1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat"

Átírás

1 1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat Dr. Kallós Gábor

2 Tartalom Matematikai alapfogalmak Halmazok Relációk Függvények Homomorfizmusok Számosságok, végtelenek Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szavak, nyelvek Műveletek szavakkal és nyelvekkel Szintaktikai vizsgálat Kifejezés Köznapi nyelv Programozási nyelv Nyelvek megadásának lehetőségei 2

3 Matematikai alapfogalmak Halmazelmélet Halmaz és halmazhoz való hozzátartozás: nem definiált alapfogalom Tudjuk: a B és a B közül csak pontosan az egyik teljesül Halmaz megadási módja Kapcsos zárójelben felsoroljuk az elemeit Megadjuk az elemeket jellemző tulajdonságo(ka)t (a módszer alkalmazhatóságát a részhalmaz axióma garantálja) { h a h elem T tulajdonságú } Példa: { x R 0 < x < 1} A halmazelmélet (pontos matematikai) felépítése: axiómák, definíciók, állítások, tételek Meghatározottsági axióma Legyenek A és B halmazok. A akkor és csak akkor egyenlő B-vel, ha minden x A esetén x B, és minden y B esetén y A. Azaz: elemeik azonosak Definíció Legyenek A és B halmazok. A része B-nek, ha minden x A-ra x B is teljesül (jelölés: A B). Tétel (halmazok egyenlősége): A = B, ha A B és B A Üres halmaz axióma Létezik olyan halmaz, amelynek nincs eleme. Ez az üres halmaz, jelölése. Állítás: Pontosan egy ilyen halmaz létezik 3

4 Matematikai alapfogalmak Halmazelmélet (folyt.) Definíciók (Legyenek A és B halmazok) Unió, metszet, különbséghalmaz értelmezése (tudjuk) Jelölések: A B, A B, A \ B Az unió axiómából Disztributivitási tulajdonság, de Morgan azonosságok, egyéb összefüggések (igazolhatók) A és B diszjunkt, ha nincs közös elemük Komplementer halmaz (H alaphalmazra vonatkozóan) H \ A, Jelölés: A Hatványhalmaz axióma Legyen A halmaz. Létezik olyan halmaz, amely tartalmazza A minden egyes részhalmazát. Ezt a halmazt A hatványhalmazának nevezzük, P(A)-val jelöljük Állítás: P(A) elemszáma 2 A (ez indukcióval igazolható) Definíció: Legyenek A és B halmazok. A és B direkt (vagy Descartes-féle) szorzata az összes olyan rendezett (x, y) számpárból álló halmaz, amelyeknél x A és y B. A direkt szorzat jele:. A B = {(x, y) x A és y B} (Rendezett pár definíció) Általánosítható n darab halmazra Feladat: Soroljuk fel A B elemeit, ahol A = {1, 2} és B = {3, 4, 5} 4

5 Matematikai alapfogalmak Relációk Definíció: Legyenek M 1, M 2,, M n tetszőleges halmazok. Egy ρ M 1 M 2 M n halmazt relációnak nevezünk (rendezett szám n-es) Megj.: Az üres halmaz is reláció (mert nincs olyan eleme, ami nem rendezett szám n-es) Ha n = 2, akkor ρ-t bináris relációnak nevezzük Elemei rendezett párok, jelölés: a, b vagy (a, b) Itt már beszélhetünk értelmezési tartományról és értékkészletről (M 1, ill. M 2 ) Legyen a A és b B egy ρ A B bináris reláció esetén. Ha ekkor a, b ρ teljesül, akkor azt mondjuk, hogy aρrelációban van b-vel. Jelölések: ρ(a, b), vagy ρ a, b, vagy aρb. Definíció: Legyenek ρ A B 1 és σ B 2 C bináris relációk. Két bináris reláció kompozíciójának (szorzatának) nevezzük azt a ρ σrelációt, ahol ρ σ A C, és ρ σ= { a, c b B 1 B 2 úgy, hogy a, b ρés b, c σ}. A kompozícióképzés nem kommutatív művelet Feladat: Legyen ρ = { n, n + 1 n N} és σ = { n, 3n n N}. Adjuk meg a ρ σés σ ρ relációkat! Egy ρ M M reláció k-adik (k 0) hatványát a következő módon értelmezzük: ρ 0 = { (a, a) a M}; ρ k + 1 = ρ k ρ, ha k 1 Nyilván ρ 1 = ρ 5

6 Matematikai alapfogalmak Relációk (folyt.) Definíciók Egy ρ M M reláció tranzitív lezártja + 2 ρ = ρ U ρ 3 U ρ U... = Egy ρ M M reláció reflexív, tranzitív lezártjaρ* = ρ 0 ρ + ρ + mindig tranzitív, és ez a legszűkebb olyan reláció, amely tranzitív, és tartalmazza ρ-t ρ* reflexív és tranzitív, és a legszűkebb az ilyen tulajdonságúρ-t tartalmazó relációk közül Definíció: Egy ρ M M (homogén) bináris reláció reflexív, ha minden x M-re fennáll xρx; szimmetrikus, ha minden x, y M-re xρy yρx; antiszimmetrikus, ha minden x, y M-re xρyés yρx x=y; tranzitív, ha minden x, y, z M-re xρyés yρz xρz (Megj.: A homogén reláció meghatározása az, hogy értékkészlete része az értelmezési tartományának, de sokszor úgy használják, hogy a két halmaz megegyezik) Speciális relációk Definíció: A ρ (homogén) bináris reláció ekvivalencia-reláció, ha reflexív, szimm. és tranzitív Ekvivalencia-reláció példák: egyenesek párhuzamossága, szakaszok egybevágósága, számhalmazok egyenlősége Igazolható, hogy minden ekv.-reláció M-et páronként diszjunkt, nem üres részhalmazokra bontja fel (ekvivalencia-osztályok), és a részhalmazokból reprezentáns elem választható (Egy A halmazrendszer az A halmaz osztályfelbontása, ha A elemeinek uniója A-t adja, és tetszőleges két A-beli elemre teljesül, hogy ha nem diszjunktak, akkor megegyeznek) Reprezentáns példák: egyenesek párhuzamossága irány fogalom; szakaszok egybevágósága hosszúság fogalom U k= 1 k ρ 6

7 Matematikai alapfogalmak Speciális relációk (folyt.) Definíció: A ρ (homogén) bináris reláció rendezési reláció, ha reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív Ekkor (M, ρ)-t rendezett halmaznak nevezzük olyan (rendezett) pár, amelynek első komponense egy nem üres halmaz, második komponense pedig egy, a halmazon értelmezett rendezési reláció Rendezett halmaz példák: (N, ), és hasonlóan (Z, ), (Q, ), (R, ); (P(H), ) ahol H tetszőleges halmaz, részhalmaz tulajdonsággal; (N, ), (Z, ) itt az oszthatóság De: (N, <) és (Z, <) nem rendezett halmaz, mert < nem reflexív! Definíció: Egy f reláció függvény, ha minden x, y és x, z f esetén y = z Azaz: nincs két olyan eleme, hogy az első komp.ek megegyeznek, a másodikak pedig kül.ők Jelölések függvény esetén: f(a, b) vagy a f b helyett b = f(a) Függvényekkel kapcsolatos fontos fogalmak (itt eml., összefoglaló módon, részl. nélkül) Értelmezési tartomány (D f ), értékkészlet (R f ), leképezés, helyettesítési érték (x-hez hozzárendelt elem) Függvényképző eljárások: függvény leszűkítése, függvények kompozíciója, függvény invertálása (invertálható kell, hogy legyen a függvény) Képhalmaz, X D f halmaz képe, Y R f halmaz ősképe Legyen f: A B. Azt mondjuk, hogy f az A-t B-be leképező injekció, ha f invertálható; f az A-t B-re leképező szuperjekció (szürjekció), ha R f = B; f az A és B közti bijekció, ha injekció és szuperjekció is 7

8 Matematikai alapfogalmak Definíció: Az (A, F) párt algebrának nevezzük, ahol A nem üres halmaz, F pedig az A-n értelmezett műveletek halmaza Példák algebrákra: (N, +), (N, {+, }) Definíció: Legyen (A, ) és (B, ) két algebra. Egy h: A B leképezést homomorfizmusnak nevezünk, ha injektív (monomorfizmus), azaz az értelmezési tartomány minden eleméhez az értékkészletnek pontosan egy eleme van hozzárendelve; és művelettartó, azaz minden a, b A esetén érvényes, hogy h(a b) = h(a) h(b). Ekkor A-t és h(a)-t homomorf(ak)nak nevezzük. A homomorfizmusok különös jelentősége az, hogy a definíciós halmaz struktúrájának típusát a képhalmazra viszik át (pl. csoportok) Egyes speciális struktúrák közötti homomorfizmusok (az algebrákon túl): csoportok, gyűrűk, vektorterek (köztük lineáris leképezések), rendezett halmazok Ha a h: A B függvény kölcsönösen egyértelmű (bijektív), és inverze is homomorfizmus, akkor izomorfizmusról beszélünk Az izomorf struktúrák algebrai nézőpont szerint megegyeznek Egyéb további speciális homomorfizmusok: Ha a leképezés szürjektív (epimorfizmus), illetve ha a leképzésnél B A (endomorfizmus) (Homomorf és izomorf struktúrákkal részletesen foglalkozunk még a számtud. slide-okon is) Félcsoport, monoid, csoport definíciója (számtud. slide-ok) 8

9 Matematikai alapfogalmak Példa: az AI B = AU B de Morgan azonosság szemléltetése nyelvi környezetben Alaphalmaz: összes szó valamely ábécé felett, V* (lásd később) Legyen A a páros hosszú szavak halmaza, B a hárommal osztható hosszú szavak halmaza Ábra: A B, ill. A és B komplementerei, majd ezek uniója, 9

10 Matematikai alapfogalmak Számosságok, végtelenek Definíció: Ha két halmaz között létesíthető bijekció, akkor a két halmazt mennyiségileg egybevágónak (ekvivalensnek) nevezzük Ez a viszony is reflexív, szimmetrikus és tranzitív, jelölés (lehet): x Számosság: Minden halmazhoz egyértelműen hozzárendelünk egy mérőszámot (elemek száma), oly módon, hogy a mennyiségileg egybevágó halmazok számossága ugyanaz, a nem egybevágóaké pedig különböző legyen Az üres halmaz számossága 0 Legyen n = {0, 1, 2,, n 1}. Ekkor n számossága n. Jelölés: n(n) = n vagy #n = n Definíció: Egy H halmaz véges, és számossága n, ha van olyan n N, amelyre n x H Ha n m, akkor n és m mennyiségileg nem egybevágók Ha egy H halmaz mennyiségileg egybevágó N-nel, akkor H-t megszámlálhatóan végtelen számosságúnak mondjuk Jelölés: n(n) = a 0 Igazolható, hogy P(N) és R is végtelen halmaz, de mennyiségileg nem egybevágó N-nel. Az R-rel mennyiségileg egybevágó halmazok kontinuum (nem megszáml. végtelen) számosságúak. Feladatok Igazoljuk, hogy a természetes számok halmaza és a nemnegatív, páros számok halmaza mennyiségileg egybevágó! Lehet-e egybevágónés a négyzetszámok halmaza? Igazoljuk, hogy a valós számok [1, ) részhalmaza és a [0, 1) intervallum között létesíthető bijekció! *Mutassuk meg, hogy a [0, 1)-beli valós törtszámok halmaza nem felsorolható (nem megszámlálhatóak)! *El tudunk képzelni n(r)-nél nagyobb számosságot? Hol jöhet ez elő? 10

11 Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szó Definíciók Ábécé: szimbólumok tetszőleges, nem üres, véges halmaza; jelölés: V (vagy Ʃ) A szimbólumokról (külön def. nélkül) feltesszük, hogy megkülönböztethetők és különböznek egymástól (Betűcsoport is választható szimbólumnak) Szó (mondat): V elemeiből képzett sorozat, azaz a 1 a k, ahol k 0, és a 1,, a k V Üresszó (null szó): k = 0 eset, jele λ (néha ε) Összes szó halmaza V felett (benne az üres szó is); jelölés: V* Ha az üresszót nem engedjük meg: V + = V* {λ} (Megj.: Nem üres V halmaz esetén V* megszámlálhatóan végtelen) Szó hossza (V felett): szimbólumok száma benne, jelölés: w (w szóra) Rekurzív definíció is lehetséges Itt λ = 0 Példa Legyen Ʃ = {a, b} Néhány szóʃfelett: a, b, ab, bb, baa, aba, abba, baba, Hány szót tudunk felsorolni? Hány véges szót tudunk felsorolni? Szavak hossza Ʃ felett: a = 1, ab = 2, Ʃ* = {λ, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, aba, } Milyen rendezést célszerű itt alkalmazni? Hány darab n hosszú szót tudunk megadni? Feladat: Adjunk meg értelmes szavakat V = {if, then, else, a, b, c} felett 11

12 Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szó (folyt.) Példa: egy ábécé feletti összes szót kiíró program Elemzés Mikor áll le a program? (Mit is jelent a megszámlálhatóan végtelen?) Igaz-e, hogy bármely rögzített hosszú szó (pl. w = 1000) előbb-utóbb kiírásra kerül? Tudunk mondani olyan szót az ábécé felett amelyet nem ír ki a program? Milyen stratégiával lehetne kiíratni az i hosszú szavakat? Feladatok Tervezzünk algoritmust (készítsünk programot), ami kiírja adott ábécé felett az összes páros hosszú szót! az összes hárommal nem osztható hosszú szót! 12

13 Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szó (folyt.) Definíció Szavak egyenlősége: csak ha betűről-betűre megegyeznek, azaz valamely V*-beli p = a 1 a m és q = b 1 b n szavakat pontosan akkor tekintünk egyenlőknek, ha m = n és i = 1,, n-re a i = b i Tréfás példa Legyen V = {1, 2, +}. Ekkor V*-ban (persze nem matematikai értelemben ) fennáll, hogy 1+1 2, mivel az 1+1 szó nem egyezik meg betűről-betűre a 2 szóval. Definíció Szavak konkatenációja (egymás után írás, összefűzés, szorzás ): u és v V*-beli szavakra uv V* Érvényes: uv = u + v u n : az u szó n-szer egymás után írva (hatványozás) Itt is megadható rekurzív definíció u V*-ra u 0 = λ Igaz továbbá: xλ = λx = x De: a konkatenáció általában nem kommutatív! (azaz általában uv vu) Példa Legyen Ʃ = {a, b}. Ekkor az abbaʃ*-beli szó baba szóval való szorzata abbababa, ami nem egyezik meg a babaabba szóval. 13

14 Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szó (folyt.) Igazolható, hogy V* a konkatenáció művelettel egységelemes félcsoportot, monoidot alkot A művelet asszociatív, és az üresszó egység Definíció Legyenek x és w V*-beli szavak. Azt mondjuk, hogy x prefixe (kezdőszelete) w-nek, ha van olyan y V*-beli szó, hogy w = xy. Ha x, y λ, akkor valódi prefixről beszélünk Valódi prefixre: x = k a prefix hossza Hasonlóan értelmezhető egy szó szuffixe (végződése) Definíció Legyenek x és w V*-beli szavak. Azt mondjuk, hogy x részszava w-nek, ha van olyan y, z V*, hogy w = yxz (itt y és z lehet üresszó). Valódi részszó is hasonlóan értelmezhető Használatos az alszó, kezdő alszó, és befejező alszó megnevezés is Feladat: Adjunk meg részszót, prefixet és szuffixet az abbababa szónál! Hány különböző prefix lehetséges? Szó tükörképe is definiálható, jelölés: w 1 Igaz-e, hogy (uv) 1 = v 1 u 1? 14

15 Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szó (folyt.) Definíció Legyen adott két ábécé, V és W. A V*-ot W*-ra képező függvényeket szófüggvényeknek nevezzük. Példák A már ismert w 1 -et előállító tükör függvény, tükör(w) = w 1 A fej függvény, ahol fej(w) = w első betűje (1 hosszú valódi prefix), itt fej(λ) = λ Definíció Legyen f : V* W* szófüggvény. f hossztartó, ha f(w) = w. f kezdőszelettartó, ha f(uv) = f(u)w minden u, v V* esetén, valamilyen w W*-ra. Példák A tükör függvény hossztartó A fej függvény kezdőszelettartó Feladat: Keressünk néhány további szófüggvényt, amelyek hossztartóak, ill. kezdőszelettartóak Elemi szóműveleteknek nevezzük azokat a szófüggvényeket, amelyek a jellegzetes gépelési hibákat korrigálják Egy betű beszúrása egy szóba, adott helyre Egy adott helyen lévő betű törlése egy szóból Egy adott helyen lévő betű másikra cserélése Két szomszédos betű felcserélése 15

16 Nyelvi alapfogalmak Definíció Nyelv (vagy: V feletti nyelv, formális nyelv): V* tetszőleges L részhalmaza; azaz L V* Adott formális elem adott nyelvbe való tartozása egyértelműen eldönthető Egy nyelv lehet üres, véges vagy végtelen Üres nyelv: L = Csak az üres szót tartalmazó nyelv: L = {λ} (ennek van egy eleme) Egyszerű alapnyelvek: L = {a} típusúak A véges nyelvek elvileg elemeik felsorolásával megadhatók Teljes nyelv: L = V* (minden lehetséges szót tartalmaz) Megjegyzések Egy adott véges, nem üres Ʃ ábécé feletti összes lehetséges nyelvek halmaza a Ʃ* összes részhalmazából alkotott halmaz, vagyis Ʃ* hatványhalmaza. Mivel Ʃ* számossága megszámlálhatóan végtelen, így Ʃ felett kontinuum sok (különböző) nyelv létezik. A hagyományos nyelvek (pl. magyar nyelv) nem tekinthetők tiszta formális nyelvnek: a nyelv halmaza nem pontos, nem véglegesen lezárt, ill. részben szubjektív is; továbbá ugyanazon szónak lehet több jelentése Feladat: Nézzünk meg különféle példákat a Word helyesírás ellenőrzőjében! Vegyük észre, hogy a rendszer egyes, köznapinak tekinthető szavakat nem ismer fel, máskor számunkra teljesen magyartalan, ismeretlen szavakat elfogad. 16

17 Nyelvi alapfogalmak Példa: nyelvek V = {0, 1,, 9} felett A magyar történelmi évszámok halmaza ekkor egy véges nyelv V felett Lehet persze szubjektív, de biztosan véges A páratlan számok halmaza (tízes számrendszer) egy V feletti végtelen nyelv Példa: néhány nyelv Ʃ = {a, b} felett Véges nyelvek L 1 = {λ, a, aa, aab}, L 2 = {x Ʃ* x 7} Végtelen nyelvek L 3 = {x Ʃ* x páratlan}, L 4 = {x Ʃ* x prím} L 5 = {λ, ab, aabb, aaabbb, } = {a n b n n 0} L 6 = {u {a, b}* n a (u) = n b (u)} Feladat: Adjuk meg halmaz definícióval a következő nyelvet V = {a, b, c} felett: azon szavak, amelyek három vagy több a-val kezdődnek és utána csak 0 vagy több c-t tartalmaznak, illetve még azon szavak, amelyek egy vagy kettő a-val kezdődnek és utána csak 0 vagy több b-t tartalmaznak. Nyelvek megadásának lehetőségei Felsorolással, halmaz definícióval Döntési programmal (tdk. itt is szabályrdsz. van) Szabályokkal, generatív nyelvtannal (ez a legjobb eszköz, így lényegesen bonyolultabb nyelvek is hatékonyan megadhatók, lásd később) 17

18 Műveletek nyelvekkel A nyelvek halmazok és jelsorozatok is egyben. Így a rajtuk értelmezett műveletek is kétféle típusúak. Boole műveletek (,, \, ) Reguláris műveletek (+,, *) Tetszőleges L 1, L 2 V* nyelvek esetén értelmezhető a nyelvek (mint halmazok) uniója, metszete, különbsége, illetve L 1 -nek a V*-ra vonatkozó komplementere, és ezek szintén V*-beliek A jelölések a megszokottak (,, \, ) Egy formális definíció (a többi hasonlóan) L 1 L 2 = {p p L 1 és p L 2 } A komplementer képzésnél nagyon vigyázni kell az alaphalmaz megadására (!) Példa: Az L = {λ, a, aa, aab} nyelv komplementere teljesen más a Ʃ = {a, b}, illetve a Ʃ' = {a, b, c} felett A konkatenációt is értelmezzük nyelvekre (ez a művelet halmazokra nincs értelmezve, itt a jelsorozat tulajdonság él!) L 1 L 2 = {uv u L 1, v L 2 } Általában L 1 L 2 L 2 L 1 Egy L 1 L 2 -beli szó nem feltétlenül csak egyféle módon bontható fel L 1 -beli és L 2 -beli elemekre A konkatenáció segítségével egy nyelv önmagával vett konkatenáltját (szorzatát) is értelmezhetjük 18

19 Műveletek nyelvekkel Nyelv i-edik hatványa L k = LL L Itt L 0 = {λ} (megállapodás szerint), L 1 = L Itt is lehetséges rekurzív definíció Ugyanúgy mint szavakra, használatos V k = VV V is (Az ábécé is nyelv, hiszen V V*. Így az ábécére is értelmezett minden nyelvművelet, esetleg triviális eredménnyel.) Kleene-iteráció, a konkatenáció lezárása L* = {λ} L LL LLL (Kleene-csillag), vagy illetve: L + = L LL LLL (Kleene-plusz) Azaz: az L*-beli elemek azok a jelsorozatok, amelyeket fel lehet úgy darabolni, hogy minden darab a nyelv mondata legyen (a darabok számára nincs megkötés) Itt L + = L* is előfordulhat, pontosan akkor, ha λ L Hasonlóan: V* = {λ} V VV VVV, vagy =U =0 i V V (Kérdés: Konzekvens ez az előző definícióval?) i Természetes kérdés: zártak-e különböző nyelvosztályok ezekre a műveletekre? Az L nyelvosztály zárt a műveletre, ha tetszőleges L 1, L 2 L-re mindig L 1 L 2 L is teljesül (hasonlóan lehet egyváltozós műveletre is, Hf.) Később az ilyen típusú vizsgálatok fontosak lesznek U = i= 0 Egyéb érdekes művelet: nyelv megfordítása, L 1 = {w 1 w L } L i L 19

20 Műveletek nyelvekkel Legyen V egy rögzített ábécé. Ekkor tetszőleges L, L 1, L 2, L 3 V* esetén érvényesek a következő összefüggések (D. P.): L 1 L 2 = L 2 L 1 (az unió kommutatív) (L 1 L 2 ) L 3 = L 1 (L 2 L 3 ) (az unió asszociatív) L L = L (az unió idempotens) L = L = L (az unióra nézve létezik egységelem, a üres nyelv) L 1 L 2 = L 2 L 1 (a metszet kommutatív) (L 1 L 2 ) L 3 = L 1 (L 2 L 3 ) (a metszet asszociatív) L L= L (a metszet idempotens) L V* = V* L= L (a metszetre nézve létezik egységelem, a V* univerzális nyelv) (L 1 L 2 )L 3 = L 1 (L 2 L 3 ) (a konkatenáció asszociatív) L{λ} = {λ}l = L (a konkatenációra nézve létezik egységelem, és ez {λ}) L = L = (a konkatenációra nézve létezik nullelem, és ez ; nem lehet szópárokat készíteni) L + = LL* = L*L L* = L + {λ} (L*)* = L* (az iteráció idempotens) (L + ) + = L + (a + művelet idempotens) 20

21 Műveletek nyelvekkel Nyelvekre vonatkozó összefüggések (folyt.) (L*) + = (L + )* = L* (a komplementerképzés involúciós tulajdonságú) L 1 = L 1 Szemléltessük ezeket az összefüggéseket konkrét nyelv példákkal (fontosabb esetek)! Megjegyzések A műveletek asszociativitása miatt általában nem is szoktuk zárójelekkel jelezni a(z elméleti) sorrendjüket További zárójelek hagyhatók el az egyértelmű precedencia következtében, sorrend: az egyargumentumú műveletek (komplementer, Kleene-csillag és Kleene-plusz) precedenciája nagyobb, mint a kétargumentumúaké; a konkatenációé nagyobb, mint az unióé és metszeté Disztributivitási tulajdonságok is megfogalmazhatók Feladat: hagyjuk el a felesleges zárójeleket a következő kifejezésekből, ill. hozzuk egyszerűbb alakra a kifejezéseket (L 1 *) L 2, ((L 1 L 2 ) L 3 ), (L*L), (L L) ( L L), L V* Egyszerű nyelvműveleti példák {ab} {cd} = {ab, cd} {a, bx}{c, d} = {ac, ad, bxc, bxd}, {c, d}{a, bx} = {ca, da, cbx, dbx} {a, b} 3 = {aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb} {ab} + = {ab, abab, ababab, }, {ab}* = {λ, ab, abab, ababab, } Írjuk fel {a, bb}*-ot! 21

22 Műveletek nyelvekkel Nyelvműveletek feladatok (Főként D. P ) Legyen V = {a, b, c}, L 1 = {a, c, bb, aba}, L 2 = {a, aba, abba, baba, abbaba, babaabba}. Adjuk meg az L 1 L 2, L 1 L 2, L 1 L 2, L 1 L 1 halmazokat. Legyen T = {a, b}, L 1 = {a n b n n 0}, L 2 = {a 2n+1 b n 0} L 3 = {a 2n n 0}. Adjuk meg az L 1 L 2, L 1 L 2, L 1 L 2, L 2 L 3, L 1 L 3, (L 2 )* halmazokat. Adjunk példát olyan V ábécé feletti L 1 és L 2 nyelvekre, amelyekre L 1 L 2 = L 2 L 1. (Próbáljunk nem triviális megoldást is megadni.) Adottak L 1 és L 2 véges nyelvek V ábécé felett úgy, hogy L 1 = n és L 2 = m. Mennyi lehet a számossága az L 1 L 2, L 1 L 2 és L 1 L 2 nyelveknek? Adjunk meg alsó és felső korlátot, továbbá példákat is. Igazoljuk vagy cáfoljuk, hogy (L 1 L 2 )* = (L 1 )* (L 2 )* Segítség: az állítás hamis, például L 1 = {a}, L 2 = {b}-re látható Mivel egyenlő L 2, ha L = {a n b n n > 0} 22

23 Nyelvek megadása döntési programmal Döntési program (nyelvhez tartozóan): válaszol arra a kérdésre, hogy egy adott szó eleme-e a nyelvnek A döntési program a fordító része Illusztrációs példa a V = {a, b} feletti L p = {a i b j i 3, j 0} {a i 1 i 2} nyelvhez (A. P.) Cél (később): a döntési program könnyen generálható legyen (automaták segítségével) 23

24 Szintaktikai vizsgálat Példa: Egy aritmetikai kifejezés szintaxisának megadása (bevezető a generatív nyelvtanhoz) (Minden programozási nyelvben előfordul) Adott egy rögzített elemekből felépített kifejezés. Feladatunk eldönteni, hogy szintaktikusan helyes-e (nem ránézésre vagy megérzéssel, hanem algoritmussal). Ehhez formalizálni kell a rendszert! Milyen szimbólumok, számok, műveleti jelek szerepelhetnek a kifejezésben? Rögzítünk egy megfelelő halmazt (ebben az egyszerű példában): változók (A, B, C), konstansok (0, 1), műveleti jelek (+, ) és zárójelek Példa kifejezések: A + B C, AB ++ (C ) Milyen szabályok alapján épülhet fel a kifejezés a már rögzített szimbólumokból? Rekurzív definíció: a kifejezés állhat egy tagból, vagy lehet több tag összege; azaz a kifejezés lehet egy kifejezés és egy tag összege Nyilván definiálni kell majd a tagot is (és a többi részegységet is) Tömör és egyértelmű megfogalmazás kell! Formális leírás elemei kifejezés = kif., tag = tag, vagy művelet =, lehet = (vagy: ::=, Backus Naur jelölés) Kifejezés definíciója Így tehát kif. tag kif. + tag 24

25 Szintaktikai vizsgálat Példa: Egy aritmetikai kifejezés szintaxisának megadása (folyt.) Tag definíciója Lehet egy tényezőből álló szorzat (faktor), vagy több tényező szorzata (szintén rekurzív definícióval) tag fakt. fakt. fakt. Faktor definíciója Lehet egy zárójelbe tett kifejezés, vagy változó, vagy konstans fakt. ( kif. ) vált. konst. A kifejezésből kaphatunk majd újra tagot Itt teljes zárójelezést használunk, ami esetleg egyébként elhagyható lenne, de ezt nem tudjuk könnyen formalizálni a prioritás kezelésére: lengyel-forma vagy valami hasonló eszköz kellene Változók és konstansok (ebben a példában) vált. A B C konst. 0 1 Azaz: aritmetikai kifejezésnek az A, B, és C változó jelekből, a 0 és 1 konstans jelekből, a + és műveleti jelekből a ( és ) csoportosító jelekből a kif. tag kif. + tag tag fakt. fakt. fakt. fakt. ( kif. ) vált. konst. vált. A B C konst. 0 1 szabályok alkalmazásával felépíthető jelsorozatokat (szavakat/mondatokat) nevezzük 25

26 Szintaktikai vizsgálat Példa: Egy aritmetikai kifejezés szintaxisának megadása (folyt.) Hogyan építhető fel egy szó a fenti szabályok alkalmazásával? kif. -ből indulunk Egy jelsorozat (szó) esetén helyettesítsük a részegységek megnevezésére szolgáló szimbólumot az őt definiáló szintaktikai szabály jobb oldalának valamely lehetséges változatával (alternatíva) Helyettesítés (jelölés): A (B + 1) levezetése kif. tag fakt. fakt. fakt. ( kif. ) fakt. ( kif. + tag ) fakt. ( tag + tag ) fakt. ( fakt. + fakt. ) vált. ( fakt. + fakt. ) vált. ( vált. + konst. ) A ( vált. + konst. ) A (B + 1) Szintaktikailag hibás kifejezést nem tudunk így levezetni, például: + (B + 1), )B + 1( Ilyen következtetési mód: levezetés Persze a gyakorlatban bonyolultabb aritmetikai kifejezések jönnek elő (ez a példa nagyon egyszerű), de azok is ugyanilyen módon kezelhetők Szintaxis ezen megadási módja: generatív nyelvtannal való szintaxis megadás (Ez a leggyakoribb) 26

27 Szintaktikai vizsgálat és generatív nyelvtanok (Eddigi tapasztalataink alapján ) Mit kell tartalmaznia egy generatív nyelvtan definíciójának? Azon szimbólumok (betűk) megadását, amelyekből a nyelvtannal definiálandó nyelv szavai állhatnak (terminális szimbólumok, nyelvi szimbólumok) Azon további szimbólumok megadását, amelyek nem szerepelnek (!) a nyelv szavaiban (mondataiban), de szükség van rájuk a szintaktikai szabályok megfogalmazásához (nemterminális szimbólumok, grammatikai szimbólumok) A szintaktikai (levezetési) szabályokat Azt a nemterminális szimbólumot (kezdő szimbólum), amelyből levezetés alkalmazásával a definiálandó nyelv valamennyi szavát megkapjuk A levezetés pontos definícióját A levezetés során lesznek Tiszta terminális szavak (tiszta nyelvi szavak, mondatok ) Vegyes, terminális és nemterminális jeleket tartalmazó szavak ( mondatformák ) Szokásos jelölés szimbólum = terminális szimbólum (nem mindig dőlten írva) szimbólum = nemterminális szimbólum A nyelv szavait mind le kell tudni vezetnünk, de csak pontosan azokat (!) 27

28 Szintaktikai vizsgálat Példa: Köznapi nyelv (leszűkített részhalmaz, minimagyar ; B. I.) Szabályok mondat ::= alanyi rész állítmányi rész alanyi rész ::= főnévi rész határozó állítmányi rész ::= tárgyi rész igei rész főnévi rész ::= névelő jelzők főnév jelzők ::= jelző jelző jelzők tárgyi rész ::= főnévi rész t névelő ::= λ a az egy jelző ::= λ hideg meleg fehér fekete nagy kis főnév ::= kutya macska hús egér sajt tej víz határozó ::= λ nappal éjjel reggel este igei rész ::= eszik iszik Megjegyzések A szavak itt terminális szimbólumok (de most nem dőlten írtuk őket) A mondat végére írhatnánk pontot (de ekkor is gond lenne abból, hogy a nagybetűs kezdést nem tudnánk egyszerűen biztosítani Látható már most is, hogy nem tudunk minden valós nyelvtani szabályt alkalmazni (tárgyi rész: sajt, sajtot, víz, vizet, tej, tejet) 28

29 Szintaktikai vizsgálat Példa: Minimagyar (folyt.) Levezetés példa mondat alanyi rész állítmányi rész főnévi rész határozó állítmányi rész névelő jelzők főnév határozó állítmányi rész a jelzők főnév határozó állítmányi rész a jelző jelzők főnév határozó állítmányi rész a nagy fehér főnév határozó állítmányi rész a nagy fehér kutya határozó állítmányi rész a nagy fehér kutya reggel állítmányi rész a nagy fehér kutya reggel tárgyi rész igei rész a nagy fehér kutya reggel főnévi rész t igei rész a nagy fehér kutya reggel névelő jelzők főnév t igei rész a nagy fehér kutya reggel jelző főnév t igei rész a nagy fehér kutya reggel meleg húst igei rész a nagy fehér kutya reggel meleg húst eszik Ez normális magyar mondat, de persze sok a mi szintaktikánk szerint helyes normális magyarul mégis szintaktikailag hibás mondatot is le tudunk így vezetni az fehér egér hideg sajtt eszik az kis fekete macska meleg tejt iszik Hasonlóan levezethető több, normális magyarul szemantikailag is támadható mondat a fehér tej macskat iszik És persze léteznek minimagyarul is szintaktikailag helytelen (levezethetetlen) mondatok hús kutya reggel fekete eszik víz az 29

30 Szintaktikai vizsgálat Példa: Egy programozási nyelv szintaxisának megadása (F. Z.) Szándékosan egyszerű programozási nyelvet választunk (PÉLDA) Szabályok Kezdőszimbólum: program program ut. lista. ut. lista ut. ut. ; ut. lista ut. ért. adó if ut. while ut. blokk ért. adó vált := kif. if ut. if reláció then ut. else ut. while ut. while reláció do ut. blokk begin ut. lista end reláció kif. relációjel kif. relációjel < > = kif. tag kif. + tag tag fakt. fakt. fakt. fakt. ( kif. ) vált. konst. vált. A B C konst. 0 1 Egy jelsorozat akkor és csak akkor szintaktikusan helyes PÉLDA nyelvű program, ha levezethető a program nemterminális szimbólumból a fenti szabályok alkalmazásával Feladat: Adjunk meg szintaktikusan helyes és helytelen PÉLDA nyelvű programot! 30

31 Szintaktikai vizsgálat Egyszerű programok esetében (viszonylag) könnyű eldönteni, hogy szintaktikusan helyesek-e [A szintaktikusan helyesnek bizonyult kódokat utána még természetesen szemantikusan is elemezni kell! (Ezzel egyelőre nem foglalkozunk.) Időnként beépítenek bizonyos szemantikai ellenőrzést a szintaktikába, pl. szám és szám típusú szöveg összeadása, Excelben megengedett, C-ben/Java-ban nem Beadható feladat: Készítsünk szintaktikailag helyes, de szemantikailag helytelen kódot C- ben, Java-ban Ugyanakkor még a szemantikai helyesség sem garantálja feltétlenül az értelmes/céljainknak megfelelő működést] Probléma hosszú programoknál A levezetés során sok konfliktus adódik (több lehetőség a helyettesítésre, melyik a jó/melyiket válasszuk?) Intuitív módon: Az a cél, hogy közelebb kerüljünk a kívánt végeredményhez Algoritmikusan: Valami módon sorba rakjuk a szabályokat, ebben a sorrendben alkalmazzuk őket a helyettesítésnél Lehet, hogy rossz szabályt választottunk! (Backtrack technikákat is be kell vetni, ez viszont magával vonja a rekurzív működést és az exponenciális típusú kimenetelt ) Mennyi sikertelen levezetési kísérlet után lehet kimondani, hogy a program szintaktikusan helytelen? Ezekre a (nehéz) kérdésekre választ adnak az elemzési algoritmusok A jó elemzési algoritmus legfeljebb az input hosszának konstansszorosa számú lépést hajt végre, és utána megadja a választ 31

32 Nyelvek megadása egyéb szabályrendszerrel Szintaxis gráf/diagram Cél: Annak bemutatása, hogy hogyan kell szintaktikusan helyes programot írni egy adott nyelven Minden programozási nyelv mögött áll egy ilyen struktúra Sokan nem nézik meg (ill. nem is tudnak róla) Gyakorlott programozók számára is hasznos lehet (ritkán használt elemek) A szintaktikailag helyes Pascal-nyelvű program felső szintű megadása: Értelmezzük a gráfot (rekurzív struktúra)! Ezen belül az azonosító megadása: Feladat Tekintsük a következő programrészletet: program szamol(be, ki, file); Hogyan feleltethetőek meg az egyes elemek a szintaxis gráf elemeinek? Ha a betű és a számjegy nem lenne terminális, akkor hogyan tudnánk definiálni? *Próbáljuk meg kifejteni a blokkot! (ld. 30. slide) Megj. (tudjuk): a szintaktikai szabályrendszer még nem mondja meg azt, hogy hogyan kell szemantikailag helyes programot írni 32

33 Nyelvek megadása egyéb szabályrendszerrel Backus Naur jelölés Metanyelv, szintén egy adott nyelv szintaxisát írja le (alternatíva a gráf mellett) Eredetileg az ALGOL 60 nyelvhez készítették el, népszerűvé vált és elterjedt A Pascal nyelvet teljesen így definiálták (1975) Elemei a szintaxis gráf elemeinek egyértelműen megfeleltethetők Terminális (ellipszis, kör vs. sima szöveg) Nemterminális v. fogalom (téglalap vs. közötti megadás) Felbontás, kifejtés (kifejtés vs. ::=) Konkatenáció (nyíl vs. egymás mellé írás) Alternatíva (elágazás vs. ) Iteráció (visszanyíl vs. { }) Opció fakultatív megjelenés (fordított iterációval vs. [ ]) BNF (Extended BNF, az iteráció miatt) megadás az előző programra: Milyen terminális elemeket találunk a példában? 33

34 Nyelvek megadása egyéb szabályrendszerrel Példa a Backus Naur jelölés alkalmazására (azonosító leírása) Szabályok azonosító ::= betű azonosító ::= betű azonosítóvég azonosítóvég ::= betű azonosítóvég ::= számjegy azonosítóvég ::= betű azonosítóvég azonosítóvég ::= számjegy azonosítóvég betű ::= a betű ::= z számjegy ::= 0 számjegy ::= 9 Ugyanez alternatívákkal, iterációval azonosító ::= betű betű azonosítóvég azonosító ::= betű { azonosítóvég } azonosítóvég ::= betű számjegy betű azonosítóvég számjegy azonosítóvég azonosítóvég ::= { betű számjegy } { azonosítóvég } betű ::= a b z számjegy ::= Feladatok Vezessük le a szabályok alkalmazásával az a12 és az alma azonosítókat! Módosítsuk a szabályokat úgy, hogy egyéb karakterek is alkalmazhatók legyenek (pl. _) Építsünk fel szabályrendszert az egész számok és a valós számok leírására! Külön köszönet: a hivatkozott jegyzetek szerzőinek 34

35 Ajánlott irodalom Fülöp Zoltán: Formális nyelvek és szintaktikus elemzésük, Polygon, Szeged, 2001 Dömösi Pál és társai: Formális nyelvek és automaták, Elektronikus jegyzet, 2011 Bach Iván: Formális nyelvek, Typotex kiadó, Budapest, 2002 Alan P. Parkes: A Concise Introduction to Languages and Machines, Springer, London, 2008 Katona Gyula, Recski András, Szabó Csaba: A számítástudomány alapjai, Typotex Kiadó, Budapest, 2003 Tichler Károly: Oktatási segédanyagok (gyakorlatok) a formális nyelvek tárgyhoz, ELTE, Budapest, 2008 Várterész Magda: Oktatási segédanyagok (előadások) a formális nyelvek és automaták tárgyhoz, DE, Debrecen,

1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat

1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat 1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Dr. Kallós Gábor 2013 2014 1 Tartalom Matematikai alapfogalmak Halmazok Relációk Függvények Homomorfizmusok Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szavak, nyelvek Műveletek

Részletesebben

1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat

1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat 1. előadás Matematikai és nyelvi alapok, Szintaktikai vizsgálat Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Matematikai alapfogalmak Halmazok Relációk Függvények Homomorfizmusok Számosságok, végtelenek Nyelvi

Részletesebben

1 2. gyakorlat Matematikai és nyelvi alapfogalmak. dr. Kallós Gábor

1 2. gyakorlat Matematikai és nyelvi alapfogalmak. dr. Kallós Gábor 1 2. gyakorlat Matematikai és nyelvi alapfogalmak dr. Kallós Gábor 2017 2018 Köszönetnyilvánítás Köszönetnyilvánítás (Acknowledgement) Ez a gyakorlati feladatsor nagyban épít a következő könyvre Elements

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Formális nyelvek elmélete

A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata. Formális nyelvek elmélete A számítógépes nyelvészet elmélete és gyakorlata Formális nyelvek elmélete Nyelv Nyelvnek tekintem a mondatok valamely (véges vagy végtelen) halmazát; minden egyes mondat véges hosszúságú, és elemek véges

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

1 2. előadás Matematikai és nyelvi alapfogalmak. dr. Kallós Gábor

1 2. előadás Matematikai és nyelvi alapfogalmak. dr. Kallós Gábor 1 2. előadás Matematikai és nyelvi alapfogalmak dr. Kallós Gábor 2017 2018 Köszönetnyilvánítás Köszönetnyilvánítás (Acknowledgement) Ez az előadás-sorozat és a hozzá tartozó gyakorlati feladatsor nagyban

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Dr. Vincze Szilvia;

Dr. Vincze Szilvia; 2014. szeptember 17. és 19. Dr. Vincze Szilvia; vincze@agr.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia/oktatas/oktatott_targyak/index/index.html 2010/2011-es tanév I. féléves tematika

Részletesebben

5. előadás Reguláris kifejezések, a reguláris nyelvek jellemzése 1.

5. előadás Reguláris kifejezések, a reguláris nyelvek jellemzése 1. 5. előadás Reguláris kifejezések, a reguláris nyelvek jellemzése 1. Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom Reguláris kifejezések Meghatározás, tulajdonságok Kapcsolat a reguláris nyelvekkel A reguláris

Részletesebben

Segédanyagok. Formális nyelvek a gyakorlatban. Szintaktikai helyesség. Fordítóprogramok. Formális nyelvek, 1. gyakorlat

Segédanyagok. Formális nyelvek a gyakorlatban. Szintaktikai helyesség. Fordítóprogramok. Formális nyelvek, 1. gyakorlat Formális nyelvek a gyakorlatban Formális nyelvek, 1 gyakorlat Segédanyagok Célja: A programozási nyelvek szintaxisának leírására használatos eszközök, módszerek bemutatása Fogalmak: BNF, szabály, levezethető,

Részletesebben

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,

Részletesebben

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz

Részletesebben

Formális nyelvek és automaták

Formális nyelvek és automaták Formális nyelvek és automaták Nagy Sára gyakorlatai alapján Készítette: Nagy Krisztián 2. gyakorlat Ismétlés: Megjegyzés: Az ismétlés egy része nem szerepel a dokumentumban, mivel lényegében a teljes 1.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A digitális számítás elmélete

A digitális számítás elmélete A digitális számítás elmélete 8. előadás ápr. 16. Turing gépek és nyelvtanok A nyelvosztályok áttekintése Turing gépek és a természetes számokon értelmezett függvények Áttekintés Dominó Bizonyítások: L

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Részletesebben

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések 1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések Alapfogalmak (nem definiáljuk) Halmaz x eleme az A halmaznak x nem eleme A halmaznak Jelölések A,B,C, x A x A SiUDWODQ V]iRN Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával:

Részletesebben

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,

Részletesebben

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok. Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak

Részletesebben

9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek

9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek 9. előadás Környezetfüggetlen nyelvek Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Bevezetés CF nyelv példák Nyelvek és nyelvtanok egy- és többértelműsége Bal- és jobboldali levezetések A fák magassága és határa

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. középszint

Diszkrét matematika 1. középszint Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia;

2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia; 2011. szeptember 14. Dr. Vincze Szilvia; vincze@fin.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia Első pillantásra hihetetlennek tűnik, hogy egy olyan tiszta és érzelmektől mentes tudomány,

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Matematikai logika és halmazelmélet

Matematikai logika és halmazelmélet Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt rövid kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvek használata adatszerkezetek, képek leírására

Házi feladatok megoldása. Nyelvek használata adatszerkezetek, képek leírására Nyelvek használata adatszerkezetek, képek leírására Formális nyelvek, 2. gyakorlat 1. feladat Módosított : belsejében lehet _ jel is. Kezdődhet, de nem végződhet vele, két aláhúzás nem lehet egymás mellett.

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

Formális Nyelvek - 1. Előadás

Formális Nyelvek - 1. Előadás Formális Nyelvek - 1. Előadás Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van. HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

Gy ur uk aprilis 11.

Gy ur uk aprilis 11. Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

Formális Nyelvek - 1.

Formális Nyelvek - 1. Formális Nyelvek - 1. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 A

Részletesebben

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet: Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 2. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Matematikai logika Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika 1/36 1/36 Logika és számításelmélet I. rész Logika 2/36 Elérhetőségek Tejfel Máté Déli épület, 2.606 matej@inf.elte.hu http://matej.web.elte.hu Tankönyv 3/36 Tartalom 4/36 Bevezető fogalmak Ítéletlogika Ítéletlogika

Részletesebben

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend

Részletesebben

SE EKK EIFTI Matematikai analízis

SE EKK EIFTI Matematikai analízis SE EKK EIFTI Matematikai analízis 1. Blokk A matematika minden ága foglalkozik halmazokkal, ezért fontos a halmazok általános tulajdonságainak vizsgálata. A halmazok általános tulajdonságaival a matematikának

Részletesebben

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom? Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy

Részletesebben

Általános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel

Általános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus Általános algebra 2. Részalgebra, generálás 3. Kongruencia, faktoralgebra 2013 március 8. 4. Homomorfizmus, homomorfiatétel 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus 2. Részalgebra,

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

7. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok

7. előadás Környezetfüggetlen nyelvtanok 7. előadás dr. Kallós Gábor 2017 2018 Tartalom Bevezető Deriváció Előállított szó és nyelv Levezetési sorozat Reguláris nyelvtanok Reguláris nyelvekre vonatkozó 2. ekvivalencia tétel Konstrukciók (NVA

Részletesebben

Diszkrét matematika HALMAZALGEBRA. Halmazalgebra

Diszkrét matematika HALMAZALGEBRA. Halmazalgebra Halmazalgebra Ebben a fejezetben összefoglaljuk a halmazokról tanult középiskolai ismeretanyagot, és néhány érdekességgel, módszerrel ki is egészítjük. A halmaz alapfogalom. Mondhatjuk, hogy tárgyak, fogalmak,

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 9. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Halmazok Diszkrét

Részletesebben

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Negyedik el oad as 1/26 1/26 Logika és számításelmélet I. rész Logika Negyedik előadás Tartalom 2/26 Az elsőrendű logika szemantikája Formulák és formulahalmazok szemantikus tulajdonságai Elsőrendű logikai nyelv interpretációja

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?

1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül? 1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy

Részletesebben

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33

Logika es sz am ıt aselm elet I. r esz Logika Harmadik el oad as 1/33 1/33 Logika és számításelmélet I. rész Logika Harmadik előadás Tartalom 2/33 Elsőrendű logika bevezetés Az elsőrendű logika szintaxisa 3/33 Nulladrendű állítás Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az álĺıtások

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Alap fatranszformátorok II

Alap fatranszformátorok II Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden

Részletesebben

Feladatok. 6. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy aabbcc eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek!

Feladatok. 6. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy aabbcc eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek! Feladatok 1. A CYK algoritmus segítségével döntsük el, hogy cabcab eleme-e a G = {a, b, c}, {S, A, B, C, D, E}, P, S nyelvtan által generált nyelvnek! P: S AD EB SS A AB a B DD b C CB c D EC a E AD b 2.

Részletesebben

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2013 ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László merai@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ merai Komputeralgebra Tanszék 2013 ősz Kombinatorika

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm

http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm Formális nyelvek és fordítóprogramok http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/formalis.htm Könyvészet 1. Csörnyei Zoltán, Kása Zoltán, Formális nyelvek és fordítóprogramok, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, 2007. 2.

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1

Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája. Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Elsőrendű logika szintaktikája és szemantikája Logika és számításelmélet, 3. gyakorlat 2009/10 II. félév Logika (3. gyakorlat) 0-adrendű szemantika 2009/10 II. félév 1 / 1 Az elsőrendű logika Elemek egy

Részletesebben

6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2.

6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2. 6. előadás A reguláris nyelvek jellemzése 2. Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Tartalom A reguláris nyelvek osztályának jellemzése a körbebizonyítás Láncszabályok A 2. állítás és igazolása Ekvivalens 3-típusú

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM - INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Cserép Máté 2009.01.20. A dokumentum a programtervező informatikus szak Diszkrét matematika I. kurzusának vizsgaanyagát

Részletesebben

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet! 1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

Csima Judit október 24.

Csima Judit október 24. Adatbáziskezelés Funkcionális függőségek Csima Judit BME, VIK, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék 2018. október 24. Csima Judit Adatbáziskezelés Funkcionális függőségek 1 / 1 Relációs sémák

Részletesebben

Struktúra nélküli adatszerkezetek

Struktúra nélküli adatszerkezetek Struktúra nélküli adatszerkezetek Homogén adatszerkezetek (minden adatelem azonos típusú) osztályozása Struktúra nélküli (Nincs kapcsolat az adatelemek között.) Halmaz Multihalmaz Asszociatív 20:24 1 A

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

ZH feladatok megoldásai

ZH feladatok megoldásai ZH feladatok megoldásai A CSOPORT 5. Írja le, hogy milyen szabályokat tartalmazhatnak az egyes Chomskynyelvosztályok (03 típusú nyelvek)! (4 pont) 3. típusú, vagy reguláris nyelvek szabályai A ab, A a

Részletesebben

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet. 1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az

Részletesebben

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23. Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus

Részletesebben