamika tárgyköréből december 8. Hővezetés, hőterjedés sugárzással

Átírás

1 Fizika feladatok 014. december Feladatok a termodinamika tárgyköréből Hővezetés, hőterjedés sugárzással 1.1. Feladat: (HN 19A-3) Határozzuk meg egy 0 cm hosszú, 4 cm átmérőjű hengeres vörösréz rúdon időegység alatt átvezetett hőmennyiséget, ha a rúd két vége 0 0 C, ill. 0 0 C hőmérsékletű! Megoldás: 1.. Feladat: (HN 19A-5) Órai kidolgozásra 1. feladat Egy épület téglafalának mérete: 4 m 10 m és, a fal 15 cm vastag. A hővezetési együtthatója λ = 0,8 W/m K. Mennyi hő áramlik át a falon 1 óra alatt, ha az átlagos belső hőmérséklet 0 0 C, a külső pedig 5 0 C? Megoldás: Jelölések: a fal felülete A = 4 m 10 m = 40 m ; a falvastagság d = 15 cm; az eltelt idő t = 1 óra = 4300 s; = 0 0 C és T = 5 0 C. A hőáram (a belső energia árama, itt most a fal teles felületére vett teljesítmény) a Fouriertörvény szerint A 1 óra alatt átáramlott hő I = P = λ T A. (1..1) d Q = λ T At = 1, J. (1..) d 1.3. Feladat: (HN 19B-33) Órai kidolgozásra. feladat Egy 3 cm élhosszúságú alumínium kockát lámpakorommal vontak be és így ideális hősugárzó lett. A kockát vákuumkamrába tették, amelynek falait 7 0 C-on tartották. Milyen teljesítményű legyen az a fűtőtest, amely annyi energiát ad a kockának, hogy hőmérséklete állandóan 90 0 C maradjon? Megoldás: Jelölések, adatok: a = 3 cm; T 0 = 7 0 C = 300 K; = 90 0 C = 363 K és σ = 5,

2 W/(m K 4 ). A stacionárius (időben állandó) állapot beálltakor a fűtőtest teljesítménye ahol a kocka felszíne A = 6a. Az adatok behelyettesítése után Ideális gázok állapotegyenlete P = σ(t 4 1 T 4 0 )A (1.3.1) P =,836W. (1.3.) 1.4. Feladat: (HN 0B-6) Órai kidolgozásra 3. feladat Egy tó fenekén, ahol a hőmérséklet 4 0 C, egy 0, cm átmérőjű légbuborék képződött. Ez 5 m-t emelkedik a felszínig, ahol a víz hőmérséklete 4 0 C. Határozzuk meg a gömb alakú buborék méretét, amint éppen eléri a víz felszínét, feltételezve, hogy a buborék belsejében lévő levegő mindig felveszi a környező víz hőmérsékletét! A légköri nyomás 10 5 Pa. Megoldás: Jelölések: = 4 0 C = 77 K; d 1 = 0, cm; h = 5 m; T = 4 0 C = 97 K; a külső légnyomás p k = 10 5 Pa; a víz sűrűsége ϱ = 1000 kg/m 3. Az egyesített gáztörvény szerint (p k + ϱgh) 4 3 ( d 1 ) 3 π ahonnan behelyettesítés után a buborék átmérője = p 4 k ( d 3 ) 3 π, (1.4.1) T d = 0,31cm. (1.4.) 1.5. Feladat: (HN 0A-9) A Nap belsejének hőmérséklete kb K. (a) Határozzuk meg egy proton átlagos kinetikus energiáját a Nap belsejében! (b) Határozzuk meg a proton négyzetes középsebességét! Megoldás: 1.6. Feladat: (HN 0B-36) Órai kidolgozásra 4. feladat Milyen hőmérsékleten egyenlő az oxigén atomok négyzetes középsebessége a Föld felszínéről való szökési sebességgel? Megoldás: Adatok: A Föld sugara R F = 6370 km, tömege M F = kg; gravitációs állandó γ = 6, Nm /kg ; egyetmes gázállandó R = 8,31 J/(mol K); az oxigén móltömege M = december 8.

3 g/mol. A v sz szökési sebesség a v nks négyzetes középsebesség v sz = γmf R F, (1.6.1) 3RT v nks = M. (1.6.) A kettő egyenlőségéből a fenti adatokkal a kérdéses hőmérséklet T = 8064K. (1.6.3) 1.7. Feladat: mól, atomos gázzal állandó nyomáson 747,9 J hőt közlünk. A hőmérséklete 10 0 C-kal változik. Hány szabadsági fokú a gáz? Megoldás: Az állandó nyomásom vett mólhő és a szabadsági fokok száma közötti összefüggés c p = f + R. (1.7.1) A közölt hő és a hőmérséklet változás között fenn áll, hogy Q = c p n T, (1.7.) amelyből behelyettesítés után az állandó nyomáson vett mólhőre c p = 9 adódik. Innen egyszerűen leolvasható, hogy a szabadsági fokok száma f = 7. (1.7.3) Megjegyzés: A szoba hőmérsékletű kétatomos gázok állandó nyomáson vett mólhője c p = 7, a szabadsági fokok száma f = 5, amelyek a transzlációs és rotációs mozgásokhoz kapcsolódnak. Magas hőmérsékleten ( 000 K) azonban a rezgéshez tartozó újabb szabadsági fok jelenik meg. A mérést ezen a hőmérsékleten végezték! 1.8. Feladat: (HN 1B-1) Órai kidolgozásra 5. feladat Mutassuk meg, hogy egyatomos ideális gázra az izotermikus kompresszió-modulus (K = V d p/dv ) egyenlő a nyomással! Megoldás: Az ideális gáz állapotegyenlete ahonnan a nyomás A d p/dv differenciálhányadost kiszámolva pv = nrt, (1.8.1) p(v ) = nr V. (1.8.) d p dv = nr V, (1.8.3) az izoterm kompresszió-modulus felhasználva az állapotegyenlet alakját K = V d p dv = V nr = p. (1.8.4) V 014. december 8. 3

4 Körfolyamatok ideális gázzal 1.9. Feladat: (HN 1C-) Órai kidolgozásra 6. feladat Kezdeti p 1, V 1, állapotjelzőkkel jellemzett egyatomos ideális gázzal a következő, három lépésből álló körfolyamatot végezzük: izotermikus expanzió V térfogatig, izobár kompresszió az eredeti térfogatig és izochor melegítés a kezdeti nyomás és hőmérséklet visszaállítására. (a) Ábrázoljuk a körfolyamatot a p V síkon! (b) Határozzuk meg a gáz mólszámát a megadott paraméterekkel, a gázállandóval és c v -vel kifejezve. (c) Határozzuk meg a T hőmérsékletet az izobár kompresszió végén a b) feladat eredményét felhasználva! (d) Írjuk fel mindhárom folyamatra a hőmérséklet változását a megfelelő változók függvényében. Megoldás: (a) (ábra) (b) Az ideális gáz állapotegyenletéből és a mólhőre érvényes összefüggéssel az n mólszám (c) A fenti egyenletből a T hőmérséklet pv = nrt (1.9.1) c v = 3 R (1.9.) n = 3p 1V 1 c v = 3p V c v = 3p V 1 c v T. (1.9.3) T = V 1 V. (1.9.4) (d) Az első folyamatban T = 0; a másodikban T = T = ( V 1 V 1) ; míg a harmadikban T = T = (1 V 1 V ) Feladat: (HN 1C-6) Órai kidolgozásra 7. feladat Két mól egyatomos gázzal a 1. ábrán látható abca körfolyamatot végezzük. A p V síkon mindhárom folyamat ábrája egyenes. Az a pontban a paraméterek: p 0, V 0, T 0. Az alábbi feladatokat oldjuk meg RT 0 függvényében. (a) Határozzuk meg egy teljes ciklus alatt végzett munkát. (b) Határozzuk meg a b c folyamat során történő hőcserét! A rendszer által felvett vagy leadott hőmennyiségről van-e szó? (c) Mekkora a belső energia teljes megváltozása egy ciklus során? 014. december 8. 4

5 BME Fizikai Intézet 1. ábra. Megoldás: Az egyesített gáztörvény alkalmazásával az egyes pontokban az állapothatározók: a: (p0,v0, T0 ) b: (p0,v0, T0 ) c: (p0, V0, T0 ) (a) A körfolyamatban végzett munka W = (p0 p0 )(V0 V0 ) = p0v0 = nrt0. (1.10.1) (b) A b c folyamat kezdo és végállapotában a ho mérséklet egyaránt T, de etto l a folyamat maga nem izotermikus. Ugyanakkor a belso energia megváltozása zérus. A gáz által végzett munka (1.10.) Wb c = (p0 + p0 )(V0 V0 ) = p0v0 = nrt0, s ennek megfelelo en a felvett ho 3 Qb c = nrt0. (1.10.3) Megjegyzés: E folyamat további diszkusszióra érdemes! (c) A körfolyamat egy teljes ciklusában a belso energia megváltozása zérus Feladat: (HN A-5) Órai kidolgozásra 8. feladat Egy ho ero gép, amelynek a Carnothatásfoka 30%, a 400 K ho mérsékletu ho tartályból vesz fel ho t. Határozzuk meg a hidegebb ho tartály ho mérsékletét! Megoldás: A Carnot-körfolyamat hatásfoka η= T1 T, T1 (1.11.1) ahol T1 a felso, T az alsó ho tartály ho mérséklete. Innen T = (1 η)t1 = 80K december 8. (1.11.) 5

6 BME Fizikai Intézet 1.1. Feladat: (HN B-3) Egyatomos ideális gázzal a. ábrán látható, a b c d a körfolyamatot végezzük. (a) Határozzuk meg a gáz által végzett eredo munkát p0 és V0 segítségével! (b) Határozzuk meg a körfolyamat hatásfokát! Megoldás:. ábra Feladat: A 3. ábra 1 kmol héliumgázon végzett körfolyamatot mutat. A BC ív izotermát jelöl, pa = 105 Pa, VA =,4 m3, pb = 105 Pa. a, Határozzuk meg TA, TB és VC értékeit! b, Számítsuk ki a körfolyamatban az AB és BC folyamatban végzett munkát! p B A C V 3. ábra. Megoldás: a, Az ideális gáz állapotegyenletét pava = nrta 014. december 8. (1.13.1) 6

7 felhasználva az A-beli hőmérséklet T A = p AV A nr A B-beli hőmérsékletet Gay-Lussac II. törvénye segítségével határozhatjuk meg. Innen Mivel a B C folyamat izoterm, így A C-beli térfogatot pl. Gay-Lussac I. törvénye segítségével határozhatjuk meg. Innen = 69,6K. (1.13.) p A T A = p B T B (1.13.3) T B = T A p B p A = 539,K. (1.13.4) T C = T B = 539,K. (1.13.5) V A T A = V C T C (1.13.6) V C = V A T C T A = 44,8m 3. (1.13.7) b, Mivel az A B folyamatban nincs térfogatváltozás, így a végzett munka is zérus: A B C izoterm folyamatban a gáz által végzett munka W = VC V B p(v )dv = VC V B W A B = 0. (1.13.8) nrt B V dv = nrt Bln V C = 3, J. (1.13.9) V B Feladat: 1 m 3, 0 C 0 -os 10 5 Pa nyomású héliumot állandó nyomáson addig hűtenek, amíg térfogata 0,75 m 3 nem lesz. Mennyi hőt kell ehhez elvonni? Megoldás: Jelölések: V 1 = 1 m 3, = 0 C 0 = 73 K, p 1 = p = 10 5 Pa és V = 0,75 m 3. Mivel egyatomos gázról van szó, az állandó nyomáson vett mólhő c p = 5 R. A folyamat állandó nyomáson történik, így V 1 = V, (1.14.1) T amelyből a hűtés utáni hőmérséklet T = V V 1 = 04,75K. (1.14.) 014. december 8. 7

8 A elvont hő kiszámolásához tudni kell, hány mól hélium van rendszerben. Ez a összefüggésből tehető meg, azaz pv = nrt (1.14.3) n = p 1V 1 R = 44,08mol. (1.14.4) Ezzel a közölt hő Q = c p n(t ) = 5 Rn(T ) = 6500J. (1.14.5) Megjegyzés: A negatív előjel arra utal, hogy hőelvonás történik Feladat: Tekintsünk n = mólnyi egyatomos ideális gázt: p 1 = 10 5 Pa, = 73 K. A gázzal Q = 6806 J hőt közlünk, állandó térfogat mellett, majd izoterm módon tágulni engedjük úgy, hogy a végső térfogat háromszorosa legyen a kiindulási térfogatnak. (a) Ábrázolja a folyamatot állapotdiagramon! (b) Mennyi lesz a hőközlés utáni hőmérséklet? (c) Mekkora lesz a nyomás a folyamat végén? (d) Mekkora az entrópia-változás a két folyamatban? Megoldás: (a) Az állapotdiagram a 4. ábrán látható. p 1 3 V 4. ábra. (b) A közölt hő és a hőmérséklet változás közötti összefüggés ahol c v = 3 nr. Innen a hőközlés utáni hőmérséklet T = Q c v n = Q = c v n T, (1.15.1) Q = 73K. (1.15.) 3nR 014. december 8. 8

9 Így az állandó nyomású hőközlés utáni hőmérséklet T = 546K. (1.15.3) (c) Az állandó térfogaton végzett hőközlés során kialakuló p nyomás a összefüggésből p 1 = p T (1.15.4) p = T p 1 = 10 5 Pa. (1.15.5) A térfogatváltozás miatti nyomás figyelembe véve, hogy V 1 = V és V 3 = 3V 1 a Boyle-Mariotte törvény szerint a p V = p 3 V 3 (1.15.6) összefüggésből (d) Az izochor (1 ) folyamatbeli S 1 entrópiaváltozás a S 1 = T p 3 = V V 3 p = 0, Pa. (1.15.7) dq T T = c v ndt T = 3 nrlnt = 17,8J/K. (1.15.8) Az izoterm ( 3) folyamatban a gáz belsőenergia változása, a felvett hő a tágulási munkára fordítódik. Így a felvett hő Q = V V 1 p(v )dv = V V 1 nrt V dv = nrt ln V V 1 = 9969,4J. (1.15.9) Az izoterm S entrópiaváltozás S = Q T = 18,6J/K. ( ) Az össz entrópiaváltozás: 35,54 J/K Feladat: 8 g tömegű, 5 l térfogatú, 7 0 C hőmérsékletű N gázt (M = 8 g) adiabatikusan kiterjesztünk 50 liter térfogatra. Mennyi hőmennyiséget kell ezen a térfogaton a gázzal közölni, hogy hőmérséklete újra 7 0 C legyen? Megoldás: Jelölések: m = 8 g, V 1 = 5 l, = 7 0 C = 300 K és V = 50 l. Mivel kétatomos szoba hőmérsékletű gázról van szó, ezért a mólhők c p = 7R, c v = 5R, így κ = c p/c v = 7. Elsőként az 5 adiabatikus folyamat végi hőmérsékletet határozzuk meg a TV κ 1 = const. összefüggés alapján V κ 1 1 = T V κ 1. (1.16.1) 014. december 8. 9

10 Behelyettesítés után T = 119,43K. (1.16.) A 8 g nitrogén gáz n = 0,857 molnak felel meg, így az állandó térfogaton történő visszamelegítéshez szükséges hő Q = c v n T = 5 Rn( T ) = 1071,8J. (1.16.3) Hőátadás Feladat: A c 1 fajhőjű, m 1 tömegű, hőmérsékletű pohárba c fajhőjű, m tömegű, T hőmérsékletű sört öntünk. (c 1 = 670 J/kgK, = 37 0 C, m 1 = 0,3 kg, c = 4000 J/kgK, T = 8 0 C, m = 0,5 kg) (a) Mekkora lesz a közös hőmérséklet? (b) Mennyi az átadott hő? (c) Mekkora a hőáram, ha t = 5 s alatt áll be az egyensúly? (d) Mekkora a teljes entrópia változás? Megoldás: (a) Az energiamegmaradás kifejezhető úgy, hogy a belső energiákat a T 0 = 0 0 C-hoz viszonyítjuk: c 1 m 1 + c m T = (c 1 m 1 + c m )T, (1.17.1) ahol T a közös hőmérséklet. Innen T = c 1m 1 + c m T c 1 m 1 + c m = 10,64 0 C = 83,64K. (1.17.) (b) Az átadott hő nagysága Q = c 1 m 1 ( T ) = 598J. (1.17.3) (c) A hőáram I = Q t = 1059,6W. (1.17.4) (d) A teljes entrópiaváltozás S = T dt T c 1 m 1 T + dt c m T T = c 1m 1 ln T + c m ln T (1.17.5) T = ( 17, ,70)J/K = 0,84J/K. (1.17.6) Emlékeztető: A hőmérsékletet kelvinben kell behelyettesíteni december 8. 10

11 1.18. Feladat: m = 1 kg tömegű, = 73 K hőmérsékletű vizet T = 300 K hőmérsékletű végtelen hőkapacitású hőtartállyal hozunk kapcsolatba. (A víz fajhője: 4,18 kj/kg.) Mennyi a rendszer teljes entrópiájának megváltozása? Megoldás: A víz és a hőtartály által cserélt hő nagysága Q = T c v mdt = c v m(t ), (1.18.1) amely pozitív a vízre, negatív a hőtartályra nézve. A víz S 1 entrópiaváltozása figyelembe véve, hogy a hőfelvétel a víz esetén nem állandó hőmérsékleten történik S 1 = T c v m dt T = c vmln T = 394,J/K. (1.18.) A hőtartály végtelen hőkapacitású, ami azt jelenti, hogy T hőmérséklete nem változik, azaz a hőtártály S entrópiaváltozása egyszerűen Azaz az össz entrópiaváltozás: 18 J/K. S = Q T = 376,J/K. (1.18.3) Feladat: (HN 3B-9) Igazoljuk, hogy n mól ideális gáz V 0 kezdeti térfogatról V 0 végső térfogatra való izobár tágulásakor a gáz entrópiaváltozása nr[κ/(κ 1)] ln! Megoldás: A folyamat során felvett elemi hő így az entrópiaváltozás S = dq T = dq = nc p dt, (1.19.1) T nc p dt T = nc pln T, (1.19.) ahol a kezdeti, T a végső hőmérséklet. Felhasználva Gay-Lussac I. törvényét T = V V k, (1.19.3) ahol most V 1 = V 0 a kezdeti, V = V 0 a végső térfogat, az entrópiaváltozás Most már csak az kell belátni, hogy Így az állítást igazoltuk. S = nc p ln V V 1 = nc p ln. (1.19.4) κ κ 1 R = c p c v c p c v 1 R = c p. (1.19.5) 014. december 8. 11

12 1.0. Feladat: (HN 3C-17) Igazoljuk, hogy az egyatomos ideális gáz izochor állapotváltozása során az entrópiaváltozás 3/ nr ln (p v /p k ), ahol p k a kezdeti, p v a végső nyomás! Megoldás: Mivel egyatomos gázról van szó, az állandó térfogaton vett mólhő c v = 3 R. (1.0.1) A folyamat során felvett elemi hő dq = nc v dt, (1.0.) így az entrópiaváltozás S = dq Tv T = 3 T k nrdt T = 3 nrlnt v, (1.0.3) T k ahol T k a kezdeti, T v a végső hőmérséklet. Felhasználva Gay-Lussac II. törvényét T v T k = p v p k, (1.0.4) az entrópiaváltozás S = 3 nrln p v p k. (1.0.5) 014. december 8. 1