Ismertető A Solver telepítése, illetve indítása A Solver célcella módosuló cellák A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek.

Átírás

1 Ismertető A középiskolában sokféle egyenlet megoldásával megismerkednek a diákok. A matematikaórán azonban csak korlátozott típusú egyenletek fordulnak elő. Nem is cél az egyenletmegoldás általános tárgyalása, nem szólva az explicit módon nem megoldható, magasabb fokú vagy transzcendens egyenletekről. A továbbiakban megtanuljuk használni a Solvert, az Excel egyenletmegoldó (illetve annál sokkal általánosabb célú) eszközét. Nem foglalkozunk az egyenlet megoldásának módjával. A gyökök értékére vagyunk kíváncsiak, hasonlóan ahhoz, mint amikor számológéppel meghatározzuk egy szám négyzetgyökét. Az Excel Célértékkeresője is lehetővé teszi bizonyos egyenletek megoldását. De a Solver inkább általános problémák megoldására használható. Ehez a témakörhöz kapcsolódóan érdemes betekintenünk még az Ms-Office Samples\Solvsapm.xls file-jába, ami az Excel telepítésekor kerül a háttértárra. A Solver telepítése, illetve indítása A Solver az Excel bővítményei közé tartozik. Első felhasználása előtt fel kell vennünk a menübe a bővítménykezelő segítségével (Eszközök/Bővítménykezelő). Jelöljük be a Solver bővítmény használatát, majd kattintsunk az OK gombra. Az Office telepítésétől függően esetenként szükség lehet a telepítő CD-re. Ezek után a Solver megjelenik az Eszközök menüben, ahonnan el tudjuk indítani. A Solver A Solver egy úgynevezett mi lenne ha típusú elemzőeszköz. Segítségével megkereshetjük a közvetlenül vagy közvetve - cellákban szereplő képletekkel - megadott korlátozó feltételeknek megfelelő értéket. A keresett értéket az úgynevezett célcella tartalmazza. A feltételekben szereplő cellákat módosuló celláknak nevezzük. A feltételek általában a módosuló cellákra hivatkozó képletek. A Solver úgy változtatja a módosuló cellák értékét, hogy a célcellában meghatározott érték legyen a végeredmény. Például: Az ax + b = c egyenlet megoldásánál az x-et tartalmazó cella a módosuló cella, a megoldás keresésénél a Solver ennek az értékét fogja módosítani. A célcella tartalmazza a c értékét, korlátozó feltételünk pedig az, hogy az ax + b értéke legyen egyenlő a c értékével. A Solver nem csak egyenletek, egyenletrendszerek megoldására alkalmas. Nagyon széles körű problémák vizsgálata lehetséges a segítségével. A továbbiakban az alkalmazási lehetőségek közül láthatunk néhány példát az Ms-Excel 00 felhasználásával.

2 x 1 : Az egyenlet: x -x+= Egyismeretlenes, másodfokú egyenletek A megoldás menete 1., Válasszuk ki a módosuló cellát. (áttekinthetőbb szerkezetet kapunk, ha ezt a cellát elnevezzük x-nek, vagy az ismeretlennek megfelelő más betűvel jelöljük)., Redukáljuk 0-ra az egyenletet. (az egyenlet nullára redukálása nem szükséges feltétele a Solver alkalmazásának, ha az egyik oldalon egy konstans áll akkor ezt is beírhatjuk a paraméterek ablak Érték szövegdobozába)., Írjuk be egy cellába képletként az egyenlet bal oldalát, ez lesz a célcella.., Indítsuk el a Solvert.., Adjuk meg az egyenlet bal oldalát tartalmazó célcellát.., Jelöljük be az Érték választógombot, és adjuk meg értékként a 0-t.., Módosuló cellaként adjuk meg az ismeretlenhez kijelölt cellát.., Kattintsunk a Megoldás gombra. A fenti eljárás alkalmazásánál nincs szükség külön korlátozó feltételek előírására. A Solver meghatározza a (közelítő) megoldást, amit a módosuló cellában láthatunk. A célcella mutatja a megoldás pontosságát. Oldjuk meg a Solverrel az f(x)=x x = másodfokú egyenletet! A nullára redukált alak: x x + = 0. -,E-0 x : -E-0 A további gyökök meghatározása: A Solver egyetlen megoldást határoz meg. További megoldásokhoz a módosuló cella kezdőértékének a megadásával juthatunk. Kezdőértéknek célszerű egy a keresett gyökhöz közel eső számot beírni. A kezdőértéket például úgy határozhatjuk meg, hogy grafikonon ábrázoljuk a nullára redukált egyenletet, majd az ábrázolt tartomány megfelelő finomításával megközelítőleg leolvassuk a függvény zérushelyét. Írjunk például az előző feladatban a F cellába a másik gyökhöz közel eső,-öt, és indítsuk el így a Solvert. Megkapjuk a másik gyök közelítő értékét is.

3 Feladatok: Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a Solver segítségével! Határozzuk meg az összes megoldást! 1., x x =., x x =., x + 1 = x., x + 1/x =., x + x = x/ +

4 x max : 0,000 f(x max ): 0,0 x: f(x): -0, -0, -0, -0,0-0, -0, -0, -0,000-0,1-0,00 0,0 0,0000 0,1 0,00 0, 0,00 0, 0,0 0, 0,0 0, 0,1 0, 0,0 0, 0,1 0, 0,0000 0, -0, 1,0-1,0000 1,1-1, 1, -,0 1, -, Függvény szélsőértékének meghatározása A megoldás menete 1., Vegyük fel az adatokat a függvény ábrázolásához az értelmezési tartományban.., Ábrázoljuk a függvényt.., Olvassuk le a grafikonról a szélsőérték közelítő értékét, ezt adjuk meg módosuló cellaként (x max ). (A szélsőértékek meghatározásánál fontos, hogy a grafikonról leolvasott közelítő értékből induljunk ki. A szélsőértékhelyek közelében ugyanis a függvényértékek csak kismértékben változnak, így a számítási pontosság alapján stacionárius helyekként viselkednek. A Solver tehát a szélsőérték meghatározásakor stacionárius helyeket keres.)., Indítsuk el a Solvert.., Adjuk meg a függvényt tartalmazó célcellát.., Jelöljük be a Max választógombot.., Módosuló cellaként adjuk meg az x max celáját.., Kattintsunk a Megoldás gombra. A fenti eljárás alkalmazásánál nincs szükség külön korlátozó feltételek előírására. A Solver meghatározza a szélsőérték-helyet (x max ), a függvény szélsőértékét pedig a függvényt tartalmazó cella mutatja. Adjuk meg Solverrel az f(x)=x -x függvény szélsőértékét! -,0 -,0 -,0 -,0 -,0 f(x)=x -x 1,0 0,0-1,0-0, 0,0 0, 1,0 1, -1,0

5 Feladatok: Határozzuk meg a következő függvények minimum- illetve maximumhelyeit! 1., f(x) = x x., g(x) = x x +., h(x) = x + 1/x., i(x) = x/(x+1)., j(x) = x/(x+)

6 x y z -1 1 Lineáris egyenletrendszer megoldása A Solvernek csak egy célcellát jelölhetünk ki, ezért az egyenletrendszerek megoldása során korlátozó feltételekkel adjuk meg az egyenleteket. A megoldás menete 1., Válasszuk ki azokat a cellákat, ahol az ismeretlenek értékét fogjuk megkapni (módosuló cellák).., Alakítsuk át az egyenleteket úgy, hogy a jobb oldalon csak egy konstans legyen.., Írjuk be a változók együtthatóit, a mellettük lévő cellákba a jobb oldalon álló konstanst, majd írjuk be a kiválasztott cellákba képletként az egyenletek bal oldalát.., Indítsuk el a Solvert.., Hagyjuk mindenképpen üresen a célcella szövegdobozát.., Módosuló cellaként adjuk meg az ismeretlenhez kijelölt cellatartományt.., Korlátozó feltételként adjuk meg, hogy az egyenleteket tartalmazó cellatartomány legyen egyenlő a jobb oldali konstansokat tartalmazó cellatartománnyal. (A Max, Min, Érték választógombok kiválasztása nincs hatással a megoldásra. A paraméterek megadása akkor válik egyszerűbbé, ha szisztematikusan helyezzük el az egyenleteket a cellákban. Az egyenletek beírása előtt pedig célszerű táblázatosan elrendezni az ismeretlenek együtthatóit, mert így az első egyenletből a képlet egyszerű másolásával kapjuk meg a többit.)., Kattintsunk a Megoldás gombra. Oldjuk meg a Solverrel a következő egyenletrendszert: x y + z -= 0; x + y + z -1= 0; x + y z -= 0! x y z konstans egyenletek

7 A megoldást az A:C cellatartományban olvashatjuk le. Ha a Solverben bejelöljük a lineáris modellt, akkor pontos megoldást kapunk (Beállítás). Sokismeretlenes egyenletrendszer esetén nem "éri meg" elnevezni a módosuló cellákat. Feladatok: Oldjuk meg a Solverrel a következő egyenletrendszereket: 1., x-y+z=-1; x+y+z=; x+y-z=-1;., x+y+z=1; x+y+z=; x+1y+z=;., (x+y)=-(x+); (x+1)=(z+1); (y-1)/(z-1)=1/;

8 A B C D E F G Nem lineáris egyenletrendszer megoldása A nem lineáris egyenletrendszerek megoldása a lineárishoz egyenletrendszerekhez hasonló módon történik. Általában több megoldást is kereshetünk. A kezdőértékektől (a módosuló celláktól) függ, hogy a Solver melyik megoldást találja meg. Az egy ismeretlenes egyenletekkel ellentétben nem tudjun a megoldáshoz közeli kezdőértéket megbecsülni. A megoldás menete: 1., Válasszuk ki azokat a cellákat, ahol az ismeretlenek értékét fogjuk megkapni (módosuló cellák)!., Írjuk be a kiválasztott cellákba képletként az egyenletek bal oldalát (az egyenletek eltérő szerkezetűek lehetnek, az együtthatókat nincs értelme külön cellákba beírni), majd mellé az egyenletek jobb oldalát!., Indítsuk el a Solvert!., Hagyjuk mindenképpen üresen a célcella szövegdobozát.., Módosuló cellaként adjuk meg az ismeretlenhez kijelölt cellatartományt.., Korlátozó feltételként adjuk meg, hogy az egyenleteket tartalmazó cellatartomány legyen egyenlő a jobb oldali konstansokat tartalmazó cellatartománnyal.., Kattintsunk a Megoldás gombra. (A megtalált megoldást a módusuló cellákban láthatjuk. További megoldásokat újabb korlátozó feltételek alkalmazásával kaphatunk. Kereshetünk például olyan megoldást, amelynél az x > 1. A korlátozó feltételek között nem szerepel a nagyobb reláció, ezért válasszunk egy 1-nél kicsivel nagyobb számot, és az x 1,1 feltételt írjunk elő. Így újabb megoldást találhatunk. A feltételek között előírhatjuk például, hogy mindkét megoldás nagyobb vagy egyenlő, illetve mindkettő kisebb vagy egyenlő legyen, mint 0. Ha a Solver leáll, mert nem talált megoldást, akkor változatlanul hagyva a módosuló cellákba írt értékeket, újra elindíthatjuk. Így további megoldásokat kereshetünk.) Oldjuk meg a Solver-rel a következő nem lineáris egyenletrendszert: x + xy - y = 1; x y - xy = -! x y 1-1, az egyenletek bal oldalai: az egyenletek jobb oldalai: 1 1 -, -

9 0 1 Feladatok: A B C D E F G Oldjuk meg a Solverrel a következő nem lineáris egyenletrendszereket: 1., xy + y = ; x + y = 1;., x + y = 1; x + y = ;., x + y x + y = 0; x + y + x y = 0!

10 K L Bűvos négyzetek készítése, megoldása A lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerét felhasználhatjuk bűvös négyzetek készítésére is. A megoldás menete: 1., Írjuk be a bűvös négyzet megadott adatait!., Indítsuk el a Solvert!., Hagyjuk mindenképpen üresen a célcella szövegdobozát.., Módosuló cellaként adjuk meg a bűvös négyzet üres celláit!., Korlátozó feltételként adjuk meg, hogy a sor-, oszlop- és átlóösszegek legyenek egyenlők a második sorban álló számok összegével!., Kattintsunk a Megoldás gombra! Készítsük el az alábbi példa alapján a bűvös négyzetet! Feladatok: Oldjuk meg a Solverrel a következő bűvös négyzetet! 1 1 1

11 I. II. max x y szendvics 0 vaj 1 0 szalámi 1 0 egyenletek: vaj 0 szalámi 0 Összes szendvics: 0 Kétváltozós lineáris programozási feladat Egy példán keresztül mutatom be a feladattípust és a Solver felhasználását a megoldásban. A feladatokat grafikusan is megoldhatjuk, de tudjuk, hogy grafikusan csak a kétváltozós lineáris programozási feladatok oldhatók meg. A Solver természetesen több változó esetén is alkalmazható (szimplex-módszer). Kétféle szendvicset készítünk az osztálybulira. Az első típushoz felhasználunk 1 dkg vajat és szelet szalámit. A másodikra típusra dkg vajat és egy szelet szalámit teszünk. Összesen 0 dkg vajat és 0 szelet szalámit használhatunk fel. Hány darab szendvicset készítsünk az egyes típusokból, hogy a lehető legtöbb darab szendvics készüljön el? Foglaljuk táblázatba, képletbe a feladat szövegét! 1., I. II. max. szendvics (darab) x y vaj (dkg) 1 0 szalámi (szelet) 1 0., Jelöljük x-szel az I. típusú, y-nal a II. típusú szendvicsek számát. A korlátozó feltételek (max): vaj (dkg): 1 x + y 0; szalámi (szelet): x + 1 y 0.., Számunkra természetes, de a Solvernek elő kell írnunk a következő feltételeket is (pozitív értékek): x 0 és y 0.., Összesen (x + y) szendvicset készítünk, tehát keressük ennek a kifejezésnek a maximumát a fenti korlátozó feltételek mellett. A megoldás menete: 1., Adjuk meg a táblázatos adatokat! (nevezzük el az x és y értékeket tartalmazó cellákat, ezek lesznek a módosuló cellák)., Indítsuk el a Solvert!., A célcellába írjuk be az = x + y képletet tartalmazó cellahivatkozást!., Módosuló cellaként adjuk meg az x és y értékeket tartalmazó cellákat!., Vegyük fel a korlátozó feltételeket, és jelöljük be a Max választógombot. A feltételek bal oldalán álló kifejezéseket célszerű cellákba írni. Szisztematikus elrendezéssel elérhetjük, hogy elegendő legyen egyszer begépelni, majd másolni. Ne felejtsük el kikötni, hogy a változók nem lehetnek negatívak!., Kattintsunk a Megoldás gombra!

12 A Solver meghatározza, hogy az I. szendvics típusból 0 db, a másik szendvics típusból pedig db szendvicset kell (tudunk, célszerű) készíteni. Így éppen felhasználunk minden nyersanyagot. Nem biztos, hogy az ilyen típusú feladatokra egész megoldást kapunk. A Solverben nem lehet beállítani, hogy csak egész megoldást keressen, mert ez az egyik legnehezebb matematikai probléma. Feladatok: Oldjuk meg a Solverrel a következő lineáris programozási feladatokat: 1., Egy háziállatnak négyféle tápanyagot kell kapnia. Az etetéshez kétféle takarmányt használhatunk fel. A takarmányok tápanyagtartalmát és a napi szükségleteket az alábbi táblázat tartalmazza. Határozzuk meg a leggazdaságosabb takarmánykeverék összetételét! 1. típusú takarmány (x kg). típusú takarmány (y kg) Előírt mennyiség I. tápanyag (kg): 0,1 0 0, II. tápanyag (kg): 0 0, 0, III. tápanyag (kg): 0,1 0, 1 IV. tápanyag (kg): 0, 0,, Egységár(Ft/kg): 0 0., Egy asztalosműhelyben szekrényt és könyvespolcot készítenek. Egy szekrény elkészítéséhez m cseresznyefára és m tölgyfára van szükség. A könyvespolchoz m cseresznye-, illetve m tölgyfát használnak fel. A szekrényen darabonként 000 Ft, a könyvespolcon pedig 000 Ft a nyereség. A raktárban mindkét fajtából 10 m deszkalap található. Hány szekrényt, illetve könyvespolcot készítsünk a raktárkészletből, hogy a legnagyobb legyen a nyereség?., Keressük meg a x + y kifejezés minimumát az alábbi feltételek mellett: x + y ; x + y ; x y ; x, y 0!., Keressük meg az x + y + z kifejezés maximumát az alábbi feltételek mellett: x + y + z ; x + y + z ; x, y, z 0!., Keressük meg az x maximumát az alábbi feltételek mellett: x + y 0; y + z 0; x + z 0; x, y, z 0!

13 A B C D E F G H I I. és II. könyv I. és III. könyv II. és III. könyv x y z diákok: max. db I. könyv: II. könyv: III. könyv: egyenletek: I. könyv: II. könyv: III. könyv: maximum: 1 Kombinatorikaifeladat Egy példán keresztül mutatom be a feladattípust és a Solver felhasználását a megoldásban. A diákokat év végén könyvjutalomban részesítjük. Egy diák két különböző könyvet kap ajándékba. Összesen háromféle könyv áll a rendelkezésünkre. Az első típusból db, a másodikból db, a harmadikból pedig db könyvünk van. Hogyan osszuk szét a könyveket, hogy a lehető legtöbb diák kapjon könyvjutalmat? Foglaljuk táblázatba, képletbe a feladat szövegét! 1., I. és II. könyv I. és III. könyv II. és III. könyv diákok száma (db) x y z max. könyv darabszám I. könyv (db) II. könyv (db) III. könyv (db) , Jelöljük x-szel az I. és II. típusú, y-nal a I. és III. típusú, z-vel a II. és III. típusú könyveket kapó diákok számát. A korlátozó feltételek (max): I. és II. könyv (db): 1 x + 1 y + 0 z ; I. és III. könyv (db): 1 x + 0 y + 1 z ; II. és III. könyv (db): 0 x + 1 y + 1 z ;., Számunkra természetes, de a Solvernek elő kell írnunk a következő feltételeket is (pozitív értékek): x 0 és y 0 és z 0.., Összesen (x + y+z) diáknak adhatunk könyvet, tehát keressük ennek a kifejezésnek a maximumát a fenti korlátozó feltételek mellett. A megoldás menete: 1., Adjuk meg a táblázatos adatokat! (nevezzük el az x, y és z értékeket tartalmazó cellákat, ezek lesznek a módosuló cellák)., Indítsuk el a Solvert!., A célcellába írjuk be az = x + y+z képletet tartalmazó cellahivatkozást!., Módosuló cellaként adjuk meg az x, y és z értékeket tartalmazó cellákat!., Vegyük fel a korlátozó feltételeket, és jelöljük be a Max választógombot. A feltételek bal oldalán álló kifejezéseket célszerű cellákba írni. Szisztematikus elrendezéssel elérhetjük, hogy elegendő legyen egyszer begépelni, majd másolni. Ne felejtsük el kikötni, hogy a változók nem lehetnek negatívak!., Kattintsunk a Megoldás gombra!