3. Sztochasztikus készletgazdálkodási modellek

Átírás

1 3 Előadás: Készletezési modellek, III 3 Sztochasztikus készletgazdálkodási modellek Az 1950-es, 60-as évek magyarországi tapasztalatai azt mutatták, hogy az árúcikkek, anyagok jelentős részénél a megrendelés teljesítésére az úgynvezett előszállításos rendszer a jellemző, azaz a megrendelt R mennyiség egy T időintervallum alatt kizárólag a megrendelést teljesítő féltől függően, előre meg nem határozható időpontokban és részletekben érkezik be, azonabn úgy, hogy a T időpontig az egész megrendelt R mennyiség beérkezik Az ilyen utánpótlási rendszer leírására Prékopa András 1962) és Prékopa András és Ziermann Margit 1963) sztochasztikus modellt alkottak meg, amelyet később László Zoltán 1972) kicsit általánosabb formába öntött Ezeket a modelleket véletlen ütemezésű modelleknek nevezték el, amelyeket a szakirodalom mára a magyar készletgazdálkodási modellek néven ismer Tekintsük először azt az egyszerűbb esetet, amikor az egyes rész-szállítások teljesen véletlenszerű időpontokban történnek ugyan, de az egyes rész-szállítmányok legalább fixek és egyenlő nagyságúak 31 A véletlen szállítási ütemezésű modell egyenlő nagyságú rész-szállítások esetén Tekintsünk egy [0, T] időintervallumot, amelyre teljesen véletlenszerűen rádobunk n számú pontot Jelöljük ezeket ξ 1,ξ 2,,ξ n -nel Ezek a mennyiségek tehát úgy tekinthetők, mint egymástól független, a[0, T] időintervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változók, melyeket számozzunk meg monoton növekvő sorrendben, azaz legyen 0 ξ1 < ξ2 < ξn T Tegyük most fel, hogy a ξi,i = 1,2,,n időpontok mindegyikében egyenlő R/n árúmennyiség érkezik be Ekkor, ha az η t időtől függő véletlen függvény jelenti a t időpontig 1

2 összesen beérkezett árúmennyiséget, akkor az η t értéke ezekben a véletlen időpontokban mindig pontosan ennyivel nő Arra a kérdésre keressük a választ, hogy valamely vizsgált időtartam kezdőpontjában a szóbanforgó árúféleségből mekkora az a legkisebb raktárkészlet, az úgynevezett kezdőkészlet, amely a fent leírt utánpótlási rend esetében az egész időtartam minden időegységében 1 ǫ valószínűséggel megbízhatósággal) biztosítja r egységnyi raktárkészlet felhasználhatóságát? Tekintsük az alábbi szemléltető ábrát ehhez a feladathoz: yt), t R yt) =rt t M, ξ 1 ξ 2 ξ 3 T t 1 ábra A raktárba beérkezett η t véletlen árúmennyiség és a felhasznált yt) determinisztikus árúmennyiség grafikonja Itt tehát [0, T] a vizsgált időintervallum, r az időegységenként felhasználni kívánt árúmennyiség, R = az összesen szükséges árúmennyiség, η t a t időpontig a raktárba összesen beérkezett árúmennyiség, yt) a t időpontig összesen felhasznált árúmennyiség nyilván: yt) = rt) és jelöljem = Mn,ǫ) azt azn-től ésǫ-tól függő kezdőkészletet, mint döntési változót, amely az egész időtartam minden egyes egységében 1 ǫ valószínűséggel megbízhatósággal) biztosítja r egységnyi raktárkészlet felhasználhatóságát Az 1 ábráról leolvasható, hogy ahhoz, hogy az időegységenkénti r felhasználás mindig teljesíthető legyen, szükséges, hogy M +η t rt 31) 2

3 legyen 1 ǫ valószínűséggel a [0,T] időintervallum minden pontjában, azaz ) P inf M +η t rt) 0 = 1 ǫ 32) 0 t T Az egyenlő nagyságú rész-szállítmányok melletti véletlen szállítási ütemezésű modell feltételezései összefoglalva: A [0, T] időszakon belül n pontban összesen R mennyiségű árú érkezik be; A szóbanforgó árú iránti igény minden időegységben r = R T ; A beérkezési időpontok a véletlentől függnek, s feltesszük, hogy a [0, T] időszakaszon bármely lehetséges elhelyezkedésük egyenlően valószínű; Az egyes rész-szállítmányok egyenlőek, tehát minden egyes alkalommal R n menynyiség érkezik a raktárba Mivel a 31) alapegyenlőtlenség úgy írható, hogy rt η t M, azért, ha ennek mindkét oldalát osztjuk R = -vel, akkor azt kapjuk, hogy Itt 0, ha 0 t ξ 1 t T η t R M 33) η t = k R n, ha ξ k t ξ k+1,k = 1,2,,n 1 és így η t R = 0, ha 0 t ξ 1 k n, ha ξ k t ξ k+1 1, ha ξ n t T R, ha ξ n t T = 0, ha 0 t T 1 T ξ 1 k n, ha 1 T ξ k t T 1 T ξ k+1 1, ha 1 T ξ n t T 1,k = 1,2,,n 1 3

4 Ezért, ha bevezetjük az x = t jelölést, akkor a 33) egyenlőtlenség baloldala úgy T tekinthető, mint a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlás Fx) = x elméleti eloszlászlásfüggvényének és 0, ha 0 x 1 T ξ 1 F n x) = η t R = k n, ha 1 T ξ k x 1 T ξ k+1,k = 1,2,,n 1 1, ha 1 T ξ n x 1 tapasztalati eloszlásfüggvényének a különbsége: Fx) F n x) M Ugyanezt az átalakítást a 32) megbízhatósági egyenletbe úgy vezethetjük át, hogy az egyenlőtlenség irányának a megfordítása miatt inf helyett sup-ot írunk: P sup n x)) 0 x 1Fx) F M ) = 1 ǫ 34) Tekintsük most Szmirnov 1939) klasszikus matematikai statisztikai tételét, mely szerint az elméleti és a neki megfelelő tapasztalati eloszlásfüggvény eltérésére fennáll, hogy ) nsup lim P 1 e 2y2, ha y > 0 Fx) F n x)) y = 35) n x 0, egyébként Alkalmazva ezt a tételt a 34) egyenlet bal oldalán álló valószínűségre, azt kapjuk, hogy elég nagy n esetén n > 20): n P sup n x)) 0 x 1Fx) F n M ) 2M 2 n 1 e r 2 T 2 36) rt Ha tehát azt akarjuk, hogy az M kezdőkészlet az n számú, véletlen időpontokban történő, R nagyságú előszállításokat is figyelembe véve adott 1 ǫ valószínűséggel fedezze a [0,T] n időszak alatti folyamatos r intenzitású felhasználást, akkor a 36) jobb oldalát1 ǫ)-nal 4

5 egyenlővé téve, az így kapott egyenletet kell megoldani M-re: amiből a kérdésünkre a válasz: 1 e 2M 2 n r 2 T 2 = 1 ǫ, lnǫ = 2M2 n r 2 T 2, M 2 = r2 T 2 lnǫ), 2n ln 1 Mn,ǫ) = ǫ 2n 37) A 37) képlet alkalmazásakor adott n mellett nyilván csak úgy van értelme az 1 ǫ megbízhatósági szint választásának, hogy ǫ-ra teljesüljön az ǫ e 2n összefüggés, hiszen ennél kisebb ǫ esetén a képlet azt adná, hogy az Mn,ǫ) kezdő készletszintnek meg kellene haladnia a [0, T] időszak összes árúigényét, azaz R = -t 1 Példa Tegyük fel, hogy évi egység fogyasztást kell egyenletes felhasználásra biztosítanunk A szállításról csak annyit tudunk, hogy az év folyamán 10 egyenlő részletben, de teljesen véletlenszerű időpontokban fog megtörténni Mekkora induló raktárkészletet kell ahhoz biztosítani, hogy 95%-os megbízhatósággal ne akadjon el az év folyamán a fogyasztás raktárkészlet hiány miatt? ezért Megoldás: T = 12 hónap, R = egység, ǫ = 0,05, r = R T = = , 12 ln 1 Mn,ǫ) ǫ 2n = ln 1 0,05 = , =

6 32 A véletlen szállítási ütemezésű modell véletlen nagyságú rész-szállítmányok esetén Az előszállításos utánpótlási rendszerekben az esetek többségében a beérkező részszállítmányoknak nemcsak az időpontjait, de a nagyságait sem tudjuk előre megadni Az általános esetben tehát mind a beérkezési időpontok, mind a beérkezett mennyiségek nagysága a véletlentől függ Ezt az utánpótlási rendszert a következő matematikai modell írja le Jelölje [0, T] ismét azt az időszakot, amelyben valamely árúcikkből, anyagból minden időegységben r mennyiségre van szükségünk Ugyanezen időszak alatt n alkalommal, véletlen nagyságú részletekben, de összesen R mennyiség áramlik be a következő időszak R = igényének fedezésére megrendelt árúmennyiség előszállításai) Az n beérkezési időpontnak a[0, T] időszakon belüli véletlen elhelyezkedését ugyanúgy modellezzük, mint a 31 szakasz modelljében Azt tesszük tehát fel, hogy a beérkezési időpontok bármely elhelyezkedése a [0, T] időintervallumon egyenlően valószínű Jelölje ismét ξ i,i = 1,2,,n, 0 ξ 1 < ξ 2 < ξ n T ezeknek az időpontoknak egy lehetséges realizációját a [0,T] időszakaszon és η t a t időpontig 0 < t T) összesen beérkezett árúmennyiséget Az η t véletlen függvény értéke a ξi,i = 1,2,,n időpontok mindegyikében megnő, de most nem állandó és egymással egyenlő mértékben, hanem véletlen értékekkel, de mégis úgy, hogy ezen véletlen értékek összege kiadja a [0, T] időszakasz összes árúszükségletét, azaz az R értéket Tegyük fel emellett azt is, hogy az előszállítások mindegyike valamely α 0 mennyiségnél biztosan nagyobb, mikoris α értékére nyilván teljesülnie kell, hogy 0 nα 38) Ezért az egyes rész-szállítások között véletlenszerűen szétosztani csak a megmaradó nα = R nα árúmennyiséget kell Ennek a véletlen szétosztása azonban éppen úgy történhet, mint a szállítási időpontok véletlen kijelölése, azaz feltesszük, hogy az R nα árúmennyiség bármely lehetséges n részre felosztása egyenlően valószínű Azt is 6

7 feltesszük ugyanakkor, hogy a beérkezési időpontok lehetséges elrendeződései a [0, T] időszakaszon függetlenek az R nα mennyiség lehetséges felosztásaitól A véletlen nagyságú rész-szállítmányok melletti véletlen szállítási ütemezésű modell feltételezései összefoglalva: 1 A [0, T] időszakaszon belül n időpontban összesen R mennyiségű árú érkezik be; 2 A szóbanforgó árú iránti igény a [0,T] időszakasz minden időegységében r = R T ; 3 A beérkezési időpontok a véletlentől függnek, s feltesszük, hogy a [0, T] időszakaszon bármely lehetséges elhelyezkedésük egyenlően valószínű; 4 Minden beérkezési időpontban 0 α R mennyiség áramlik a raktárba biztosan, n amelyhez az R nα fennamradó rész n részre történő bármelyik lehetséges felosztásának a mennyiségei adódnak rendre, miközben azt is feltesszük, hogy az R nα mennyiség minden lehetséges n részre osztása egyenlően valószínű; 5 A beérkezési időpontok bármelyik lehetséges elhelyezkedése a [0, T] időszakaszon független az R nα árúmennyiség bármelyik lehetséges felosztásától A modell elemzéséhez vezessük be először is a λ = nα jelölést A 38) egyenlőtlenségek miatt nyilvánvalóan 0 λ 1 és λ szemléletesen azt adja meg, hogy a [0, T] időszakasz alatt szükséges R = összárúmennyiség mekkora hányadát teszi ki az n-szeri, azonos α mennyiségben történő biztos szállítás és ennek megfelelően 1 λ) pedig szemléletesen azt adja meg, hogy az R = összárúmennyiség mekkora hányadát kell az n darab véletlen szállítási időpont között véletlenszerűen szállítandó rész-szállítási mennyiségekként szétosztani, hiszen λ = nα = nα és 1 λ) = 1 nα ) = nα = R nα 7

8 Ezért megtehetjük, hogy az R = összárúmennyiséget bontjuk n darab teljesen véletlen részre, majd az így kapott véletlen részmennyiségek mindegyikének az 1 λ)-szorosát szállítjuk a véletlenszerű szállítási időpontokban véletlenszerű rész-szállításokként Tekintsük tehát most a [0, ] intervallumra teljesen véletlenszerűen rádobott n 1) számú pontot, melyek az mennyiséget teljesen véletlenszerűen bontják fel n részre Jelöljük ezeket τ 1,τ 2,,τ n 1 -gyel Ezek a mennyiségek tehát úgy tekinthetők, mint egymástól független, a [0, ] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változók, melyeket számozzunk meg monoton növekvő sorrendben, azaz legyen 0 τ 1 < τ 2 < < τ n 1 Ekkor az eddig elmondottak értelmében a ξ i véletlen időpontban szállítandó árúmennyiség a fix és a véletlenszerűen szállított mennyiségek összegeként a következőképpen írható fel: λ n +1 λ)τ i τ i 1 ),i = 1,2,,n;τ 0 0,τ n Ezért az első k szállítás összege: kλ n +1 λ)τ k,k = 1,2,,n Vezessük be a következő jelölést: 0, ha 0 t ξ1 k F n t;λ,r,t) = n λ +1 λ)τ k, ha ξ k < t ξ k+1,k = 1,2,,n 1 1, ha ξn < t T A feladat most is annak a t = 0 időpontban rendelkezésre álló M λ n,ǫ) kezdőkészletnek a meghatározása, amelyre teljesül a következő megbízhatósági egyenlet: ) P inf [M λn,ǫ)+f n t;λ,r,t) rt] 0 = 1 ǫ, 0 t T azaz P sup 0 t T t T 1 ) F nt;λ,r,t) < M ) λn,ǫ) = 1 ǫ, 8

9 vagy bevezetve az x = t T és 0, ha 0 x ξ 1 T F n x;λ) = 1 F k nt;λ,r,t) = n +1 λ)τ k, ha ξ k T < x ξ k+1,k = 1,2,,n 1 T 1, ha ξ n T < x 1 jelöléseket: P sup x F n x;λ)) < M ) λn,ǫ) = 1 ǫ 39) 0 x 1 Mivel ξ k T,k = 1,2,,n és τ k,k = 1,2,,n 1 egymástól független, a[0,1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változóknak tekinthetők, azért a 39) megbízhatósági egyenlet megoldása visszavezethető a Prékopa andrás által 1973-ban bizonyított alábbi határeloszlástételre: ) lim P n n 1+1 λ) sup x F 2 n x;λ)) y = 0 x 1 Alkalmazzuk ezt a határeloszlástételt az y = M λn,ǫ) n 1+1 λ) 2 helyettesítéssel, akkor azt kapjuk, hogy elég nagy n érték esetén lim P sup x F n x;λ)) M ) λn,ǫ) 1 e n 0 x e 2y2, ha y > 0 0, egyébként M λn,ǫ) 2 n 310) 1+1 λ) 2 311) Ha tehát azt akarjuk, hogy az M λ n,ǫ) kezdőkészlet adott 1 ǫ valószínűséggel fedezze a [0, T] időszakasz alatti folyamatos r intenzitású felhasználást, az n számú véletlen időpontokban történő véletlen nagyságú szállításokat is figyelembe véve, akkor a 310) 9

10 jobb oldalát 1 ǫ)-nal egyenlővé téve, az így kapott egyenletet kell megoldani M λ n,ǫ)- ra: M 2 λn,ǫ) n 2 1 e 1+1 λ) 2 = 1 ǫ, ) 2 Mλ n,ǫ) n λ) = lnǫ = ln 1 2 ǫ, M λ n,ǫ) [ 1+1 λ) 2] ln 1 1/2 ǫ 2n 312) Egybevetve a 37) és a 312) aszimptotikus képleteket, azt tapasztaljuk, hogy azok a λ = 1, azaz az α = esetben megegyeznek Ezért a 31 szakasz modellje speciális n esete a 32 szakasz modelljének 2 Példa Tekintsük ismét a 31 szakasz 1 Példáját, azaz tegyük fel, hogy évi egység fogyasztást kell egyenletes felhasználásra biztosítanunk A szállításról most csak annyit tudunk, hogy az év folyamán 10 részletben, de teljesen véletlenszerű időpontokban fog megtörténni és az egyes rész-szállítások mindig legalább egységet fognak tartalmazni, mely felett további, teljesen véletlenszerű mennyiségek érkeznek be Mekkora induló rektárkészletet kell ahhoz biztosítani, hogy 95%-os megbízhatósággal ne akadjon el az év folyamán a fogyasztás raktárkészlet hiány miatt? ezért Megoldás: T = 12 hónap, R = egység, n = 10, α = , ǫ = 0,05, r = R T = = λ = nα = = 1 3 ln 1 [ M λ n,ǫ) [1+1 λ) 2 ] 1/2 ǫ 2n = = , , = ) 2 ] 1/2 ln 1 0,05 20 =

11 Látható, hogy ha a rendszertelen szállítások mellett a szállított mennyiségek kétharmada ugyancsak rendszertelenné válik, akkor a szükséges induló készletszintet több mint 20%- kal meg kell növelni az ugyanolyan 95%-os megbízhatóságú elakadásmentes fogyasztás fenntartásához 11